\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 333}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=333}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0333}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.705, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.312,8.866) -- (1.486,8.554) -- (1.667,8.247) -- (1.856,7.943) -- (2.052,7.645) -- (2.255,7.351) -- (2.465,7.061) -- (2.681,6.777) -- (2.904,6.498) -- (3.134,6.224) -- (3.37,5.956) -- (3.612,5.693) -- (3.86,5.436) -- (4.115,5.186) -- (4.374,4.941);
\draw[line width=0.5pt] (3.897,7.825) -- (4.178,7.852) -- (4.461,7.872) -- (4.744,7.885) -- (5.027,7.892) -- (5.31,7.892) -- (5.593,7.885) -- (5.876,7.872) -- (6.159,7.852) -- (6.441,7.826) -- (6.723,7.792) -- (7.003,7.753) -- (7.282,7.706) -- (7.56,7.653) -- (7.837,7.594);
\draw[line width=0.5pt] (7.837,7.594) -- (7.563,7.444) -- (7.292,7.287) -- (7.025,7.124) -- (6.762,6.955) -- (6.502,6.779) -- (6.247,6.598) -- (5.996,6.41) -- (5.75,6.217) -- (5.508,6.018) -- (5.271,5.813) -- (5.039,5.603) -- (4.813,5.388) -- (4.591,5.167) -- (4.374,4.941);
\draw[line width=0.5pt] (7.837,7.594) -- (8.09,7.408) -- (8.339,7.216) -- (8.583,7.018) -- (8.823,6.815) -- (9.058,6.605) -- (9.287,6.391) -- (9.512,6.171) -- (9.732,5.946) -- (9.946,5.715) -- (10.154,5.48) -- (10.357,5.24) -- (10.555,4.995) -- (10.746,4.746) -- (10.931,4.492);
\draw[line width=0.5pt] (4.374,4.941) -- (4.64,4.908) -- (4.907,4.881) -- (5.175,4.86) -- (5.442,4.846) -- (5.711,4.838) -- (5.979,4.837) -- (6.247,4.841) -- (6.515,4.852) -- (6.783,4.869) -- (7.05,4.893) -- (7.317,4.923) -- (7.583,4.959) -- (7.848,5.001) -- (8.111,5.05) -- (8.317,5.041) -- (8.523,5.028) -- (8.728,5.009) -- (8.933,4.986) -- (9.138,4.958) -- (9.341,4.925) -- (9.544,4.887) -- (9.746,4.845) -- (9.947,4.798) -- (10.147,4.746) -- (10.345,4.69) -- (10.542,4.628) -- (10.737,4.563) -- (10.931,4.492);
\draw[line width=0.5pt] (4.374,4.941) -- (4.192,4.668) -- (4.002,4.399) -- (3.807,4.134) -- (3.605,3.874) -- (3.397,3.619) -- (3.183,3.369) -- (2.963,3.124) -- (2.738,2.884) -- (2.507,2.649) -- (2.27,2.42) -- (2.029,2.197) -- (1.782,1.979) -- (1.53,1.767) -- (1.273,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (10.931,4.492) -- (10.634,4.38) -- (10.34,4.26) -- (10.049,4.134) -- (9.761,4.001) -- (9.476,3.86) -- (9.194,3.714) -- (8.916,3.56) -- (8.641,3.4) -- (8.371,3.234) -- (8.104,3.062) -- (7.841,2.883) -- (7.583,2.698) -- (7.329,2.507) -- (7.08,2.31);
\draw[line width=0.5pt] (10.931,4.492) -- (10.99,4.27) -- (11.044,4.046) -- (11.093,3.82) -- (11.136,3.594) -- (11.174,3.366) -- (11.207,3.138) -- (11.234,2.909) -- (11.256,2.679) -- (11.272,2.449) -- (11.283,2.219) -- (11.289,1.988) -- (11.289,1.758) -- (11.284,1.527) -- (11.273,1.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.08,2.31) -- (6.908,2.293) -- (6.737,2.273) -- (6.566,2.248) -- (6.395,2.219) -- (6.225,2.186) -- (6.056,2.149) -- (5.888,2.108) -- (5.721,2.063) -- (5.555,2.014) -- (5.391,1.961) -- (5.227,1.905) -- (5.065,1.845) -- (4.904,1.78) -- (4.746,1.712) -- (4.501,1.664) -- (4.256,1.621) -- (4.009,1.584) -- (3.762,1.553) -- (3.513,1.527) -- (3.265,1.508) -- (3.016,1.494) -- (2.766,1.486) -- (2.517,1.484) -- (2.267,1.488) -- (2.018,1.497) -- (1.769,1.513) -- (1.521,1.534) -- (1.273,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (7.08,2.31) -- (7.389,2.284) -- (7.696,2.251) -- (8.003,2.211) -- (8.309,2.163) -- (8.614,2.108) -- (8.917,2.046) -- (9.219,1.977) -- (9.519,1.9) -- (9.817,1.817) -- (10.113,1.727) -- (10.407,1.63) -- (10.698,1.526) -- (10.987,1.415) -- (11.273,1.297);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.472,8.866) -- (1.45,8.946) -- (1.392,9.004) -- (1.312,9.026) -- (1.232,9.004) -- (1.173,8.946) -- (1.152,8.866) -- (1.173,8.786) -- (1.232,8.727) -- (1.312,8.706) -- (1.392,8.727) -- (1.45,8.786) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.057,7.825) -- (4.035,7.905) -- (3.977,7.964) -- (3.897,7.985) -- (3.817,7.964) -- (3.758,7.905) -- (3.737,7.825) -- (3.758,7.745) -- (3.817,7.687) -- (3.897,7.665) -- (3.977,7.687) -- (4.035,7.745) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.997,7.594) -- (7.976,7.674) -- (7.917,7.732) -- (7.837,7.754) -- (7.757,7.732) -- (7.699,7.674) -- (7.677,7.594) -- (7.699,7.514) -- (7.757,7.455) -- (7.837,7.434) -- (7.917,7.455) -- (7.976,7.514) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.534,4.941) -- (4.513,5.021) -- (4.454,5.08) -- (4.374,5.101) -- (4.294,5.08) -- (4.236,5.021) -- (4.214,4.941) -- (4.236,4.861) -- (4.294,4.803) -- (4.374,4.781) -- (4.454,4.803) -- (4.513,4.861) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.091,4.492) -- (11.07,4.572) -- (11.011,4.631) -- (10.931,4.652) -- (10.851,4.631) -- (10.793,4.572) -- (10.771,4.492) -- (10.793,4.412) -- (10.851,4.354) -- (10.931,4.332) -- (11.011,4.354) -- (11.07,4.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.24,2.31) -- (7.219,2.39) -- (7.16,2.449) -- (7.08,2.47) -- (7.0,2.449) -- (6.942,2.39) -- (6.92,2.31) -- (6.942,2.23) -- (7.0,2.172) -- (7.08,2.15) -- (7.16,2.172) -- (7.219,2.23) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.433,1.562) -- (1.412,1.642) -- (1.353,1.7) -- (1.273,1.722) -- (1.193,1.7) -- (1.135,1.642) -- (1.113,1.562) -- (1.135,1.482) -- (1.193,1.423) -- (1.273,1.402) -- (1.353,1.423) -- (1.412,1.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.433,1.297) -- (11.412,1.377) -- (11.353,1.436) -- (11.273,1.457) -- (11.193,1.436) -- (11.135,1.377) -- (11.113,1.297) -- (11.135,1.217) -- (11.193,1.158) -- (11.273,1.137) -- (11.353,1.158) -- (11.412,1.217) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.274,6.974) -- (3.228,7.144) -- (3.104,7.268) -- (2.934,7.314) -- (2.764,7.268) -- (2.639,7.144) -- (2.594,6.974) -- (2.639,6.804) -- (2.764,6.679) -- (2.934,6.634) -- (3.104,6.679) -- (3.228,6.804) -- cycle;
\node at (2.934,6.974) {\scalebox{1.418}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.235,8.192) -- (6.19,8.362) -- (6.065,8.486) -- (5.895,8.532) -- (5.725,8.486) -- (5.601,8.362) -- (5.555,8.192) -- (5.601,8.022) -- (5.725,7.897) -- (5.895,7.852) -- (6.065,7.897) -- (6.19,8.022) -- cycle;
\node at (5.895,8.192) {\scalebox{1.418}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.531,6.156) -- (6.485,6.326) -- (6.361,6.451) -- (6.191,6.496) -- (6.021,6.451) -- (5.897,6.326) -- (5.851,6.156) -- (5.897,5.986) -- (6.021,5.862) -- (6.191,5.816) -- (6.361,5.862) -- (6.485,5.986) -- cycle;
\node at (6.191,6.156) {\scalebox{1.418}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.079,6.397) -- (10.033,6.567) -- (9.909,6.691) -- (9.739,6.737) -- (9.569,6.691) -- (9.444,6.567) -- (9.399,6.397) -- (9.444,6.227) -- (9.569,6.102) -- (9.739,6.057) -- (9.909,6.102) -- (10.033,6.227) -- cycle;
\node at (9.739,6.397) {\scalebox{1.418}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.424,5.368) -- (8.378,5.538) -- (8.254,5.663) -- (8.084,5.708) -- (7.914,5.663) -- (7.79,5.538) -- (7.744,5.368) -- (7.79,5.198) -- (7.914,5.074) -- (8.084,5.028) -- (8.254,5.074) -- (8.378,5.198) -- cycle;
\node at (8.084,5.368) {\scalebox{1.418}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.539,2.907) -- (3.494,3.077) -- (3.369,3.202) -- (3.199,3.247) -- (3.029,3.202) -- (2.905,3.077) -- (2.859,2.907) -- (2.905,2.737) -- (3.029,2.613) -- (3.199,2.567) -- (3.369,2.613) -- (3.494,2.737) -- cycle;
\node at (3.199,2.907) {\scalebox{1.418}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.414,3.282) -- (9.368,3.452) -- (9.244,3.576) -- (9.074,3.622) -- (8.904,3.576) -- (8.779,3.452) -- (8.734,3.282) -- (8.779,3.112) -- (8.904,2.987) -- (9.074,2.942) -- (9.244,2.987) -- (9.368,3.112) -- cycle;
\node at (9.074,3.282) {\scalebox{1.418}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.892,2.943) -- (11.847,3.113) -- (11.722,3.237) -- (11.552,3.283) -- (11.382,3.237) -- (11.258,3.113) -- (11.212,2.943) -- (11.258,2.773) -- (11.382,2.648) -- (11.552,2.603) -- (11.722,2.648) -- (11.847,2.773) -- cycle;
\node at (11.552,2.943) {\scalebox{1.418}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.174,1.405) -- (5.129,1.575) -- (5.004,1.7) -- (4.834,1.745) -- (4.664,1.7) -- (4.54,1.575) -- (4.494,1.405) -- (4.54,1.235) -- (4.664,1.111) -- (4.834,1.065) -- (5.004,1.111) -- (5.129,1.235) -- cycle;
\node at (4.834,1.405) {\scalebox{1.418}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.634,2.288) -- (9.588,2.458) -- (9.464,2.582) -- (9.294,2.628) -- (9.124,2.582) -- (8.999,2.458) -- (8.954,2.288) -- (8.999,2.118) -- (9.124,1.993) -- (9.294,1.948) -- (9.464,1.993) -- (9.588,2.118) -- cycle;
\node at (9.294,2.288) {\scalebox{1.418}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.074,4.641) -- (4.674,4.641) -- (4.674,5.241) -- (4.074,5.241) -- cycle;
\node at (4.374,4.941) {\scalebox{1.418}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.948,1.58) -- (10.548,1.58) -- (10.548,2.18) -- (9.948,2.18) -- cycle;
\node at (10.248,1.88) {\scalebox{1.418}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.887,2.782) -- (9.487,2.782) -- (9.487,3.382) -- (8.887,3.382) -- cycle;
\node at (9.187,3.082) {\scalebox{1.418}{\small c}};
\node at (0.841,9.268) {\scalebox{1.418}{\small A}};
\node at (3.538,8.331) {\scalebox{1.418}{\small B}};
\node at (8.183,8.108) {\scalebox{1.418}{\small C}};
\node at (3.755,4.972) {\scalebox{1.418}{\small D}};
\node at (11.549,4.446) {\scalebox{1.418}{\small E}};
\node at (7.323,1.74) {\scalebox{1.418}{\small F}};
\node at (0.765,1.207) {\scalebox{1.418}{\small G}};
\node at (11.787,0.95) {\scalebox{1.418}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.573,7.916) -- (12.573,9.016);
\draw[line width=0.5pt] (12.342,8.631) -- (12.573,9.016) -- (12.804,8.631);
\draw[line width=0.5pt] (12.271,8.466) -- (12.876,8.466);
\node at (12.573,9.401) {\scalebox{1.418}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse Verte & ⑥ allée des Tilleuls & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② impasse du Puits & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue du Four & ⑧ quai aux Fleurs & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑨ boulevard du Parc & Ⓓ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑤ rue du Moulin & ⑩ chemin de Ronde & Ⓔ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6308, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.312,8.866) -- (1.486,8.554) -- (1.667,8.247) -- (1.856,7.943) -- (2.052,7.645) -- (2.255,7.351) -- (2.465,7.061) -- (2.681,6.777) -- (2.904,6.498) -- (3.134,6.224) -- (3.37,5.956) -- (3.612,5.693) -- (3.86,5.436) -- (4.115,5.186) -- (4.374,4.941);
\draw[line width=0.5pt] (3.897,7.825) -- (4.178,7.852) -- (4.461,7.872) -- (4.744,7.885) -- (5.027,7.892) -- (5.31,7.892) -- (5.593,7.885) -- (5.876,7.872) -- (6.159,7.852) -- (6.441,7.826) -- (6.723,7.792) -- (7.003,7.753) -- (7.282,7.706) -- (7.56,7.653) -- (7.837,7.594);
\draw[line width=0.5pt] (7.837,7.594) -- (7.563,7.444) -- (7.292,7.287) -- (7.025,7.124) -- (6.762,6.955) -- (6.502,6.779) -- (6.247,6.598) -- (5.996,6.41) -- (5.75,6.217) -- (5.508,6.018) -- (5.271,5.813) -- (5.039,5.603) -- (4.813,5.388) -- (4.591,5.167) -- (4.374,4.941);
\draw[line width=0.5pt] (7.837,7.594) -- (8.09,7.408) -- (8.339,7.216) -- (8.583,7.018) -- (8.823,6.815) -- (9.058,6.605) -- (9.287,6.391) -- (9.512,6.171) -- (9.732,5.946) -- (9.946,5.715) -- (10.154,5.48) -- (10.357,5.24) -- (10.555,4.995) -- (10.746,4.746) -- (10.931,4.492);
\draw[line width=0.5pt] (4.374,4.941) -- (4.64,4.908) -- (4.907,4.881) -- (5.175,4.86) -- (5.442,4.846) -- (5.711,4.838) -- (5.979,4.837) -- (6.247,4.841) -- (6.515,4.852) -- (6.783,4.869) -- (7.05,4.893) -- (7.317,4.923) -- (7.583,4.959) -- (7.848,5.001) -- (8.111,5.05) -- (8.317,5.041) -- (8.523,5.028) -- (8.728,5.009) -- (8.933,4.986) -- (9.138,4.958) -- (9.341,4.925) -- (9.544,4.887) -- (9.746,4.845) -- (9.947,4.798) -- (10.147,4.746) -- (10.345,4.69) -- (10.542,4.628) -- (10.737,4.563) -- (10.931,4.492);
\draw[line width=0.5pt] (4.374,4.941) -- (4.192,4.668) -- (4.002,4.399) -- (3.807,4.134) -- (3.605,3.874) -- (3.397,3.619) -- (3.183,3.369) -- (2.963,3.124) -- (2.738,2.884) -- (2.507,2.649) -- (2.27,2.42) -- (2.029,2.197) -- (1.782,1.979) -- (1.53,1.767) -- (1.273,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (10.931,4.492) -- (10.634,4.38) -- (10.34,4.26) -- (10.049,4.134) -- (9.761,4.001) -- (9.476,3.86) -- (9.194,3.714) -- (8.916,3.56) -- (8.641,3.4) -- (8.371,3.234) -- (8.104,3.062) -- (7.841,2.883) -- (7.583,2.698) -- (7.329,2.507) -- (7.08,2.31);
\draw[line width=0.5pt] (10.931,4.492) -- (10.99,4.27) -- (11.044,4.046) -- (11.093,3.82) -- (11.136,3.594) -- (11.174,3.366) -- (11.207,3.138) -- (11.234,2.909) -- (11.256,2.679) -- (11.272,2.449) -- (11.283,2.219) -- (11.289,1.988) -- (11.289,1.758) -- (11.284,1.527) -- (11.273,1.297);
\draw[line width=0.5pt] (7.08,2.31) -- (6.908,2.293) -- (6.737,2.273) -- (6.566,2.248) -- (6.395,2.219) -- (6.225,2.186) -- (6.056,2.149) -- (5.888,2.108) -- (5.721,2.063) -- (5.555,2.014) -- (5.391,1.961) -- (5.227,1.905) -- (5.065,1.845) -- (4.904,1.78) -- (4.746,1.712) -- (4.501,1.664) -- (4.256,1.621) -- (4.009,1.584) -- (3.762,1.553) -- (3.513,1.527) -- (3.265,1.508) -- (3.016,1.494) -- (2.766,1.486) -- (2.517,1.484) -- (2.267,1.488) -- (2.018,1.497) -- (1.769,1.513) -- (1.521,1.534) -- (1.273,1.562);
\draw[line width=0.5pt] (7.08,2.31) -- (7.389,2.284) -- (7.696,2.251) -- (8.003,2.211) -- (8.309,2.163) -- (8.614,2.108) -- (8.917,2.046) -- (9.219,1.977) -- (9.519,1.9) -- (9.817,1.817) -- (10.113,1.727) -- (10.407,1.63) -- (10.698,1.526) -- (10.987,1.415) -- (11.273,1.297);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.472,8.866) -- (1.45,8.946) -- (1.392,9.004) -- (1.312,9.026) -- (1.232,9.004) -- (1.173,8.946) -- (1.152,8.866) -- (1.173,8.786) -- (1.232,8.727) -- (1.312,8.706) -- (1.392,8.727) -- (1.45,8.786) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.057,7.825) -- (4.035,7.905) -- (3.977,7.964) -- (3.897,7.985) -- (3.817,7.964) -- (3.758,7.905) -- (3.737,7.825) -- (3.758,7.745) -- (3.817,7.687) -- (3.897,7.665) -- (3.977,7.687) -- (4.035,7.745) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.997,7.594) -- (7.976,7.674) -- (7.917,7.732) -- (7.837,7.754) -- (7.757,7.732) -- (7.699,7.674) -- (7.677,7.594) -- (7.699,7.514) -- (7.757,7.455) -- (7.837,7.434) -- (7.917,7.455) -- (7.976,7.514) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.534,4.941) -- (4.513,5.021) -- (4.454,5.08) -- (4.374,5.101) -- (4.294,5.08) -- (4.236,5.021) -- (4.214,4.941) -- (4.236,4.861) -- (4.294,4.803) -- (4.374,4.781) -- (4.454,4.803) -- (4.513,4.861) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.091,4.492) -- (11.07,4.572) -- (11.011,4.631) -- (10.931,4.652) -- (10.851,4.631) -- (10.793,4.572) -- (10.771,4.492) -- (10.793,4.412) -- (10.851,4.354) -- (10.931,4.332) -- (11.011,4.354) -- (11.07,4.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.24,2.31) -- (7.219,2.39) -- (7.16,2.449) -- (7.08,2.47) -- (7.0,2.449) -- (6.942,2.39) -- (6.92,2.31) -- (6.942,2.23) -- (7.0,2.172) -- (7.08,2.15) -- (7.16,2.172) -- (7.219,2.23) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.433,1.562) -- (1.412,1.642) -- (1.353,1.7) -- (1.273,1.722) -- (1.193,1.7) -- (1.135,1.642) -- (1.113,1.562) -- (1.135,1.482) -- (1.193,1.423) -- (1.273,1.402) -- (1.353,1.423) -- (1.412,1.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.433,1.297) -- (11.412,1.377) -- (11.353,1.436) -- (11.273,1.457) -- (11.193,1.436) -- (11.135,1.377) -- (11.113,1.297) -- (11.135,1.217) -- (11.193,1.158) -- (11.273,1.137) -- (11.353,1.158) -- (11.412,1.217) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.274,6.974) -- (3.228,7.144) -- (3.104,7.268) -- (2.934,7.314) -- (2.764,7.268) -- (2.639,7.144) -- (2.594,6.974) -- (2.639,6.804) -- (2.764,6.679) -- (2.934,6.634) -- (3.104,6.679) -- (3.228,6.804) -- cycle;
\node at (2.934,6.974) {\scalebox{1.585}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.235,8.192) -- (6.19,8.362) -- (6.065,8.486) -- (5.895,8.532) -- (5.725,8.486) -- (5.601,8.362) -- (5.555,8.192) -- (5.601,8.022) -- (5.725,7.897) -- (5.895,7.852) -- (6.065,7.897) -- (6.19,8.022) -- cycle;
\node at (5.895,8.192) {\scalebox{1.585}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.531,6.156) -- (6.485,6.326) -- (6.361,6.451) -- (6.191,6.496) -- (6.021,6.451) -- (5.897,6.326) -- (5.851,6.156) -- (5.897,5.986) -- (6.021,5.862) -- (6.191,5.816) -- (6.361,5.862) -- (6.485,5.986) -- cycle;
\node at (6.191,6.156) {\scalebox{1.585}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.079,6.397) -- (10.033,6.567) -- (9.909,6.691) -- (9.739,6.737) -- (9.569,6.691) -- (9.444,6.567) -- (9.399,6.397) -- (9.444,6.227) -- (9.569,6.102) -- (9.739,6.057) -- (9.909,6.102) -- (10.033,6.227) -- cycle;
\node at (9.739,6.397) {\scalebox{1.585}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.424,5.368) -- (8.378,5.538) -- (8.254,5.663) -- (8.084,5.708) -- (7.914,5.663) -- (7.79,5.538) -- (7.744,5.368) -- (7.79,5.198) -- (7.914,5.074) -- (8.084,5.028) -- (8.254,5.074) -- (8.378,5.198) -- cycle;
\node at (8.084,5.368) {\scalebox{1.585}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.539,2.907) -- (3.494,3.077) -- (3.369,3.202) -- (3.199,3.247) -- (3.029,3.202) -- (2.905,3.077) -- (2.859,2.907) -- (2.905,2.737) -- (3.029,2.613) -- (3.199,2.567) -- (3.369,2.613) -- (3.494,2.737) -- cycle;
\node at (3.199,2.907) {\scalebox{1.585}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.414,3.282) -- (9.368,3.452) -- (9.244,3.576) -- (9.074,3.622) -- (8.904,3.576) -- (8.779,3.452) -- (8.734,3.282) -- (8.779,3.112) -- (8.904,2.987) -- (9.074,2.942) -- (9.244,2.987) -- (9.368,3.112) -- cycle;
\node at (9.074,3.282) {\scalebox{1.585}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.892,2.943) -- (11.847,3.113) -- (11.722,3.237) -- (11.552,3.283) -- (11.382,3.237) -- (11.258,3.113) -- (11.212,2.943) -- (11.258,2.773) -- (11.382,2.648) -- (11.552,2.603) -- (11.722,2.648) -- (11.847,2.773) -- cycle;
\node at (11.552,2.943) {\scalebox{1.585}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.174,1.405) -- (5.129,1.575) -- (5.004,1.7) -- (4.834,1.745) -- (4.664,1.7) -- (4.54,1.575) -- (4.494,1.405) -- (4.54,1.235) -- (4.664,1.111) -- (4.834,1.065) -- (5.004,1.111) -- (5.129,1.235) -- cycle;
\node at (4.834,1.405) {\scalebox{1.585}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.634,2.288) -- (9.588,2.458) -- (9.464,2.582) -- (9.294,2.628) -- (9.124,2.582) -- (8.999,2.458) -- (8.954,2.288) -- (8.999,2.118) -- (9.124,1.993) -- (9.294,1.948) -- (9.464,1.993) -- (9.588,2.118) -- cycle;
\node at (9.294,2.288) {\scalebox{1.585}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.074,4.641) -- (4.674,4.641) -- (4.674,5.241) -- (4.074,5.241) -- cycle;
\node at (4.374,4.941) {\scalebox{1.585}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.948,1.58) -- (10.548,1.58) -- (10.548,2.18) -- (9.948,2.18) -- cycle;
\node at (10.248,1.88) {\scalebox{1.585}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.887,2.782) -- (9.487,2.782) -- (9.487,3.382) -- (8.887,3.382) -- cycle;
\node at (9.187,3.082) {\scalebox{1.585}{\small c}};
\node at (0.841,9.268) {\scalebox{1.585}{\small A}};
\node at (3.538,8.331) {\scalebox{1.585}{\small B}};
\node at (8.183,8.108) {\scalebox{1.585}{\small C}};
\node at (3.755,4.972) {\scalebox{1.585}{\small D}};
\node at (11.549,4.446) {\scalebox{1.585}{\small E}};
\node at (7.323,1.74) {\scalebox{1.585}{\small F}};
\node at (0.765,1.207) {\scalebox{1.585}{\small G}};
\node at (11.787,0.95) {\scalebox{1.585}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.573,7.916) -- (12.573,9.016);
\draw[line width=0.5pt] (12.342,8.631) -- (12.573,9.016) -- (12.804,8.631);
\draw[line width=0.5pt] (12.271,8.466) -- (12.876,8.466);
\node at (12.573,9.401) {\scalebox{1.585}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 1 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
