\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 332}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=332}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0332}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7024, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.794,7.914) -- (1.969,7.614) -- (2.151,7.318) -- (2.34,7.027) -- (2.535,6.74) -- (2.738,6.457) -- (2.947,6.18) -- (3.163,5.907) -- (3.385,5.639) -- (3.613,5.377) -- (3.847,5.12) -- (4.087,4.869) -- (4.333,4.624) -- (4.585,4.384) -- (4.842,4.151);
\draw[line width=0.5pt] (1.794,7.914) -- (1.802,7.648) -- (1.805,7.382) -- (1.801,7.116) -- (1.79,6.85) -- (1.774,6.585) -- (1.751,6.32) -- (1.722,6.055) -- (1.687,5.791) -- (1.646,5.528) -- (1.598,5.266) -- (1.544,5.006) -- (1.485,4.746) -- (1.419,4.489) -- (1.347,4.233) -- (1.314,4.031) -- (1.286,3.83) -- (1.263,3.627) -- (1.244,3.424) -- (1.231,3.22) -- (1.222,3.016) -- (1.218,2.812) -- (1.218,2.608) -- (1.224,2.404) -- (1.234,2.201) -- (1.249,1.997) -- (1.269,1.794) -- (1.294,1.592) -- (1.323,1.39);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (6.829,6.934) -- (6.647,6.743) -- (6.469,6.548) -- (6.296,6.348) -- (6.128,6.145) -- (5.965,5.937) -- (5.806,5.726) -- (5.653,5.511) -- (5.504,5.292) -- (5.361,5.07) -- (5.223,4.845) -- (5.091,4.617) -- (4.964,4.385) -- (4.842,4.151);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (7.095,6.903) -- (7.17,6.684) -- (7.24,6.463) -- (7.305,6.24) -- (7.365,6.016) -- (7.419,5.79) -- (7.468,5.563) -- (7.511,5.335) -- (7.549,5.106) -- (7.582,4.876) -- (7.61,4.646) -- (7.632,4.415) -- (7.648,4.183) -- (7.659,3.952);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (7.285,6.842) -- (7.561,6.57) -- (7.843,6.304) -- (8.132,6.044) -- (8.427,5.792) -- (8.728,5.546) -- (9.034,5.308) -- (9.346,5.077) -- (9.664,4.853) -- (9.986,4.637) -- (10.313,4.429) -- (10.645,4.228) -- (10.982,4.035) -- (11.323,3.851);
\draw[line width=0.5pt] (4.842,4.151) -- (5.044,4.168) -- (5.246,4.18) -- (5.449,4.187) -- (5.651,4.189) -- (5.854,4.187) -- (6.056,4.18) -- (6.259,4.168) -- (6.461,4.151) -- (6.662,4.13) -- (6.863,4.103) -- (7.064,4.073) -- (7.263,4.037) -- (7.461,3.997) -- (7.659,3.952);
\draw[line width=0.5pt] (4.842,4.151) -- (4.563,3.994) -- (4.287,3.83) -- (4.015,3.66) -- (3.747,3.483) -- (3.483,3.3) -- (3.224,3.111) -- (2.969,2.916) -- (2.719,2.715) -- (2.473,2.508) -- (2.233,2.295) -- (1.997,2.077) -- (1.767,1.853) -- (1.542,1.624) -- (1.323,1.39);
\draw[line width=0.5pt] (7.659,3.952) -- (7.92,3.985) -- (8.181,4.012) -- (8.443,4.032) -- (8.706,4.046) -- (8.969,4.055) -- (9.232,4.057) -- (9.495,4.052) -- (9.758,4.042) -- (10.021,4.026) -- (10.283,4.003) -- (10.544,3.974) -- (10.805,3.939) -- (11.065,3.898) -- (11.323,3.851);
\draw[line width=0.5pt] (7.659,3.952) -- (7.643,3.776) -- (7.632,3.6) -- (7.625,3.424) -- (7.622,3.247) -- (7.624,3.071) -- (7.629,2.894) -- (7.639,2.718) -- (7.652,2.542) -- (7.67,2.366) -- (7.692,2.191) -- (7.718,2.016) -- (7.748,1.842) -- (7.782,1.669) -- (7.821,1.497);
\draw[line width=0.5pt] (11.323,3.851) -- (11.101,3.646) -- (10.873,3.446) -- (10.641,3.251) -- (10.405,3.062) -- (10.164,2.879) -- (9.918,2.701) -- (9.669,2.529) -- (9.416,2.363) -- (9.158,2.203) -- (8.898,2.049) -- (8.633,1.902) -- (8.366,1.76) -- (8.095,1.625) -- (7.821,1.497);
\draw[line width=0.5pt] (11.323,3.851) -- (11.238,3.686) -- (11.156,3.518) -- (11.078,3.349) -- (11.005,3.178) -- (10.935,3.006) -- (10.869,2.832) -- (10.808,2.656) -- (10.75,2.479) -- (10.697,2.3) -- (10.648,2.121) -- (10.603,1.94) -- (10.563,1.759) -- (10.527,1.576) -- (10.495,1.393);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.954,7.914) -- (1.932,7.994) -- (1.874,8.053) -- (1.794,8.074) -- (1.714,8.053) -- (1.655,7.994) -- (1.634,7.914) -- (1.655,7.834) -- (1.714,7.776) -- (1.794,7.754) -- (1.874,7.776) -- (1.932,7.834) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.175,7.121) -- (7.154,7.201) -- (7.095,7.26) -- (7.015,7.281) -- (6.935,7.26) -- (6.876,7.201) -- (6.855,7.121) -- (6.876,7.041) -- (6.935,6.982) -- (7.015,6.961) -- (7.095,6.982) -- (7.154,7.041) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.002,4.151) -- (4.981,4.231) -- (4.922,4.29) -- (4.842,4.311) -- (4.762,4.29) -- (4.704,4.231) -- (4.682,4.151) -- (4.704,4.071) -- (4.762,4.013) -- (4.842,3.991) -- (4.922,4.013) -- (4.981,4.071) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.819,3.952) -- (7.797,4.032) -- (7.739,4.09) -- (7.659,4.112) -- (7.579,4.09) -- (7.52,4.032) -- (7.499,3.952) -- (7.52,3.872) -- (7.579,3.813) -- (7.659,3.792) -- (7.739,3.813) -- (7.797,3.872) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.483,3.851) -- (11.462,3.931) -- (11.403,3.989) -- (11.323,4.011) -- (11.243,3.989) -- (11.185,3.931) -- (11.163,3.851) -- (11.185,3.771) -- (11.243,3.712) -- (11.323,3.691) -- (11.403,3.712) -- (11.462,3.771) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.981,1.497) -- (7.959,1.577) -- (7.901,1.636) -- (7.821,1.657) -- (7.741,1.636) -- (7.682,1.577) -- (7.661,1.497) -- (7.682,1.417) -- (7.741,1.358) -- (7.821,1.337) -- (7.901,1.358) -- (7.959,1.417) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.655,1.393) -- (10.634,1.473) -- (10.575,1.531) -- (10.495,1.553) -- (10.415,1.531) -- (10.357,1.473) -- (10.335,1.393) -- (10.357,1.313) -- (10.415,1.254) -- (10.495,1.233) -- (10.575,1.254) -- (10.634,1.313) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.483,1.39) -- (1.462,1.47) -- (1.403,1.529) -- (1.323,1.55) -- (1.243,1.529) -- (1.185,1.47) -- (1.163,1.39) -- (1.185,1.31) -- (1.243,1.252) -- (1.323,1.23) -- (1.403,1.252) -- (1.462,1.31) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.751,6.108) -- (3.706,6.278) -- (3.581,6.403) -- (3.411,6.448) -- (3.241,6.403) -- (3.117,6.278) -- (3.071,6.108) -- (3.117,5.938) -- (3.241,5.814) -- (3.411,5.768) -- (3.581,5.814) -- (3.706,5.938) -- cycle;
\node at (3.411,6.108) {\scalebox{1.424}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.999,4.161) -- (1.953,4.331) -- (1.829,4.456) -- (1.659,4.501) -- (1.489,4.456) -- (1.364,4.331) -- (1.319,4.161) -- (1.364,3.991) -- (1.489,3.867) -- (1.659,3.821) -- (1.829,3.867) -- (1.953,3.991) -- cycle;
\node at (1.659,4.161) {\scalebox{1.424}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.404,5.537) -- (6.359,5.707) -- (6.234,5.831) -- (6.064,5.877) -- (5.894,5.831) -- (5.77,5.707) -- (5.724,5.537) -- (5.77,5.367) -- (5.894,5.242) -- (6.064,5.197) -- (6.234,5.242) -- (6.359,5.367) -- cycle;
\node at (6.064,5.537) {\scalebox{1.424}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.121,5.627) -- (8.076,5.797) -- (7.951,5.921) -- (7.781,5.967) -- (7.611,5.921) -- (7.487,5.797) -- (7.441,5.627) -- (7.487,5.457) -- (7.611,5.332) -- (7.781,5.287) -- (7.951,5.332) -- (8.076,5.457) -- cycle;
\node at (7.781,5.627) {\scalebox{1.424}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.568,5.563) -- (9.522,5.733) -- (9.398,5.857) -- (9.228,5.903) -- (9.058,5.857) -- (8.933,5.733) -- (8.888,5.563) -- (8.933,5.393) -- (9.058,5.269) -- (9.228,5.223) -- (9.398,5.269) -- (9.522,5.393) -- cycle;
\node at (9.228,5.563) {\scalebox{1.424}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.621,4.487) -- (6.576,4.657) -- (6.451,4.781) -- (6.281,4.827) -- (6.111,4.781) -- (5.987,4.657) -- (5.941,4.487) -- (5.987,4.317) -- (6.111,4.192) -- (6.281,4.147) -- (6.451,4.192) -- (6.576,4.317) -- cycle;
\node at (6.281,4.487) {\scalebox{1.424}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.506,2.664) -- (3.461,2.834) -- (3.336,2.958) -- (3.166,3.004) -- (2.996,2.958) -- (2.872,2.834) -- (2.826,2.664) -- (2.872,2.494) -- (2.996,2.37) -- (3.166,2.324) -- (3.336,2.37) -- (3.461,2.494) -- cycle;
\node at (3.166,2.664) {\scalebox{1.424}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.844,4.372) -- (9.799,4.542) -- (9.674,4.667) -- (9.504,4.712) -- (9.334,4.667) -- (9.21,4.542) -- (9.164,4.372) -- (9.21,4.202) -- (9.334,4.078) -- (9.504,4.032) -- (9.674,4.078) -- (9.799,4.202) -- cycle;
\node at (9.504,4.372) {\scalebox{1.424}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.298,2.739) -- (8.252,2.909) -- (8.128,3.033) -- (7.958,3.079) -- (7.788,3.033) -- (7.663,2.909) -- (7.618,2.739) -- (7.663,2.569) -- (7.788,2.444) -- (7.958,2.399) -- (8.128,2.444) -- (8.252,2.569) -- cycle;
\node at (7.958,2.739) {\scalebox{1.424}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.188,2.264) -- (10.142,2.434) -- (10.018,2.558) -- (9.848,2.604) -- (9.678,2.558) -- (9.553,2.434) -- (9.508,2.264) -- (9.553,2.094) -- (9.678,1.969) -- (9.848,1.924) -- (10.018,1.969) -- (10.142,2.094) -- cycle;
\node at (9.848,2.264) {\scalebox{1.424}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.451,2.554) -- (11.405,2.724) -- (11.281,2.848) -- (11.111,2.894) -- (10.941,2.848) -- (10.817,2.724) -- (10.771,2.554) -- (10.817,2.384) -- (10.941,2.259) -- (11.111,2.214) -- (11.281,2.259) -- (11.405,2.384) -- cycle;
\node at (11.111,2.554) {\scalebox{1.424}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.359,3.652) -- (7.959,3.652) -- (7.959,4.252) -- (7.359,4.252) -- cycle;
\node at (7.659,3.952) {\scalebox{1.424}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.744,6.182) -- (6.344,6.182) -- (6.344,6.782) -- (5.744,6.782) -- cycle;
\node at (6.044,6.482) {\scalebox{1.424}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.99,6.045) -- (10.59,6.045) -- (10.59,6.645) -- (9.99,6.645) -- cycle;
\node at (10.29,6.345) {\scalebox{1.424}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.083,1.866) -- (12.683,1.866) -- (12.683,2.466) -- (12.083,2.466) -- cycle;
\node at (12.383,2.166) {\scalebox{1.424}{\small d}};
\node at (1.32,8.314) {\scalebox{1.424}{\small A}};
\node at (7.107,7.734) {\scalebox{1.424}{\small B}};
\node at (4.228,4.239) {\scalebox{1.424}{\small C}};
\node at (8.278,3.976) {\scalebox{1.424}{\small D}};
\node at (11.943,3.843) {\scalebox{1.424}{\small E}};
\node at (8.113,0.95) {\scalebox{1.424}{\small F}};
\node at (11.018,1.061) {\scalebox{1.424}{\small G}};
\node at (0.765,1.12) {\scalebox{1.424}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.623,6.964) -- (12.623,8.064);
\draw[line width=0.5pt] (12.392,7.679) -- (12.623,8.064) -- (12.854,7.679);
\draw[line width=0.5pt] (12.321,7.514) -- (12.926,7.514);
\node at (12.623,8.449) {\scalebox{1.424}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑦ rue du Stade & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Haute & ⑧ rue des Écoles & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ chemin Creux & ⑨ rue Neuve & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑩ rue des Jardins & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ rue Verte & ⑪ impasse du Puits & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑥ venelle du Chat &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6284, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.794,7.914) -- (1.969,7.614) -- (2.151,7.318) -- (2.34,7.027) -- (2.535,6.74) -- (2.738,6.457) -- (2.947,6.18) -- (3.163,5.907) -- (3.385,5.639) -- (3.613,5.377) -- (3.847,5.12) -- (4.087,4.869) -- (4.333,4.624) -- (4.585,4.384) -- (4.842,4.151);
\draw[line width=0.5pt] (1.794,7.914) -- (1.802,7.648) -- (1.805,7.382) -- (1.801,7.116) -- (1.79,6.85) -- (1.774,6.585) -- (1.751,6.32) -- (1.722,6.055) -- (1.687,5.791) -- (1.646,5.528) -- (1.598,5.266) -- (1.544,5.006) -- (1.485,4.746) -- (1.419,4.489) -- (1.347,4.233) -- (1.314,4.031) -- (1.286,3.83) -- (1.263,3.627) -- (1.244,3.424) -- (1.231,3.22) -- (1.222,3.016) -- (1.218,2.812) -- (1.218,2.608) -- (1.224,2.404) -- (1.234,2.201) -- (1.249,1.997) -- (1.269,1.794) -- (1.294,1.592) -- (1.323,1.39);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (6.829,6.934) -- (6.647,6.743) -- (6.469,6.548) -- (6.296,6.348) -- (6.128,6.145) -- (5.965,5.937) -- (5.806,5.726) -- (5.653,5.511) -- (5.504,5.292) -- (5.361,5.07) -- (5.223,4.845) -- (5.091,4.617) -- (4.964,4.385) -- (4.842,4.151);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (7.095,6.903) -- (7.17,6.684) -- (7.24,6.463) -- (7.305,6.24) -- (7.365,6.016) -- (7.419,5.79) -- (7.468,5.563) -- (7.511,5.335) -- (7.549,5.106) -- (7.582,4.876) -- (7.61,4.646) -- (7.632,4.415) -- (7.648,4.183) -- (7.659,3.952);
\draw[line width=0.5pt] (7.015,7.121) -- (7.285,6.842) -- (7.561,6.57) -- (7.843,6.304) -- (8.132,6.044) -- (8.427,5.792) -- (8.728,5.546) -- (9.034,5.308) -- (9.346,5.077) -- (9.664,4.853) -- (9.986,4.637) -- (10.313,4.429) -- (10.645,4.228) -- (10.982,4.035) -- (11.323,3.851);
\draw[line width=0.5pt] (4.842,4.151) -- (5.044,4.168) -- (5.246,4.18) -- (5.449,4.187) -- (5.651,4.189) -- (5.854,4.187) -- (6.056,4.18) -- (6.259,4.168) -- (6.461,4.151) -- (6.662,4.13) -- (6.863,4.103) -- (7.064,4.073) -- (7.263,4.037) -- (7.461,3.997) -- (7.659,3.952);
\draw[line width=0.5pt] (4.842,4.151) -- (4.563,3.994) -- (4.287,3.83) -- (4.015,3.66) -- (3.747,3.483) -- (3.483,3.3) -- (3.224,3.111) -- (2.969,2.916) -- (2.719,2.715) -- (2.473,2.508) -- (2.233,2.295) -- (1.997,2.077) -- (1.767,1.853) -- (1.542,1.624) -- (1.323,1.39);
\draw[line width=0.5pt] (7.659,3.952) -- (7.92,3.985) -- (8.181,4.012) -- (8.443,4.032) -- (8.706,4.046) -- (8.969,4.055) -- (9.232,4.057) -- (9.495,4.052) -- (9.758,4.042) -- (10.021,4.026) -- (10.283,4.003) -- (10.544,3.974) -- (10.805,3.939) -- (11.065,3.898) -- (11.323,3.851);
\draw[line width=0.5pt] (7.659,3.952) -- (7.643,3.776) -- (7.632,3.6) -- (7.625,3.424) -- (7.622,3.247) -- (7.624,3.071) -- (7.629,2.894) -- (7.639,2.718) -- (7.652,2.542) -- (7.67,2.366) -- (7.692,2.191) -- (7.718,2.016) -- (7.748,1.842) -- (7.782,1.669) -- (7.821,1.497);
\draw[line width=0.5pt] (11.323,3.851) -- (11.101,3.646) -- (10.873,3.446) -- (10.641,3.251) -- (10.405,3.062) -- (10.164,2.879) -- (9.918,2.701) -- (9.669,2.529) -- (9.416,2.363) -- (9.158,2.203) -- (8.898,2.049) -- (8.633,1.902) -- (8.366,1.76) -- (8.095,1.625) -- (7.821,1.497);
\draw[line width=0.5pt] (11.323,3.851) -- (11.238,3.686) -- (11.156,3.518) -- (11.078,3.349) -- (11.005,3.178) -- (10.935,3.006) -- (10.869,2.832) -- (10.808,2.656) -- (10.75,2.479) -- (10.697,2.3) -- (10.648,2.121) -- (10.603,1.94) -- (10.563,1.759) -- (10.527,1.576) -- (10.495,1.393);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.954,7.914) -- (1.932,7.994) -- (1.874,8.053) -- (1.794,8.074) -- (1.714,8.053) -- (1.655,7.994) -- (1.634,7.914) -- (1.655,7.834) -- (1.714,7.776) -- (1.794,7.754) -- (1.874,7.776) -- (1.932,7.834) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.175,7.121) -- (7.154,7.201) -- (7.095,7.26) -- (7.015,7.281) -- (6.935,7.26) -- (6.876,7.201) -- (6.855,7.121) -- (6.876,7.041) -- (6.935,6.982) -- (7.015,6.961) -- (7.095,6.982) -- (7.154,7.041) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.002,4.151) -- (4.981,4.231) -- (4.922,4.29) -- (4.842,4.311) -- (4.762,4.29) -- (4.704,4.231) -- (4.682,4.151) -- (4.704,4.071) -- (4.762,4.013) -- (4.842,3.991) -- (4.922,4.013) -- (4.981,4.071) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.819,3.952) -- (7.797,4.032) -- (7.739,4.09) -- (7.659,4.112) -- (7.579,4.09) -- (7.52,4.032) -- (7.499,3.952) -- (7.52,3.872) -- (7.579,3.813) -- (7.659,3.792) -- (7.739,3.813) -- (7.797,3.872) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.483,3.851) -- (11.462,3.931) -- (11.403,3.989) -- (11.323,4.011) -- (11.243,3.989) -- (11.185,3.931) -- (11.163,3.851) -- (11.185,3.771) -- (11.243,3.712) -- (11.323,3.691) -- (11.403,3.712) -- (11.462,3.771) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.981,1.497) -- (7.959,1.577) -- (7.901,1.636) -- (7.821,1.657) -- (7.741,1.636) -- (7.682,1.577) -- (7.661,1.497) -- (7.682,1.417) -- (7.741,1.358) -- (7.821,1.337) -- (7.901,1.358) -- (7.959,1.417) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.655,1.393) -- (10.634,1.473) -- (10.575,1.531) -- (10.495,1.553) -- (10.415,1.531) -- (10.357,1.473) -- (10.335,1.393) -- (10.357,1.313) -- (10.415,1.254) -- (10.495,1.233) -- (10.575,1.254) -- (10.634,1.313) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.483,1.39) -- (1.462,1.47) -- (1.403,1.529) -- (1.323,1.55) -- (1.243,1.529) -- (1.185,1.47) -- (1.163,1.39) -- (1.185,1.31) -- (1.243,1.252) -- (1.323,1.23) -- (1.403,1.252) -- (1.462,1.31) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.751,6.108) -- (3.706,6.278) -- (3.581,6.403) -- (3.411,6.448) -- (3.241,6.403) -- (3.117,6.278) -- (3.071,6.108) -- (3.117,5.938) -- (3.241,5.814) -- (3.411,5.768) -- (3.581,5.814) -- (3.706,5.938) -- cycle;
\node at (3.411,6.108) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.999,4.161) -- (1.953,4.331) -- (1.829,4.456) -- (1.659,4.501) -- (1.489,4.456) -- (1.364,4.331) -- (1.319,4.161) -- (1.364,3.991) -- (1.489,3.867) -- (1.659,3.821) -- (1.829,3.867) -- (1.953,3.991) -- cycle;
\node at (1.659,4.161) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.404,5.537) -- (6.359,5.707) -- (6.234,5.831) -- (6.064,5.877) -- (5.894,5.831) -- (5.77,5.707) -- (5.724,5.537) -- (5.77,5.367) -- (5.894,5.242) -- (6.064,5.197) -- (6.234,5.242) -- (6.359,5.367) -- cycle;
\node at (6.064,5.537) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.121,5.627) -- (8.076,5.797) -- (7.951,5.921) -- (7.781,5.967) -- (7.611,5.921) -- (7.487,5.797) -- (7.441,5.627) -- (7.487,5.457) -- (7.611,5.332) -- (7.781,5.287) -- (7.951,5.332) -- (8.076,5.457) -- cycle;
\node at (7.781,5.627) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.568,5.563) -- (9.522,5.733) -- (9.398,5.857) -- (9.228,5.903) -- (9.058,5.857) -- (8.933,5.733) -- (8.888,5.563) -- (8.933,5.393) -- (9.058,5.269) -- (9.228,5.223) -- (9.398,5.269) -- (9.522,5.393) -- cycle;
\node at (9.228,5.563) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.621,4.487) -- (6.576,4.657) -- (6.451,4.781) -- (6.281,4.827) -- (6.111,4.781) -- (5.987,4.657) -- (5.941,4.487) -- (5.987,4.317) -- (6.111,4.192) -- (6.281,4.147) -- (6.451,4.192) -- (6.576,4.317) -- cycle;
\node at (6.281,4.487) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.506,2.664) -- (3.461,2.834) -- (3.336,2.958) -- (3.166,3.004) -- (2.996,2.958) -- (2.872,2.834) -- (2.826,2.664) -- (2.872,2.494) -- (2.996,2.37) -- (3.166,2.324) -- (3.336,2.37) -- (3.461,2.494) -- cycle;
\node at (3.166,2.664) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.844,4.372) -- (9.799,4.542) -- (9.674,4.667) -- (9.504,4.712) -- (9.334,4.667) -- (9.21,4.542) -- (9.164,4.372) -- (9.21,4.202) -- (9.334,4.078) -- (9.504,4.032) -- (9.674,4.078) -- (9.799,4.202) -- cycle;
\node at (9.504,4.372) {\scalebox{1.591}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.298,2.739) -- (8.252,2.909) -- (8.128,3.033) -- (7.958,3.079) -- (7.788,3.033) -- (7.663,2.909) -- (7.618,2.739) -- (7.663,2.569) -- (7.788,2.444) -- (7.958,2.399) -- (8.128,2.444) -- (8.252,2.569) -- cycle;
\node at (7.958,2.739) {\scalebox{1.591}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.188,2.264) -- (10.142,2.434) -- (10.018,2.558) -- (9.848,2.604) -- (9.678,2.558) -- (9.553,2.434) -- (9.508,2.264) -- (9.553,2.094) -- (9.678,1.969) -- (9.848,1.924) -- (10.018,1.969) -- (10.142,2.094) -- cycle;
\node at (9.848,2.264) {\scalebox{1.591}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.451,2.554) -- (11.405,2.724) -- (11.281,2.848) -- (11.111,2.894) -- (10.941,2.848) -- (10.817,2.724) -- (10.771,2.554) -- (10.817,2.384) -- (10.941,2.259) -- (11.111,2.214) -- (11.281,2.259) -- (11.405,2.384) -- cycle;
\node at (11.111,2.554) {\scalebox{1.591}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.359,3.652) -- (7.959,3.652) -- (7.959,4.252) -- (7.359,4.252) -- cycle;
\node at (7.659,3.952) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.744,6.182) -- (6.344,6.182) -- (6.344,6.782) -- (5.744,6.782) -- cycle;
\node at (6.044,6.482) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.99,6.045) -- (10.59,6.045) -- (10.59,6.645) -- (9.99,6.645) -- cycle;
\node at (10.29,6.345) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.083,1.866) -- (12.683,1.866) -- (12.683,2.466) -- (12.083,2.466) -- cycle;
\node at (12.383,2.166) {\scalebox{1.591}{\small d}};
\node at (1.32,8.314) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (7.107,7.734) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (4.228,4.239) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (8.278,3.976) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (11.943,3.843) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\node at (8.113,0.95) {\scalebox{1.591}{\small F}};
\node at (11.018,1.061) {\scalebox{1.591}{\small G}};
\node at (0.765,1.12) {\scalebox{1.591}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.623,6.964) -- (12.623,8.064);
\draw[line width=0.5pt] (12.392,7.679) -- (12.623,8.064) -- (12.854,7.679);
\draw[line width=0.5pt] (12.321,7.514) -- (12.926,7.514);
\node at (12.623,8.449) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 4 & 4 & 2 & 1 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(B)}, prend le \textbf{chemin Creux ③} vers le sud-ouest et atteint Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ②}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ④}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑨}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{impasse du Puits ⑪}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
