\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 33}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=33}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0033}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7045, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (5.941,8.096) -- (5.59,8.001) -- (5.241,7.897) -- (4.895,7.786) -- (4.551,7.666) -- (4.211,7.538) -- (3.873,7.403) -- (3.538,7.259) -- (3.207,7.107) -- (2.88,6.948) -- (2.557,6.781) -- (2.237,6.607) -- (1.922,6.425) -- (1.612,6.236);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.115,7.91) -- (5.929,7.641) -- (5.737,7.377) -- (5.538,7.117) -- (5.333,6.863) -- (5.123,6.613) -- (4.906,6.367) -- (4.684,6.128) -- (4.456,5.893) -- (4.223,5.664) -- (3.985,5.44) -- (3.741,5.222) -- (3.493,5.01) -- (3.239,4.804);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.186,7.841) -- (6.085,7.497) -- (5.992,7.151) -- (5.907,6.803) -- (5.831,6.452) -- (5.763,6.1) -- (5.703,5.746) -- (5.651,5.391) -- (5.608,5.035) -- (5.573,4.678) -- (5.547,4.321) -- (5.529,3.963) -- (5.52,3.604) -- (5.519,3.246);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.571,7.988) -- (6.843,7.787) -- (7.11,7.58) -- (7.373,7.366) -- (7.63,7.146) -- (7.882,6.921) -- (8.129,6.689) -- (8.37,6.451) -- (8.605,6.208) -- (8.835,5.96) -- (9.059,5.706) -- (9.276,5.447) -- (9.488,5.184) -- (9.693,4.915) -- (9.773,4.687) -- (9.858,4.461) -- (9.949,4.237) -- (10.045,4.015) -- (10.147,3.795) -- (10.253,3.578) -- (10.365,3.364) -- (10.481,3.152) -- (10.603,2.942) -- (10.729,2.736) -- (10.86,2.533) -- (10.996,2.333) -- (11.136,2.137) -- (11.281,1.943);
\draw[line width=0.5pt] (1.612,6.236) -- (1.711,6.117) -- (1.814,6.0) -- (1.919,5.886) -- (2.027,5.774) -- (2.138,5.664) -- (2.251,5.557) -- (2.366,5.453) -- (2.484,5.352) -- (2.605,5.253) -- (2.727,5.157) -- (2.852,5.065) -- (2.979,4.975) -- (3.108,4.888) -- (3.239,4.804);
\draw[line width=0.5pt] (1.612,6.236) -- (1.634,5.934) -- (1.65,5.631) -- (1.658,5.327) -- (1.66,5.024) -- (1.654,4.72) -- (1.641,4.417) -- (1.62,4.114) -- (1.593,3.811) -- (1.559,3.509) -- (1.517,3.209) -- (1.469,2.909) -- (1.413,2.611) -- (1.351,2.314) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (3.239,4.804) -- (3.07,4.628) -- (2.905,4.448) -- (2.744,4.265) -- (2.588,4.077) -- (2.436,3.885) -- (2.288,3.691) -- (2.145,3.492) -- (2.007,3.291) -- (1.874,3.086) -- (1.745,2.878) -- (1.622,2.667) -- (1.503,2.454) -- (1.39,2.237) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (5.519,3.246) -- (5.232,3.113) -- (4.942,2.986) -- (4.649,2.866) -- (4.353,2.754) -- (4.055,2.648) -- (3.754,2.549) -- (3.451,2.457) -- (3.145,2.373) -- (2.838,2.296) -- (2.53,2.225) -- (2.219,2.163) -- (1.908,2.107) -- (1.595,2.059) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (5.519,3.246) -- (5.913,3.091) -- (6.311,2.945) -- (6.712,2.808) -- (7.116,2.681) -- (7.524,2.563) -- (7.934,2.455) -- (8.346,2.357) -- (8.761,2.268) -- (9.178,2.189) -- (9.596,2.12) -- (10.016,2.061) -- (10.437,2.012) -- (10.859,1.973) -- (11.281,1.943);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.455,8.183) -- (6.433,8.263) -- (6.375,8.321) -- (6.295,8.343) -- (6.215,8.321) -- (6.156,8.263) -- (6.135,8.183) -- (6.156,8.103) -- (6.215,8.044) -- (6.295,8.023) -- (6.375,8.044) -- (6.433,8.103) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.772,6.236) -- (1.75,6.316) -- (1.692,6.375) -- (1.612,6.396) -- (1.532,6.375) -- (1.473,6.316) -- (1.452,6.236) -- (1.473,6.156) -- (1.532,6.098) -- (1.612,6.076) -- (1.692,6.098) -- (1.75,6.156) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.399,4.804) -- (3.378,4.884) -- (3.319,4.943) -- (3.239,4.964) -- (3.159,4.943) -- (3.101,4.884) -- (3.079,4.804) -- (3.101,4.724) -- (3.159,4.666) -- (3.239,4.644) -- (3.319,4.666) -- (3.378,4.724) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.679,3.246) -- (5.657,3.326) -- (5.599,3.385) -- (5.519,3.406) -- (5.439,3.385) -- (5.38,3.326) -- (5.359,3.246) -- (5.38,3.166) -- (5.439,3.107) -- (5.519,3.086) -- (5.599,3.107) -- (5.657,3.166) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.441,2.018) -- (1.42,2.098) -- (1.361,2.157) -- (1.281,2.178) -- (1.201,2.157) -- (1.143,2.098) -- (1.121,2.018) -- (1.143,1.938) -- (1.201,1.88) -- (1.281,1.858) -- (1.361,1.88) -- (1.42,1.938) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.441,1.943) -- (11.42,2.023) -- (11.361,2.082) -- (11.281,2.103) -- (11.201,2.082) -- (11.143,2.023) -- (11.121,1.943) -- (11.143,1.863) -- (11.201,1.805) -- (11.281,1.783) -- (11.361,1.805) -- (11.42,1.863) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.336,7.107) -- (4.29,7.277) -- (4.166,7.401) -- (3.996,7.447) -- (3.826,7.401) -- (3.701,7.277) -- (3.656,7.107) -- (3.701,6.937) -- (3.826,6.813) -- (3.996,6.767) -- (4.166,6.813) -- (4.29,6.937) -- cycle;
\node at (3.996,7.107) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.484,6.153) -- (5.438,6.323) -- (5.314,6.447) -- (5.144,6.493) -- (4.974,6.447) -- (4.849,6.323) -- (4.804,6.153) -- (4.849,5.983) -- (4.974,5.858) -- (5.144,5.813) -- (5.314,5.858) -- (5.438,5.983) -- cycle;
\node at (5.144,6.153) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.359,5.697) -- (6.314,5.867) -- (6.189,5.991) -- (6.019,6.037) -- (5.849,5.991) -- (5.725,5.867) -- (5.679,5.697) -- (5.725,5.527) -- (5.849,5.402) -- (6.019,5.357) -- (6.189,5.402) -- (6.314,5.527) -- cycle;
\node at (6.019,5.697) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.31,5.074) -- (10.265,5.244) -- (10.14,5.369) -- (9.97,5.414) -- (9.8,5.369) -- (9.676,5.244) -- (9.63,5.074) -- (9.676,4.904) -- (9.8,4.78) -- (9.97,4.734) -- (10.14,4.78) -- (10.265,4.904) -- cycle;
\node at (9.97,5.074) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.918,5.693) -- (2.872,5.863) -- (2.748,5.988) -- (2.578,6.033) -- (2.408,5.988) -- (2.283,5.863) -- (2.238,5.693) -- (2.283,5.523) -- (2.408,5.399) -- (2.578,5.353) -- (2.748,5.399) -- (2.872,5.523) -- cycle;
\node at (2.578,5.693) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.279,4.089) -- (2.234,4.259) -- (2.109,4.383) -- (1.939,4.429) -- (1.769,4.383) -- (1.645,4.259) -- (1.599,4.089) -- (1.645,3.919) -- (1.769,3.794) -- (1.939,3.749) -- (2.109,3.794) -- (2.234,3.919) -- cycle;
\node at (1.939,4.089) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.747,3.308) -- (2.702,3.478) -- (2.577,3.603) -- (2.407,3.648) -- (2.237,3.603) -- (2.113,3.478) -- (2.067,3.308) -- (2.113,3.138) -- (2.237,3.014) -- (2.407,2.968) -- (2.577,3.014) -- (2.702,3.138) -- cycle;
\node at (2.407,3.308) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.88,2.15) -- (3.834,2.32) -- (3.71,2.445) -- (3.54,2.49) -- (3.37,2.445) -- (3.245,2.32) -- (3.2,2.15) -- (3.245,1.98) -- (3.37,1.856) -- (3.54,1.81) -- (3.71,1.856) -- (3.834,1.98) -- cycle;
\node at (3.54,2.15) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.757,2.669) -- (8.711,2.839) -- (8.587,2.964) -- (8.417,3.009) -- (8.247,2.964) -- (8.122,2.839) -- (8.077,2.669) -- (8.122,2.499) -- (8.247,2.375) -- (8.417,2.329) -- (8.587,2.375) -- (8.711,2.499) -- cycle;
\node at (8.417,2.669) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.995,7.883) -- (6.595,7.883) -- (6.595,8.483) -- (5.995,8.483) -- cycle;
\node at (6.295,8.183) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.802,0.65) -- (3.402,0.65) -- (3.402,1.25) -- (2.802,1.25) -- cycle;
\node at (3.102,0.95) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.759,6.103) -- (7.359,6.103) -- (7.359,6.703) -- (6.759,6.703) -- cycle;
\node at (7.059,6.403) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.182,2.167) -- (9.782,2.167) -- (9.782,2.767) -- (9.182,2.767) -- cycle;
\node at (9.482,2.467) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\node at (6.513,8.763) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (1.071,6.54) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (2.637,4.952) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (5.821,2.705) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (0.765,1.675) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.86,1.721) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.581,7.233) -- (12.581,8.333);
\draw[line width=0.5pt] (12.35,7.948) -- (12.581,8.333) -- (12.812,7.948);
\draw[line width=0.5pt] (12.279,7.783) -- (12.884,7.783);
\node at (12.581,8.718) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑥ rue Haute & Ⓐ Rond-point de la Gare & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑦ rue des Jardins & Ⓑ Rond-point de la Poste & \textbf{b} la bibliothèque \\ \hline
③ venelle du Chat & ⑧ rue Basse & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue Verte & ⑨ avenue de la Gare & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ allée des Peupliers &  & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6304, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (5.941,8.096) -- (5.59,8.001) -- (5.241,7.897) -- (4.895,7.786) -- (4.551,7.666) -- (4.211,7.538) -- (3.873,7.403) -- (3.538,7.259) -- (3.207,7.107) -- (2.88,6.948) -- (2.557,6.781) -- (2.237,6.607) -- (1.922,6.425) -- (1.612,6.236);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.115,7.91) -- (5.929,7.641) -- (5.737,7.377) -- (5.538,7.117) -- (5.333,6.863) -- (5.123,6.613) -- (4.906,6.367) -- (4.684,6.128) -- (4.456,5.893) -- (4.223,5.664) -- (3.985,5.44) -- (3.741,5.222) -- (3.493,5.01) -- (3.239,4.804);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.186,7.841) -- (6.085,7.497) -- (5.992,7.151) -- (5.907,6.803) -- (5.831,6.452) -- (5.763,6.1) -- (5.703,5.746) -- (5.651,5.391) -- (5.608,5.035) -- (5.573,4.678) -- (5.547,4.321) -- (5.529,3.963) -- (5.52,3.604) -- (5.519,3.246);
\draw[line width=0.5pt] (6.295,8.183) -- (6.571,7.988) -- (6.843,7.787) -- (7.11,7.58) -- (7.373,7.366) -- (7.63,7.146) -- (7.882,6.921) -- (8.129,6.689) -- (8.37,6.451) -- (8.605,6.208) -- (8.835,5.96) -- (9.059,5.706) -- (9.276,5.447) -- (9.488,5.184) -- (9.693,4.915) -- (9.773,4.687) -- (9.858,4.461) -- (9.949,4.237) -- (10.045,4.015) -- (10.147,3.795) -- (10.253,3.578) -- (10.365,3.364) -- (10.481,3.152) -- (10.603,2.942) -- (10.729,2.736) -- (10.86,2.533) -- (10.996,2.333) -- (11.136,2.137) -- (11.281,1.943);
\draw[line width=0.5pt] (1.612,6.236) -- (1.711,6.117) -- (1.814,6.0) -- (1.919,5.886) -- (2.027,5.774) -- (2.138,5.664) -- (2.251,5.557) -- (2.366,5.453) -- (2.484,5.352) -- (2.605,5.253) -- (2.727,5.157) -- (2.852,5.065) -- (2.979,4.975) -- (3.108,4.888) -- (3.239,4.804);
\draw[line width=0.5pt] (1.612,6.236) -- (1.634,5.934) -- (1.65,5.631) -- (1.658,5.327) -- (1.66,5.024) -- (1.654,4.72) -- (1.641,4.417) -- (1.62,4.114) -- (1.593,3.811) -- (1.559,3.509) -- (1.517,3.209) -- (1.469,2.909) -- (1.413,2.611) -- (1.351,2.314) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (3.239,4.804) -- (3.07,4.628) -- (2.905,4.448) -- (2.744,4.265) -- (2.588,4.077) -- (2.436,3.885) -- (2.288,3.691) -- (2.145,3.492) -- (2.007,3.291) -- (1.874,3.086) -- (1.745,2.878) -- (1.622,2.667) -- (1.503,2.454) -- (1.39,2.237) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (5.519,3.246) -- (5.232,3.113) -- (4.942,2.986) -- (4.649,2.866) -- (4.353,2.754) -- (4.055,2.648) -- (3.754,2.549) -- (3.451,2.457) -- (3.145,2.373) -- (2.838,2.296) -- (2.53,2.225) -- (2.219,2.163) -- (1.908,2.107) -- (1.595,2.059) -- (1.281,2.018);
\draw[line width=0.5pt] (5.519,3.246) -- (5.913,3.091) -- (6.311,2.945) -- (6.712,2.808) -- (7.116,2.681) -- (7.524,2.563) -- (7.934,2.455) -- (8.346,2.357) -- (8.761,2.268) -- (9.178,2.189) -- (9.596,2.12) -- (10.016,2.061) -- (10.437,2.012) -- (10.859,1.973) -- (11.281,1.943);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.455,8.183) -- (6.433,8.263) -- (6.375,8.321) -- (6.295,8.343) -- (6.215,8.321) -- (6.156,8.263) -- (6.135,8.183) -- (6.156,8.103) -- (6.215,8.044) -- (6.295,8.023) -- (6.375,8.044) -- (6.433,8.103) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.772,6.236) -- (1.75,6.316) -- (1.692,6.375) -- (1.612,6.396) -- (1.532,6.375) -- (1.473,6.316) -- (1.452,6.236) -- (1.473,6.156) -- (1.532,6.098) -- (1.612,6.076) -- (1.692,6.098) -- (1.75,6.156) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.399,4.804) -- (3.378,4.884) -- (3.319,4.943) -- (3.239,4.964) -- (3.159,4.943) -- (3.101,4.884) -- (3.079,4.804) -- (3.101,4.724) -- (3.159,4.666) -- (3.239,4.644) -- (3.319,4.666) -- (3.378,4.724) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.679,3.246) -- (5.657,3.326) -- (5.599,3.385) -- (5.519,3.406) -- (5.439,3.385) -- (5.38,3.326) -- (5.359,3.246) -- (5.38,3.166) -- (5.439,3.107) -- (5.519,3.086) -- (5.599,3.107) -- (5.657,3.166) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.441,2.018) -- (1.42,2.098) -- (1.361,2.157) -- (1.281,2.178) -- (1.201,2.157) -- (1.143,2.098) -- (1.121,2.018) -- (1.143,1.938) -- (1.201,1.88) -- (1.281,1.858) -- (1.361,1.88) -- (1.42,1.938) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.441,1.943) -- (11.42,2.023) -- (11.361,2.082) -- (11.281,2.103) -- (11.201,2.082) -- (11.143,2.023) -- (11.121,1.943) -- (11.143,1.863) -- (11.201,1.805) -- (11.281,1.783) -- (11.361,1.805) -- (11.42,1.863) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.336,7.107) -- (4.29,7.277) -- (4.166,7.401) -- (3.996,7.447) -- (3.826,7.401) -- (3.701,7.277) -- (3.656,7.107) -- (3.701,6.937) -- (3.826,6.813) -- (3.996,6.767) -- (4.166,6.813) -- (4.29,6.937) -- cycle;
\node at (3.996,7.107) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.484,6.153) -- (5.438,6.323) -- (5.314,6.447) -- (5.144,6.493) -- (4.974,6.447) -- (4.849,6.323) -- (4.804,6.153) -- (4.849,5.983) -- (4.974,5.858) -- (5.144,5.813) -- (5.314,5.858) -- (5.438,5.983) -- cycle;
\node at (5.144,6.153) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.359,5.697) -- (6.314,5.867) -- (6.189,5.991) -- (6.019,6.037) -- (5.849,5.991) -- (5.725,5.867) -- (5.679,5.697) -- (5.725,5.527) -- (5.849,5.402) -- (6.019,5.357) -- (6.189,5.402) -- (6.314,5.527) -- cycle;
\node at (6.019,5.697) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.31,5.074) -- (10.265,5.244) -- (10.14,5.369) -- (9.97,5.414) -- (9.8,5.369) -- (9.676,5.244) -- (9.63,5.074) -- (9.676,4.904) -- (9.8,4.78) -- (9.97,4.734) -- (10.14,4.78) -- (10.265,4.904) -- cycle;
\node at (9.97,5.074) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.918,5.693) -- (2.872,5.863) -- (2.748,5.988) -- (2.578,6.033) -- (2.408,5.988) -- (2.283,5.863) -- (2.238,5.693) -- (2.283,5.523) -- (2.408,5.399) -- (2.578,5.353) -- (2.748,5.399) -- (2.872,5.523) -- cycle;
\node at (2.578,5.693) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.279,4.089) -- (2.234,4.259) -- (2.109,4.383) -- (1.939,4.429) -- (1.769,4.383) -- (1.645,4.259) -- (1.599,4.089) -- (1.645,3.919) -- (1.769,3.794) -- (1.939,3.749) -- (2.109,3.794) -- (2.234,3.919) -- cycle;
\node at (1.939,4.089) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.747,3.308) -- (2.702,3.478) -- (2.577,3.603) -- (2.407,3.648) -- (2.237,3.603) -- (2.113,3.478) -- (2.067,3.308) -- (2.113,3.138) -- (2.237,3.014) -- (2.407,2.968) -- (2.577,3.014) -- (2.702,3.138) -- cycle;
\node at (2.407,3.308) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.88,2.15) -- (3.834,2.32) -- (3.71,2.445) -- (3.54,2.49) -- (3.37,2.445) -- (3.245,2.32) -- (3.2,2.15) -- (3.245,1.98) -- (3.37,1.856) -- (3.54,1.81) -- (3.71,1.856) -- (3.834,1.98) -- cycle;
\node at (3.54,2.15) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.757,2.669) -- (8.711,2.839) -- (8.587,2.964) -- (8.417,3.009) -- (8.247,2.964) -- (8.122,2.839) -- (8.077,2.669) -- (8.122,2.499) -- (8.247,2.375) -- (8.417,2.329) -- (8.587,2.375) -- (8.711,2.499) -- cycle;
\node at (8.417,2.669) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.995,7.883) -- (6.595,7.883) -- (6.595,8.483) -- (5.995,8.483) -- cycle;
\node at (6.295,8.183) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.802,0.65) -- (3.402,0.65) -- (3.402,1.25) -- (2.802,1.25) -- cycle;
\node at (3.102,0.95) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.759,6.103) -- (7.359,6.103) -- (7.359,6.703) -- (6.759,6.703) -- cycle;
\node at (7.059,6.403) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.182,2.167) -- (9.782,2.167) -- (9.782,2.767) -- (9.182,2.767) -- cycle;
\node at (9.482,2.467) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\node at (6.513,8.763) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (1.071,6.54) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (2.637,4.952) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (5.821,2.705) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (0.765,1.675) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.86,1.721) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.581,7.233) -- (12.581,8.333);
\draw[line width=0.5pt] (12.35,7.948) -- (12.581,8.333) -- (12.812,7.948);
\draw[line width=0.5pt] (12.279,7.783) -- (12.884,7.783);
\node at (12.581,8.718) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
