\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 321}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=321}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0321}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7347, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.47,11.57) -- (2.656,11.443) -- (2.846,11.321) -- (3.038,11.203) -- (3.233,11.09) -- (3.431,10.981) -- (3.631,10.877) -- (3.833,10.778) -- (4.038,10.684) -- (4.245,10.594) -- (4.454,10.509) -- (4.665,10.43) -- (4.878,10.355) -- (5.092,10.285) -- (5.308,10.221);
\draw[line width=0.5pt] (2.47,11.57) -- (2.452,11.171) -- (2.424,10.773) -- (2.387,10.376) -- (2.34,9.979) -- (2.284,9.584) -- (2.219,9.19) -- (2.145,8.797) -- (2.061,8.407) -- (1.968,8.018) -- (1.867,7.632) -- (1.756,7.249) -- (1.636,6.868) -- (1.507,6.49) -- (1.369,6.116);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.072,10.8) -- (8.778,10.797) -- (8.484,10.786) -- (8.191,10.769) -- (7.898,10.745) -- (7.605,10.714) -- (7.313,10.676) -- (7.022,10.631) -- (6.733,10.58) -- (6.444,10.521) -- (6.157,10.456) -- (5.872,10.384) -- (5.589,10.306) -- (5.308,10.221);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.206,10.464) -- (9.037,10.135) -- (8.861,9.81) -- (8.677,9.49) -- (8.486,9.174) -- (8.288,8.862) -- (8.082,8.555) -- (7.868,8.253) -- (7.648,7.956) -- (7.421,7.664) -- (7.188,7.378) -- (6.947,7.098) -- (6.7,6.823) -- (6.447,6.554);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.35,10.491) -- (9.342,10.186) -- (9.34,9.88) -- (9.346,9.574) -- (9.359,9.269) -- (9.379,8.964) -- (9.406,8.659) -- (9.441,8.355) -- (9.482,8.052) -- (9.531,7.75) -- (9.587,7.45) -- (9.649,7.15) -- (9.719,6.853) -- (9.796,6.557) -- (9.898,6.333) -- (9.995,6.107) -- (10.087,5.878) -- (10.173,5.647) -- (10.254,5.414) -- (10.329,5.179) -- (10.399,4.943) -- (10.463,4.704) -- (10.521,4.465) -- (10.574,4.224) -- (10.621,3.982) -- (10.663,3.739) -- (10.698,3.495) -- (10.728,3.251);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.092,6.468) -- (5.735,6.39) -- (5.376,6.32) -- (5.016,6.258) -- (4.654,6.206) -- (4.29,6.161) -- (3.926,6.126) -- (3.562,6.098) -- (3.196,6.08) -- (2.831,6.07) -- (2.465,6.068) -- (2.099,6.075) -- (1.734,6.091) -- (1.369,6.116);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.714,6.273) -- (6.988,5.999) -- (7.269,5.731) -- (7.555,5.469) -- (7.848,5.215) -- (8.147,4.967) -- (8.451,4.726) -- (8.761,4.493) -- (9.077,4.266) -- (9.397,4.048) -- (9.723,3.837) -- (10.054,3.634) -- (10.389,3.438) -- (10.728,3.251);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.452,6.193) -- (6.448,5.832) -- (6.435,5.471) -- (6.414,5.111) -- (6.385,4.751) -- (6.347,4.391) -- (6.301,4.033) -- (6.246,3.676) -- (6.183,3.32) -- (6.111,2.966) -- (6.032,2.613) -- (5.944,2.263) -- (5.847,1.915) -- (5.743,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.728,3.251) -- (10.356,3.186) -- (9.986,3.113) -- (9.618,3.031) -- (9.251,2.94) -- (8.887,2.84) -- (8.525,2.732) -- (8.166,2.616) -- (7.81,2.491) -- (7.456,2.358) -- (7.106,2.216) -- (6.76,2.067) -- (6.417,1.909) -- (6.078,1.743) -- (5.743,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.63,11.57) -- (2.609,11.65) -- (2.55,11.708) -- (2.47,11.73) -- (2.39,11.708) -- (2.332,11.65) -- (2.31,11.57) -- (2.332,11.49) -- (2.39,11.431) -- (2.47,11.41) -- (2.55,11.431) -- (2.609,11.49) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.526,10.796) -- (9.505,10.876) -- (9.446,10.935) -- (9.366,10.956) -- (9.286,10.935) -- (9.228,10.876) -- (9.206,10.796) -- (9.228,10.716) -- (9.286,10.658) -- (9.366,10.636) -- (9.446,10.658) -- (9.505,10.716) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.468,10.221) -- (5.446,10.301) -- (5.388,10.359) -- (5.308,10.381) -- (5.228,10.359) -- (5.169,10.301) -- (5.148,10.221) -- (5.169,10.141) -- (5.228,10.082) -- (5.308,10.061) -- (5.388,10.082) -- (5.446,10.141) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.607,6.554) -- (6.586,6.634) -- (6.527,6.693) -- (6.447,6.714) -- (6.367,6.693) -- (6.308,6.634) -- (6.287,6.554) -- (6.308,6.474) -- (6.367,6.416) -- (6.447,6.394) -- (6.527,6.416) -- (6.586,6.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,6.116) -- (1.508,6.196) -- (1.449,6.254) -- (1.369,6.276) -- (1.289,6.254) -- (1.231,6.196) -- (1.209,6.116) -- (1.231,6.036) -- (1.289,5.977) -- (1.369,5.956) -- (1.449,5.977) -- (1.508,6.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.888,3.251) -- (10.867,3.331) -- (10.808,3.39) -- (10.728,3.411) -- (10.648,3.39) -- (10.59,3.331) -- (10.568,3.251) -- (10.59,3.171) -- (10.648,3.112) -- (10.728,3.091) -- (10.808,3.112) -- (10.867,3.171) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.903,1.57) -- (5.881,1.65) -- (5.823,1.708) -- (5.743,1.73) -- (5.663,1.708) -- (5.604,1.65) -- (5.583,1.57) -- (5.604,1.49) -- (5.663,1.431) -- (5.743,1.41) -- (5.823,1.431) -- (5.881,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.311,11.067) -- (4.265,11.237) -- (4.141,11.362) -- (3.971,11.407) -- (3.801,11.362) -- (3.676,11.237) -- (3.631,11.067) -- (3.676,10.897) -- (3.801,10.773) -- (3.971,10.727) -- (4.141,10.773) -- (4.265,10.897) -- cycle;
\node at (3.971,11.067) {\scalebox{1.361}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.798,8.734) -- (2.753,8.904) -- (2.628,9.028) -- (2.458,9.074) -- (2.288,9.028) -- (2.164,8.904) -- (2.118,8.734) -- (2.164,8.564) -- (2.288,8.44) -- (2.458,8.394) -- (2.628,8.44) -- (2.753,8.564) -- cycle;
\node at (2.458,8.734) {\scalebox{1.361}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.698,10.359) -- (7.653,10.529) -- (7.528,10.653) -- (7.358,10.699) -- (7.188,10.653) -- (7.064,10.529) -- (7.018,10.359) -- (7.064,10.189) -- (7.188,10.065) -- (7.358,10.019) -- (7.528,10.065) -- (7.653,10.189) -- cycle;
\node at (7.358,10.359) {\scalebox{1.361}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.685,8.374) -- (8.64,8.544) -- (8.515,8.668) -- (8.345,8.714) -- (8.175,8.668) -- (8.051,8.544) -- (8.005,8.374) -- (8.051,8.204) -- (8.175,8.079) -- (8.345,8.034) -- (8.515,8.079) -- (8.64,8.204) -- cycle;
\node at (8.345,8.374) {\scalebox{1.361}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.439,6.661) -- (10.393,6.831) -- (10.269,6.956) -- (10.099,7.001) -- (9.929,6.956) -- (9.804,6.831) -- (9.759,6.661) -- (9.804,6.491) -- (9.929,6.367) -- (10.099,6.321) -- (10.269,6.367) -- (10.393,6.491) -- cycle;
\node at (10.099,6.661) {\scalebox{1.361}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.294,5.807) -- (4.248,5.977) -- (4.124,6.101) -- (3.954,6.147) -- (3.784,6.101) -- (3.659,5.977) -- (3.614,5.807) -- (3.659,5.637) -- (3.784,5.512) -- (3.954,5.467) -- (4.124,5.512) -- (4.248,5.637) -- cycle;
\node at (3.954,5.807) {\scalebox{1.361}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.987,4.979) -- (8.941,5.149) -- (8.817,5.274) -- (8.647,5.319) -- (8.477,5.274) -- (8.352,5.149) -- (8.307,4.979) -- (8.352,4.809) -- (8.477,4.685) -- (8.647,4.639) -- (8.817,4.685) -- (8.941,4.809) -- cycle;
\node at (8.647,4.979) {\scalebox{1.361}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.957,3.988) -- (6.912,4.158) -- (6.787,4.283) -- (6.617,4.328) -- (6.447,4.283) -- (6.323,4.158) -- (6.277,3.988) -- (6.323,3.818) -- (6.447,3.694) -- (6.617,3.648) -- (6.787,3.694) -- (6.912,3.818) -- cycle;
\node at (6.617,3.988) {\scalebox{1.361}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.608,2.313) -- (8.563,2.483) -- (8.438,2.607) -- (8.268,2.653) -- (8.098,2.607) -- (7.974,2.483) -- (7.928,2.313) -- (7.974,2.143) -- (8.098,2.018) -- (8.268,1.973) -- (8.438,2.018) -- (8.563,2.143) -- cycle;
\node at (8.268,2.313) {\scalebox{1.361}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.147,6.254) -- (6.747,6.254) -- (6.747,6.854) -- (6.147,6.854) -- cycle;
\node at (6.447,6.554) {\scalebox{1.361}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.25,8.366) -- (9.85,8.366) -- (9.85,8.966) -- (9.25,8.966) -- cycle;
\node at (9.55,8.666) {\scalebox{1.361}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.391,4.234) -- (9.991,4.234) -- (9.991,4.834) -- (9.391,4.834) -- cycle;
\node at (9.691,4.534) {\scalebox{1.361}{\small c}};
\node at (2.089,12.058) {\scalebox{1.361}{\small A}};
\node at (9.792,11.247) {\scalebox{1.361}{\small B}};
\node at (5.187,10.829) {\scalebox{1.361}{\small C}};
\node at (6.857,6.089) {\scalebox{1.361}{\small D}};
\node at (0.765,5.978) {\scalebox{1.361}{\small E}};
\node at (11.21,2.86) {\scalebox{1.361}{\small F}};
\node at (5.723,0.95) {\scalebox{1.361}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.028,10.62) -- (12.028,11.72);
\draw[line width=0.5pt] (11.797,11.335) -- (12.028,11.72) -- (12.259,11.335);
\draw[line width=0.5pt] (11.726,11.17) -- (12.331,11.17);
\node at (12.028,12.105) {\scalebox{1.361}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑥ rue de la Mairie & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑦ rue de l'Église & Ⓑ Rond-point de la Poste & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue Verte & ⑧ rue Haute & Ⓒ Place du Vieux-Puits & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue du Puits & ⑨ rue des Jardins & Ⓓ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑤ rue du Moulin &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6574, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.47,11.57) -- (2.656,11.443) -- (2.846,11.321) -- (3.038,11.203) -- (3.233,11.09) -- (3.431,10.981) -- (3.631,10.877) -- (3.833,10.778) -- (4.038,10.684) -- (4.245,10.594) -- (4.454,10.509) -- (4.665,10.43) -- (4.878,10.355) -- (5.092,10.285) -- (5.308,10.221);
\draw[line width=0.5pt] (2.47,11.57) -- (2.452,11.171) -- (2.424,10.773) -- (2.387,10.376) -- (2.34,9.979) -- (2.284,9.584) -- (2.219,9.19) -- (2.145,8.797) -- (2.061,8.407) -- (1.968,8.018) -- (1.867,7.632) -- (1.756,7.249) -- (1.636,6.868) -- (1.507,6.49) -- (1.369,6.116);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.072,10.8) -- (8.778,10.797) -- (8.484,10.786) -- (8.191,10.769) -- (7.898,10.745) -- (7.605,10.714) -- (7.313,10.676) -- (7.022,10.631) -- (6.733,10.58) -- (6.444,10.521) -- (6.157,10.456) -- (5.872,10.384) -- (5.589,10.306) -- (5.308,10.221);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.206,10.464) -- (9.037,10.135) -- (8.861,9.81) -- (8.677,9.49) -- (8.486,9.174) -- (8.288,8.862) -- (8.082,8.555) -- (7.868,8.253) -- (7.648,7.956) -- (7.421,7.664) -- (7.188,7.378) -- (6.947,7.098) -- (6.7,6.823) -- (6.447,6.554);
\draw[line width=0.5pt] (9.366,10.796) -- (9.35,10.491) -- (9.342,10.186) -- (9.34,9.88) -- (9.346,9.574) -- (9.359,9.269) -- (9.379,8.964) -- (9.406,8.659) -- (9.441,8.355) -- (9.482,8.052) -- (9.531,7.75) -- (9.587,7.45) -- (9.649,7.15) -- (9.719,6.853) -- (9.796,6.557) -- (9.898,6.333) -- (9.995,6.107) -- (10.087,5.878) -- (10.173,5.647) -- (10.254,5.414) -- (10.329,5.179) -- (10.399,4.943) -- (10.463,4.704) -- (10.521,4.465) -- (10.574,4.224) -- (10.621,3.982) -- (10.663,3.739) -- (10.698,3.495) -- (10.728,3.251);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.092,6.468) -- (5.735,6.39) -- (5.376,6.32) -- (5.016,6.258) -- (4.654,6.206) -- (4.29,6.161) -- (3.926,6.126) -- (3.562,6.098) -- (3.196,6.08) -- (2.831,6.07) -- (2.465,6.068) -- (2.099,6.075) -- (1.734,6.091) -- (1.369,6.116);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.714,6.273) -- (6.988,5.999) -- (7.269,5.731) -- (7.555,5.469) -- (7.848,5.215) -- (8.147,4.967) -- (8.451,4.726) -- (8.761,4.493) -- (9.077,4.266) -- (9.397,4.048) -- (9.723,3.837) -- (10.054,3.634) -- (10.389,3.438) -- (10.728,3.251);
\draw[line width=0.5pt] (6.447,6.554) -- (6.452,6.193) -- (6.448,5.832) -- (6.435,5.471) -- (6.414,5.111) -- (6.385,4.751) -- (6.347,4.391) -- (6.301,4.033) -- (6.246,3.676) -- (6.183,3.32) -- (6.111,2.966) -- (6.032,2.613) -- (5.944,2.263) -- (5.847,1.915) -- (5.743,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.728,3.251) -- (10.356,3.186) -- (9.986,3.113) -- (9.618,3.031) -- (9.251,2.94) -- (8.887,2.84) -- (8.525,2.732) -- (8.166,2.616) -- (7.81,2.491) -- (7.456,2.358) -- (7.106,2.216) -- (6.76,2.067) -- (6.417,1.909) -- (6.078,1.743) -- (5.743,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.63,11.57) -- (2.609,11.65) -- (2.55,11.708) -- (2.47,11.73) -- (2.39,11.708) -- (2.332,11.65) -- (2.31,11.57) -- (2.332,11.49) -- (2.39,11.431) -- (2.47,11.41) -- (2.55,11.431) -- (2.609,11.49) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.526,10.796) -- (9.505,10.876) -- (9.446,10.935) -- (9.366,10.956) -- (9.286,10.935) -- (9.228,10.876) -- (9.206,10.796) -- (9.228,10.716) -- (9.286,10.658) -- (9.366,10.636) -- (9.446,10.658) -- (9.505,10.716) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.468,10.221) -- (5.446,10.301) -- (5.388,10.359) -- (5.308,10.381) -- (5.228,10.359) -- (5.169,10.301) -- (5.148,10.221) -- (5.169,10.141) -- (5.228,10.082) -- (5.308,10.061) -- (5.388,10.082) -- (5.446,10.141) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.607,6.554) -- (6.586,6.634) -- (6.527,6.693) -- (6.447,6.714) -- (6.367,6.693) -- (6.308,6.634) -- (6.287,6.554) -- (6.308,6.474) -- (6.367,6.416) -- (6.447,6.394) -- (6.527,6.416) -- (6.586,6.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,6.116) -- (1.508,6.196) -- (1.449,6.254) -- (1.369,6.276) -- (1.289,6.254) -- (1.231,6.196) -- (1.209,6.116) -- (1.231,6.036) -- (1.289,5.977) -- (1.369,5.956) -- (1.449,5.977) -- (1.508,6.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.888,3.251) -- (10.867,3.331) -- (10.808,3.39) -- (10.728,3.411) -- (10.648,3.39) -- (10.59,3.331) -- (10.568,3.251) -- (10.59,3.171) -- (10.648,3.112) -- (10.728,3.091) -- (10.808,3.112) -- (10.867,3.171) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.903,1.57) -- (5.881,1.65) -- (5.823,1.708) -- (5.743,1.73) -- (5.663,1.708) -- (5.604,1.65) -- (5.583,1.57) -- (5.604,1.49) -- (5.663,1.431) -- (5.743,1.41) -- (5.823,1.431) -- (5.881,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.311,11.067) -- (4.265,11.237) -- (4.141,11.362) -- (3.971,11.407) -- (3.801,11.362) -- (3.676,11.237) -- (3.631,11.067) -- (3.676,10.897) -- (3.801,10.773) -- (3.971,10.727) -- (4.141,10.773) -- (4.265,10.897) -- cycle;
\node at (3.971,11.067) {\scalebox{1.521}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.798,8.734) -- (2.753,8.904) -- (2.628,9.028) -- (2.458,9.074) -- (2.288,9.028) -- (2.164,8.904) -- (2.118,8.734) -- (2.164,8.564) -- (2.288,8.44) -- (2.458,8.394) -- (2.628,8.44) -- (2.753,8.564) -- cycle;
\node at (2.458,8.734) {\scalebox{1.521}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.698,10.359) -- (7.653,10.529) -- (7.528,10.653) -- (7.358,10.699) -- (7.188,10.653) -- (7.064,10.529) -- (7.018,10.359) -- (7.064,10.189) -- (7.188,10.065) -- (7.358,10.019) -- (7.528,10.065) -- (7.653,10.189) -- cycle;
\node at (7.358,10.359) {\scalebox{1.521}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.685,8.374) -- (8.64,8.544) -- (8.515,8.668) -- (8.345,8.714) -- (8.175,8.668) -- (8.051,8.544) -- (8.005,8.374) -- (8.051,8.204) -- (8.175,8.079) -- (8.345,8.034) -- (8.515,8.079) -- (8.64,8.204) -- cycle;
\node at (8.345,8.374) {\scalebox{1.521}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.439,6.661) -- (10.393,6.831) -- (10.269,6.956) -- (10.099,7.001) -- (9.929,6.956) -- (9.804,6.831) -- (9.759,6.661) -- (9.804,6.491) -- (9.929,6.367) -- (10.099,6.321) -- (10.269,6.367) -- (10.393,6.491) -- cycle;
\node at (10.099,6.661) {\scalebox{1.521}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.294,5.807) -- (4.248,5.977) -- (4.124,6.101) -- (3.954,6.147) -- (3.784,6.101) -- (3.659,5.977) -- (3.614,5.807) -- (3.659,5.637) -- (3.784,5.512) -- (3.954,5.467) -- (4.124,5.512) -- (4.248,5.637) -- cycle;
\node at (3.954,5.807) {\scalebox{1.521}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.987,4.979) -- (8.941,5.149) -- (8.817,5.274) -- (8.647,5.319) -- (8.477,5.274) -- (8.352,5.149) -- (8.307,4.979) -- (8.352,4.809) -- (8.477,4.685) -- (8.647,4.639) -- (8.817,4.685) -- (8.941,4.809) -- cycle;
\node at (8.647,4.979) {\scalebox{1.521}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.957,3.988) -- (6.912,4.158) -- (6.787,4.283) -- (6.617,4.328) -- (6.447,4.283) -- (6.323,4.158) -- (6.277,3.988) -- (6.323,3.818) -- (6.447,3.694) -- (6.617,3.648) -- (6.787,3.694) -- (6.912,3.818) -- cycle;
\node at (6.617,3.988) {\scalebox{1.521}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.608,2.313) -- (8.563,2.483) -- (8.438,2.607) -- (8.268,2.653) -- (8.098,2.607) -- (7.974,2.483) -- (7.928,2.313) -- (7.974,2.143) -- (8.098,2.018) -- (8.268,1.973) -- (8.438,2.018) -- (8.563,2.143) -- cycle;
\node at (8.268,2.313) {\scalebox{1.521}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.147,6.254) -- (6.747,6.254) -- (6.747,6.854) -- (6.147,6.854) -- cycle;
\node at (6.447,6.554) {\scalebox{1.521}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.25,8.366) -- (9.85,8.366) -- (9.85,8.966) -- (9.25,8.966) -- cycle;
\node at (9.55,8.666) {\scalebox{1.521}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.391,4.234) -- (9.991,4.234) -- (9.991,4.834) -- (9.391,4.834) -- cycle;
\node at (9.691,4.534) {\scalebox{1.521}{\small c}};
\node at (2.089,12.058) {\scalebox{1.521}{\small A}};
\node at (9.792,11.247) {\scalebox{1.521}{\small B}};
\node at (5.187,10.829) {\scalebox{1.521}{\small C}};
\node at (6.857,6.089) {\scalebox{1.521}{\small D}};
\node at (0.765,5.978) {\scalebox{1.521}{\small E}};
\node at (11.21,2.86) {\scalebox{1.521}{\small F}};
\node at (5.723,0.95) {\scalebox{1.521}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.028,10.62) -- (12.028,11.72);
\draw[line width=0.5pt] (11.797,11.335) -- (12.028,11.72) -- (12.259,11.335);
\draw[line width=0.5pt] (11.726,11.17) -- (12.331,11.17);
\node at (12.028,12.105) {\scalebox{1.521}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Verte ③} vers l'ouest et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin des Vignes ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ②}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑧}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\end{document}
