\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 330}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=330}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0330}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6898, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.037,7.897) -- (7.787,7.914) -- (7.536,7.925) -- (7.285,7.931) -- (7.033,7.93) -- (6.782,7.923) -- (6.531,7.91) -- (6.28,7.892) -- (6.03,7.868) -- (5.781,7.837) -- (5.532,7.801) -- (5.284,7.759) -- (5.038,7.712) -- (4.793,7.658);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.509,7.85) -- (8.731,7.821) -- (8.951,7.786) -- (9.171,7.746) -- (9.39,7.701) -- (9.608,7.651) -- (9.825,7.595) -- (10.04,7.535) -- (10.254,7.469) -- (10.466,7.399) -- (10.676,7.323) -- (10.884,7.243) -- (11.091,7.158) -- (11.295,7.068);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.027,7.701) -- (7.771,7.521) -- (7.519,7.335) -- (7.271,7.143) -- (7.028,6.946) -- (6.79,6.742) -- (6.556,6.534) -- (6.328,6.319) -- (6.104,6.1) -- (5.886,5.875) -- (5.673,5.645) -- (5.466,5.411) -- (5.264,5.171) -- (5.068,4.927);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.321,7.6) -- (8.348,7.324) -- (8.368,7.048) -- (8.382,6.771) -- (8.389,6.494) -- (8.39,6.217) -- (8.384,5.94) -- (8.372,5.663) -- (8.353,5.386) -- (8.328,5.11) -- (8.296,4.835) -- (8.258,4.56) -- (8.213,4.287) -- (8.162,4.015);
\draw[line width=0.5pt] (4.793,7.658) -- (4.782,7.461) -- (4.777,7.265) -- (4.776,7.068) -- (4.779,6.871) -- (4.787,6.674) -- (4.8,6.477) -- (4.818,6.281) -- (4.84,6.085) -- (4.867,5.89) -- (4.898,5.696) -- (4.934,5.502) -- (4.974,5.309) -- (5.019,5.118) -- (5.068,4.927);
\draw[line width=0.5pt] (11.295,7.068) -- (11.303,6.841) -- (11.305,6.615) -- (11.302,6.388) -- (11.293,6.162) -- (11.279,5.936) -- (11.26,5.71) -- (11.236,5.485) -- (11.206,5.26) -- (11.171,5.036) -- (11.131,4.813) -- (11.085,4.591) -- (11.035,4.37) -- (10.979,4.151) -- (10.918,3.933);
\draw[line width=0.5pt] (5.068,4.927) -- (5.277,4.829) -- (5.489,4.735) -- (5.703,4.647) -- (5.919,4.563) -- (6.137,4.485) -- (6.356,4.411) -- (6.578,4.343) -- (6.8,4.281) -- (7.025,4.223) -- (7.25,4.171) -- (7.477,4.124) -- (7.704,4.082) -- (7.933,4.046) -- (8.162,4.015);
\draw[line width=0.5pt] (5.068,4.927) -- (4.841,4.627) -- (4.606,4.332) -- (4.365,4.042) -- (4.117,3.759) -- (3.862,3.481) -- (3.6,3.209) -- (3.333,2.944) -- (3.059,2.684) -- (2.779,2.432) -- (2.493,2.186) -- (2.202,1.946) -- (1.905,1.714) -- (1.603,1.489) -- (1.295,1.271);
\draw[line width=0.5pt] (8.162,4.015) -- (8.356,3.979) -- (8.552,3.948) -- (8.748,3.921) -- (8.944,3.899) -- (9.141,3.881) -- (9.339,3.868) -- (9.536,3.86) -- (9.734,3.857) -- (9.932,3.858) -- (10.13,3.863) -- (10.327,3.874) -- (10.525,3.889) -- (10.721,3.908) -- (10.918,3.933);
\draw[line width=0.5pt] (8.162,4.015) -- (8.111,3.833) -- (8.055,3.652) -- (7.995,3.473) -- (7.931,3.295) -- (7.863,3.119) -- (7.79,2.944) -- (7.714,2.771) -- (7.633,2.599) -- (7.549,2.43) -- (7.46,2.263) -- (7.368,2.098) -- (7.272,1.935) -- (7.172,1.775) -- (7.068,1.617);
\draw[line width=0.5pt] (7.068,1.617) -- (6.913,1.621) -- (6.758,1.622) -- (6.603,1.619) -- (6.448,1.613) -- (6.293,1.603) -- (6.139,1.589) -- (5.985,1.572) -- (5.831,1.551) -- (5.678,1.526) -- (5.525,1.498) -- (5.374,1.467) -- (5.223,1.431) -- (5.073,1.393) -- (4.924,1.35) -- (4.667,1.305) -- (4.41,1.266) -- (4.152,1.233) -- (3.893,1.206) -- (3.633,1.185) -- (3.373,1.17) -- (3.113,1.161) -- (2.852,1.159) -- (2.592,1.162) -- (2.331,1.172) -- (2.071,1.187) -- (1.812,1.209) -- (1.553,1.237) -- (1.295,1.271);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.447,7.875) -- (8.426,7.955) -- (8.367,8.013) -- (8.287,8.035) -- (8.207,8.013) -- (8.149,7.955) -- (8.127,7.875) -- (8.149,7.795) -- (8.207,7.736) -- (8.287,7.715) -- (8.367,7.736) -- (8.426,7.795) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.953,7.658) -- (4.931,7.738) -- (4.873,7.797) -- (4.793,7.818) -- (4.713,7.797) -- (4.654,7.738) -- (4.633,7.658) -- (4.654,7.578) -- (4.713,7.519) -- (4.793,7.498) -- (4.873,7.519) -- (4.931,7.578) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.455,7.068) -- (11.434,7.148) -- (11.375,7.206) -- (11.295,7.228) -- (11.215,7.206) -- (11.157,7.148) -- (11.135,7.068) -- (11.157,6.988) -- (11.215,6.929) -- (11.295,6.908) -- (11.375,6.929) -- (11.434,6.988) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.228,4.927) -- (5.207,5.007) -- (5.148,5.066) -- (5.068,5.087) -- (4.988,5.066) -- (4.93,5.007) -- (4.908,4.927) -- (4.93,4.847) -- (4.988,4.789) -- (5.068,4.767) -- (5.148,4.789) -- (5.207,4.847) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.322,4.015) -- (8.301,4.095) -- (8.242,4.154) -- (8.162,4.175) -- (8.082,4.154) -- (8.023,4.095) -- (8.002,4.015) -- (8.023,3.935) -- (8.082,3.876) -- (8.162,3.855) -- (8.242,3.876) -- (8.301,3.935) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.078,3.933) -- (11.056,4.013) -- (10.998,4.071) -- (10.918,4.093) -- (10.838,4.071) -- (10.779,4.013) -- (10.758,3.933) -- (10.779,3.853) -- (10.838,3.794) -- (10.918,3.773) -- (10.998,3.794) -- (11.056,3.853) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,1.617) -- (7.206,1.697) -- (7.148,1.755) -- (7.068,1.777) -- (6.988,1.755) -- (6.929,1.697) -- (6.908,1.617) -- (6.929,1.537) -- (6.988,1.478) -- (7.068,1.457) -- (7.148,1.478) -- (7.206,1.537) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.455,1.271) -- (1.434,1.351) -- (1.375,1.41) -- (1.295,1.431) -- (1.215,1.41) -- (1.157,1.351) -- (1.135,1.271) -- (1.157,1.191) -- (1.215,1.133) -- (1.295,1.111) -- (1.375,1.133) -- (1.434,1.191) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.891,7.591) -- (6.845,7.761) -- (6.721,7.885) -- (6.551,7.931) -- (6.381,7.885) -- (6.256,7.761) -- (6.211,7.591) -- (6.256,7.421) -- (6.381,7.297) -- (6.551,7.251) -- (6.721,7.297) -- (6.845,7.421) -- cycle;
\node at (6.551,7.591) {\scalebox{1.45}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.247,7.904) -- (10.202,8.074) -- (10.077,8.199) -- (9.907,8.244) -- (9.737,8.199) -- (9.613,8.074) -- (9.567,7.904) -- (9.613,7.734) -- (9.737,7.61) -- (9.907,7.564) -- (10.077,7.61) -- (10.202,7.734) -- cycle;
\node at (9.907,7.904) {\scalebox{1.45}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.112,6.298) -- (7.067,6.468) -- (6.942,6.592) -- (6.772,6.638) -- (6.602,6.592) -- (6.478,6.468) -- (6.432,6.298) -- (6.478,6.128) -- (6.602,6.003) -- (6.772,5.958) -- (6.942,6.003) -- (7.067,6.128) -- cycle;
\node at (6.772,6.298) {\scalebox{1.45}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.044,5.929) -- (8.998,6.099) -- (8.874,6.224) -- (8.704,6.269) -- (8.534,6.224) -- (8.409,6.099) -- (8.364,5.929) -- (8.409,5.759) -- (8.534,5.635) -- (8.704,5.589) -- (8.874,5.635) -- (8.998,5.759) -- cycle;
\node at (8.704,5.929) {\scalebox{1.45}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.476,6.313) -- (5.431,6.483) -- (5.306,6.608) -- (5.136,6.653) -- (4.966,6.608) -- (4.842,6.483) -- (4.796,6.313) -- (4.842,6.143) -- (4.966,6.019) -- (5.136,5.973) -- (5.306,6.019) -- (5.431,6.143) -- cycle;
\node at (5.136,6.313) {\scalebox{1.45}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.893,5.446) -- (11.848,5.616) -- (11.723,5.741) -- (11.553,5.786) -- (11.383,5.741) -- (11.259,5.616) -- (11.213,5.446) -- (11.259,5.276) -- (11.383,5.152) -- (11.553,5.106) -- (11.723,5.152) -- (11.848,5.276) -- cycle;
\node at (11.553,5.446) {\scalebox{1.45}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.008,4.65) -- (6.962,4.82) -- (6.838,4.945) -- (6.668,4.99) -- (6.498,4.945) -- (6.374,4.82) -- (6.328,4.65) -- (6.374,4.48) -- (6.498,4.356) -- (6.668,4.31) -- (6.838,4.356) -- (6.962,4.48) -- cycle;
\node at (6.668,4.65) {\scalebox{1.45}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.895,2.714) -- (3.85,2.884) -- (3.725,3.008) -- (3.555,3.054) -- (3.385,3.008) -- (3.261,2.884) -- (3.215,2.714) -- (3.261,2.544) -- (3.385,2.419) -- (3.555,2.374) -- (3.725,2.419) -- (3.85,2.544) -- cycle;
\node at (3.555,2.714) {\scalebox{1.45}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.886,4.18) -- (9.84,4.35) -- (9.716,4.475) -- (9.546,4.52) -- (9.376,4.475) -- (9.251,4.35) -- (9.206,4.18) -- (9.251,4.01) -- (9.376,3.886) -- (9.546,3.84) -- (9.716,3.886) -- (9.84,4.01) -- cycle;
\node at (9.546,4.18) {\scalebox{1.45}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.345,2.638) -- (8.299,2.808) -- (8.175,2.932) -- (8.005,2.978) -- (7.835,2.932) -- (7.711,2.808) -- (7.665,2.638) -- (7.711,2.468) -- (7.835,2.343) -- (8.005,2.298) -- (8.175,2.343) -- (8.299,2.468) -- cycle;
\node at (8.005,2.638) {\scalebox{1.45}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.331,1.038) -- (5.286,1.208) -- (5.161,1.332) -- (4.991,1.378) -- (4.821,1.332) -- (4.697,1.208) -- (4.651,1.038) -- (4.697,0.868) -- (4.821,0.743) -- (4.991,0.698) -- (5.161,0.743) -- (5.286,0.868) -- cycle;
\node at (4.991,1.038) {\scalebox{1.45}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.862,3.715) -- (8.462,3.715) -- (8.462,4.315) -- (7.862,4.315) -- cycle;
\node at (8.162,4.015) {\scalebox{1.45}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,6.764) -- (4.84,6.764) -- (4.84,7.364) -- (4.24,7.364) -- cycle;
\node at (4.54,7.064) {\scalebox{1.45}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.383,8.661) -- (10.983,8.661) -- (10.983,9.261) -- (10.383,9.261) -- cycle;
\node at (10.683,8.961) {\scalebox{1.45}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.572,5.264) -- (13.172,5.264) -- (13.172,5.864) -- (12.572,5.864) -- cycle;
\node at (12.872,5.564) {\scalebox{1.45}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.498,1.642) -- (3.098,1.642) -- (3.098,2.242) -- (2.498,2.242) -- cycle;
\node at (2.798,1.942) {\scalebox{1.45}{\small e}};
\node at (8.509,8.454) {\scalebox{1.45}{\small A}};
\node at (4.402,8.14) {\scalebox{1.45}{\small B}};
\node at (11.84,7.364) {\scalebox{1.45}{\small C}};
\node at (4.45,4.967) {\scalebox{1.45}{\small D}};
\node at (8.66,3.645) {\scalebox{1.45}{\small E}};
\node at (11.522,3.796) {\scalebox{1.45}{\small F}};
\node at (7.059,0.997) {\scalebox{1.45}{\small G}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.45}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.595,6.925) -- (12.595,8.025);
\draw[line width=0.5pt] (12.364,7.64) -- (12.595,8.025) -- (12.826,7.64);
\draw[line width=0.5pt] (12.293,7.475) -- (12.898,7.475);
\node at (12.595,8.41) {\scalebox{1.45}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑦ rue des Jardins & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑧ rue de la Mairie & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ chemin Creux & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑩ rue des Lilas & Ⓓ Rond-point des Vaches & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ chemin des Vignes & ⑪ boulevard du Parc & Ⓔ Rond-point du Stade & \textbf{e} la pharmacie \\ \hline
⑥ allée des Tilleuls &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6172, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.037,7.897) -- (7.787,7.914) -- (7.536,7.925) -- (7.285,7.931) -- (7.033,7.93) -- (6.782,7.923) -- (6.531,7.91) -- (6.28,7.892) -- (6.03,7.868) -- (5.781,7.837) -- (5.532,7.801) -- (5.284,7.759) -- (5.038,7.712) -- (4.793,7.658);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.509,7.85) -- (8.731,7.821) -- (8.951,7.786) -- (9.171,7.746) -- (9.39,7.701) -- (9.608,7.651) -- (9.825,7.595) -- (10.04,7.535) -- (10.254,7.469) -- (10.466,7.399) -- (10.676,7.323) -- (10.884,7.243) -- (11.091,7.158) -- (11.295,7.068);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.027,7.701) -- (7.771,7.521) -- (7.519,7.335) -- (7.271,7.143) -- (7.028,6.946) -- (6.79,6.742) -- (6.556,6.534) -- (6.328,6.319) -- (6.104,6.1) -- (5.886,5.875) -- (5.673,5.645) -- (5.466,5.411) -- (5.264,5.171) -- (5.068,4.927);
\draw[line width=0.5pt] (8.287,7.875) -- (8.321,7.6) -- (8.348,7.324) -- (8.368,7.048) -- (8.382,6.771) -- (8.389,6.494) -- (8.39,6.217) -- (8.384,5.94) -- (8.372,5.663) -- (8.353,5.386) -- (8.328,5.11) -- (8.296,4.835) -- (8.258,4.56) -- (8.213,4.287) -- (8.162,4.015);
\draw[line width=0.5pt] (4.793,7.658) -- (4.782,7.461) -- (4.777,7.265) -- (4.776,7.068) -- (4.779,6.871) -- (4.787,6.674) -- (4.8,6.477) -- (4.818,6.281) -- (4.84,6.085) -- (4.867,5.89) -- (4.898,5.696) -- (4.934,5.502) -- (4.974,5.309) -- (5.019,5.118) -- (5.068,4.927);
\draw[line width=0.5pt] (11.295,7.068) -- (11.303,6.841) -- (11.305,6.615) -- (11.302,6.388) -- (11.293,6.162) -- (11.279,5.936) -- (11.26,5.71) -- (11.236,5.485) -- (11.206,5.26) -- (11.171,5.036) -- (11.131,4.813) -- (11.085,4.591) -- (11.035,4.37) -- (10.979,4.151) -- (10.918,3.933);
\draw[line width=0.5pt] (5.068,4.927) -- (5.277,4.829) -- (5.489,4.735) -- (5.703,4.647) -- (5.919,4.563) -- (6.137,4.485) -- (6.356,4.411) -- (6.578,4.343) -- (6.8,4.281) -- (7.025,4.223) -- (7.25,4.171) -- (7.477,4.124) -- (7.704,4.082) -- (7.933,4.046) -- (8.162,4.015);
\draw[line width=0.5pt] (5.068,4.927) -- (4.841,4.627) -- (4.606,4.332) -- (4.365,4.042) -- (4.117,3.759) -- (3.862,3.481) -- (3.6,3.209) -- (3.333,2.944) -- (3.059,2.684) -- (2.779,2.432) -- (2.493,2.186) -- (2.202,1.946) -- (1.905,1.714) -- (1.603,1.489) -- (1.295,1.271);
\draw[line width=0.5pt] (8.162,4.015) -- (8.356,3.979) -- (8.552,3.948) -- (8.748,3.921) -- (8.944,3.899) -- (9.141,3.881) -- (9.339,3.868) -- (9.536,3.86) -- (9.734,3.857) -- (9.932,3.858) -- (10.13,3.863) -- (10.327,3.874) -- (10.525,3.889) -- (10.721,3.908) -- (10.918,3.933);
\draw[line width=0.5pt] (8.162,4.015) -- (8.111,3.833) -- (8.055,3.652) -- (7.995,3.473) -- (7.931,3.295) -- (7.863,3.119) -- (7.79,2.944) -- (7.714,2.771) -- (7.633,2.599) -- (7.549,2.43) -- (7.46,2.263) -- (7.368,2.098) -- (7.272,1.935) -- (7.172,1.775) -- (7.068,1.617);
\draw[line width=0.5pt] (7.068,1.617) -- (6.913,1.621) -- (6.758,1.622) -- (6.603,1.619) -- (6.448,1.613) -- (6.293,1.603) -- (6.139,1.589) -- (5.985,1.572) -- (5.831,1.551) -- (5.678,1.526) -- (5.525,1.498) -- (5.374,1.467) -- (5.223,1.431) -- (5.073,1.393) -- (4.924,1.35) -- (4.667,1.305) -- (4.41,1.266) -- (4.152,1.233) -- (3.893,1.206) -- (3.633,1.185) -- (3.373,1.17) -- (3.113,1.161) -- (2.852,1.159) -- (2.592,1.162) -- (2.331,1.172) -- (2.071,1.187) -- (1.812,1.209) -- (1.553,1.237) -- (1.295,1.271);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.447,7.875) -- (8.426,7.955) -- (8.367,8.013) -- (8.287,8.035) -- (8.207,8.013) -- (8.149,7.955) -- (8.127,7.875) -- (8.149,7.795) -- (8.207,7.736) -- (8.287,7.715) -- (8.367,7.736) -- (8.426,7.795) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.953,7.658) -- (4.931,7.738) -- (4.873,7.797) -- (4.793,7.818) -- (4.713,7.797) -- (4.654,7.738) -- (4.633,7.658) -- (4.654,7.578) -- (4.713,7.519) -- (4.793,7.498) -- (4.873,7.519) -- (4.931,7.578) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.455,7.068) -- (11.434,7.148) -- (11.375,7.206) -- (11.295,7.228) -- (11.215,7.206) -- (11.157,7.148) -- (11.135,7.068) -- (11.157,6.988) -- (11.215,6.929) -- (11.295,6.908) -- (11.375,6.929) -- (11.434,6.988) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.228,4.927) -- (5.207,5.007) -- (5.148,5.066) -- (5.068,5.087) -- (4.988,5.066) -- (4.93,5.007) -- (4.908,4.927) -- (4.93,4.847) -- (4.988,4.789) -- (5.068,4.767) -- (5.148,4.789) -- (5.207,4.847) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.322,4.015) -- (8.301,4.095) -- (8.242,4.154) -- (8.162,4.175) -- (8.082,4.154) -- (8.023,4.095) -- (8.002,4.015) -- (8.023,3.935) -- (8.082,3.876) -- (8.162,3.855) -- (8.242,3.876) -- (8.301,3.935) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.078,3.933) -- (11.056,4.013) -- (10.998,4.071) -- (10.918,4.093) -- (10.838,4.071) -- (10.779,4.013) -- (10.758,3.933) -- (10.779,3.853) -- (10.838,3.794) -- (10.918,3.773) -- (10.998,3.794) -- (11.056,3.853) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,1.617) -- (7.206,1.697) -- (7.148,1.755) -- (7.068,1.777) -- (6.988,1.755) -- (6.929,1.697) -- (6.908,1.617) -- (6.929,1.537) -- (6.988,1.478) -- (7.068,1.457) -- (7.148,1.478) -- (7.206,1.537) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.455,1.271) -- (1.434,1.351) -- (1.375,1.41) -- (1.295,1.431) -- (1.215,1.41) -- (1.157,1.351) -- (1.135,1.271) -- (1.157,1.191) -- (1.215,1.133) -- (1.295,1.111) -- (1.375,1.133) -- (1.434,1.191) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.891,7.591) -- (6.845,7.761) -- (6.721,7.885) -- (6.551,7.931) -- (6.381,7.885) -- (6.256,7.761) -- (6.211,7.591) -- (6.256,7.421) -- (6.381,7.297) -- (6.551,7.251) -- (6.721,7.297) -- (6.845,7.421) -- cycle;
\node at (6.551,7.591) {\scalebox{1.62}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.247,7.904) -- (10.202,8.074) -- (10.077,8.199) -- (9.907,8.244) -- (9.737,8.199) -- (9.613,8.074) -- (9.567,7.904) -- (9.613,7.734) -- (9.737,7.61) -- (9.907,7.564) -- (10.077,7.61) -- (10.202,7.734) -- cycle;
\node at (9.907,7.904) {\scalebox{1.62}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.112,6.298) -- (7.067,6.468) -- (6.942,6.592) -- (6.772,6.638) -- (6.602,6.592) -- (6.478,6.468) -- (6.432,6.298) -- (6.478,6.128) -- (6.602,6.003) -- (6.772,5.958) -- (6.942,6.003) -- (7.067,6.128) -- cycle;
\node at (6.772,6.298) {\scalebox{1.62}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.044,5.929) -- (8.998,6.099) -- (8.874,6.224) -- (8.704,6.269) -- (8.534,6.224) -- (8.409,6.099) -- (8.364,5.929) -- (8.409,5.759) -- (8.534,5.635) -- (8.704,5.589) -- (8.874,5.635) -- (8.998,5.759) -- cycle;
\node at (8.704,5.929) {\scalebox{1.62}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.476,6.313) -- (5.431,6.483) -- (5.306,6.608) -- (5.136,6.653) -- (4.966,6.608) -- (4.842,6.483) -- (4.796,6.313) -- (4.842,6.143) -- (4.966,6.019) -- (5.136,5.973) -- (5.306,6.019) -- (5.431,6.143) -- cycle;
\node at (5.136,6.313) {\scalebox{1.62}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.893,5.446) -- (11.848,5.616) -- (11.723,5.741) -- (11.553,5.786) -- (11.383,5.741) -- (11.259,5.616) -- (11.213,5.446) -- (11.259,5.276) -- (11.383,5.152) -- (11.553,5.106) -- (11.723,5.152) -- (11.848,5.276) -- cycle;
\node at (11.553,5.446) {\scalebox{1.62}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.008,4.65) -- (6.962,4.82) -- (6.838,4.945) -- (6.668,4.99) -- (6.498,4.945) -- (6.374,4.82) -- (6.328,4.65) -- (6.374,4.48) -- (6.498,4.356) -- (6.668,4.31) -- (6.838,4.356) -- (6.962,4.48) -- cycle;
\node at (6.668,4.65) {\scalebox{1.62}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.895,2.714) -- (3.85,2.884) -- (3.725,3.008) -- (3.555,3.054) -- (3.385,3.008) -- (3.261,2.884) -- (3.215,2.714) -- (3.261,2.544) -- (3.385,2.419) -- (3.555,2.374) -- (3.725,2.419) -- (3.85,2.544) -- cycle;
\node at (3.555,2.714) {\scalebox{1.62}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.886,4.18) -- (9.84,4.35) -- (9.716,4.475) -- (9.546,4.52) -- (9.376,4.475) -- (9.251,4.35) -- (9.206,4.18) -- (9.251,4.01) -- (9.376,3.886) -- (9.546,3.84) -- (9.716,3.886) -- (9.84,4.01) -- cycle;
\node at (9.546,4.18) {\scalebox{1.62}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.345,2.638) -- (8.299,2.808) -- (8.175,2.932) -- (8.005,2.978) -- (7.835,2.932) -- (7.711,2.808) -- (7.665,2.638) -- (7.711,2.468) -- (7.835,2.343) -- (8.005,2.298) -- (8.175,2.343) -- (8.299,2.468) -- cycle;
\node at (8.005,2.638) {\scalebox{1.62}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.331,1.038) -- (5.286,1.208) -- (5.161,1.332) -- (4.991,1.378) -- (4.821,1.332) -- (4.697,1.208) -- (4.651,1.038) -- (4.697,0.868) -- (4.821,0.743) -- (4.991,0.698) -- (5.161,0.743) -- (5.286,0.868) -- cycle;
\node at (4.991,1.038) {\scalebox{1.62}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.862,3.715) -- (8.462,3.715) -- (8.462,4.315) -- (7.862,4.315) -- cycle;
\node at (8.162,4.015) {\scalebox{1.62}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,6.764) -- (4.84,6.764) -- (4.84,7.364) -- (4.24,7.364) -- cycle;
\node at (4.54,7.064) {\scalebox{1.62}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.383,8.661) -- (10.983,8.661) -- (10.983,9.261) -- (10.383,9.261) -- cycle;
\node at (10.683,8.961) {\scalebox{1.62}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.572,5.264) -- (13.172,5.264) -- (13.172,5.864) -- (12.572,5.864) -- cycle;
\node at (12.872,5.564) {\scalebox{1.62}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.498,1.642) -- (3.098,1.642) -- (3.098,2.242) -- (2.498,2.242) -- cycle;
\node at (2.798,1.942) {\scalebox{1.62}{\small e}};
\node at (8.509,8.454) {\scalebox{1.62}{\small A}};
\node at (4.402,8.14) {\scalebox{1.62}{\small B}};
\node at (11.84,7.364) {\scalebox{1.62}{\small C}};
\node at (4.45,4.967) {\scalebox{1.62}{\small D}};
\node at (8.66,3.645) {\scalebox{1.62}{\small E}};
\node at (11.522,3.796) {\scalebox{1.62}{\small F}};
\node at (7.059,0.997) {\scalebox{1.62}{\small G}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.62}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.595,6.925) -- (12.595,8.025);
\draw[line width=0.5pt] (12.364,7.64) -- (12.595,8.025) -- (12.826,7.64);
\draw[line width=0.5pt] (12.293,7.475) -- (12.898,7.475);
\node at (12.595,8.41) {\scalebox{1.62}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(E)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ④} vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ②}, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑥}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑪}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
