\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 331}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=331}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0331}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7002, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.751,8.505) -- (7.946,8.217) -- (8.148,7.934) -- (8.357,7.656) -- (8.572,7.382) -- (8.794,7.114) -- (9.022,6.851) -- (9.256,6.594) -- (9.496,6.342) -- (9.741,6.095) -- (9.993,5.855) -- (10.25,5.621) -- (10.513,5.392) -- (10.78,5.17) -- (11.053,4.955);
\draw[line width=0.5pt] (7.751,8.505) -- (7.571,8.201) -- (7.383,7.902) -- (7.189,7.607) -- (6.988,7.316) -- (6.779,7.031) -- (6.564,6.75) -- (6.343,6.474) -- (6.115,6.204) -- (5.881,5.939) -- (5.641,5.68) -- (5.395,5.426) -- (5.142,5.179) -- (4.885,4.937) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (1.751,8.113) -- (1.933,8.06) -- (2.115,8.011) -- (2.299,7.966) -- (2.484,7.926) -- (2.67,7.89) -- (2.857,7.859) -- (3.044,7.831) -- (3.232,7.808) -- (3.42,7.79) -- (3.609,7.776) -- (3.798,7.767) -- (3.987,7.762) -- (4.177,7.761) -- (4.366,7.765);
\draw[line width=0.5pt] (1.751,8.113) -- (1.992,7.903) -- (2.228,7.687) -- (2.458,7.465) -- (2.684,7.238) -- (2.904,7.006) -- (3.118,6.769) -- (3.327,6.526) -- (3.53,6.279) -- (3.727,6.027) -- (3.919,5.77) -- (4.104,5.509) -- (4.283,5.244) -- (4.455,4.975) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (4.366,7.765) -- (4.35,7.545) -- (4.34,7.325) -- (4.335,7.104) -- (4.335,6.884) -- (4.341,6.663) -- (4.351,6.443) -- (4.367,6.223) -- (4.388,6.003) -- (4.414,5.784) -- (4.445,5.566) -- (4.482,5.348) -- (4.523,5.132) -- (4.57,4.916) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (11.053,4.955) -- (10.757,4.93) -- (10.46,4.911) -- (10.163,4.9) -- (9.866,4.895) -- (9.568,4.898) -- (9.271,4.907) -- (8.974,4.924) -- (8.677,4.947) -- (8.382,4.978) -- (8.086,5.015) -- (7.792,5.059) -- (7.499,5.111) -- (7.208,5.169) -- (6.918,5.234) -- (6.749,5.221) -- (6.581,5.205) -- (6.413,5.184) -- (6.246,5.16) -- (6.079,5.131) -- (5.913,5.099) -- (5.748,5.063) -- (5.583,5.023) -- (5.42,4.979) -- (5.258,4.931) -- (5.096,4.879) -- (4.937,4.824) -- (4.778,4.765) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (11.053,4.955) -- (11.036,4.696) -- (11.024,4.436) -- (11.019,4.176) -- (11.02,3.915) -- (11.027,3.655) -- (11.04,3.395) -- (11.06,3.136) -- (11.085,2.877) -- (11.117,2.618) -- (11.154,2.361) -- (11.198,2.104) -- (11.247,1.849) -- (11.303,1.595) -- (11.364,1.342);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,4.702) -- (4.393,4.649) -- (4.164,4.602) -- (3.933,4.559) -- (3.702,4.523) -- (3.469,4.492) -- (3.236,4.466) -- (3.003,4.446) -- (2.769,4.431) -- (2.535,4.421) -- (2.3,4.418) -- (2.066,4.419) -- (1.832,4.427) -- (1.598,4.439) -- (1.364,4.458);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,4.702) -- (4.826,4.486) -- (5.035,4.275) -- (5.25,4.069) -- (5.469,3.868) -- (5.694,3.673) -- (5.922,3.482) -- (6.155,3.297) -- (6.393,3.118) -- (6.634,2.944) -- (6.88,2.776) -- (7.129,2.613) -- (7.382,2.457) -- (7.639,2.307) -- (7.899,2.163) -- (8.154,2.143) -- (8.408,2.116) -- (8.661,2.084) -- (8.914,2.046) -- (9.166,2.002) -- (9.416,1.951) -- (9.666,1.895) -- (9.914,1.834) -- (10.16,1.766) -- (10.405,1.693) -- (10.648,1.614) -- (10.889,1.529) -- (11.128,1.438) -- (11.364,1.342);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.911,8.505) -- (7.89,8.585) -- (7.831,8.643) -- (7.751,8.665) -- (7.671,8.643) -- (7.612,8.585) -- (7.591,8.505) -- (7.612,8.425) -- (7.671,8.366) -- (7.751,8.345) -- (7.831,8.366) -- (7.89,8.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.911,8.113) -- (1.89,8.193) -- (1.831,8.252) -- (1.751,8.273) -- (1.671,8.252) -- (1.613,8.193) -- (1.591,8.113) -- (1.613,8.033) -- (1.671,7.975) -- (1.751,7.953) -- (1.831,7.975) -- (1.89,8.033) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.526,7.765) -- (4.504,7.845) -- (4.446,7.903) -- (4.366,7.925) -- (4.286,7.903) -- (4.227,7.845) -- (4.206,7.765) -- (4.227,7.685) -- (4.286,7.626) -- (4.366,7.605) -- (4.446,7.626) -- (4.504,7.685) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.213,4.955) -- (11.192,5.035) -- (11.133,5.094) -- (11.053,5.115) -- (10.973,5.094) -- (10.914,5.035) -- (10.893,4.955) -- (10.914,4.875) -- (10.973,4.816) -- (11.053,4.795) -- (11.133,4.816) -- (11.192,4.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,4.702) -- (4.76,4.782) -- (4.701,4.841) -- (4.621,4.862) -- (4.541,4.841) -- (4.483,4.782) -- (4.461,4.702) -- (4.483,4.622) -- (4.541,4.563) -- (4.621,4.542) -- (4.701,4.563) -- (4.76,4.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.524,4.458) -- (1.503,4.538) -- (1.444,4.596) -- (1.364,4.618) -- (1.284,4.596) -- (1.226,4.538) -- (1.204,4.458) -- (1.226,4.378) -- (1.284,4.319) -- (1.364,4.298) -- (1.444,4.319) -- (1.503,4.378) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,1.342) -- (11.503,1.422) -- (11.444,1.481) -- (11.364,1.502) -- (11.284,1.481) -- (11.226,1.422) -- (11.204,1.342) -- (11.226,1.262) -- (11.284,1.204) -- (11.364,1.182) -- (11.444,1.204) -- (11.503,1.262) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.83,6.812) -- (9.784,6.982) -- (9.66,7.106) -- (9.49,7.152) -- (9.32,7.106) -- (9.195,6.982) -- (9.15,6.812) -- (9.195,6.642) -- (9.32,6.517) -- (9.49,6.472) -- (9.66,6.517) -- (9.784,6.642) -- cycle;
\node at (9.49,6.812) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,6.271) -- (6.885,6.441) -- (6.76,6.565) -- (6.59,6.611) -- (6.42,6.565) -- (6.296,6.441) -- (6.25,6.271) -- (6.296,6.101) -- (6.42,5.976) -- (6.59,5.931) -- (6.76,5.976) -- (6.885,6.101) -- cycle;
\node at (6.59,6.271) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.426,8.149) -- (3.381,8.319) -- (3.256,8.443) -- (3.086,8.489) -- (2.916,8.443) -- (2.792,8.319) -- (2.746,8.149) -- (2.792,7.979) -- (2.916,7.854) -- (3.086,7.809) -- (3.256,7.854) -- (3.381,7.979) -- cycle;
\node at (3.086,8.149) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.912,6.732) -- (3.866,6.902) -- (3.742,7.027) -- (3.572,7.072) -- (3.402,7.027) -- (3.277,6.902) -- (3.232,6.732) -- (3.277,6.562) -- (3.402,6.438) -- (3.572,6.392) -- (3.742,6.438) -- (3.866,6.562) -- cycle;
\node at (3.572,6.732) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.026,6.25) -- (4.98,6.42) -- (4.856,6.544) -- (4.686,6.59) -- (4.516,6.544) -- (4.392,6.42) -- (4.346,6.25) -- (4.392,6.08) -- (4.516,5.955) -- (4.686,5.91) -- (4.856,5.955) -- (4.98,6.08) -- cycle;
\node at (4.686,6.25) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.222,4.916) -- (7.176,5.086) -- (7.052,5.21) -- (6.882,5.256) -- (6.712,5.21) -- (6.587,5.086) -- (6.542,4.916) -- (6.587,4.746) -- (6.712,4.621) -- (6.882,4.576) -- (7.052,4.621) -- (7.176,4.746) -- cycle;
\node at (6.882,4.916) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.719,3.163) -- (11.673,3.333) -- (11.549,3.458) -- (11.379,3.503) -- (11.209,3.458) -- (11.084,3.333) -- (11.039,3.163) -- (11.084,2.993) -- (11.209,2.869) -- (11.379,2.823) -- (11.549,2.869) -- (11.673,2.993) -- cycle;
\node at (11.379,3.163) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.367,4.126) -- (3.321,4.296) -- (3.197,4.421) -- (3.027,4.466) -- (2.857,4.421) -- (2.732,4.296) -- (2.687,4.126) -- (2.732,3.956) -- (2.857,3.832) -- (3.027,3.786) -- (3.197,3.832) -- (3.321,3.956) -- cycle;
\node at (3.027,4.126) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.336,2.468) -- (8.291,2.638) -- (8.166,2.762) -- (7.996,2.808) -- (7.826,2.762) -- (7.702,2.638) -- (7.656,2.468) -- (7.702,2.298) -- (7.826,2.173) -- (7.996,2.128) -- (8.166,2.173) -- (8.291,2.298) -- cycle;
\node at (7.996,2.468) {\scalebox{1.428}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.753,4.655) -- (11.353,4.655) -- (11.353,5.255) -- (10.753,5.255) -- cycle;
\node at (11.053,4.955) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.311,2.431) -- (12.911,2.431) -- (12.911,3.031) -- (12.311,3.031) -- cycle;
\node at (12.611,2.731) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.007,8.821) -- (2.607,8.821) -- (2.607,9.421) -- (2.007,9.421) -- cycle;
\node at (2.307,9.121) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\node at (8.073,9.034) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (1.211,8.418) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (3.976,8.247) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (11.666,4.865) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (4.113,4.347) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (0.765,4.3) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\node at (11.845,0.95) {\scalebox{1.428}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.664,7.555) -- (12.664,8.655);
\draw[line width=0.5pt] (12.433,8.27) -- (12.664,8.655) -- (12.895,8.27);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.105) -- (12.967,8.105);
\node at (12.664,9.04) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑥ rue du Puits & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑦ rue Basse & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue Neuve & ⑧ impasse Verte & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue de la Poste & ⑨ avenue de la Gare & Ⓓ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑤ rue du Moulin &  & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6265, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.751,8.505) -- (7.946,8.217) -- (8.148,7.934) -- (8.357,7.656) -- (8.572,7.382) -- (8.794,7.114) -- (9.022,6.851) -- (9.256,6.594) -- (9.496,6.342) -- (9.741,6.095) -- (9.993,5.855) -- (10.25,5.621) -- (10.513,5.392) -- (10.78,5.17) -- (11.053,4.955);
\draw[line width=0.5pt] (7.751,8.505) -- (7.571,8.201) -- (7.383,7.902) -- (7.189,7.607) -- (6.988,7.316) -- (6.779,7.031) -- (6.564,6.75) -- (6.343,6.474) -- (6.115,6.204) -- (5.881,5.939) -- (5.641,5.68) -- (5.395,5.426) -- (5.142,5.179) -- (4.885,4.937) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (1.751,8.113) -- (1.933,8.06) -- (2.115,8.011) -- (2.299,7.966) -- (2.484,7.926) -- (2.67,7.89) -- (2.857,7.859) -- (3.044,7.831) -- (3.232,7.808) -- (3.42,7.79) -- (3.609,7.776) -- (3.798,7.767) -- (3.987,7.762) -- (4.177,7.761) -- (4.366,7.765);
\draw[line width=0.5pt] (1.751,8.113) -- (1.992,7.903) -- (2.228,7.687) -- (2.458,7.465) -- (2.684,7.238) -- (2.904,7.006) -- (3.118,6.769) -- (3.327,6.526) -- (3.53,6.279) -- (3.727,6.027) -- (3.919,5.77) -- (4.104,5.509) -- (4.283,5.244) -- (4.455,4.975) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (4.366,7.765) -- (4.35,7.545) -- (4.34,7.325) -- (4.335,7.104) -- (4.335,6.884) -- (4.341,6.663) -- (4.351,6.443) -- (4.367,6.223) -- (4.388,6.003) -- (4.414,5.784) -- (4.445,5.566) -- (4.482,5.348) -- (4.523,5.132) -- (4.57,4.916) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (11.053,4.955) -- (10.757,4.93) -- (10.46,4.911) -- (10.163,4.9) -- (9.866,4.895) -- (9.568,4.898) -- (9.271,4.907) -- (8.974,4.924) -- (8.677,4.947) -- (8.382,4.978) -- (8.086,5.015) -- (7.792,5.059) -- (7.499,5.111) -- (7.208,5.169) -- (6.918,5.234) -- (6.749,5.221) -- (6.581,5.205) -- (6.413,5.184) -- (6.246,5.16) -- (6.079,5.131) -- (5.913,5.099) -- (5.748,5.063) -- (5.583,5.023) -- (5.42,4.979) -- (5.258,4.931) -- (5.096,4.879) -- (4.937,4.824) -- (4.778,4.765) -- (4.621,4.702);
\draw[line width=0.5pt] (11.053,4.955) -- (11.036,4.696) -- (11.024,4.436) -- (11.019,4.176) -- (11.02,3.915) -- (11.027,3.655) -- (11.04,3.395) -- (11.06,3.136) -- (11.085,2.877) -- (11.117,2.618) -- (11.154,2.361) -- (11.198,2.104) -- (11.247,1.849) -- (11.303,1.595) -- (11.364,1.342);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,4.702) -- (4.393,4.649) -- (4.164,4.602) -- (3.933,4.559) -- (3.702,4.523) -- (3.469,4.492) -- (3.236,4.466) -- (3.003,4.446) -- (2.769,4.431) -- (2.535,4.421) -- (2.3,4.418) -- (2.066,4.419) -- (1.832,4.427) -- (1.598,4.439) -- (1.364,4.458);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,4.702) -- (4.826,4.486) -- (5.035,4.275) -- (5.25,4.069) -- (5.469,3.868) -- (5.694,3.673) -- (5.922,3.482) -- (6.155,3.297) -- (6.393,3.118) -- (6.634,2.944) -- (6.88,2.776) -- (7.129,2.613) -- (7.382,2.457) -- (7.639,2.307) -- (7.899,2.163) -- (8.154,2.143) -- (8.408,2.116) -- (8.661,2.084) -- (8.914,2.046) -- (9.166,2.002) -- (9.416,1.951) -- (9.666,1.895) -- (9.914,1.834) -- (10.16,1.766) -- (10.405,1.693) -- (10.648,1.614) -- (10.889,1.529) -- (11.128,1.438) -- (11.364,1.342);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.911,8.505) -- (7.89,8.585) -- (7.831,8.643) -- (7.751,8.665) -- (7.671,8.643) -- (7.612,8.585) -- (7.591,8.505) -- (7.612,8.425) -- (7.671,8.366) -- (7.751,8.345) -- (7.831,8.366) -- (7.89,8.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.911,8.113) -- (1.89,8.193) -- (1.831,8.252) -- (1.751,8.273) -- (1.671,8.252) -- (1.613,8.193) -- (1.591,8.113) -- (1.613,8.033) -- (1.671,7.975) -- (1.751,7.953) -- (1.831,7.975) -- (1.89,8.033) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.526,7.765) -- (4.504,7.845) -- (4.446,7.903) -- (4.366,7.925) -- (4.286,7.903) -- (4.227,7.845) -- (4.206,7.765) -- (4.227,7.685) -- (4.286,7.626) -- (4.366,7.605) -- (4.446,7.626) -- (4.504,7.685) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.213,4.955) -- (11.192,5.035) -- (11.133,5.094) -- (11.053,5.115) -- (10.973,5.094) -- (10.914,5.035) -- (10.893,4.955) -- (10.914,4.875) -- (10.973,4.816) -- (11.053,4.795) -- (11.133,4.816) -- (11.192,4.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,4.702) -- (4.76,4.782) -- (4.701,4.841) -- (4.621,4.862) -- (4.541,4.841) -- (4.483,4.782) -- (4.461,4.702) -- (4.483,4.622) -- (4.541,4.563) -- (4.621,4.542) -- (4.701,4.563) -- (4.76,4.622) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.524,4.458) -- (1.503,4.538) -- (1.444,4.596) -- (1.364,4.618) -- (1.284,4.596) -- (1.226,4.538) -- (1.204,4.458) -- (1.226,4.378) -- (1.284,4.319) -- (1.364,4.298) -- (1.444,4.319) -- (1.503,4.378) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,1.342) -- (11.503,1.422) -- (11.444,1.481) -- (11.364,1.502) -- (11.284,1.481) -- (11.226,1.422) -- (11.204,1.342) -- (11.226,1.262) -- (11.284,1.204) -- (11.364,1.182) -- (11.444,1.204) -- (11.503,1.262) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.83,6.812) -- (9.784,6.982) -- (9.66,7.106) -- (9.49,7.152) -- (9.32,7.106) -- (9.195,6.982) -- (9.15,6.812) -- (9.195,6.642) -- (9.32,6.517) -- (9.49,6.472) -- (9.66,6.517) -- (9.784,6.642) -- cycle;
\node at (9.49,6.812) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,6.271) -- (6.885,6.441) -- (6.76,6.565) -- (6.59,6.611) -- (6.42,6.565) -- (6.296,6.441) -- (6.25,6.271) -- (6.296,6.101) -- (6.42,5.976) -- (6.59,5.931) -- (6.76,5.976) -- (6.885,6.101) -- cycle;
\node at (6.59,6.271) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.426,8.149) -- (3.381,8.319) -- (3.256,8.443) -- (3.086,8.489) -- (2.916,8.443) -- (2.792,8.319) -- (2.746,8.149) -- (2.792,7.979) -- (2.916,7.854) -- (3.086,7.809) -- (3.256,7.854) -- (3.381,7.979) -- cycle;
\node at (3.086,8.149) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.912,6.732) -- (3.866,6.902) -- (3.742,7.027) -- (3.572,7.072) -- (3.402,7.027) -- (3.277,6.902) -- (3.232,6.732) -- (3.277,6.562) -- (3.402,6.438) -- (3.572,6.392) -- (3.742,6.438) -- (3.866,6.562) -- cycle;
\node at (3.572,6.732) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.026,6.25) -- (4.98,6.42) -- (4.856,6.544) -- (4.686,6.59) -- (4.516,6.544) -- (4.392,6.42) -- (4.346,6.25) -- (4.392,6.08) -- (4.516,5.955) -- (4.686,5.91) -- (4.856,5.955) -- (4.98,6.08) -- cycle;
\node at (4.686,6.25) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.222,4.916) -- (7.176,5.086) -- (7.052,5.21) -- (6.882,5.256) -- (6.712,5.21) -- (6.587,5.086) -- (6.542,4.916) -- (6.587,4.746) -- (6.712,4.621) -- (6.882,4.576) -- (7.052,4.621) -- (7.176,4.746) -- cycle;
\node at (6.882,4.916) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.719,3.163) -- (11.673,3.333) -- (11.549,3.458) -- (11.379,3.503) -- (11.209,3.458) -- (11.084,3.333) -- (11.039,3.163) -- (11.084,2.993) -- (11.209,2.869) -- (11.379,2.823) -- (11.549,2.869) -- (11.673,2.993) -- cycle;
\node at (11.379,3.163) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.367,4.126) -- (3.321,4.296) -- (3.197,4.421) -- (3.027,4.466) -- (2.857,4.421) -- (2.732,4.296) -- (2.687,4.126) -- (2.732,3.956) -- (2.857,3.832) -- (3.027,3.786) -- (3.197,3.832) -- (3.321,3.956) -- cycle;
\node at (3.027,4.126) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.336,2.468) -- (8.291,2.638) -- (8.166,2.762) -- (7.996,2.808) -- (7.826,2.762) -- (7.702,2.638) -- (7.656,2.468) -- (7.702,2.298) -- (7.826,2.173) -- (7.996,2.128) -- (8.166,2.173) -- (8.291,2.298) -- cycle;
\node at (7.996,2.468) {\scalebox{1.596}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.753,4.655) -- (11.353,4.655) -- (11.353,5.255) -- (10.753,5.255) -- cycle;
\node at (11.053,4.955) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.311,2.431) -- (12.911,2.431) -- (12.911,3.031) -- (12.311,3.031) -- cycle;
\node at (12.611,2.731) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.007,8.821) -- (2.607,8.821) -- (2.607,9.421) -- (2.007,9.421) -- cycle;
\node at (2.307,9.121) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\node at (8.073,9.034) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (1.211,8.418) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (3.976,8.247) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (11.666,4.865) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (4.113,4.347) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (0.765,4.3) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\node at (11.845,0.95) {\scalebox{1.596}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.664,7.555) -- (12.664,8.655);
\draw[line width=0.5pt] (12.433,8.27) -- (12.664,8.655) -- (12.895,8.27);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.105) -- (12.967,8.105);
\node at (12.664,9.04) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 3 & 6 & 1 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en F}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin des Vignes ①} vers le nord-ouest et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Neuve ③}, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse Verte ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
