\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 32}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=32}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0032}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6993, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.11,7.893) -- (10.778,7.902) -- (10.445,7.902) -- (10.113,7.895) -- (9.781,7.88) -- (9.449,7.857) -- (9.117,7.826) -- (8.787,7.787) -- (8.457,7.741) -- (8.129,7.687) -- (7.802,7.625) -- (7.477,7.556) -- (7.153,7.479) -- (6.832,7.394) -- (6.513,7.302) -- (6.441,7.249) -- (6.369,7.198) -- (6.295,7.148) -- (6.221,7.101) -- (6.145,7.055) -- (6.068,7.011) -- (5.99,6.968) -- (5.911,6.928) -- (5.831,6.889) -- (5.75,6.853) -- (5.669,6.818) -- (5.586,6.785) -- (5.503,6.754) -- (5.42,6.725);
\draw[line width=0.5pt] (11.11,7.893) -- (10.966,7.644) -- (10.816,7.397) -- (10.66,7.154) -- (10.499,6.915) -- (10.332,6.679) -- (10.159,6.448) -- (9.981,6.22) -- (9.798,5.997) -- (9.61,5.778) -- (9.416,5.564) -- (9.218,5.354) -- (9.014,5.15) -- (8.806,4.95) -- (8.594,4.755);
\draw[line width=0.5pt] (5.42,6.725) -- (5.107,6.598) -- (4.797,6.463) -- (4.491,6.32) -- (4.188,6.171) -- (3.889,6.014) -- (3.593,5.85) -- (3.301,5.68) -- (3.013,5.503) -- (2.73,5.318) -- (2.451,5.128) -- (2.176,4.931) -- (1.907,4.727) -- (1.642,4.517) -- (1.383,4.301);
\draw[line width=0.5pt] (5.42,6.725) -- (5.529,6.437) -- (5.632,6.146) -- (5.728,5.853) -- (5.817,5.557) -- (5.899,5.259) -- (5.974,4.96) -- (6.042,4.659) -- (6.103,4.356) -- (6.156,4.052) -- (6.203,3.747) -- (6.242,3.441) -- (6.275,3.134) -- (6.299,2.826) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (8.594,4.755) -- (8.77,4.589) -- (8.951,4.427) -- (9.136,4.27) -- (9.324,4.117) -- (9.515,3.968) -- (9.711,3.824) -- (9.909,3.685) -- (10.111,3.55) -- (10.316,3.42) -- (10.524,3.295) -- (10.735,3.175) -- (10.948,3.06) -- (11.164,2.95) -- (11.383,2.845);
\draw[line width=0.5pt] (8.594,4.755) -- (8.457,4.571) -- (8.316,4.391) -- (8.17,4.214) -- (8.02,4.041) -- (7.867,3.871) -- (7.709,3.705) -- (7.548,3.542) -- (7.382,3.384) -- (7.213,3.229) -- (7.041,3.079) -- (6.865,2.932) -- (6.685,2.79) -- (6.503,2.652) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,4.301) -- (1.713,4.121) -- (2.047,3.949) -- (2.386,3.784) -- (2.728,3.627) -- (3.074,3.479) -- (3.423,3.338) -- (3.776,3.206) -- (4.132,3.082) -- (4.49,2.967) -- (4.851,2.86) -- (5.215,2.761) -- (5.58,2.672) -- (5.948,2.59) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,2.845) -- (11.027,2.767) -- (10.67,2.697) -- (10.311,2.635) -- (9.951,2.582) -- (9.589,2.537) -- (9.227,2.501) -- (8.863,2.473) -- (8.499,2.454) -- (8.135,2.443) -- (7.771,2.441) -- (7.407,2.447) -- (7.043,2.462) -- (6.679,2.486) -- (6.317,2.518);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.27,7.893) -- (11.249,7.973) -- (11.19,8.032) -- (11.11,8.053) -- (11.03,8.032) -- (10.971,7.973) -- (10.95,7.893) -- (10.971,7.813) -- (11.03,7.755) -- (11.11,7.733) -- (11.19,7.755) -- (11.249,7.813) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.58,6.725) -- (5.558,6.805) -- (5.5,6.864) -- (5.42,6.885) -- (5.34,6.864) -- (5.281,6.805) -- (5.26,6.725) -- (5.281,6.645) -- (5.34,6.587) -- (5.42,6.565) -- (5.5,6.587) -- (5.558,6.645) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.754,4.755) -- (8.732,4.835) -- (8.674,4.893) -- (8.594,4.915) -- (8.514,4.893) -- (8.455,4.835) -- (8.434,4.755) -- (8.455,4.675) -- (8.514,4.616) -- (8.594,4.595) -- (8.674,4.616) -- (8.732,4.675) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,4.301) -- (1.521,4.381) -- (1.463,4.44) -- (1.383,4.461) -- (1.303,4.44) -- (1.244,4.381) -- (1.223,4.301) -- (1.244,4.221) -- (1.303,4.163) -- (1.383,4.141) -- (1.463,4.163) -- (1.521,4.221) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,2.845) -- (11.521,2.925) -- (11.463,2.984) -- (11.383,3.005) -- (11.303,2.984) -- (11.244,2.925) -- (11.223,2.845) -- (11.244,2.765) -- (11.303,2.707) -- (11.383,2.685) -- (11.463,2.707) -- (11.521,2.765) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.477,2.518) -- (6.456,2.598) -- (6.397,2.657) -- (6.317,2.678) -- (6.237,2.657) -- (6.178,2.598) -- (6.157,2.518) -- (6.178,2.438) -- (6.237,2.38) -- (6.317,2.358) -- (6.397,2.38) -- (6.456,2.438) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.964,7.002) -- (6.918,7.172) -- (6.794,7.296) -- (6.624,7.342) -- (6.454,7.296) -- (6.33,7.172) -- (6.284,7.002) -- (6.33,6.832) -- (6.454,6.707) -- (6.624,6.662) -- (6.794,6.707) -- (6.918,6.832) -- cycle;
\node at (6.624,7.002) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.571,6.02) -- (10.525,6.19) -- (10.401,6.315) -- (10.231,6.36) -- (10.061,6.315) -- (9.937,6.19) -- (9.891,6.02) -- (9.937,5.85) -- (10.061,5.726) -- (10.231,5.68) -- (10.401,5.726) -- (10.525,5.85) -- cycle;
\node at (10.231,6.02) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.806,5.406) -- (3.76,5.576) -- (3.636,5.7) -- (3.466,5.746) -- (3.296,5.7) -- (3.171,5.576) -- (3.126,5.406) -- (3.171,5.236) -- (3.296,5.111) -- (3.466,5.066) -- (3.636,5.111) -- (3.76,5.236) -- cycle;
\node at (3.466,5.406) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.695,4.725) -- (6.649,4.895) -- (6.525,5.02) -- (6.355,5.065) -- (6.185,5.02) -- (6.06,4.895) -- (6.015,4.725) -- (6.06,4.555) -- (6.185,4.431) -- (6.355,4.385) -- (6.525,4.431) -- (6.649,4.555) -- cycle;
\node at (6.355,4.725) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.43,3.949) -- (10.385,4.119) -- (10.26,4.243) -- (10.09,4.289) -- (9.92,4.243) -- (9.796,4.119) -- (9.75,3.949) -- (9.796,3.779) -- (9.92,3.655) -- (10.09,3.609) -- (10.26,3.655) -- (10.385,3.779) -- cycle;
\node at (10.09,3.949) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.112,3.314) -- (8.066,3.484) -- (7.942,3.609) -- (7.772,3.654) -- (7.602,3.609) -- (7.477,3.484) -- (7.432,3.314) -- (7.477,3.144) -- (7.602,3.02) -- (7.772,2.974) -- (7.942,3.02) -- (8.066,3.144) -- cycle;
\node at (7.772,3.314) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.225,3.507) -- (4.179,3.677) -- (4.055,3.802) -- (3.885,3.847) -- (3.715,3.802) -- (3.59,3.677) -- (3.545,3.507) -- (3.59,3.337) -- (3.715,3.213) -- (3.885,3.167) -- (4.055,3.213) -- (4.179,3.337) -- cycle;
\node at (3.885,3.507) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.224,2.153) -- (9.178,2.323) -- (9.054,2.448) -- (8.884,2.493) -- (8.714,2.448) -- (8.589,2.323) -- (8.544,2.153) -- (8.589,1.983) -- (8.714,1.859) -- (8.884,1.813) -- (9.054,1.859) -- (9.178,1.983) -- cycle;
\node at (8.884,2.153) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.017,2.218) -- (6.617,2.218) -- (6.617,2.818) -- (6.017,2.818) -- cycle;
\node at (6.317,2.518) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.189,5.015) -- (2.789,5.015) -- (2.789,5.615) -- (2.189,5.615) -- cycle;
\node at (2.489,5.315) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.11,0.65) -- (9.71,0.65) -- (9.71,1.25) -- (9.11,1.25) -- cycle;
\node at (9.41,0.95) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.633,2.85) -- (8.233,2.85) -- (8.233,3.45) -- (7.633,3.45) -- cycle;
\node at (7.933,3.15) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (11.59,8.285) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (4.974,7.157) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (9.212,4.712) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,4.246) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (11.938,2.569) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (6.061,1.953) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,6.943) -- (12.683,8.043);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,7.658) -- (12.683,8.043) -- (12.914,7.658);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.493) -- (12.985,7.493);
\node at (12.683,8.428) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑤ rue Basse & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑥ avenue de la Gare & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue du Four & ⑦ rue du Pont & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑧ chemin de Ronde & Ⓓ Fontaine Notre-Dame & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
 &  & Ⓔ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.11,7.893) -- (10.778,7.902) -- (10.445,7.902) -- (10.113,7.895) -- (9.781,7.88) -- (9.449,7.857) -- (9.117,7.826) -- (8.787,7.787) -- (8.457,7.741) -- (8.129,7.687) -- (7.802,7.625) -- (7.477,7.556) -- (7.153,7.479) -- (6.832,7.394) -- (6.513,7.302) -- (6.441,7.249) -- (6.369,7.198) -- (6.295,7.148) -- (6.221,7.101) -- (6.145,7.055) -- (6.068,7.011) -- (5.99,6.968) -- (5.911,6.928) -- (5.831,6.889) -- (5.75,6.853) -- (5.669,6.818) -- (5.586,6.785) -- (5.503,6.754) -- (5.42,6.725);
\draw[line width=0.5pt] (11.11,7.893) -- (10.966,7.644) -- (10.816,7.397) -- (10.66,7.154) -- (10.499,6.915) -- (10.332,6.679) -- (10.159,6.448) -- (9.981,6.22) -- (9.798,5.997) -- (9.61,5.778) -- (9.416,5.564) -- (9.218,5.354) -- (9.014,5.15) -- (8.806,4.95) -- (8.594,4.755);
\draw[line width=0.5pt] (5.42,6.725) -- (5.107,6.598) -- (4.797,6.463) -- (4.491,6.32) -- (4.188,6.171) -- (3.889,6.014) -- (3.593,5.85) -- (3.301,5.68) -- (3.013,5.503) -- (2.73,5.318) -- (2.451,5.128) -- (2.176,4.931) -- (1.907,4.727) -- (1.642,4.517) -- (1.383,4.301);
\draw[line width=0.5pt] (5.42,6.725) -- (5.529,6.437) -- (5.632,6.146) -- (5.728,5.853) -- (5.817,5.557) -- (5.899,5.259) -- (5.974,4.96) -- (6.042,4.659) -- (6.103,4.356) -- (6.156,4.052) -- (6.203,3.747) -- (6.242,3.441) -- (6.275,3.134) -- (6.299,2.826) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (8.594,4.755) -- (8.77,4.589) -- (8.951,4.427) -- (9.136,4.27) -- (9.324,4.117) -- (9.515,3.968) -- (9.711,3.824) -- (9.909,3.685) -- (10.111,3.55) -- (10.316,3.42) -- (10.524,3.295) -- (10.735,3.175) -- (10.948,3.06) -- (11.164,2.95) -- (11.383,2.845);
\draw[line width=0.5pt] (8.594,4.755) -- (8.457,4.571) -- (8.316,4.391) -- (8.17,4.214) -- (8.02,4.041) -- (7.867,3.871) -- (7.709,3.705) -- (7.548,3.542) -- (7.382,3.384) -- (7.213,3.229) -- (7.041,3.079) -- (6.865,2.932) -- (6.685,2.79) -- (6.503,2.652) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,4.301) -- (1.713,4.121) -- (2.047,3.949) -- (2.386,3.784) -- (2.728,3.627) -- (3.074,3.479) -- (3.423,3.338) -- (3.776,3.206) -- (4.132,3.082) -- (4.49,2.967) -- (4.851,2.86) -- (5.215,2.761) -- (5.58,2.672) -- (5.948,2.59) -- (6.317,2.518);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,2.845) -- (11.027,2.767) -- (10.67,2.697) -- (10.311,2.635) -- (9.951,2.582) -- (9.589,2.537) -- (9.227,2.501) -- (8.863,2.473) -- (8.499,2.454) -- (8.135,2.443) -- (7.771,2.441) -- (7.407,2.447) -- (7.043,2.462) -- (6.679,2.486) -- (6.317,2.518);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.27,7.893) -- (11.249,7.973) -- (11.19,8.032) -- (11.11,8.053) -- (11.03,8.032) -- (10.971,7.973) -- (10.95,7.893) -- (10.971,7.813) -- (11.03,7.755) -- (11.11,7.733) -- (11.19,7.755) -- (11.249,7.813) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.58,6.725) -- (5.558,6.805) -- (5.5,6.864) -- (5.42,6.885) -- (5.34,6.864) -- (5.281,6.805) -- (5.26,6.725) -- (5.281,6.645) -- (5.34,6.587) -- (5.42,6.565) -- (5.5,6.587) -- (5.558,6.645) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.754,4.755) -- (8.732,4.835) -- (8.674,4.893) -- (8.594,4.915) -- (8.514,4.893) -- (8.455,4.835) -- (8.434,4.755) -- (8.455,4.675) -- (8.514,4.616) -- (8.594,4.595) -- (8.674,4.616) -- (8.732,4.675) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,4.301) -- (1.521,4.381) -- (1.463,4.44) -- (1.383,4.461) -- (1.303,4.44) -- (1.244,4.381) -- (1.223,4.301) -- (1.244,4.221) -- (1.303,4.163) -- (1.383,4.141) -- (1.463,4.163) -- (1.521,4.221) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,2.845) -- (11.521,2.925) -- (11.463,2.984) -- (11.383,3.005) -- (11.303,2.984) -- (11.244,2.925) -- (11.223,2.845) -- (11.244,2.765) -- (11.303,2.707) -- (11.383,2.685) -- (11.463,2.707) -- (11.521,2.765) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.477,2.518) -- (6.456,2.598) -- (6.397,2.657) -- (6.317,2.678) -- (6.237,2.657) -- (6.178,2.598) -- (6.157,2.518) -- (6.178,2.438) -- (6.237,2.38) -- (6.317,2.358) -- (6.397,2.38) -- (6.456,2.438) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.964,7.002) -- (6.918,7.172) -- (6.794,7.296) -- (6.624,7.342) -- (6.454,7.296) -- (6.33,7.172) -- (6.284,7.002) -- (6.33,6.832) -- (6.454,6.707) -- (6.624,6.662) -- (6.794,6.707) -- (6.918,6.832) -- cycle;
\node at (6.624,7.002) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.571,6.02) -- (10.525,6.19) -- (10.401,6.315) -- (10.231,6.36) -- (10.061,6.315) -- (9.937,6.19) -- (9.891,6.02) -- (9.937,5.85) -- (10.061,5.726) -- (10.231,5.68) -- (10.401,5.726) -- (10.525,5.85) -- cycle;
\node at (10.231,6.02) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.806,5.406) -- (3.76,5.576) -- (3.636,5.7) -- (3.466,5.746) -- (3.296,5.7) -- (3.171,5.576) -- (3.126,5.406) -- (3.171,5.236) -- (3.296,5.111) -- (3.466,5.066) -- (3.636,5.111) -- (3.76,5.236) -- cycle;
\node at (3.466,5.406) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.695,4.725) -- (6.649,4.895) -- (6.525,5.02) -- (6.355,5.065) -- (6.185,5.02) -- (6.06,4.895) -- (6.015,4.725) -- (6.06,4.555) -- (6.185,4.431) -- (6.355,4.385) -- (6.525,4.431) -- (6.649,4.555) -- cycle;
\node at (6.355,4.725) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.43,3.949) -- (10.385,4.119) -- (10.26,4.243) -- (10.09,4.289) -- (9.92,4.243) -- (9.796,4.119) -- (9.75,3.949) -- (9.796,3.779) -- (9.92,3.655) -- (10.09,3.609) -- (10.26,3.655) -- (10.385,3.779) -- cycle;
\node at (10.09,3.949) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.112,3.314) -- (8.066,3.484) -- (7.942,3.609) -- (7.772,3.654) -- (7.602,3.609) -- (7.477,3.484) -- (7.432,3.314) -- (7.477,3.144) -- (7.602,3.02) -- (7.772,2.974) -- (7.942,3.02) -- (8.066,3.144) -- cycle;
\node at (7.772,3.314) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.225,3.507) -- (4.179,3.677) -- (4.055,3.802) -- (3.885,3.847) -- (3.715,3.802) -- (3.59,3.677) -- (3.545,3.507) -- (3.59,3.337) -- (3.715,3.213) -- (3.885,3.167) -- (4.055,3.213) -- (4.179,3.337) -- cycle;
\node at (3.885,3.507) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.224,2.153) -- (9.178,2.323) -- (9.054,2.448) -- (8.884,2.493) -- (8.714,2.448) -- (8.589,2.323) -- (8.544,2.153) -- (8.589,1.983) -- (8.714,1.859) -- (8.884,1.813) -- (9.054,1.859) -- (9.178,1.983) -- cycle;
\node at (8.884,2.153) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.017,2.218) -- (6.617,2.218) -- (6.617,2.818) -- (6.017,2.818) -- cycle;
\node at (6.317,2.518) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.189,5.015) -- (2.789,5.015) -- (2.789,5.615) -- (2.189,5.615) -- cycle;
\node at (2.489,5.315) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.11,0.65) -- (9.71,0.65) -- (9.71,1.25) -- (9.11,1.25) -- cycle;
\node at (9.41,0.95) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.633,2.85) -- (8.233,2.85) -- (8.233,3.45) -- (7.633,3.45) -- cycle;
\node at (7.933,3.15) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (11.59,8.285) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (4.974,7.157) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (9.212,4.712) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,4.246) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (11.938,2.569) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (6.061,1.953) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,6.943) -- (12.683,8.043);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,7.658) -- (12.683,8.043) -- (12.914,7.658);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,7.493) -- (12.985,7.493);
\node at (12.683,8.428) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{C} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{F}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{C}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue de la Mairie ①} vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\end{document}
