\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 322}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=322}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0322}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7276, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.853,11.568) -- (10.797,11.215) -- (10.749,10.86) -- (10.709,10.505) -- (10.678,10.149) -- (10.655,9.792) -- (10.641,9.434) -- (10.635,9.076) -- (10.637,8.718) -- (10.648,8.361) -- (10.667,8.004) -- (10.694,7.647) -- (10.73,7.291) -- (10.775,6.936) -- (10.827,6.583);
\draw[line width=0.5pt] (10.853,11.568) -- (10.537,11.124) -- (10.211,10.688) -- (9.874,10.259) -- (9.526,9.838) -- (9.169,9.426) -- (8.803,9.022) -- (8.427,8.627) -- (8.042,8.241) -- (7.648,7.863) -- (7.245,7.496) -- (6.834,7.137) -- (6.414,6.789) -- (5.987,6.451) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (2.037,9.961) -- (2.244,9.65) -- (2.459,9.345) -- (2.68,9.044) -- (2.909,8.749) -- (3.145,8.46) -- (3.387,8.175) -- (3.636,7.897) -- (3.891,7.625) -- (4.153,7.358) -- (4.421,7.098) -- (4.695,6.844) -- (4.975,6.597) -- (5.26,6.357) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (2.037,9.961) -- (2.069,9.745) -- (2.095,9.528) -- (2.117,9.311) -- (2.133,9.093) -- (2.144,8.875) -- (2.15,8.656) -- (2.151,8.438) -- (2.147,8.219) -- (2.137,8.001) -- (2.123,7.783) -- (2.103,7.565) -- (2.078,7.348) -- (2.048,7.132) -- (2.013,6.917) -- (1.924,6.665) -- (1.841,6.411) -- (1.763,6.155) -- (1.692,5.897) -- (1.626,5.638) -- (1.567,5.377) -- (1.514,5.115) -- (1.467,4.851) -- (1.427,4.587) -- (1.392,4.321) -- (1.364,4.056) -- (1.342,3.789) -- (1.326,3.522) -- (1.317,3.255);
\draw[line width=0.5pt] (10.827,6.583) -- (10.449,6.608) -- (10.069,6.624) -- (9.689,6.631) -- (9.309,6.63) -- (8.929,6.619) -- (8.55,6.599) -- (8.17,6.571) -- (7.792,6.533) -- (7.415,6.487) -- (7.039,6.432) -- (6.664,6.368) -- (6.291,6.295) -- (5.92,6.214) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.283,5.874) -- (5.008,5.631) -- (4.728,5.394) -- (4.442,5.164) -- (4.15,4.94) -- (3.854,4.724) -- (3.552,4.515) -- (3.246,4.312) -- (2.935,4.117) -- (2.62,3.929) -- (2.3,3.749) -- (1.976,3.577) -- (1.648,3.412) -- (1.317,3.255);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.821,5.85) -- (6.097,5.582) -- (6.38,5.322) -- (6.669,5.067) -- (6.963,4.82) -- (7.264,4.58) -- (7.57,4.347) -- (7.881,4.121) -- (8.198,3.902) -- (8.519,3.691) -- (8.846,3.488) -- (9.177,3.292) -- (9.512,3.104) -- (9.852,2.925);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.654,5.809) -- (5.749,5.492) -- (5.837,5.172) -- (5.917,4.851) -- (5.99,4.528) -- (6.055,4.203) -- (6.112,3.876) -- (6.162,3.549) -- (6.204,3.22) -- (6.238,2.89) -- (6.265,2.56) -- (6.284,2.23) -- (6.295,1.899) -- (6.298,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,3.255) -- (1.651,3.081) -- (1.99,2.915) -- (2.333,2.757) -- (2.679,2.607) -- (3.029,2.465) -- (3.382,2.331) -- (3.738,2.206) -- (4.097,2.089) -- (4.458,1.981) -- (4.822,1.881) -- (5.188,1.789) -- (5.556,1.707) -- (5.926,1.633) -- (6.298,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (9.852,2.925) -- (9.615,2.79) -- (9.375,2.66) -- (9.132,2.537) -- (8.885,2.419) -- (8.636,2.306) -- (8.385,2.2) -- (8.131,2.1) -- (7.875,2.005) -- (7.616,1.917) -- (7.356,1.835) -- (7.094,1.758) -- (6.83,1.689) -- (6.564,1.625) -- (6.298,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.013,11.568) -- (10.992,11.648) -- (10.933,11.706) -- (10.853,11.728) -- (10.773,11.706) -- (10.715,11.648) -- (10.693,11.568) -- (10.715,11.488) -- (10.773,11.429) -- (10.853,11.408) -- (10.933,11.429) -- (10.992,11.488) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.197,9.961) -- (2.176,10.041) -- (2.117,10.099) -- (2.037,10.121) -- (1.957,10.099) -- (1.899,10.041) -- (1.877,9.961) -- (1.899,9.881) -- (1.957,9.822) -- (2.037,9.801) -- (2.117,9.822) -- (2.176,9.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.987,6.583) -- (10.966,6.663) -- (10.907,6.721) -- (10.827,6.743) -- (10.747,6.721) -- (10.689,6.663) -- (10.667,6.583) -- (10.689,6.503) -- (10.747,6.444) -- (10.827,6.423) -- (10.907,6.444) -- (10.966,6.503) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.711,6.123) -- (5.69,6.203) -- (5.631,6.262) -- (5.551,6.283) -- (5.471,6.262) -- (5.413,6.203) -- (5.391,6.123) -- (5.413,6.043) -- (5.471,5.985) -- (5.551,5.963) -- (5.631,5.985) -- (5.69,6.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,3.255) -- (1.456,3.335) -- (1.397,3.394) -- (1.317,3.415) -- (1.237,3.394) -- (1.178,3.335) -- (1.157,3.255) -- (1.178,3.175) -- (1.237,3.117) -- (1.317,3.095) -- (1.397,3.117) -- (1.456,3.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.012,2.925) -- (9.991,3.005) -- (9.932,3.063) -- (9.852,3.085) -- (9.772,3.063) -- (9.713,3.005) -- (9.692,2.925) -- (9.713,2.845) -- (9.772,2.786) -- (9.852,2.765) -- (9.932,2.786) -- (9.991,2.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.458,1.568) -- (6.436,1.648) -- (6.378,1.706) -- (6.298,1.728) -- (6.218,1.706) -- (6.159,1.648) -- (6.138,1.568) -- (6.159,1.488) -- (6.218,1.429) -- (6.298,1.408) -- (6.378,1.429) -- (6.436,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.295,9.075) -- (11.249,9.245) -- (11.125,9.369) -- (10.955,9.415) -- (10.785,9.369) -- (10.66,9.245) -- (10.615,9.075) -- (10.66,8.905) -- (10.785,8.78) -- (10.955,8.735) -- (11.125,8.78) -- (11.249,8.905) -- cycle;
\node at (10.955,9.075) {\scalebox{1.374}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.996,8.404) -- (8.951,8.574) -- (8.826,8.698) -- (8.656,8.744) -- (8.486,8.698) -- (8.362,8.574) -- (8.316,8.404) -- (8.362,8.234) -- (8.486,8.109) -- (8.656,8.064) -- (8.826,8.109) -- (8.951,8.234) -- cycle;
\node at (8.656,8.404) {\scalebox{1.374}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.212,8.113) -- (4.166,8.283) -- (4.042,8.408) -- (3.872,8.453) -- (3.702,8.408) -- (3.578,8.283) -- (3.532,8.113) -- (3.578,7.943) -- (3.702,7.819) -- (3.872,7.773) -- (4.042,7.819) -- (4.166,7.943) -- cycle;
\node at (3.872,8.113) {\scalebox{1.374}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.663,6.834) -- (2.617,7.004) -- (2.493,7.129) -- (2.323,7.174) -- (2.153,7.129) -- (2.028,7.004) -- (1.983,6.834) -- (2.028,6.664) -- (2.153,6.54) -- (2.323,6.494) -- (2.493,6.54) -- (2.617,6.664) -- cycle;
\node at (2.323,6.834) {\scalebox{1.374}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.538,6.252) -- (8.493,6.422) -- (8.368,6.546) -- (8.198,6.592) -- (8.028,6.546) -- (7.904,6.422) -- (7.858,6.252) -- (7.904,6.082) -- (8.028,5.957) -- (8.198,5.912) -- (8.368,5.957) -- (8.493,6.082) -- cycle;
\node at (8.198,6.252) {\scalebox{1.374}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.072,4.25) -- (4.026,4.42) -- (3.902,4.544) -- (3.732,4.59) -- (3.562,4.544) -- (3.437,4.42) -- (3.392,4.25) -- (3.437,4.08) -- (3.562,3.955) -- (3.732,3.91) -- (3.902,3.955) -- (4.026,4.08) -- cycle;
\node at (3.732,4.25) {\scalebox{1.374}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,4.603) -- (8.055,4.773) -- (7.931,4.898) -- (7.761,4.943) -- (7.591,4.898) -- (7.466,4.773) -- (7.421,4.603) -- (7.466,4.433) -- (7.591,4.309) -- (7.761,4.263) -- (7.931,4.309) -- (8.055,4.433) -- cycle;
\node at (7.761,4.603) {\scalebox{1.374}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.768,3.928) -- (6.723,4.098) -- (6.598,4.223) -- (6.428,4.268) -- (6.258,4.223) -- (6.134,4.098) -- (6.088,3.928) -- (6.134,3.758) -- (6.258,3.634) -- (6.428,3.588) -- (6.598,3.634) -- (6.723,3.758) -- cycle;
\node at (6.428,3.928) {\scalebox{1.374}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.18,2.509) -- (4.135,2.679) -- (4.01,2.803) -- (3.84,2.849) -- (3.67,2.803) -- (3.546,2.679) -- (3.5,2.509) -- (3.546,2.339) -- (3.67,2.215) -- (3.84,2.169) -- (4.01,2.215) -- (4.135,2.339) -- cycle;
\node at (3.84,2.509) {\scalebox{1.374}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.585,1.801) -- (8.539,1.971) -- (8.415,2.095) -- (8.245,2.141) -- (8.075,2.095) -- (7.951,1.971) -- (7.905,1.801) -- (7.951,1.631) -- (8.075,1.506) -- (8.245,1.461) -- (8.415,1.506) -- (8.539,1.631) -- cycle;
\node at (8.245,1.801) {\scalebox{1.374}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.017,2.955) -- (1.617,2.955) -- (1.617,3.555) -- (1.017,3.555) -- cycle;
\node at (1.317,3.255) {\scalebox{1.374}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.655,3.135) -- (3.255,3.135) -- (3.255,3.735) -- (2.655,3.735) -- cycle;
\node at (2.955,3.435) {\scalebox{1.374}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.904,1.587) -- (3.504,1.587) -- (3.504,2.187) -- (2.904,2.187) -- cycle;
\node at (3.204,1.887) {\scalebox{1.374}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.38,3.714) -- (8.98,3.714) -- (8.98,4.314) -- (8.38,4.314) -- cycle;
\node at (8.68,4.014) {\scalebox{1.374}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.908,8.687) -- (3.508,8.687) -- (3.508,9.287) -- (2.908,9.287) -- cycle;
\node at (3.208,8.987) {\scalebox{1.374}{\small e}};
\node at (11.225,12.064) {\scalebox{1.374}{\small A}};
\node at (1.566,10.363) {\scalebox{1.374}{\small B}};
\node at (11.441,6.669) {\scalebox{1.374}{\small C}};
\node at (4.935,6.192) {\scalebox{1.374}{\small D}};
\node at (0.765,2.973) {\scalebox{1.374}{\small E}};
\node at (10.298,2.494) {\scalebox{1.374}{\small F}};
\node at (6.245,0.95) {\scalebox{1.374}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.153,10.618) -- (12.153,11.718);
\draw[line width=0.5pt] (11.922,11.333) -- (12.153,11.718) -- (12.384,11.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.851,11.168) -- (12.456,11.168);
\node at (12.153,12.103) {\scalebox{1.374}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Moulin & ⑥ allée des Peupliers & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑦ rue du Stade & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue Haute & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ boulevard du Parc & ⑨ chemin du Lavoir & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑩ rue des Jardins & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} la mairie \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6511, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.853,11.568) -- (10.797,11.215) -- (10.749,10.86) -- (10.709,10.505) -- (10.678,10.149) -- (10.655,9.792) -- (10.641,9.434) -- (10.635,9.076) -- (10.637,8.718) -- (10.648,8.361) -- (10.667,8.004) -- (10.694,7.647) -- (10.73,7.291) -- (10.775,6.936) -- (10.827,6.583);
\draw[line width=0.5pt] (10.853,11.568) -- (10.537,11.124) -- (10.211,10.688) -- (9.874,10.259) -- (9.526,9.838) -- (9.169,9.426) -- (8.803,9.022) -- (8.427,8.627) -- (8.042,8.241) -- (7.648,7.863) -- (7.245,7.496) -- (6.834,7.137) -- (6.414,6.789) -- (5.987,6.451) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (2.037,9.961) -- (2.244,9.65) -- (2.459,9.345) -- (2.68,9.044) -- (2.909,8.749) -- (3.145,8.46) -- (3.387,8.175) -- (3.636,7.897) -- (3.891,7.625) -- (4.153,7.358) -- (4.421,7.098) -- (4.695,6.844) -- (4.975,6.597) -- (5.26,6.357) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (2.037,9.961) -- (2.069,9.745) -- (2.095,9.528) -- (2.117,9.311) -- (2.133,9.093) -- (2.144,8.875) -- (2.15,8.656) -- (2.151,8.438) -- (2.147,8.219) -- (2.137,8.001) -- (2.123,7.783) -- (2.103,7.565) -- (2.078,7.348) -- (2.048,7.132) -- (2.013,6.917) -- (1.924,6.665) -- (1.841,6.411) -- (1.763,6.155) -- (1.692,5.897) -- (1.626,5.638) -- (1.567,5.377) -- (1.514,5.115) -- (1.467,4.851) -- (1.427,4.587) -- (1.392,4.321) -- (1.364,4.056) -- (1.342,3.789) -- (1.326,3.522) -- (1.317,3.255);
\draw[line width=0.5pt] (10.827,6.583) -- (10.449,6.608) -- (10.069,6.624) -- (9.689,6.631) -- (9.309,6.63) -- (8.929,6.619) -- (8.55,6.599) -- (8.17,6.571) -- (7.792,6.533) -- (7.415,6.487) -- (7.039,6.432) -- (6.664,6.368) -- (6.291,6.295) -- (5.92,6.214) -- (5.551,6.123);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.283,5.874) -- (5.008,5.631) -- (4.728,5.394) -- (4.442,5.164) -- (4.15,4.94) -- (3.854,4.724) -- (3.552,4.515) -- (3.246,4.312) -- (2.935,4.117) -- (2.62,3.929) -- (2.3,3.749) -- (1.976,3.577) -- (1.648,3.412) -- (1.317,3.255);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.821,5.85) -- (6.097,5.582) -- (6.38,5.322) -- (6.669,5.067) -- (6.963,4.82) -- (7.264,4.58) -- (7.57,4.347) -- (7.881,4.121) -- (8.198,3.902) -- (8.519,3.691) -- (8.846,3.488) -- (9.177,3.292) -- (9.512,3.104) -- (9.852,2.925);
\draw[line width=0.5pt] (5.551,6.123) -- (5.654,5.809) -- (5.749,5.492) -- (5.837,5.172) -- (5.917,4.851) -- (5.99,4.528) -- (6.055,4.203) -- (6.112,3.876) -- (6.162,3.549) -- (6.204,3.22) -- (6.238,2.89) -- (6.265,2.56) -- (6.284,2.23) -- (6.295,1.899) -- (6.298,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,3.255) -- (1.651,3.081) -- (1.99,2.915) -- (2.333,2.757) -- (2.679,2.607) -- (3.029,2.465) -- (3.382,2.331) -- (3.738,2.206) -- (4.097,2.089) -- (4.458,1.981) -- (4.822,1.881) -- (5.188,1.789) -- (5.556,1.707) -- (5.926,1.633) -- (6.298,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (9.852,2.925) -- (9.615,2.79) -- (9.375,2.66) -- (9.132,2.537) -- (8.885,2.419) -- (8.636,2.306) -- (8.385,2.2) -- (8.131,2.1) -- (7.875,2.005) -- (7.616,1.917) -- (7.356,1.835) -- (7.094,1.758) -- (6.83,1.689) -- (6.564,1.625) -- (6.298,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.013,11.568) -- (10.992,11.648) -- (10.933,11.706) -- (10.853,11.728) -- (10.773,11.706) -- (10.715,11.648) -- (10.693,11.568) -- (10.715,11.488) -- (10.773,11.429) -- (10.853,11.408) -- (10.933,11.429) -- (10.992,11.488) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.197,9.961) -- (2.176,10.041) -- (2.117,10.099) -- (2.037,10.121) -- (1.957,10.099) -- (1.899,10.041) -- (1.877,9.961) -- (1.899,9.881) -- (1.957,9.822) -- (2.037,9.801) -- (2.117,9.822) -- (2.176,9.881) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.987,6.583) -- (10.966,6.663) -- (10.907,6.721) -- (10.827,6.743) -- (10.747,6.721) -- (10.689,6.663) -- (10.667,6.583) -- (10.689,6.503) -- (10.747,6.444) -- (10.827,6.423) -- (10.907,6.444) -- (10.966,6.503) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.711,6.123) -- (5.69,6.203) -- (5.631,6.262) -- (5.551,6.283) -- (5.471,6.262) -- (5.413,6.203) -- (5.391,6.123) -- (5.413,6.043) -- (5.471,5.985) -- (5.551,5.963) -- (5.631,5.985) -- (5.69,6.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,3.255) -- (1.456,3.335) -- (1.397,3.394) -- (1.317,3.415) -- (1.237,3.394) -- (1.178,3.335) -- (1.157,3.255) -- (1.178,3.175) -- (1.237,3.117) -- (1.317,3.095) -- (1.397,3.117) -- (1.456,3.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.012,2.925) -- (9.991,3.005) -- (9.932,3.063) -- (9.852,3.085) -- (9.772,3.063) -- (9.713,3.005) -- (9.692,2.925) -- (9.713,2.845) -- (9.772,2.786) -- (9.852,2.765) -- (9.932,2.786) -- (9.991,2.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.458,1.568) -- (6.436,1.648) -- (6.378,1.706) -- (6.298,1.728) -- (6.218,1.706) -- (6.159,1.648) -- (6.138,1.568) -- (6.159,1.488) -- (6.218,1.429) -- (6.298,1.408) -- (6.378,1.429) -- (6.436,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.295,9.075) -- (11.249,9.245) -- (11.125,9.369) -- (10.955,9.415) -- (10.785,9.369) -- (10.66,9.245) -- (10.615,9.075) -- (10.66,8.905) -- (10.785,8.78) -- (10.955,8.735) -- (11.125,8.78) -- (11.249,8.905) -- cycle;
\node at (10.955,9.075) {\scalebox{1.536}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.996,8.404) -- (8.951,8.574) -- (8.826,8.698) -- (8.656,8.744) -- (8.486,8.698) -- (8.362,8.574) -- (8.316,8.404) -- (8.362,8.234) -- (8.486,8.109) -- (8.656,8.064) -- (8.826,8.109) -- (8.951,8.234) -- cycle;
\node at (8.656,8.404) {\scalebox{1.536}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.212,8.113) -- (4.166,8.283) -- (4.042,8.408) -- (3.872,8.453) -- (3.702,8.408) -- (3.578,8.283) -- (3.532,8.113) -- (3.578,7.943) -- (3.702,7.819) -- (3.872,7.773) -- (4.042,7.819) -- (4.166,7.943) -- cycle;
\node at (3.872,8.113) {\scalebox{1.536}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.663,6.834) -- (2.617,7.004) -- (2.493,7.129) -- (2.323,7.174) -- (2.153,7.129) -- (2.028,7.004) -- (1.983,6.834) -- (2.028,6.664) -- (2.153,6.54) -- (2.323,6.494) -- (2.493,6.54) -- (2.617,6.664) -- cycle;
\node at (2.323,6.834) {\scalebox{1.536}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.538,6.252) -- (8.493,6.422) -- (8.368,6.546) -- (8.198,6.592) -- (8.028,6.546) -- (7.904,6.422) -- (7.858,6.252) -- (7.904,6.082) -- (8.028,5.957) -- (8.198,5.912) -- (8.368,5.957) -- (8.493,6.082) -- cycle;
\node at (8.198,6.252) {\scalebox{1.536}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.072,4.25) -- (4.026,4.42) -- (3.902,4.544) -- (3.732,4.59) -- (3.562,4.544) -- (3.437,4.42) -- (3.392,4.25) -- (3.437,4.08) -- (3.562,3.955) -- (3.732,3.91) -- (3.902,3.955) -- (4.026,4.08) -- cycle;
\node at (3.732,4.25) {\scalebox{1.536}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,4.603) -- (8.055,4.773) -- (7.931,4.898) -- (7.761,4.943) -- (7.591,4.898) -- (7.466,4.773) -- (7.421,4.603) -- (7.466,4.433) -- (7.591,4.309) -- (7.761,4.263) -- (7.931,4.309) -- (8.055,4.433) -- cycle;
\node at (7.761,4.603) {\scalebox{1.536}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.768,3.928) -- (6.723,4.098) -- (6.598,4.223) -- (6.428,4.268) -- (6.258,4.223) -- (6.134,4.098) -- (6.088,3.928) -- (6.134,3.758) -- (6.258,3.634) -- (6.428,3.588) -- (6.598,3.634) -- (6.723,3.758) -- cycle;
\node at (6.428,3.928) {\scalebox{1.536}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.18,2.509) -- (4.135,2.679) -- (4.01,2.803) -- (3.84,2.849) -- (3.67,2.803) -- (3.546,2.679) -- (3.5,2.509) -- (3.546,2.339) -- (3.67,2.215) -- (3.84,2.169) -- (4.01,2.215) -- (4.135,2.339) -- cycle;
\node at (3.84,2.509) {\scalebox{1.536}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.585,1.801) -- (8.539,1.971) -- (8.415,2.095) -- (8.245,2.141) -- (8.075,2.095) -- (7.951,1.971) -- (7.905,1.801) -- (7.951,1.631) -- (8.075,1.506) -- (8.245,1.461) -- (8.415,1.506) -- (8.539,1.631) -- cycle;
\node at (8.245,1.801) {\scalebox{1.536}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.017,2.955) -- (1.617,2.955) -- (1.617,3.555) -- (1.017,3.555) -- cycle;
\node at (1.317,3.255) {\scalebox{1.536}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.655,3.135) -- (3.255,3.135) -- (3.255,3.735) -- (2.655,3.735) -- cycle;
\node at (2.955,3.435) {\scalebox{1.536}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.904,1.587) -- (3.504,1.587) -- (3.504,2.187) -- (2.904,2.187) -- cycle;
\node at (3.204,1.887) {\scalebox{1.536}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.38,3.714) -- (8.98,3.714) -- (8.98,4.314) -- (8.38,4.314) -- cycle;
\node at (8.68,4.014) {\scalebox{1.536}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.908,8.687) -- (3.508,8.687) -- (3.508,9.287) -- (2.908,9.287) -- cycle;
\node at (3.208,8.987) {\scalebox{1.536}{\small e}};
\node at (11.225,12.064) {\scalebox{1.536}{\small A}};
\node at (1.566,10.363) {\scalebox{1.536}{\small B}};
\node at (11.441,6.669) {\scalebox{1.536}{\small C}};
\node at (4.935,6.192) {\scalebox{1.536}{\small D}};
\node at (0.765,2.973) {\scalebox{1.536}{\small E}};
\node at (10.298,2.494) {\scalebox{1.536}{\small F}};
\node at (6.245,0.95) {\scalebox{1.536}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.153,10.618) -- (12.153,11.718);
\draw[line width=0.5pt] (11.922,11.333) -- (12.153,11.718) -- (12.384,11.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.851,11.168) -- (12.456,11.168);
\node at (12.153,12.103) {\scalebox{1.536}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{E}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{E} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{E}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en G}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(E)}, prend le \textbf{boulevard du Parc ④} vers le nord et atteint Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ①}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Stade ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{E} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
