\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 325}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=325}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0325}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7047, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.278,8.738) -- (1.499,8.721) -- (1.72,8.71) -- (1.942,8.704) -- (2.164,8.703) -- (2.385,8.707) -- (2.607,8.716) -- (2.828,8.731) -- (3.049,8.751) -- (3.27,8.776) -- (3.49,8.806) -- (3.709,8.841) -- (3.927,8.881) -- (4.144,8.927) -- (4.36,8.978) -- (4.636,8.975) -- (4.913,8.966) -- (5.189,8.951) -- (5.465,8.929) -- (5.741,8.9) -- (6.015,8.865) -- (6.289,8.823) -- (6.562,8.776) -- (6.834,8.721) -- (7.104,8.661) -- (7.373,8.594) -- (7.64,8.52) -- (7.905,8.441) -- (8.168,8.355);
\draw[line width=0.5pt] (1.278,8.738) -- (1.5,8.541) -- (1.718,8.339) -- (1.931,8.131) -- (2.139,7.919) -- (2.343,7.702) -- (2.541,7.48) -- (2.733,7.253) -- (2.921,7.022) -- (3.103,6.786) -- (3.279,6.547) -- (3.45,6.303) -- (3.615,6.055) -- (3.773,5.804) -- (3.926,5.549);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (7.836,8.203) -- (7.509,8.042) -- (7.185,7.874) -- (6.865,7.699) -- (6.549,7.515) -- (6.238,7.325) -- (5.931,7.127) -- (5.629,6.922) -- (5.332,6.71) -- (5.04,6.491) -- (4.753,6.266) -- (4.472,6.033) -- (4.196,5.794) -- (3.926,5.549);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (8.389,8.154) -- (8.606,7.948) -- (8.817,7.737) -- (9.024,7.52) -- (9.226,7.299) -- (9.422,7.074) -- (9.613,6.843) -- (9.798,6.609) -- (9.978,6.369) -- (10.153,6.126) -- (10.321,5.879) -- (10.484,5.628) -- (10.64,5.373) -- (10.791,5.115);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (8.102,8.092) -- (8.042,7.827) -- (7.988,7.561) -- (7.941,7.294) -- (7.9,7.026) -- (7.865,6.757) -- (7.837,6.487) -- (7.815,6.216) -- (7.8,5.945) -- (7.79,5.674) -- (7.787,5.403) -- (7.791,5.131) -- (7.801,4.86) -- (7.817,4.59);
\draw[line width=0.5pt] (3.926,5.549) -- (4.063,5.306) -- (4.195,5.06) -- (4.32,4.81) -- (4.44,4.558) -- (4.553,4.303) -- (4.661,4.045) -- (4.763,3.785) -- (4.858,3.522) -- (4.947,3.257) -- (5.03,2.991) -- (5.107,2.722) -- (5.177,2.452) -- (5.241,2.18) -- (5.298,1.907);
\draw[line width=0.5pt] (3.926,5.549) -- (4.21,5.213) -- (4.501,4.883) -- (4.801,4.561) -- (5.108,4.245) -- (5.422,3.937) -- (5.744,3.636) -- (6.073,3.343) -- (6.408,3.057) -- (6.75,2.78) -- (7.098,2.511) -- (7.453,2.25) -- (7.813,1.997) -- (8.18,1.753) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.586,5.045) -- (10.379,4.98) -- (10.171,4.92) -- (9.962,4.865) -- (9.751,4.815) -- (9.539,4.77) -- (9.326,4.73) -- (9.112,4.694) -- (8.897,4.664) -- (8.682,4.639) -- (8.466,4.619) -- (8.25,4.604) -- (8.034,4.594) -- (7.817,4.59);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.794,4.907) -- (10.802,4.699) -- (10.815,4.491) -- (10.833,4.284) -- (10.856,4.077) -- (10.884,3.87) -- (10.916,3.665) -- (10.954,3.46) -- (10.996,3.256) -- (11.043,3.053) -- (11.094,2.851) -- (11.151,2.651) -- (11.212,2.452) -- (11.278,2.255);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.672,4.836) -- (10.546,4.559) -- (10.413,4.286) -- (10.274,4.015) -- (10.129,3.748) -- (9.977,3.484) -- (9.82,3.224) -- (9.656,2.968) -- (9.486,2.716) -- (9.31,2.467) -- (9.129,2.223) -- (8.942,1.984) -- (8.75,1.749) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (11.278,2.255) -- (11.076,2.232) -- (10.876,2.205) -- (10.676,2.173) -- (10.476,2.137) -- (10.278,2.095) -- (10.081,2.049) -- (9.884,1.999) -- (9.689,1.944) -- (9.495,1.884) -- (9.303,1.82) -- (9.113,1.751) -- (8.924,1.678) -- (8.737,1.6) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (5.298,1.907) -- (5.533,1.915) -- (5.768,1.917) -- (6.003,1.914) -- (6.238,1.906) -- (6.473,1.892) -- (6.707,1.872) -- (6.941,1.847) -- (7.174,1.816) -- (7.407,1.78) -- (7.638,1.738) -- (7.868,1.691) -- (8.097,1.639) -- (8.325,1.581) -- (8.551,1.518);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.438,8.738) -- (1.416,8.818) -- (1.358,8.877) -- (1.278,8.898) -- (1.198,8.877) -- (1.139,8.818) -- (1.118,8.738) -- (1.139,8.658) -- (1.198,8.6) -- (1.278,8.578) -- (1.358,8.6) -- (1.416,8.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.328,8.355) -- (8.306,8.435) -- (8.248,8.494) -- (8.168,8.515) -- (8.088,8.494) -- (8.029,8.435) -- (8.008,8.355) -- (8.029,8.275) -- (8.088,8.216) -- (8.168,8.195) -- (8.248,8.216) -- (8.306,8.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.086,5.549) -- (4.065,5.629) -- (4.006,5.688) -- (3.926,5.709) -- (3.846,5.688) -- (3.788,5.629) -- (3.766,5.549) -- (3.788,5.469) -- (3.846,5.411) -- (3.926,5.389) -- (4.006,5.411) -- (4.065,5.469) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.951,5.115) -- (10.929,5.195) -- (10.871,5.254) -- (10.791,5.275) -- (10.711,5.254) -- (10.652,5.195) -- (10.631,5.115) -- (10.652,5.035) -- (10.711,4.977) -- (10.791,4.955) -- (10.871,4.977) -- (10.929,5.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.977,4.59) -- (7.956,4.67) -- (7.897,4.728) -- (7.817,4.75) -- (7.737,4.728) -- (7.679,4.67) -- (7.657,4.59) -- (7.679,4.51) -- (7.737,4.451) -- (7.817,4.43) -- (7.897,4.451) -- (7.956,4.51) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.438,2.255) -- (11.416,2.335) -- (11.358,2.393) -- (11.278,2.415) -- (11.198,2.393) -- (11.139,2.335) -- (11.118,2.255) -- (11.139,2.175) -- (11.198,2.116) -- (11.278,2.095) -- (11.358,2.116) -- (11.416,2.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.458,1.907) -- (5.437,1.987) -- (5.378,2.045) -- (5.298,2.067) -- (5.218,2.045) -- (5.16,1.987) -- (5.138,1.907) -- (5.16,1.827) -- (5.218,1.768) -- (5.298,1.747) -- (5.378,1.768) -- (5.437,1.827) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.711,1.518) -- (8.69,1.598) -- (8.631,1.657) -- (8.551,1.678) -- (8.471,1.657) -- (8.413,1.598) -- (8.391,1.518) -- (8.413,1.438) -- (8.471,1.38) -- (8.551,1.358) -- (8.631,1.38) -- (8.69,1.438) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.668,9.296) -- (4.623,9.466) -- (4.498,9.591) -- (4.328,9.636) -- (4.158,9.591) -- (4.034,9.466) -- (3.988,9.296) -- (4.034,9.126) -- (4.158,9.002) -- (4.328,8.956) -- (4.498,9.002) -- (4.623,9.126) -- cycle;
\node at (4.328,9.296) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.32,7.457) -- (3.274,7.627) -- (3.15,7.752) -- (2.98,7.797) -- (2.81,7.752) -- (2.685,7.627) -- (2.64,7.457) -- (2.685,7.287) -- (2.81,7.163) -- (2.98,7.117) -- (3.15,7.163) -- (3.274,7.287) -- cycle;
\node at (2.98,7.457) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.448,6.86) -- (6.402,7.03) -- (6.278,7.155) -- (6.108,7.2) -- (5.938,7.155) -- (5.813,7.03) -- (5.768,6.86) -- (5.813,6.69) -- (5.938,6.566) -- (6.108,6.52) -- (6.278,6.566) -- (6.402,6.69) -- cycle;
\node at (6.108,6.86) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.202,7.045) -- (10.156,7.215) -- (10.032,7.339) -- (9.862,7.385) -- (9.692,7.339) -- (9.567,7.215) -- (9.522,7.045) -- (9.567,6.875) -- (9.692,6.75) -- (9.862,6.705) -- (10.032,6.75) -- (10.156,6.875) -- cycle;
\node at (9.862,7.045) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.496,6.457) -- (8.45,6.627) -- (8.326,6.752) -- (8.156,6.797) -- (7.986,6.752) -- (7.861,6.627) -- (7.816,6.457) -- (7.861,6.287) -- (7.986,6.163) -- (8.156,6.117) -- (8.326,6.163) -- (8.45,6.287) -- cycle;
\node at (8.156,6.457) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.402,3.897) -- (5.356,4.067) -- (5.232,4.192) -- (5.062,4.237) -- (4.892,4.192) -- (4.768,4.067) -- (4.722,3.897) -- (4.768,3.727) -- (4.892,3.603) -- (5.062,3.557) -- (5.232,3.603) -- (5.356,3.727) -- cycle;
\node at (5.062,3.897) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,3.584) -- (6.577,3.754) -- (6.453,3.879) -- (6.283,3.924) -- (6.113,3.879) -- (5.988,3.754) -- (5.943,3.584) -- (5.988,3.414) -- (6.113,3.29) -- (6.283,3.244) -- (6.453,3.29) -- (6.577,3.414) -- cycle;
\node at (6.283,3.584) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.721,4.415) -- (9.676,4.585) -- (9.551,4.709) -- (9.381,4.755) -- (9.211,4.709) -- (9.087,4.585) -- (9.041,4.415) -- (9.087,4.245) -- (9.211,4.12) -- (9.381,4.075) -- (9.551,4.12) -- (9.676,4.245) -- cycle;
\node at (9.381,4.415) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.572,3.718) -- (11.526,3.888) -- (11.402,4.013) -- (11.232,4.058) -- (11.062,4.013) -- (10.937,3.888) -- (10.892,3.718) -- (10.937,3.548) -- (11.062,3.424) -- (11.232,3.378) -- (11.402,3.424) -- (11.526,3.548) -- cycle;
\node at (11.232,3.718) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.431,3.055) -- (10.386,3.225) -- (10.261,3.35) -- (10.091,3.395) -- (9.921,3.35) -- (9.797,3.225) -- (9.751,3.055) -- (9.797,2.885) -- (9.921,2.761) -- (10.091,2.715) -- (10.261,2.761) -- (10.386,2.885) -- cycle;
\node at (10.091,3.055) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.308,1.69) -- (10.262,1.86) -- (10.138,1.984) -- (9.968,2.03) -- (9.798,1.984) -- (9.673,1.86) -- (9.628,1.69) -- (9.673,1.52) -- (9.798,1.395) -- (9.968,1.35) -- (10.138,1.395) -- (10.262,1.52) -- cycle;
\node at (9.968,1.69) {\scalebox{1.419}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.319,2.164) -- (7.273,2.334) -- (7.149,2.459) -- (6.979,2.504) -- (6.809,2.459) -- (6.685,2.334) -- (6.639,2.164) -- (6.685,1.994) -- (6.809,1.87) -- (6.979,1.824) -- (7.149,1.87) -- (7.273,1.994) -- cycle;
\node at (6.979,2.164) {\scalebox{1.419}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.491,4.815) -- (11.091,4.815) -- (11.091,5.415) -- (10.491,5.415) -- cycle;
\node at (10.791,5.115) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.962,7.945) -- (2.562,7.945) -- (2.562,8.545) -- (1.962,8.545) -- cycle;
\node at (2.262,8.245) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,2.083) -- (11.539,2.083) -- (11.539,2.683) -- (10.939,2.683) -- cycle;
\node at (11.239,2.383) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.465,7.363) -- (6.065,7.363) -- (6.065,7.963) -- (5.465,7.963) -- cycle;
\node at (5.765,7.663) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.962,3.256) -- (4.562,3.256) -- (4.562,3.856) -- (3.962,3.856) -- cycle;
\node at (4.262,3.556) {\scalebox{1.419}{\small e}};
\node at (0.765,9.087) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (8.338,8.951) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (3.324,5.698) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (11.408,5.176) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (8.42,4.444) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.808,1.934) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (4.962,1.386) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (8.8,0.95) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.578,7.788) -- (12.578,8.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,8.503) -- (12.578,8.888) -- (12.809,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,8.338) -- (12.88,8.338);
\node at (12.578,9.273) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin du Lavoir & ⑦ chemin des Vignes & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑧ rue de la Poste & Ⓑ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue Verte & ⑨ sentier des Prés & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue Neuve & ⑩ rue du Puits & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls & ⑪ rue des Écoles & Ⓔ Place de l'Église & \textbf{e} le lavoir \\ \hline
⑥ rue du Pont & ⑫ rue Basse & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6306, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.278,8.738) -- (1.499,8.721) -- (1.72,8.71) -- (1.942,8.704) -- (2.164,8.703) -- (2.385,8.707) -- (2.607,8.716) -- (2.828,8.731) -- (3.049,8.751) -- (3.27,8.776) -- (3.49,8.806) -- (3.709,8.841) -- (3.927,8.881) -- (4.144,8.927) -- (4.36,8.978) -- (4.636,8.975) -- (4.913,8.966) -- (5.189,8.951) -- (5.465,8.929) -- (5.741,8.9) -- (6.015,8.865) -- (6.289,8.823) -- (6.562,8.776) -- (6.834,8.721) -- (7.104,8.661) -- (7.373,8.594) -- (7.64,8.52) -- (7.905,8.441) -- (8.168,8.355);
\draw[line width=0.5pt] (1.278,8.738) -- (1.5,8.541) -- (1.718,8.339) -- (1.931,8.131) -- (2.139,7.919) -- (2.343,7.702) -- (2.541,7.48) -- (2.733,7.253) -- (2.921,7.022) -- (3.103,6.786) -- (3.279,6.547) -- (3.45,6.303) -- (3.615,6.055) -- (3.773,5.804) -- (3.926,5.549);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (7.836,8.203) -- (7.509,8.042) -- (7.185,7.874) -- (6.865,7.699) -- (6.549,7.515) -- (6.238,7.325) -- (5.931,7.127) -- (5.629,6.922) -- (5.332,6.71) -- (5.04,6.491) -- (4.753,6.266) -- (4.472,6.033) -- (4.196,5.794) -- (3.926,5.549);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (8.389,8.154) -- (8.606,7.948) -- (8.817,7.737) -- (9.024,7.52) -- (9.226,7.299) -- (9.422,7.074) -- (9.613,6.843) -- (9.798,6.609) -- (9.978,6.369) -- (10.153,6.126) -- (10.321,5.879) -- (10.484,5.628) -- (10.64,5.373) -- (10.791,5.115);
\draw[line width=0.5pt] (8.168,8.355) -- (8.102,8.092) -- (8.042,7.827) -- (7.988,7.561) -- (7.941,7.294) -- (7.9,7.026) -- (7.865,6.757) -- (7.837,6.487) -- (7.815,6.216) -- (7.8,5.945) -- (7.79,5.674) -- (7.787,5.403) -- (7.791,5.131) -- (7.801,4.86) -- (7.817,4.59);
\draw[line width=0.5pt] (3.926,5.549) -- (4.063,5.306) -- (4.195,5.06) -- (4.32,4.81) -- (4.44,4.558) -- (4.553,4.303) -- (4.661,4.045) -- (4.763,3.785) -- (4.858,3.522) -- (4.947,3.257) -- (5.03,2.991) -- (5.107,2.722) -- (5.177,2.452) -- (5.241,2.18) -- (5.298,1.907);
\draw[line width=0.5pt] (3.926,5.549) -- (4.21,5.213) -- (4.501,4.883) -- (4.801,4.561) -- (5.108,4.245) -- (5.422,3.937) -- (5.744,3.636) -- (6.073,3.343) -- (6.408,3.057) -- (6.75,2.78) -- (7.098,2.511) -- (7.453,2.25) -- (7.813,1.997) -- (8.18,1.753) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.586,5.045) -- (10.379,4.98) -- (10.171,4.92) -- (9.962,4.865) -- (9.751,4.815) -- (9.539,4.77) -- (9.326,4.73) -- (9.112,4.694) -- (8.897,4.664) -- (8.682,4.639) -- (8.466,4.619) -- (8.25,4.604) -- (8.034,4.594) -- (7.817,4.59);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.794,4.907) -- (10.802,4.699) -- (10.815,4.491) -- (10.833,4.284) -- (10.856,4.077) -- (10.884,3.87) -- (10.916,3.665) -- (10.954,3.46) -- (10.996,3.256) -- (11.043,3.053) -- (11.094,2.851) -- (11.151,2.651) -- (11.212,2.452) -- (11.278,2.255);
\draw[line width=0.5pt] (10.791,5.115) -- (10.672,4.836) -- (10.546,4.559) -- (10.413,4.286) -- (10.274,4.015) -- (10.129,3.748) -- (9.977,3.484) -- (9.82,3.224) -- (9.656,2.968) -- (9.486,2.716) -- (9.31,2.467) -- (9.129,2.223) -- (8.942,1.984) -- (8.75,1.749) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (11.278,2.255) -- (11.076,2.232) -- (10.876,2.205) -- (10.676,2.173) -- (10.476,2.137) -- (10.278,2.095) -- (10.081,2.049) -- (9.884,1.999) -- (9.689,1.944) -- (9.495,1.884) -- (9.303,1.82) -- (9.113,1.751) -- (8.924,1.678) -- (8.737,1.6) -- (8.551,1.518);
\draw[line width=0.5pt] (5.298,1.907) -- (5.533,1.915) -- (5.768,1.917) -- (6.003,1.914) -- (6.238,1.906) -- (6.473,1.892) -- (6.707,1.872) -- (6.941,1.847) -- (7.174,1.816) -- (7.407,1.78) -- (7.638,1.738) -- (7.868,1.691) -- (8.097,1.639) -- (8.325,1.581) -- (8.551,1.518);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.438,8.738) -- (1.416,8.818) -- (1.358,8.877) -- (1.278,8.898) -- (1.198,8.877) -- (1.139,8.818) -- (1.118,8.738) -- (1.139,8.658) -- (1.198,8.6) -- (1.278,8.578) -- (1.358,8.6) -- (1.416,8.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.328,8.355) -- (8.306,8.435) -- (8.248,8.494) -- (8.168,8.515) -- (8.088,8.494) -- (8.029,8.435) -- (8.008,8.355) -- (8.029,8.275) -- (8.088,8.216) -- (8.168,8.195) -- (8.248,8.216) -- (8.306,8.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.086,5.549) -- (4.065,5.629) -- (4.006,5.688) -- (3.926,5.709) -- (3.846,5.688) -- (3.788,5.629) -- (3.766,5.549) -- (3.788,5.469) -- (3.846,5.411) -- (3.926,5.389) -- (4.006,5.411) -- (4.065,5.469) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.951,5.115) -- (10.929,5.195) -- (10.871,5.254) -- (10.791,5.275) -- (10.711,5.254) -- (10.652,5.195) -- (10.631,5.115) -- (10.652,5.035) -- (10.711,4.977) -- (10.791,4.955) -- (10.871,4.977) -- (10.929,5.035) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.977,4.59) -- (7.956,4.67) -- (7.897,4.728) -- (7.817,4.75) -- (7.737,4.728) -- (7.679,4.67) -- (7.657,4.59) -- (7.679,4.51) -- (7.737,4.451) -- (7.817,4.43) -- (7.897,4.451) -- (7.956,4.51) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.438,2.255) -- (11.416,2.335) -- (11.358,2.393) -- (11.278,2.415) -- (11.198,2.393) -- (11.139,2.335) -- (11.118,2.255) -- (11.139,2.175) -- (11.198,2.116) -- (11.278,2.095) -- (11.358,2.116) -- (11.416,2.175) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.458,1.907) -- (5.437,1.987) -- (5.378,2.045) -- (5.298,2.067) -- (5.218,2.045) -- (5.16,1.987) -- (5.138,1.907) -- (5.16,1.827) -- (5.218,1.768) -- (5.298,1.747) -- (5.378,1.768) -- (5.437,1.827) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.711,1.518) -- (8.69,1.598) -- (8.631,1.657) -- (8.551,1.678) -- (8.471,1.657) -- (8.413,1.598) -- (8.391,1.518) -- (8.413,1.438) -- (8.471,1.38) -- (8.551,1.358) -- (8.631,1.38) -- (8.69,1.438) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.668,9.296) -- (4.623,9.466) -- (4.498,9.591) -- (4.328,9.636) -- (4.158,9.591) -- (4.034,9.466) -- (3.988,9.296) -- (4.034,9.126) -- (4.158,9.002) -- (4.328,8.956) -- (4.498,9.002) -- (4.623,9.126) -- cycle;
\node at (4.328,9.296) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.32,7.457) -- (3.274,7.627) -- (3.15,7.752) -- (2.98,7.797) -- (2.81,7.752) -- (2.685,7.627) -- (2.64,7.457) -- (2.685,7.287) -- (2.81,7.163) -- (2.98,7.117) -- (3.15,7.163) -- (3.274,7.287) -- cycle;
\node at (2.98,7.457) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.448,6.86) -- (6.402,7.03) -- (6.278,7.155) -- (6.108,7.2) -- (5.938,7.155) -- (5.813,7.03) -- (5.768,6.86) -- (5.813,6.69) -- (5.938,6.566) -- (6.108,6.52) -- (6.278,6.566) -- (6.402,6.69) -- cycle;
\node at (6.108,6.86) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.202,7.045) -- (10.156,7.215) -- (10.032,7.339) -- (9.862,7.385) -- (9.692,7.339) -- (9.567,7.215) -- (9.522,7.045) -- (9.567,6.875) -- (9.692,6.75) -- (9.862,6.705) -- (10.032,6.75) -- (10.156,6.875) -- cycle;
\node at (9.862,7.045) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.496,6.457) -- (8.45,6.627) -- (8.326,6.752) -- (8.156,6.797) -- (7.986,6.752) -- (7.861,6.627) -- (7.816,6.457) -- (7.861,6.287) -- (7.986,6.163) -- (8.156,6.117) -- (8.326,6.163) -- (8.45,6.287) -- cycle;
\node at (8.156,6.457) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.402,3.897) -- (5.356,4.067) -- (5.232,4.192) -- (5.062,4.237) -- (4.892,4.192) -- (4.768,4.067) -- (4.722,3.897) -- (4.768,3.727) -- (4.892,3.603) -- (5.062,3.557) -- (5.232,3.603) -- (5.356,3.727) -- cycle;
\node at (5.062,3.897) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,3.584) -- (6.577,3.754) -- (6.453,3.879) -- (6.283,3.924) -- (6.113,3.879) -- (5.988,3.754) -- (5.943,3.584) -- (5.988,3.414) -- (6.113,3.29) -- (6.283,3.244) -- (6.453,3.29) -- (6.577,3.414) -- cycle;
\node at (6.283,3.584) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.721,4.415) -- (9.676,4.585) -- (9.551,4.709) -- (9.381,4.755) -- (9.211,4.709) -- (9.087,4.585) -- (9.041,4.415) -- (9.087,4.245) -- (9.211,4.12) -- (9.381,4.075) -- (9.551,4.12) -- (9.676,4.245) -- cycle;
\node at (9.381,4.415) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.572,3.718) -- (11.526,3.888) -- (11.402,4.013) -- (11.232,4.058) -- (11.062,4.013) -- (10.937,3.888) -- (10.892,3.718) -- (10.937,3.548) -- (11.062,3.424) -- (11.232,3.378) -- (11.402,3.424) -- (11.526,3.548) -- cycle;
\node at (11.232,3.718) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.431,3.055) -- (10.386,3.225) -- (10.261,3.35) -- (10.091,3.395) -- (9.921,3.35) -- (9.797,3.225) -- (9.751,3.055) -- (9.797,2.885) -- (9.921,2.761) -- (10.091,2.715) -- (10.261,2.761) -- (10.386,2.885) -- cycle;
\node at (10.091,3.055) {\scalebox{1.586}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.308,1.69) -- (10.262,1.86) -- (10.138,1.984) -- (9.968,2.03) -- (9.798,1.984) -- (9.673,1.86) -- (9.628,1.69) -- (9.673,1.52) -- (9.798,1.395) -- (9.968,1.35) -- (10.138,1.395) -- (10.262,1.52) -- cycle;
\node at (9.968,1.69) {\scalebox{1.586}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.319,2.164) -- (7.273,2.334) -- (7.149,2.459) -- (6.979,2.504) -- (6.809,2.459) -- (6.685,2.334) -- (6.639,2.164) -- (6.685,1.994) -- (6.809,1.87) -- (6.979,1.824) -- (7.149,1.87) -- (7.273,1.994) -- cycle;
\node at (6.979,2.164) {\scalebox{1.586}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.491,4.815) -- (11.091,4.815) -- (11.091,5.415) -- (10.491,5.415) -- cycle;
\node at (10.791,5.115) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.962,7.945) -- (2.562,7.945) -- (2.562,8.545) -- (1.962,8.545) -- cycle;
\node at (2.262,8.245) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,2.083) -- (11.539,2.083) -- (11.539,2.683) -- (10.939,2.683) -- cycle;
\node at (11.239,2.383) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.465,7.363) -- (6.065,7.363) -- (6.065,7.963) -- (5.465,7.963) -- cycle;
\node at (5.765,7.663) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.962,3.256) -- (4.562,3.256) -- (4.562,3.856) -- (3.962,3.856) -- cycle;
\node at (4.262,3.556) {\scalebox{1.586}{\small e}};
\node at (0.765,9.087) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (8.338,8.951) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (3.324,5.698) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (11.408,5.176) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (8.42,4.444) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.808,1.934) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (4.962,1.386) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\node at (8.8,0.95) {\scalebox{1.586}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.578,7.788) -- (12.578,8.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,8.503) -- (12.578,8.888) -- (12.809,8.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.275,8.338) -- (12.88,8.338);
\node at (12.578,9.273) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue Neuve ④} vers le nord-ouest et atteint Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin du Lavoir ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ③}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Pont ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑫}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
