\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 323}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=323}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0323}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (9.952,10.259) -- (9.667,10.276) -- (9.381,10.286) -- (9.095,10.289) -- (8.809,10.286) -- (8.523,10.276) -- (8.237,10.259) -- (7.952,10.235) -- (7.668,10.205) -- (7.384,10.168) -- (7.101,10.125) -- (6.82,10.075) -- (6.539,10.018) -- (6.261,9.955);
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (9.989,9.795) -- (9.73,9.36) -- (9.461,8.932) -- (9.181,8.51) -- (8.892,8.094) -- (8.593,7.686) -- (8.285,7.285) -- (7.967,6.89) -- (7.64,6.504) -- (7.305,6.125) -- (6.96,5.755) -- (6.607,5.392) -- (6.245,5.039) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (10.257,9.825) -- (10.287,9.416) -- (10.326,9.007) -- (10.375,8.599) -- (10.434,8.193) -- (10.502,7.787) -- (10.58,7.384) -- (10.667,6.982) -- (10.763,6.583) -- (10.869,6.186) -- (10.984,5.792) -- (11.108,5.4) -- (11.242,5.012) -- (11.385,4.627);
\draw[line width=0.5pt] (6.261,9.955) -- (6.291,9.578) -- (6.312,9.2) -- (6.325,8.822) -- (6.328,8.443) -- (6.323,8.065) -- (6.308,7.686) -- (6.285,7.308) -- (6.253,6.931) -- (6.212,6.555) -- (6.162,6.179) -- (6.104,5.805) -- (6.037,5.433) -- (5.96,5.062) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,5.219) -- (1.697,5.133) -- (2.012,5.054) -- (2.328,4.983) -- (2.646,4.918) -- (2.966,4.862) -- (3.287,4.813) -- (3.608,4.771) -- (3.931,4.737) -- (4.255,4.711) -- (4.579,4.692) -- (4.903,4.681) -- (5.227,4.678) -- (5.552,4.682) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (6.267,4.749) -- (6.659,4.796) -- (7.053,4.833) -- (7.447,4.86) -- (7.842,4.879) -- (8.237,4.888) -- (8.633,4.888) -- (9.028,4.878) -- (9.423,4.86) -- (9.818,4.832) -- (10.211,4.795) -- (10.604,4.748) -- (10.995,4.692) -- (11.385,4.627);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (5.555,4.515) -- (5.239,4.328) -- (4.927,4.134) -- (4.62,3.932) -- (4.317,3.723) -- (4.02,3.508) -- (3.727,3.285) -- (3.44,3.055) -- (3.159,2.819) -- (2.883,2.576) -- (2.613,2.327) -- (2.348,2.072) -- (2.091,1.81) -- (1.839,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (6.229,4.51) -- (6.578,4.318) -- (6.923,4.118) -- (7.263,3.909) -- (7.598,3.693) -- (7.928,3.469) -- (8.253,3.237) -- (8.572,2.997) -- (8.885,2.751) -- (9.192,2.496) -- (9.494,2.235) -- (9.788,1.967) -- (10.077,1.692) -- (10.359,1.41);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,4.627) -- (11.277,4.411) -- (11.174,4.191) -- (11.076,3.97) -- (10.984,3.746) -- (10.897,3.519) -- (10.815,3.291) -- (10.739,3.061) -- (10.668,2.829) -- (10.603,2.596) -- (10.543,2.361) -- (10.488,2.125) -- (10.439,1.888) -- (10.396,1.649) -- (10.359,1.41);
\draw[line width=0.5pt] (1.839,1.543) -- (2.174,1.529) -- (2.509,1.507) -- (2.844,1.477) -- (3.177,1.439) -- (3.51,1.393) -- (3.842,1.339) -- (4.172,1.278) -- (4.501,1.209) -- (4.828,1.132) -- (5.153,1.048) -- (5.476,0.956) -- (5.797,0.856) -- (6.115,0.749) -- (6.43,0.635) -- (6.717,0.647) -- (7.004,0.665) -- (7.29,0.691) -- (7.575,0.723) -- (7.86,0.762) -- (8.144,0.808) -- (8.427,0.86) -- (8.708,0.919) -- (8.988,0.985) -- (9.266,1.057) -- (9.542,1.136) -- (9.817,1.221) -- (10.089,1.312) -- (10.359,1.41);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.397,10.235) -- (10.376,10.315) -- (10.317,10.374) -- (10.237,10.395) -- (10.157,10.374) -- (10.099,10.315) -- (10.077,10.235) -- (10.099,10.155) -- (10.157,10.097) -- (10.237,10.075) -- (10.317,10.097) -- (10.376,10.155) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.421,9.955) -- (6.399,10.035) -- (6.341,10.093) -- (6.261,10.115) -- (6.181,10.093) -- (6.122,10.035) -- (6.101,9.955) -- (6.122,9.875) -- (6.181,9.816) -- (6.261,9.795) -- (6.341,9.816) -- (6.399,9.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,5.219) -- (1.523,5.299) -- (1.465,5.358) -- (1.385,5.379) -- (1.305,5.358) -- (1.246,5.299) -- (1.225,5.219) -- (1.246,5.139) -- (1.305,5.081) -- (1.385,5.059) -- (1.465,5.081) -- (1.523,5.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.036,4.694) -- (6.014,4.774) -- (5.956,4.832) -- (5.876,4.854) -- (5.796,4.832) -- (5.737,4.774) -- (5.716,4.694) -- (5.737,4.614) -- (5.796,4.555) -- (5.876,4.534) -- (5.956,4.555) -- (6.014,4.614) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,4.627) -- (11.523,4.707) -- (11.465,4.766) -- (11.385,4.787) -- (11.305,4.766) -- (11.246,4.707) -- (11.225,4.627) -- (11.246,4.547) -- (11.305,4.489) -- (11.385,4.467) -- (11.465,4.489) -- (11.523,4.547) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.999,1.543) -- (1.978,1.623) -- (1.919,1.681) -- (1.839,1.703) -- (1.759,1.681) -- (1.7,1.623) -- (1.679,1.543) -- (1.7,1.463) -- (1.759,1.404) -- (1.839,1.383) -- (1.919,1.404) -- (1.978,1.463) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.519,1.41) -- (10.497,1.49) -- (10.439,1.549) -- (10.359,1.57) -- (10.279,1.549) -- (10.22,1.49) -- (10.199,1.41) -- (10.22,1.33) -- (10.279,1.272) -- (10.359,1.25) -- (10.439,1.272) -- (10.497,1.33) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.6,9.94) -- (8.554,10.11) -- (8.43,10.234) -- (8.26,10.28) -- (8.09,10.234) -- (7.965,10.11) -- (7.92,9.94) -- (7.965,9.77) -- (8.09,9.645) -- (8.26,9.6) -- (8.43,9.645) -- (8.554,9.77) -- cycle;
\node at (8.26,9.94) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.876,7.087) -- (8.831,7.257) -- (8.706,7.381) -- (8.536,7.427) -- (8.366,7.381) -- (8.242,7.257) -- (8.196,7.087) -- (8.242,6.917) -- (8.366,6.792) -- (8.536,6.747) -- (8.706,6.792) -- (8.831,6.917) -- cycle;
\node at (8.536,7.087) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.233,7.448) -- (11.188,7.618) -- (11.063,7.743) -- (10.893,7.788) -- (10.723,7.743) -- (10.599,7.618) -- (10.553,7.448) -- (10.599,7.278) -- (10.723,7.154) -- (10.893,7.108) -- (11.063,7.154) -- (11.188,7.278) -- cycle;
\node at (10.893,7.448) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.944,7.285) -- (6.899,7.455) -- (6.774,7.579) -- (6.604,7.625) -- (6.434,7.579) -- (6.31,7.455) -- (6.264,7.285) -- (6.31,7.115) -- (6.434,6.991) -- (6.604,6.945) -- (6.774,6.991) -- (6.899,7.115) -- cycle;
\node at (6.604,7.285) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.986,5.089) -- (3.94,5.259) -- (3.816,5.384) -- (3.646,5.429) -- (3.476,5.384) -- (3.351,5.259) -- (3.306,5.089) -- (3.351,4.919) -- (3.476,4.795) -- (3.646,4.749) -- (3.816,4.795) -- (3.94,4.919) -- cycle;
\node at (3.646,5.089) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.977,5.208) -- (8.931,5.378) -- (8.807,5.502) -- (8.637,5.548) -- (8.467,5.502) -- (8.342,5.378) -- (8.297,5.208) -- (8.342,5.038) -- (8.467,4.913) -- (8.637,4.868) -- (8.807,4.913) -- (8.931,5.038) -- cycle;
\node at (8.637,5.208) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.264,3.033) -- (4.219,3.203) -- (4.094,3.327) -- (3.924,3.373) -- (3.754,3.327) -- (3.63,3.203) -- (3.584,3.033) -- (3.63,2.863) -- (3.754,2.738) -- (3.924,2.693) -- (4.094,2.738) -- (4.219,2.863) -- cycle;
\node at (3.924,3.033) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.782,3.495) -- (8.736,3.665) -- (8.612,3.789) -- (8.442,3.835) -- (8.272,3.789) -- (8.147,3.665) -- (8.102,3.495) -- (8.147,3.325) -- (8.272,3.201) -- (8.442,3.155) -- (8.612,3.201) -- (8.736,3.325) -- cycle;
\node at (8.442,3.495) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.384,2.964) -- (11.338,3.134) -- (11.214,3.258) -- (11.044,3.304) -- (10.874,3.258) -- (10.749,3.134) -- (10.704,2.964) -- (10.749,2.794) -- (10.874,2.669) -- (11.044,2.624) -- (11.214,2.669) -- (11.338,2.794) -- cycle;
\node at (11.044,2.964) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.824,0.95) -- (6.779,1.12) -- (6.654,1.244) -- (6.484,1.29) -- (6.314,1.244) -- (6.19,1.12) -- (6.144,0.95) -- (6.19,0.78) -- (6.314,0.656) -- (6.484,0.61) -- (6.654,0.656) -- (6.779,0.78) -- cycle;
\node at (6.484,0.95) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.576,4.394) -- (6.176,4.394) -- (6.176,4.994) -- (5.576,4.994) -- cycle;
\node at (5.876,4.694) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.575,8.067) -- (7.175,8.067) -- (7.175,8.667) -- (6.575,8.667) -- cycle;
\node at (6.875,8.367) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.808,7.674) -- (12.408,7.674) -- (12.408,8.274) -- (11.808,8.274) -- cycle;
\node at (12.108,7.974) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.964,1.798) -- (3.564,1.798) -- (3.564,2.398) -- (2.964,2.398) -- cycle;
\node at (3.264,2.098) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (10.598,10.739) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (6.193,10.571) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (0.765,5.201) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (5.386,4.313) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (11.997,4.527) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (1.35,1.162) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (10.775,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,9.285) -- (12.685,10.385);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,10.0) -- (12.685,10.385) -- (12.916,10.0);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,9.835) -- (12.987,9.835);
\node at (12.685,10.77) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑥ rue Verte & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Poste & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Place du Vieux-Puits & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ avenue de la Gare & ⑨ rue des Lilas & Ⓓ Rond-point de la Poste & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ impasse Sainte-Anne & ⑩ passage du Marché & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (9.952,10.259) -- (9.667,10.276) -- (9.381,10.286) -- (9.095,10.289) -- (8.809,10.286) -- (8.523,10.276) -- (8.237,10.259) -- (7.952,10.235) -- (7.668,10.205) -- (7.384,10.168) -- (7.101,10.125) -- (6.82,10.075) -- (6.539,10.018) -- (6.261,9.955);
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (9.989,9.795) -- (9.73,9.36) -- (9.461,8.932) -- (9.181,8.51) -- (8.892,8.094) -- (8.593,7.686) -- (8.285,7.285) -- (7.967,6.89) -- (7.64,6.504) -- (7.305,6.125) -- (6.96,5.755) -- (6.607,5.392) -- (6.245,5.039) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (10.237,10.235) -- (10.257,9.825) -- (10.287,9.416) -- (10.326,9.007) -- (10.375,8.599) -- (10.434,8.193) -- (10.502,7.787) -- (10.58,7.384) -- (10.667,6.982) -- (10.763,6.583) -- (10.869,6.186) -- (10.984,5.792) -- (11.108,5.4) -- (11.242,5.012) -- (11.385,4.627);
\draw[line width=0.5pt] (6.261,9.955) -- (6.291,9.578) -- (6.312,9.2) -- (6.325,8.822) -- (6.328,8.443) -- (6.323,8.065) -- (6.308,7.686) -- (6.285,7.308) -- (6.253,6.931) -- (6.212,6.555) -- (6.162,6.179) -- (6.104,5.805) -- (6.037,5.433) -- (5.96,5.062) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,5.219) -- (1.697,5.133) -- (2.012,5.054) -- (2.328,4.983) -- (2.646,4.918) -- (2.966,4.862) -- (3.287,4.813) -- (3.608,4.771) -- (3.931,4.737) -- (4.255,4.711) -- (4.579,4.692) -- (4.903,4.681) -- (5.227,4.678) -- (5.552,4.682) -- (5.876,4.694);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (6.267,4.749) -- (6.659,4.796) -- (7.053,4.833) -- (7.447,4.86) -- (7.842,4.879) -- (8.237,4.888) -- (8.633,4.888) -- (9.028,4.878) -- (9.423,4.86) -- (9.818,4.832) -- (10.211,4.795) -- (10.604,4.748) -- (10.995,4.692) -- (11.385,4.627);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (5.555,4.515) -- (5.239,4.328) -- (4.927,4.134) -- (4.62,3.932) -- (4.317,3.723) -- (4.02,3.508) -- (3.727,3.285) -- (3.44,3.055) -- (3.159,2.819) -- (2.883,2.576) -- (2.613,2.327) -- (2.348,2.072) -- (2.091,1.81) -- (1.839,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (5.876,4.694) -- (6.229,4.51) -- (6.578,4.318) -- (6.923,4.118) -- (7.263,3.909) -- (7.598,3.693) -- (7.928,3.469) -- (8.253,3.237) -- (8.572,2.997) -- (8.885,2.751) -- (9.192,2.496) -- (9.494,2.235) -- (9.788,1.967) -- (10.077,1.692) -- (10.359,1.41);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,4.627) -- (11.277,4.411) -- (11.174,4.191) -- (11.076,3.97) -- (10.984,3.746) -- (10.897,3.519) -- (10.815,3.291) -- (10.739,3.061) -- (10.668,2.829) -- (10.603,2.596) -- (10.543,2.361) -- (10.488,2.125) -- (10.439,1.888) -- (10.396,1.649) -- (10.359,1.41);
\draw[line width=0.5pt] (1.839,1.543) -- (2.174,1.529) -- (2.509,1.507) -- (2.844,1.477) -- (3.177,1.439) -- (3.51,1.393) -- (3.842,1.339) -- (4.172,1.278) -- (4.501,1.209) -- (4.828,1.132) -- (5.153,1.048) -- (5.476,0.956) -- (5.797,0.856) -- (6.115,0.749) -- (6.43,0.635) -- (6.717,0.647) -- (7.004,0.665) -- (7.29,0.691) -- (7.575,0.723) -- (7.86,0.762) -- (8.144,0.808) -- (8.427,0.86) -- (8.708,0.919) -- (8.988,0.985) -- (9.266,1.057) -- (9.542,1.136) -- (9.817,1.221) -- (10.089,1.312) -- (10.359,1.41);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.397,10.235) -- (10.376,10.315) -- (10.317,10.374) -- (10.237,10.395) -- (10.157,10.374) -- (10.099,10.315) -- (10.077,10.235) -- (10.099,10.155) -- (10.157,10.097) -- (10.237,10.075) -- (10.317,10.097) -- (10.376,10.155) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.421,9.955) -- (6.399,10.035) -- (6.341,10.093) -- (6.261,10.115) -- (6.181,10.093) -- (6.122,10.035) -- (6.101,9.955) -- (6.122,9.875) -- (6.181,9.816) -- (6.261,9.795) -- (6.341,9.816) -- (6.399,9.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,5.219) -- (1.523,5.299) -- (1.465,5.358) -- (1.385,5.379) -- (1.305,5.358) -- (1.246,5.299) -- (1.225,5.219) -- (1.246,5.139) -- (1.305,5.081) -- (1.385,5.059) -- (1.465,5.081) -- (1.523,5.139) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.036,4.694) -- (6.014,4.774) -- (5.956,4.832) -- (5.876,4.854) -- (5.796,4.832) -- (5.737,4.774) -- (5.716,4.694) -- (5.737,4.614) -- (5.796,4.555) -- (5.876,4.534) -- (5.956,4.555) -- (6.014,4.614) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,4.627) -- (11.523,4.707) -- (11.465,4.766) -- (11.385,4.787) -- (11.305,4.766) -- (11.246,4.707) -- (11.225,4.627) -- (11.246,4.547) -- (11.305,4.489) -- (11.385,4.467) -- (11.465,4.489) -- (11.523,4.547) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.999,1.543) -- (1.978,1.623) -- (1.919,1.681) -- (1.839,1.703) -- (1.759,1.681) -- (1.7,1.623) -- (1.679,1.543) -- (1.7,1.463) -- (1.759,1.404) -- (1.839,1.383) -- (1.919,1.404) -- (1.978,1.463) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.519,1.41) -- (10.497,1.49) -- (10.439,1.549) -- (10.359,1.57) -- (10.279,1.549) -- (10.22,1.49) -- (10.199,1.41) -- (10.22,1.33) -- (10.279,1.272) -- (10.359,1.25) -- (10.439,1.272) -- (10.497,1.33) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.6,9.94) -- (8.554,10.11) -- (8.43,10.234) -- (8.26,10.28) -- (8.09,10.234) -- (7.965,10.11) -- (7.92,9.94) -- (7.965,9.77) -- (8.09,9.645) -- (8.26,9.6) -- (8.43,9.645) -- (8.554,9.77) -- cycle;
\node at (8.26,9.94) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.876,7.087) -- (8.831,7.257) -- (8.706,7.381) -- (8.536,7.427) -- (8.366,7.381) -- (8.242,7.257) -- (8.196,7.087) -- (8.242,6.917) -- (8.366,6.792) -- (8.536,6.747) -- (8.706,6.792) -- (8.831,6.917) -- cycle;
\node at (8.536,7.087) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.233,7.448) -- (11.188,7.618) -- (11.063,7.743) -- (10.893,7.788) -- (10.723,7.743) -- (10.599,7.618) -- (10.553,7.448) -- (10.599,7.278) -- (10.723,7.154) -- (10.893,7.108) -- (11.063,7.154) -- (11.188,7.278) -- cycle;
\node at (10.893,7.448) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.944,7.285) -- (6.899,7.455) -- (6.774,7.579) -- (6.604,7.625) -- (6.434,7.579) -- (6.31,7.455) -- (6.264,7.285) -- (6.31,7.115) -- (6.434,6.991) -- (6.604,6.945) -- (6.774,6.991) -- (6.899,7.115) -- cycle;
\node at (6.604,7.285) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.986,5.089) -- (3.94,5.259) -- (3.816,5.384) -- (3.646,5.429) -- (3.476,5.384) -- (3.351,5.259) -- (3.306,5.089) -- (3.351,4.919) -- (3.476,4.795) -- (3.646,4.749) -- (3.816,4.795) -- (3.94,4.919) -- cycle;
\node at (3.646,5.089) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.977,5.208) -- (8.931,5.378) -- (8.807,5.502) -- (8.637,5.548) -- (8.467,5.502) -- (8.342,5.378) -- (8.297,5.208) -- (8.342,5.038) -- (8.467,4.913) -- (8.637,4.868) -- (8.807,4.913) -- (8.931,5.038) -- cycle;
\node at (8.637,5.208) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.264,3.033) -- (4.219,3.203) -- (4.094,3.327) -- (3.924,3.373) -- (3.754,3.327) -- (3.63,3.203) -- (3.584,3.033) -- (3.63,2.863) -- (3.754,2.738) -- (3.924,2.693) -- (4.094,2.738) -- (4.219,2.863) -- cycle;
\node at (3.924,3.033) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.782,3.495) -- (8.736,3.665) -- (8.612,3.789) -- (8.442,3.835) -- (8.272,3.789) -- (8.147,3.665) -- (8.102,3.495) -- (8.147,3.325) -- (8.272,3.201) -- (8.442,3.155) -- (8.612,3.201) -- (8.736,3.325) -- cycle;
\node at (8.442,3.495) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.384,2.964) -- (11.338,3.134) -- (11.214,3.258) -- (11.044,3.304) -- (10.874,3.258) -- (10.749,3.134) -- (10.704,2.964) -- (10.749,2.794) -- (10.874,2.669) -- (11.044,2.624) -- (11.214,2.669) -- (11.338,2.794) -- cycle;
\node at (11.044,2.964) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.824,0.95) -- (6.779,1.12) -- (6.654,1.244) -- (6.484,1.29) -- (6.314,1.244) -- (6.19,1.12) -- (6.144,0.95) -- (6.19,0.78) -- (6.314,0.656) -- (6.484,0.61) -- (6.654,0.656) -- (6.779,0.78) -- cycle;
\node at (6.484,0.95) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.576,4.394) -- (6.176,4.394) -- (6.176,4.994) -- (5.576,4.994) -- cycle;
\node at (5.876,4.694) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.575,8.067) -- (7.175,8.067) -- (7.175,8.667) -- (6.575,8.667) -- cycle;
\node at (6.875,8.367) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.808,7.674) -- (12.408,7.674) -- (12.408,8.274) -- (11.808,8.274) -- cycle;
\node at (12.108,7.974) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.964,1.798) -- (3.564,1.798) -- (3.564,2.398) -- (2.964,2.398) -- cycle;
\node at (3.264,2.098) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (10.598,10.739) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (6.193,10.571) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (0.765,5.201) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (5.386,4.313) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (11.997,4.527) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (1.35,1.162) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (10.775,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,9.285) -- (12.685,10.385);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,10.0) -- (12.685,10.385) -- (12.916,10.0);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,9.835) -- (12.987,9.835);
\node at (12.685,10.77) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 1 & 6 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, E, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
