\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 316}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=316}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0316}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6993, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.747,11.447) -- (5.585,11.277) -- (5.428,11.103) -- (5.274,10.926) -- (5.125,10.745) -- (4.98,10.56) -- (4.839,10.372) -- (4.703,10.181) -- (4.571,9.987) -- (4.444,9.79) -- (4.322,9.589) -- (4.204,9.386) -- (4.091,9.181) -- (3.983,8.972) -- (3.88,8.762);
\draw[line width=0.5pt] (8.568,9.586) -- (8.764,9.375) -- (8.954,9.16) -- (9.14,8.94) -- (9.32,8.716) -- (9.495,8.487) -- (9.664,8.255) -- (9.829,8.018) -- (9.987,7.778) -- (10.14,7.534) -- (10.287,7.287) -- (10.428,7.037) -- (10.563,6.783) -- (10.692,6.526) -- (10.815,6.266);
\draw[line width=0.5pt] (8.568,9.586) -- (8.395,9.349) -- (8.227,9.109) -- (8.065,8.864) -- (7.909,8.616) -- (7.759,8.364) -- (7.614,8.108) -- (7.476,7.849) -- (7.343,7.587) -- (7.217,7.322) -- (7.097,7.055) -- (6.984,6.784) -- (6.877,6.511) -- (6.776,6.235) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (3.88,8.762) -- (4.11,8.594) -- (4.335,8.42) -- (4.556,8.241) -- (4.773,8.057) -- (4.986,7.868) -- (5.194,7.674) -- (5.397,7.475) -- (5.596,7.272) -- (5.79,7.063) -- (5.979,6.851) -- (6.163,6.634) -- (6.341,6.412) -- (6.515,6.187) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.755,6.227) -- (2.129,6.153) -- (2.504,6.088) -- (2.881,6.031) -- (3.259,5.984) -- (3.638,5.945) -- (4.018,5.915) -- (4.399,5.894) -- (4.78,5.883) -- (5.161,5.88) -- (5.542,5.886) -- (5.923,5.901) -- (6.303,5.925) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.456,6.028) -- (1.522,5.744) -- (1.581,5.458) -- (1.633,5.172) -- (1.679,4.884) -- (1.718,4.594) -- (1.75,4.305) -- (1.775,4.014) -- (1.794,3.723) -- (1.805,3.431) -- (1.81,3.14) -- (1.808,2.848) -- (1.799,2.557) -- (1.783,2.266);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.47,6.192) -- (1.559,6.077) -- (1.652,5.963) -- (1.746,5.852) -- (1.844,5.743) -- (1.944,5.636) -- (2.046,5.532) -- (2.151,5.43) -- (2.258,5.33) -- (2.368,5.233) -- (2.48,5.139) -- (2.594,5.047) -- (2.71,4.958) -- (2.828,4.872) -- (3.146,4.682) -- (3.46,4.484) -- (3.769,4.278) -- (4.074,4.066) -- (4.373,3.846) -- (4.667,3.619) -- (4.955,3.385) -- (5.238,3.145) -- (5.516,2.898) -- (5.787,2.644) -- (6.053,2.385) -- (6.312,2.119) -- (6.564,1.847) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.525,6.199) -- (10.234,6.139) -- (9.942,6.085) -- (9.648,6.039) -- (9.353,6.0) -- (9.058,5.967) -- (8.761,5.941) -- (8.464,5.923) -- (8.167,5.911) -- (7.87,5.906) -- (7.573,5.909) -- (7.275,5.918) -- (6.979,5.934) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.659,6.17) -- (10.506,6.069) -- (10.355,5.966) -- (10.207,5.859) -- (10.061,5.748) -- (9.918,5.634) -- (9.777,5.516) -- (9.64,5.395) -- (9.505,5.271) -- (9.373,5.144) -- (9.244,5.014) -- (9.118,4.881) -- (8.996,4.745) -- (8.877,4.606);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.897,6.002) -- (10.973,5.736) -- (11.042,5.468) -- (11.105,5.199) -- (11.162,4.928) -- (11.212,4.655) -- (11.256,4.382) -- (11.294,4.108) -- (11.325,3.833) -- (11.35,3.557) -- (11.368,3.281) -- (11.38,3.004) -- (11.385,2.728) -- (11.383,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,5.958) -- (6.823,5.838) -- (6.967,5.722) -- (7.113,5.608) -- (7.262,5.499) -- (7.413,5.393) -- (7.567,5.29) -- (7.724,5.192) -- (7.882,5.096) -- (8.043,5.005) -- (8.206,4.917) -- (8.371,4.834) -- (8.538,4.754) -- (8.706,4.678) -- (8.877,4.606);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,5.958) -- (6.739,5.648) -- (6.789,5.337) -- (6.832,5.025) -- (6.867,4.712) -- (6.894,4.398) -- (6.915,4.084) -- (6.927,3.769) -- (6.933,3.454) -- (6.931,3.139) -- (6.922,2.824) -- (6.905,2.509) -- (6.881,2.195) -- (6.849,1.882) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (8.877,4.606) -- (9.031,4.426) -- (9.189,4.25) -- (9.352,4.077) -- (9.518,3.908) -- (9.689,3.743) -- (9.863,3.582) -- (10.041,3.425) -- (10.223,3.273) -- (10.408,3.125) -- (10.597,2.981) -- (10.789,2.841) -- (10.984,2.707) -- (11.182,2.577) -- (11.383,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (8.877,4.606) -- (8.764,4.369) -- (8.645,4.133) -- (8.52,3.901) -- (8.39,3.672) -- (8.255,3.445) -- (8.115,3.222) -- (7.969,3.003) -- (7.818,2.786) -- (7.662,2.574) -- (7.501,2.365) -- (7.336,2.16) -- (7.165,1.959) -- (6.99,1.762) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.783,2.266) -- (2.132,2.162) -- (2.483,2.066) -- (2.836,1.978) -- (3.192,1.898) -- (3.549,1.827) -- (3.908,1.765) -- (4.268,1.71) -- (4.629,1.665) -- (4.992,1.627) -- (5.355,1.598) -- (5.719,1.578) -- (6.083,1.567) -- (6.447,1.564) -- (6.81,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.907,11.447) -- (5.885,11.527) -- (5.827,11.586) -- (5.747,11.607) -- (5.667,11.586) -- (5.608,11.527) -- (5.587,11.447) -- (5.608,11.367) -- (5.667,11.308) -- (5.747,11.287) -- (5.827,11.308) -- (5.885,11.367) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.728,9.586) -- (8.707,9.666) -- (8.648,9.724) -- (8.568,9.746) -- (8.488,9.724) -- (8.43,9.666) -- (8.408,9.586) -- (8.43,9.506) -- (8.488,9.447) -- (8.568,9.426) -- (8.648,9.447) -- (8.707,9.506) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.04,8.762) -- (4.019,8.842) -- (3.96,8.9) -- (3.88,8.922) -- (3.8,8.9) -- (3.742,8.842) -- (3.72,8.762) -- (3.742,8.682) -- (3.8,8.623) -- (3.88,8.602) -- (3.96,8.623) -- (4.019,8.682) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.31) -- (1.522,6.39) -- (1.463,6.448) -- (1.383,6.47) -- (1.303,6.448) -- (1.245,6.39) -- (1.223,6.31) -- (1.245,6.23) -- (1.303,6.171) -- (1.383,6.15) -- (1.463,6.171) -- (1.522,6.23) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.975,6.266) -- (10.953,6.346) -- (10.895,6.405) -- (10.815,6.426) -- (10.735,6.405) -- (10.676,6.346) -- (10.655,6.266) -- (10.676,6.186) -- (10.735,6.127) -- (10.815,6.106) -- (10.895,6.127) -- (10.953,6.186) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.842,5.958) -- (6.821,6.038) -- (6.762,6.096) -- (6.682,6.118) -- (6.602,6.096) -- (6.544,6.038) -- (6.522,5.958) -- (6.544,5.878) -- (6.602,5.819) -- (6.682,5.798) -- (6.762,5.819) -- (6.821,5.878) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.037,4.606) -- (9.015,4.686) -- (8.957,4.745) -- (8.877,4.766) -- (8.797,4.745) -- (8.738,4.686) -- (8.717,4.606) -- (8.738,4.526) -- (8.797,4.468) -- (8.877,4.446) -- (8.957,4.468) -- (9.015,4.526) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,2.451) -- (11.522,2.531) -- (11.463,2.59) -- (11.383,2.611) -- (11.303,2.59) -- (11.245,2.531) -- (11.223,2.451) -- (11.245,2.371) -- (11.303,2.313) -- (11.383,2.291) -- (11.463,2.313) -- (11.522,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.943,2.266) -- (1.922,2.346) -- (1.863,2.405) -- (1.783,2.426) -- (1.703,2.405) -- (1.645,2.346) -- (1.623,2.266) -- (1.645,2.186) -- (1.703,2.128) -- (1.783,2.106) -- (1.863,2.128) -- (1.922,2.186) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.97,1.569) -- (6.949,1.649) -- (6.89,1.708) -- (6.81,1.729) -- (6.73,1.708) -- (6.672,1.649) -- (6.65,1.569) -- (6.672,1.489) -- (6.73,1.431) -- (6.81,1.409) -- (6.89,1.431) -- (6.949,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.306,9.999) -- (5.26,10.169) -- (5.136,10.293) -- (4.966,10.339) -- (4.796,10.293) -- (4.671,10.169) -- (4.626,9.999) -- (4.671,9.829) -- (4.796,9.704) -- (4.966,9.659) -- (5.136,9.704) -- (5.26,9.829) -- cycle;
\node at (4.966,9.999) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.434,8.198) -- (10.388,8.368) -- (10.264,8.492) -- (10.094,8.538) -- (9.924,8.492) -- (9.799,8.368) -- (9.754,8.198) -- (9.799,8.028) -- (9.924,7.903) -- (10.094,7.858) -- (10.264,7.903) -- (10.388,8.028) -- cycle;
\node at (10.094,8.198) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.1,7.702) -- (8.054,7.872) -- (7.93,7.996) -- (7.76,8.042) -- (7.59,7.996) -- (7.465,7.872) -- (7.42,7.702) -- (7.465,7.532) -- (7.59,7.407) -- (7.76,7.362) -- (7.93,7.407) -- (8.054,7.532) -- cycle;
\node at (7.76,7.702) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.963,7.701) -- (5.918,7.871) -- (5.793,7.996) -- (5.623,8.041) -- (5.453,7.996) -- (5.329,7.871) -- (5.283,7.701) -- (5.329,7.531) -- (5.453,7.407) -- (5.623,7.361) -- (5.793,7.407) -- (5.918,7.531) -- cycle;
\node at (5.623,7.701) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.38,6.234) -- (4.334,6.404) -- (4.21,6.529) -- (4.04,6.574) -- (3.87,6.529) -- (3.745,6.404) -- (3.7,6.234) -- (3.745,6.064) -- (3.87,5.94) -- (4.04,5.894) -- (4.21,5.94) -- (4.334,6.064) -- cycle;
\node at (4.04,6.234) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.408,4.336) -- (2.363,4.506) -- (2.238,4.63) -- (2.068,4.676) -- (1.898,4.63) -- (1.774,4.506) -- (1.728,4.336) -- (1.774,4.166) -- (1.898,4.042) -- (2.068,3.996) -- (2.238,4.042) -- (2.363,4.166) -- cycle;
\node at (2.068,4.336) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.339,5.143) -- (3.294,5.313) -- (3.169,5.437) -- (2.999,5.483) -- (2.829,5.437) -- (2.705,5.313) -- (2.659,5.143) -- (2.705,4.973) -- (2.829,4.848) -- (2.999,4.803) -- (3.169,4.848) -- (3.294,4.973) -- cycle;
\node at (2.999,5.143) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.125,5.622) -- (9.08,5.792) -- (8.955,5.917) -- (8.785,5.962) -- (8.615,5.917) -- (8.491,5.792) -- (8.445,5.622) -- (8.491,5.452) -- (8.615,5.328) -- (8.785,5.282) -- (8.955,5.328) -- (9.08,5.452) -- cycle;
\node at (8.785,5.622) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.325,5.273) -- (10.28,5.443) -- (10.155,5.567) -- (9.985,5.613) -- (9.815,5.567) -- (9.691,5.443) -- (9.645,5.273) -- (9.691,5.103) -- (9.815,4.979) -- (9.985,4.933) -- (10.155,4.979) -- (10.28,5.103) -- cycle;
\node at (9.985,5.273) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.913,4.429) -- (11.867,4.599) -- (11.743,4.724) -- (11.573,4.769) -- (11.403,4.724) -- (11.278,4.599) -- (11.233,4.429) -- (11.278,4.259) -- (11.403,4.135) -- (11.573,4.089) -- (11.743,4.135) -- (11.867,4.259) -- cycle;
\node at (11.573,4.429) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.232,5.464) -- (8.186,5.634) -- (8.062,5.758) -- (7.892,5.804) -- (7.722,5.758) -- (7.597,5.634) -- (7.552,5.464) -- (7.597,5.294) -- (7.722,5.17) -- (7.892,5.124) -- (8.062,5.17) -- (8.186,5.294) -- cycle;
\node at (7.892,5.464) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.587,3.778) -- (7.542,3.948) -- (7.417,4.073) -- (7.247,4.118) -- (7.077,4.073) -- (6.953,3.948) -- (6.907,3.778) -- (6.953,3.608) -- (7.077,3.484) -- (7.247,3.438) -- (7.417,3.484) -- (7.542,3.608) -- cycle;
\node at (7.247,3.778) {\scalebox{1.43}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.59,3.668) -- (10.544,3.838) -- (10.42,3.963) -- (10.25,4.008) -- (10.08,3.963) -- (9.955,3.838) -- (9.91,3.668) -- (9.955,3.498) -- (10.08,3.374) -- (10.25,3.328) -- (10.42,3.374) -- (10.544,3.498) -- cycle;
\node at (10.25,3.668) {\scalebox{1.43}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,2.823) -- (8.528,2.993) -- (8.403,3.117) -- (8.233,3.163) -- (8.063,3.117) -- (7.939,2.993) -- (7.893,2.823) -- (7.939,2.653) -- (8.063,2.528) -- (8.233,2.483) -- (8.403,2.528) -- (8.528,2.653) -- cycle;
\node at (8.233,2.823) {\scalebox{1.43}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.652,2.027) -- (4.606,2.197) -- (4.482,2.322) -- (4.312,2.367) -- (4.142,2.322) -- (4.018,2.197) -- (3.972,2.027) -- (4.018,1.857) -- (4.142,1.733) -- (4.312,1.687) -- (4.482,1.733) -- (4.606,1.857) -- cycle;
\node at (4.312,2.027) {\scalebox{1.43}{\small 15}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.083,6.01) -- (1.683,6.01) -- (1.683,6.61) -- (1.083,6.61) -- cycle;
\node at (1.383,6.31) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.679,6.394) -- (3.279,6.394) -- (3.279,6.994) -- (2.679,6.994) -- cycle;
\node at (2.979,6.694) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.964,3.682) -- (1.564,3.682) -- (1.564,4.282) -- (0.964,4.282) -- cycle;
\node at (1.264,3.982) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.468,1.018) -- (4.068,1.018) -- (4.068,1.618) -- (3.468,1.618) -- cycle;
\node at (3.768,1.318) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.666,1.436) -- (9.266,1.436) -- (9.266,2.036) -- (8.666,2.036) -- cycle;
\node at (8.966,1.736) {\scalebox{1.43}{\small e}};
\node at (5.653,12.06) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (8.863,10.131) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (3.452,9.21) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,6.356) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (11.433,6.316) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (7.258,6.187) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (9.414,4.297) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (11.885,2.088) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (1.29,1.891) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\node at (6.841,0.95) {\scalebox{1.43}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,10.497) -- (12.683,11.597);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,11.212) -- (12.683,11.597) -- (12.914,11.212);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,11.047) -- (12.986,11.047);
\node at (12.683,11.982) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse Sainte-Anne & ⑨ rue Basse & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② venelle du Chat & ⑩ chemin Creux & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ chemin de Ronde & ⑪ allée des Tilleuls & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑫ rue du Puits & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑬ rue de l'Église & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{e} la salle des fêtes \\ \hline
⑥ boulevard du Parc & ⑭ rue de la Poste & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑦ rue des Jardins & ⑮ rue du Moulin & Ⓖ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑧ quai aux Fleurs &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓙ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.747,11.447) -- (5.585,11.277) -- (5.428,11.103) -- (5.274,10.926) -- (5.125,10.745) -- (4.98,10.56) -- (4.839,10.372) -- (4.703,10.181) -- (4.571,9.987) -- (4.444,9.79) -- (4.322,9.589) -- (4.204,9.386) -- (4.091,9.181) -- (3.983,8.972) -- (3.88,8.762);
\draw[line width=0.5pt] (8.568,9.586) -- (8.764,9.375) -- (8.954,9.16) -- (9.14,8.94) -- (9.32,8.716) -- (9.495,8.487) -- (9.664,8.255) -- (9.829,8.018) -- (9.987,7.778) -- (10.14,7.534) -- (10.287,7.287) -- (10.428,7.037) -- (10.563,6.783) -- (10.692,6.526) -- (10.815,6.266);
\draw[line width=0.5pt] (8.568,9.586) -- (8.395,9.349) -- (8.227,9.109) -- (8.065,8.864) -- (7.909,8.616) -- (7.759,8.364) -- (7.614,8.108) -- (7.476,7.849) -- (7.343,7.587) -- (7.217,7.322) -- (7.097,7.055) -- (6.984,6.784) -- (6.877,6.511) -- (6.776,6.235) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (3.88,8.762) -- (4.11,8.594) -- (4.335,8.42) -- (4.556,8.241) -- (4.773,8.057) -- (4.986,7.868) -- (5.194,7.674) -- (5.397,7.475) -- (5.596,7.272) -- (5.79,7.063) -- (5.979,6.851) -- (6.163,6.634) -- (6.341,6.412) -- (6.515,6.187) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.755,6.227) -- (2.129,6.153) -- (2.504,6.088) -- (2.881,6.031) -- (3.259,5.984) -- (3.638,5.945) -- (4.018,5.915) -- (4.399,5.894) -- (4.78,5.883) -- (5.161,5.88) -- (5.542,5.886) -- (5.923,5.901) -- (6.303,5.925) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.456,6.028) -- (1.522,5.744) -- (1.581,5.458) -- (1.633,5.172) -- (1.679,4.884) -- (1.718,4.594) -- (1.75,4.305) -- (1.775,4.014) -- (1.794,3.723) -- (1.805,3.431) -- (1.81,3.14) -- (1.808,2.848) -- (1.799,2.557) -- (1.783,2.266);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.31) -- (1.47,6.192) -- (1.559,6.077) -- (1.652,5.963) -- (1.746,5.852) -- (1.844,5.743) -- (1.944,5.636) -- (2.046,5.532) -- (2.151,5.43) -- (2.258,5.33) -- (2.368,5.233) -- (2.48,5.139) -- (2.594,5.047) -- (2.71,4.958) -- (2.828,4.872) -- (3.146,4.682) -- (3.46,4.484) -- (3.769,4.278) -- (4.074,4.066) -- (4.373,3.846) -- (4.667,3.619) -- (4.955,3.385) -- (5.238,3.145) -- (5.516,2.898) -- (5.787,2.644) -- (6.053,2.385) -- (6.312,2.119) -- (6.564,1.847) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.525,6.199) -- (10.234,6.139) -- (9.942,6.085) -- (9.648,6.039) -- (9.353,6.0) -- (9.058,5.967) -- (8.761,5.941) -- (8.464,5.923) -- (8.167,5.911) -- (7.87,5.906) -- (7.573,5.909) -- (7.275,5.918) -- (6.979,5.934) -- (6.682,5.958);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.659,6.17) -- (10.506,6.069) -- (10.355,5.966) -- (10.207,5.859) -- (10.061,5.748) -- (9.918,5.634) -- (9.777,5.516) -- (9.64,5.395) -- (9.505,5.271) -- (9.373,5.144) -- (9.244,5.014) -- (9.118,4.881) -- (8.996,4.745) -- (8.877,4.606);
\draw[line width=0.5pt] (10.815,6.266) -- (10.897,6.002) -- (10.973,5.736) -- (11.042,5.468) -- (11.105,5.199) -- (11.162,4.928) -- (11.212,4.655) -- (11.256,4.382) -- (11.294,4.108) -- (11.325,3.833) -- (11.35,3.557) -- (11.368,3.281) -- (11.38,3.004) -- (11.385,2.728) -- (11.383,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,5.958) -- (6.823,5.838) -- (6.967,5.722) -- (7.113,5.608) -- (7.262,5.499) -- (7.413,5.393) -- (7.567,5.29) -- (7.724,5.192) -- (7.882,5.096) -- (8.043,5.005) -- (8.206,4.917) -- (8.371,4.834) -- (8.538,4.754) -- (8.706,4.678) -- (8.877,4.606);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,5.958) -- (6.739,5.648) -- (6.789,5.337) -- (6.832,5.025) -- (6.867,4.712) -- (6.894,4.398) -- (6.915,4.084) -- (6.927,3.769) -- (6.933,3.454) -- (6.931,3.139) -- (6.922,2.824) -- (6.905,2.509) -- (6.881,2.195) -- (6.849,1.882) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (8.877,4.606) -- (9.031,4.426) -- (9.189,4.25) -- (9.352,4.077) -- (9.518,3.908) -- (9.689,3.743) -- (9.863,3.582) -- (10.041,3.425) -- (10.223,3.273) -- (10.408,3.125) -- (10.597,2.981) -- (10.789,2.841) -- (10.984,2.707) -- (11.182,2.577) -- (11.383,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (8.877,4.606) -- (8.764,4.369) -- (8.645,4.133) -- (8.52,3.901) -- (8.39,3.672) -- (8.255,3.445) -- (8.115,3.222) -- (7.969,3.003) -- (7.818,2.786) -- (7.662,2.574) -- (7.501,2.365) -- (7.336,2.16) -- (7.165,1.959) -- (6.99,1.762) -- (6.81,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.783,2.266) -- (2.132,2.162) -- (2.483,2.066) -- (2.836,1.978) -- (3.192,1.898) -- (3.549,1.827) -- (3.908,1.765) -- (4.268,1.71) -- (4.629,1.665) -- (4.992,1.627) -- (5.355,1.598) -- (5.719,1.578) -- (6.083,1.567) -- (6.447,1.564) -- (6.81,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.907,11.447) -- (5.885,11.527) -- (5.827,11.586) -- (5.747,11.607) -- (5.667,11.586) -- (5.608,11.527) -- (5.587,11.447) -- (5.608,11.367) -- (5.667,11.308) -- (5.747,11.287) -- (5.827,11.308) -- (5.885,11.367) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.728,9.586) -- (8.707,9.666) -- (8.648,9.724) -- (8.568,9.746) -- (8.488,9.724) -- (8.43,9.666) -- (8.408,9.586) -- (8.43,9.506) -- (8.488,9.447) -- (8.568,9.426) -- (8.648,9.447) -- (8.707,9.506) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.04,8.762) -- (4.019,8.842) -- (3.96,8.9) -- (3.88,8.922) -- (3.8,8.9) -- (3.742,8.842) -- (3.72,8.762) -- (3.742,8.682) -- (3.8,8.623) -- (3.88,8.602) -- (3.96,8.623) -- (4.019,8.682) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.31) -- (1.522,6.39) -- (1.463,6.448) -- (1.383,6.47) -- (1.303,6.448) -- (1.245,6.39) -- (1.223,6.31) -- (1.245,6.23) -- (1.303,6.171) -- (1.383,6.15) -- (1.463,6.171) -- (1.522,6.23) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.975,6.266) -- (10.953,6.346) -- (10.895,6.405) -- (10.815,6.426) -- (10.735,6.405) -- (10.676,6.346) -- (10.655,6.266) -- (10.676,6.186) -- (10.735,6.127) -- (10.815,6.106) -- (10.895,6.127) -- (10.953,6.186) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.842,5.958) -- (6.821,6.038) -- (6.762,6.096) -- (6.682,6.118) -- (6.602,6.096) -- (6.544,6.038) -- (6.522,5.958) -- (6.544,5.878) -- (6.602,5.819) -- (6.682,5.798) -- (6.762,5.819) -- (6.821,5.878) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.037,4.606) -- (9.015,4.686) -- (8.957,4.745) -- (8.877,4.766) -- (8.797,4.745) -- (8.738,4.686) -- (8.717,4.606) -- (8.738,4.526) -- (8.797,4.468) -- (8.877,4.446) -- (8.957,4.468) -- (9.015,4.526) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,2.451) -- (11.522,2.531) -- (11.463,2.59) -- (11.383,2.611) -- (11.303,2.59) -- (11.245,2.531) -- (11.223,2.451) -- (11.245,2.371) -- (11.303,2.313) -- (11.383,2.291) -- (11.463,2.313) -- (11.522,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.943,2.266) -- (1.922,2.346) -- (1.863,2.405) -- (1.783,2.426) -- (1.703,2.405) -- (1.645,2.346) -- (1.623,2.266) -- (1.645,2.186) -- (1.703,2.128) -- (1.783,2.106) -- (1.863,2.128) -- (1.922,2.186) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.97,1.569) -- (6.949,1.649) -- (6.89,1.708) -- (6.81,1.729) -- (6.73,1.708) -- (6.672,1.649) -- (6.65,1.569) -- (6.672,1.489) -- (6.73,1.431) -- (6.81,1.409) -- (6.89,1.431) -- (6.949,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.306,9.999) -- (5.26,10.169) -- (5.136,10.293) -- (4.966,10.339) -- (4.796,10.293) -- (4.671,10.169) -- (4.626,9.999) -- (4.671,9.829) -- (4.796,9.704) -- (4.966,9.659) -- (5.136,9.704) -- (5.26,9.829) -- cycle;
\node at (4.966,9.999) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.434,8.198) -- (10.388,8.368) -- (10.264,8.492) -- (10.094,8.538) -- (9.924,8.492) -- (9.799,8.368) -- (9.754,8.198) -- (9.799,8.028) -- (9.924,7.903) -- (10.094,7.858) -- (10.264,7.903) -- (10.388,8.028) -- cycle;
\node at (10.094,8.198) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.1,7.702) -- (8.054,7.872) -- (7.93,7.996) -- (7.76,8.042) -- (7.59,7.996) -- (7.465,7.872) -- (7.42,7.702) -- (7.465,7.532) -- (7.59,7.407) -- (7.76,7.362) -- (7.93,7.407) -- (8.054,7.532) -- cycle;
\node at (7.76,7.702) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.963,7.701) -- (5.918,7.871) -- (5.793,7.996) -- (5.623,8.041) -- (5.453,7.996) -- (5.329,7.871) -- (5.283,7.701) -- (5.329,7.531) -- (5.453,7.407) -- (5.623,7.361) -- (5.793,7.407) -- (5.918,7.531) -- cycle;
\node at (5.623,7.701) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.38,6.234) -- (4.334,6.404) -- (4.21,6.529) -- (4.04,6.574) -- (3.87,6.529) -- (3.745,6.404) -- (3.7,6.234) -- (3.745,6.064) -- (3.87,5.94) -- (4.04,5.894) -- (4.21,5.94) -- (4.334,6.064) -- cycle;
\node at (4.04,6.234) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.408,4.336) -- (2.363,4.506) -- (2.238,4.63) -- (2.068,4.676) -- (1.898,4.63) -- (1.774,4.506) -- (1.728,4.336) -- (1.774,4.166) -- (1.898,4.042) -- (2.068,3.996) -- (2.238,4.042) -- (2.363,4.166) -- cycle;
\node at (2.068,4.336) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.339,5.143) -- (3.294,5.313) -- (3.169,5.437) -- (2.999,5.483) -- (2.829,5.437) -- (2.705,5.313) -- (2.659,5.143) -- (2.705,4.973) -- (2.829,4.848) -- (2.999,4.803) -- (3.169,4.848) -- (3.294,4.973) -- cycle;
\node at (2.999,5.143) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.125,5.622) -- (9.08,5.792) -- (8.955,5.917) -- (8.785,5.962) -- (8.615,5.917) -- (8.491,5.792) -- (8.445,5.622) -- (8.491,5.452) -- (8.615,5.328) -- (8.785,5.282) -- (8.955,5.328) -- (9.08,5.452) -- cycle;
\node at (8.785,5.622) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.325,5.273) -- (10.28,5.443) -- (10.155,5.567) -- (9.985,5.613) -- (9.815,5.567) -- (9.691,5.443) -- (9.645,5.273) -- (9.691,5.103) -- (9.815,4.979) -- (9.985,4.933) -- (10.155,4.979) -- (10.28,5.103) -- cycle;
\node at (9.985,5.273) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.913,4.429) -- (11.867,4.599) -- (11.743,4.724) -- (11.573,4.769) -- (11.403,4.724) -- (11.278,4.599) -- (11.233,4.429) -- (11.278,4.259) -- (11.403,4.135) -- (11.573,4.089) -- (11.743,4.135) -- (11.867,4.259) -- cycle;
\node at (11.573,4.429) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.232,5.464) -- (8.186,5.634) -- (8.062,5.758) -- (7.892,5.804) -- (7.722,5.758) -- (7.597,5.634) -- (7.552,5.464) -- (7.597,5.294) -- (7.722,5.17) -- (7.892,5.124) -- (8.062,5.17) -- (8.186,5.294) -- cycle;
\node at (7.892,5.464) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.587,3.778) -- (7.542,3.948) -- (7.417,4.073) -- (7.247,4.118) -- (7.077,4.073) -- (6.953,3.948) -- (6.907,3.778) -- (6.953,3.608) -- (7.077,3.484) -- (7.247,3.438) -- (7.417,3.484) -- (7.542,3.608) -- cycle;
\node at (7.247,3.778) {\scalebox{1.598}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.59,3.668) -- (10.544,3.838) -- (10.42,3.963) -- (10.25,4.008) -- (10.08,3.963) -- (9.955,3.838) -- (9.91,3.668) -- (9.955,3.498) -- (10.08,3.374) -- (10.25,3.328) -- (10.42,3.374) -- (10.544,3.498) -- cycle;
\node at (10.25,3.668) {\scalebox{1.598}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,2.823) -- (8.528,2.993) -- (8.403,3.117) -- (8.233,3.163) -- (8.063,3.117) -- (7.939,2.993) -- (7.893,2.823) -- (7.939,2.653) -- (8.063,2.528) -- (8.233,2.483) -- (8.403,2.528) -- (8.528,2.653) -- cycle;
\node at (8.233,2.823) {\scalebox{1.598}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.652,2.027) -- (4.606,2.197) -- (4.482,2.322) -- (4.312,2.367) -- (4.142,2.322) -- (4.018,2.197) -- (3.972,2.027) -- (4.018,1.857) -- (4.142,1.733) -- (4.312,1.687) -- (4.482,1.733) -- (4.606,1.857) -- cycle;
\node at (4.312,2.027) {\scalebox{1.598}{\small 15}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.083,6.01) -- (1.683,6.01) -- (1.683,6.61) -- (1.083,6.61) -- cycle;
\node at (1.383,6.31) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.679,6.394) -- (3.279,6.394) -- (3.279,6.994) -- (2.679,6.994) -- cycle;
\node at (2.979,6.694) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.964,3.682) -- (1.564,3.682) -- (1.564,4.282) -- (0.964,4.282) -- cycle;
\node at (1.264,3.982) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.468,1.018) -- (4.068,1.018) -- (4.068,1.618) -- (3.468,1.618) -- cycle;
\node at (3.768,1.318) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.666,1.436) -- (9.266,1.436) -- (9.266,2.036) -- (8.666,2.036) -- cycle;
\node at (8.966,1.736) {\scalebox{1.598}{\small e}};
\node at (5.653,12.06) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (8.863,10.131) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (3.452,9.21) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,6.356) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (11.433,6.316) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (7.258,6.187) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (9.414,4.297) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (11.885,2.088) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (1.29,1.891) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\node at (6.841,0.95) {\scalebox{1.598}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,10.497) -- (12.683,11.597);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,11.212) -- (12.683,11.597) -- (12.914,11.212);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,11.047) -- (12.986,11.047);
\node at (12.683,11.982) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I & \cellcolor{blue!7}\bfseries J \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 6 & 4 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 \(\times\) 15, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}, prend l'\textbf{avenue de la Gare ⑤} vers l'est et atteint Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ③}, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑪}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑩}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑬}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑭}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(J)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑮}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(J)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑫}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{impasse Sainte-Anne ①}, vers le nord-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
