\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 34}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=34}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0034}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (5.39,7.565) -- (5.833,7.402) -- (6.28,7.25) -- (6.731,7.108) -- (7.184,6.976) -- (7.641,6.856) -- (8.1,6.746) -- (8.562,6.647) -- (9.026,6.559) -- (9.492,6.481) -- (9.96,6.415) -- (10.429,6.36) -- (10.899,6.316) -- (11.369,6.283);
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (5.29,7.562) -- (5.625,7.378) -- (5.955,7.186) -- (6.28,6.987) -- (6.601,6.779) -- (6.917,6.565) -- (7.228,6.342) -- (7.533,6.113) -- (7.833,5.876) -- (8.127,5.633) -- (8.416,5.383) -- (8.698,5.126) -- (8.974,4.862) -- (9.244,4.592);
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (4.844,7.567) -- (4.74,7.393) -- (4.64,7.217) -- (4.545,7.038) -- (4.453,6.857) -- (4.366,6.674) -- (4.283,6.488) -- (4.205,6.301) -- (4.131,6.113) -- (4.061,5.922) -- (3.996,5.73) -- (3.936,5.537) -- (3.88,5.342) -- (3.829,5.146) -- (3.678,4.968) -- (3.523,4.794) -- (3.363,4.623) -- (3.2,4.456) -- (3.033,4.293) -- (2.862,4.134) -- (2.687,3.979) -- (2.509,3.828) -- (2.327,3.682) -- (2.142,3.54) -- (1.953,3.402) -- (1.761,3.268) -- (1.567,3.14) -- (1.369,3.016);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.283) -- (11.237,6.14) -- (11.102,6.0) -- (10.963,5.863) -- (10.821,5.73) -- (10.676,5.6) -- (10.528,5.473) -- (10.376,5.35) -- (10.222,5.23) -- (10.066,5.114) -- (9.906,5.002) -- (9.744,4.894) -- (9.58,4.789) -- (9.413,4.689) -- (9.244,4.592);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.283) -- (11.249,5.945) -- (11.137,5.605) -- (11.034,5.261) -- (10.938,4.916) -- (10.85,4.568) -- (10.771,4.218) -- (10.7,3.866) -- (10.637,3.513) -- (10.582,3.158) -- (10.536,2.803) -- (10.498,2.446) -- (10.468,2.088) -- (10.447,1.731) -- (10.435,1.372);
\draw[line width=0.5pt] (9.244,4.592) -- (9.027,4.456) -- (8.808,4.325) -- (8.584,4.199) -- (8.358,4.078) -- (8.13,3.963) -- (7.898,3.853) -- (7.664,3.748) -- (7.428,3.649) -- (7.189,3.556) -- (6.948,3.468) -- (6.705,3.386) -- (6.461,3.309) -- (6.215,3.239) -- (5.967,3.174);
\draw[line width=0.5pt] (9.244,4.592) -- (9.293,4.351) -- (9.348,4.111) -- (9.409,3.872) -- (9.475,3.635) -- (9.547,3.399) -- (9.624,3.165) -- (9.707,2.933) -- (9.795,2.703) -- (9.889,2.475) -- (9.987,2.249) -- (10.092,2.026) -- (10.201,1.806) -- (10.315,1.588) -- (10.435,1.372);
\draw[line width=0.5pt] (5.967,3.174) -- (5.643,3.113) -- (5.317,3.059) -- (4.99,3.013) -- (4.663,2.974) -- (4.334,2.944) -- (4.004,2.921) -- (3.675,2.905) -- (3.344,2.898) -- (3.014,2.898) -- (2.684,2.906) -- (2.354,2.922) -- (2.025,2.945) -- (1.697,2.977) -- (1.369,3.016);
\draw[line width=0.5pt] (5.967,3.174) -- (6.264,2.998) -- (6.565,2.828) -- (6.87,2.666) -- (7.179,2.511) -- (7.491,2.363) -- (7.807,2.222) -- (8.127,2.089) -- (8.449,1.963) -- (8.774,1.845) -- (9.102,1.735) -- (9.432,1.633) -- (9.764,1.538) -- (10.099,1.451) -- (10.435,1.372);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.112,7.738) -- (5.09,7.818) -- (5.032,7.877) -- (4.952,7.898) -- (4.872,7.877) -- (4.813,7.818) -- (4.792,7.738) -- (4.813,7.658) -- (4.872,7.6) -- (4.952,7.578) -- (5.032,7.6) -- (5.09,7.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.529,6.283) -- (11.508,6.363) -- (11.449,6.421) -- (11.369,6.443) -- (11.289,6.421) -- (11.231,6.363) -- (11.209,6.283) -- (11.231,6.203) -- (11.289,6.144) -- (11.369,6.123) -- (11.449,6.144) -- (11.508,6.203) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.404,4.592) -- (9.383,4.672) -- (9.324,4.731) -- (9.244,4.752) -- (9.164,4.731) -- (9.106,4.672) -- (9.084,4.592) -- (9.106,4.512) -- (9.164,4.454) -- (9.244,4.432) -- (9.324,4.454) -- (9.383,4.512) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.127,3.174) -- (6.105,3.254) -- (6.047,3.313) -- (5.967,3.334) -- (5.887,3.313) -- (5.828,3.254) -- (5.807,3.174) -- (5.828,3.094) -- (5.887,3.036) -- (5.967,3.014) -- (6.047,3.036) -- (6.105,3.094) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,3.016) -- (1.508,3.096) -- (1.449,3.154) -- (1.369,3.176) -- (1.289,3.154) -- (1.231,3.096) -- (1.209,3.016) -- (1.231,2.936) -- (1.289,2.877) -- (1.369,2.856) -- (1.449,2.877) -- (1.508,2.936) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.595,1.372) -- (10.574,1.452) -- (10.515,1.511) -- (10.435,1.532) -- (10.355,1.511) -- (10.296,1.452) -- (10.275,1.372) -- (10.296,1.292) -- (10.355,1.234) -- (10.435,1.212) -- (10.515,1.234) -- (10.574,1.292) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,7.058) -- (8.466,7.228) -- (8.341,7.352) -- (8.171,7.398) -- (8.001,7.352) -- (7.877,7.228) -- (7.831,7.058) -- (7.877,6.888) -- (8.001,6.764) -- (8.171,6.718) -- (8.341,6.764) -- (8.466,6.888) -- cycle;
\node at (8.171,7.058) {\scalebox{1.429}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.757,6.6) -- (7.711,6.77) -- (7.587,6.895) -- (7.417,6.94) -- (7.247,6.895) -- (7.122,6.77) -- (7.077,6.6) -- (7.122,6.43) -- (7.247,6.306) -- (7.417,6.26) -- (7.587,6.306) -- (7.711,6.43) -- cycle;
\node at (7.417,6.6) {\scalebox{1.429}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.451,4.994) -- (4.405,5.164) -- (4.281,5.288) -- (4.111,5.334) -- (3.941,5.288) -- (3.816,5.164) -- (3.771,4.994) -- (3.816,4.824) -- (3.941,4.699) -- (4.111,4.654) -- (4.281,4.699) -- (4.405,4.824) -- cycle;
\node at (4.111,4.994) {\scalebox{1.429}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.916,5.099) -- (10.87,5.269) -- (10.746,5.394) -- (10.576,5.439) -- (10.406,5.394) -- (10.281,5.269) -- (10.236,5.099) -- (10.281,4.929) -- (10.406,4.805) -- (10.576,4.759) -- (10.746,4.805) -- (10.87,4.929) -- cycle;
\node at (10.576,5.099) {\scalebox{1.429}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.354,3.806) -- (11.308,3.976) -- (11.184,4.101) -- (11.014,4.146) -- (10.844,4.101) -- (10.719,3.976) -- (10.674,3.806) -- (10.719,3.636) -- (10.844,3.512) -- (11.014,3.466) -- (11.184,3.512) -- (11.308,3.636) -- cycle;
\node at (11.014,3.806) {\scalebox{1.429}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.131,3.454) -- (8.086,3.624) -- (7.961,3.749) -- (7.791,3.794) -- (7.621,3.749) -- (7.497,3.624) -- (7.451,3.454) -- (7.497,3.284) -- (7.621,3.16) -- (7.791,3.114) -- (7.961,3.16) -- (8.086,3.284) -- cycle;
\node at (7.791,3.454) {\scalebox{1.429}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.347,3.044) -- (10.301,3.214) -- (10.177,3.339) -- (10.007,3.384) -- (9.837,3.339) -- (9.712,3.214) -- (9.667,3.044) -- (9.712,2.874) -- (9.837,2.75) -- (10.007,2.704) -- (10.177,2.75) -- (10.301,2.874) -- cycle;
\node at (10.007,3.044) {\scalebox{1.429}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.026,2.585) -- (3.98,2.755) -- (3.856,2.88) -- (3.686,2.925) -- (3.516,2.88) -- (3.391,2.755) -- (3.346,2.585) -- (3.391,2.415) -- (3.516,2.291) -- (3.686,2.245) -- (3.856,2.291) -- (3.98,2.415) -- cycle;
\node at (3.686,2.585) {\scalebox{1.429}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.586,2.386) -- (8.541,2.556) -- (8.416,2.68) -- (8.246,2.726) -- (8.076,2.68) -- (7.952,2.556) -- (7.906,2.386) -- (7.952,2.216) -- (8.076,2.091) -- (8.246,2.046) -- (8.416,2.091) -- (8.541,2.216) -- cycle;
\node at (8.246,2.386) {\scalebox{1.429}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.944,4.292) -- (9.544,4.292) -- (9.544,4.892) -- (8.944,4.892) -- cycle;
\node at (9.244,4.592) {\scalebox{1.429}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.028,3.301) -- (12.628,3.301) -- (12.628,3.901) -- (12.028,3.901) -- cycle;
\node at (12.328,3.601) {\scalebox{1.429}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.618,1.368) -- (9.218,1.368) -- (9.218,1.968) -- (8.618,1.968) -- cycle;
\node at (8.918,1.668) {\scalebox{1.429}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,2.404) -- (11.539,2.404) -- (11.539,3.004) -- (10.939,3.004) -- cycle;
\node at (11.239,2.704) {\scalebox{1.429}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.505,4.793) -- (12.105,4.793) -- (12.105,5.393) -- (11.505,5.393) -- cycle;
\node at (11.805,5.093) {\scalebox{1.429}{\small e}};
\node at (4.606,8.253) {\scalebox{1.429}{\small A}};
\node at (11.932,6.543) {\scalebox{1.429}{\small B}};
\node at (9.86,4.662) {\scalebox{1.429}{\small C}};
\node at (5.516,2.748) {\scalebox{1.429}{\small D}};
\node at (0.765,2.877) {\scalebox{1.429}{\small E}};
\node at (10.889,0.95) {\scalebox{1.429}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.669,6.788) -- (12.669,7.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.438,7.503) -- (12.669,7.888) -- (12.9,7.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.367,7.338) -- (12.972,7.338);
\node at (12.669,8.273) {\scalebox{1.429}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① quai aux Fleurs & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin des Vignes & ⑦ venelle du Chat & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue du Stade & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑨ avenue de la Gare & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ rue Basse &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits & \textbf{e} le marché couvert \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6263, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (5.39,7.565) -- (5.833,7.402) -- (6.28,7.25) -- (6.731,7.108) -- (7.184,6.976) -- (7.641,6.856) -- (8.1,6.746) -- (8.562,6.647) -- (9.026,6.559) -- (9.492,6.481) -- (9.96,6.415) -- (10.429,6.36) -- (10.899,6.316) -- (11.369,6.283);
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (5.29,7.562) -- (5.625,7.378) -- (5.955,7.186) -- (6.28,6.987) -- (6.601,6.779) -- (6.917,6.565) -- (7.228,6.342) -- (7.533,6.113) -- (7.833,5.876) -- (8.127,5.633) -- (8.416,5.383) -- (8.698,5.126) -- (8.974,4.862) -- (9.244,4.592);
\draw[line width=0.5pt] (4.952,7.738) -- (4.844,7.567) -- (4.74,7.393) -- (4.64,7.217) -- (4.545,7.038) -- (4.453,6.857) -- (4.366,6.674) -- (4.283,6.488) -- (4.205,6.301) -- (4.131,6.113) -- (4.061,5.922) -- (3.996,5.73) -- (3.936,5.537) -- (3.88,5.342) -- (3.829,5.146) -- (3.678,4.968) -- (3.523,4.794) -- (3.363,4.623) -- (3.2,4.456) -- (3.033,4.293) -- (2.862,4.134) -- (2.687,3.979) -- (2.509,3.828) -- (2.327,3.682) -- (2.142,3.54) -- (1.953,3.402) -- (1.761,3.268) -- (1.567,3.14) -- (1.369,3.016);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.283) -- (11.237,6.14) -- (11.102,6.0) -- (10.963,5.863) -- (10.821,5.73) -- (10.676,5.6) -- (10.528,5.473) -- (10.376,5.35) -- (10.222,5.23) -- (10.066,5.114) -- (9.906,5.002) -- (9.744,4.894) -- (9.58,4.789) -- (9.413,4.689) -- (9.244,4.592);
\draw[line width=0.5pt] (11.369,6.283) -- (11.249,5.945) -- (11.137,5.605) -- (11.034,5.261) -- (10.938,4.916) -- (10.85,4.568) -- (10.771,4.218) -- (10.7,3.866) -- (10.637,3.513) -- (10.582,3.158) -- (10.536,2.803) -- (10.498,2.446) -- (10.468,2.088) -- (10.447,1.731) -- (10.435,1.372);
\draw[line width=0.5pt] (9.244,4.592) -- (9.027,4.456) -- (8.808,4.325) -- (8.584,4.199) -- (8.358,4.078) -- (8.13,3.963) -- (7.898,3.853) -- (7.664,3.748) -- (7.428,3.649) -- (7.189,3.556) -- (6.948,3.468) -- (6.705,3.386) -- (6.461,3.309) -- (6.215,3.239) -- (5.967,3.174);
\draw[line width=0.5pt] (9.244,4.592) -- (9.293,4.351) -- (9.348,4.111) -- (9.409,3.872) -- (9.475,3.635) -- (9.547,3.399) -- (9.624,3.165) -- (9.707,2.933) -- (9.795,2.703) -- (9.889,2.475) -- (9.987,2.249) -- (10.092,2.026) -- (10.201,1.806) -- (10.315,1.588) -- (10.435,1.372);
\draw[line width=0.5pt] (5.967,3.174) -- (5.643,3.113) -- (5.317,3.059) -- (4.99,3.013) -- (4.663,2.974) -- (4.334,2.944) -- (4.004,2.921) -- (3.675,2.905) -- (3.344,2.898) -- (3.014,2.898) -- (2.684,2.906) -- (2.354,2.922) -- (2.025,2.945) -- (1.697,2.977) -- (1.369,3.016);
\draw[line width=0.5pt] (5.967,3.174) -- (6.264,2.998) -- (6.565,2.828) -- (6.87,2.666) -- (7.179,2.511) -- (7.491,2.363) -- (7.807,2.222) -- (8.127,2.089) -- (8.449,1.963) -- (8.774,1.845) -- (9.102,1.735) -- (9.432,1.633) -- (9.764,1.538) -- (10.099,1.451) -- (10.435,1.372);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.112,7.738) -- (5.09,7.818) -- (5.032,7.877) -- (4.952,7.898) -- (4.872,7.877) -- (4.813,7.818) -- (4.792,7.738) -- (4.813,7.658) -- (4.872,7.6) -- (4.952,7.578) -- (5.032,7.6) -- (5.09,7.658) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.529,6.283) -- (11.508,6.363) -- (11.449,6.421) -- (11.369,6.443) -- (11.289,6.421) -- (11.231,6.363) -- (11.209,6.283) -- (11.231,6.203) -- (11.289,6.144) -- (11.369,6.123) -- (11.449,6.144) -- (11.508,6.203) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.404,4.592) -- (9.383,4.672) -- (9.324,4.731) -- (9.244,4.752) -- (9.164,4.731) -- (9.106,4.672) -- (9.084,4.592) -- (9.106,4.512) -- (9.164,4.454) -- (9.244,4.432) -- (9.324,4.454) -- (9.383,4.512) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.127,3.174) -- (6.105,3.254) -- (6.047,3.313) -- (5.967,3.334) -- (5.887,3.313) -- (5.828,3.254) -- (5.807,3.174) -- (5.828,3.094) -- (5.887,3.036) -- (5.967,3.014) -- (6.047,3.036) -- (6.105,3.094) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.529,3.016) -- (1.508,3.096) -- (1.449,3.154) -- (1.369,3.176) -- (1.289,3.154) -- (1.231,3.096) -- (1.209,3.016) -- (1.231,2.936) -- (1.289,2.877) -- (1.369,2.856) -- (1.449,2.877) -- (1.508,2.936) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.595,1.372) -- (10.574,1.452) -- (10.515,1.511) -- (10.435,1.532) -- (10.355,1.511) -- (10.296,1.452) -- (10.275,1.372) -- (10.296,1.292) -- (10.355,1.234) -- (10.435,1.212) -- (10.515,1.234) -- (10.574,1.292) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,7.058) -- (8.466,7.228) -- (8.341,7.352) -- (8.171,7.398) -- (8.001,7.352) -- (7.877,7.228) -- (7.831,7.058) -- (7.877,6.888) -- (8.001,6.764) -- (8.171,6.718) -- (8.341,6.764) -- (8.466,6.888) -- cycle;
\node at (8.171,7.058) {\scalebox{1.597}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.757,6.6) -- (7.711,6.77) -- (7.587,6.895) -- (7.417,6.94) -- (7.247,6.895) -- (7.122,6.77) -- (7.077,6.6) -- (7.122,6.43) -- (7.247,6.306) -- (7.417,6.26) -- (7.587,6.306) -- (7.711,6.43) -- cycle;
\node at (7.417,6.6) {\scalebox{1.597}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.451,4.994) -- (4.405,5.164) -- (4.281,5.288) -- (4.111,5.334) -- (3.941,5.288) -- (3.816,5.164) -- (3.771,4.994) -- (3.816,4.824) -- (3.941,4.699) -- (4.111,4.654) -- (4.281,4.699) -- (4.405,4.824) -- cycle;
\node at (4.111,4.994) {\scalebox{1.597}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.916,5.099) -- (10.87,5.269) -- (10.746,5.394) -- (10.576,5.439) -- (10.406,5.394) -- (10.281,5.269) -- (10.236,5.099) -- (10.281,4.929) -- (10.406,4.805) -- (10.576,4.759) -- (10.746,4.805) -- (10.87,4.929) -- cycle;
\node at (10.576,5.099) {\scalebox{1.597}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.354,3.806) -- (11.308,3.976) -- (11.184,4.101) -- (11.014,4.146) -- (10.844,4.101) -- (10.719,3.976) -- (10.674,3.806) -- (10.719,3.636) -- (10.844,3.512) -- (11.014,3.466) -- (11.184,3.512) -- (11.308,3.636) -- cycle;
\node at (11.014,3.806) {\scalebox{1.597}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.131,3.454) -- (8.086,3.624) -- (7.961,3.749) -- (7.791,3.794) -- (7.621,3.749) -- (7.497,3.624) -- (7.451,3.454) -- (7.497,3.284) -- (7.621,3.16) -- (7.791,3.114) -- (7.961,3.16) -- (8.086,3.284) -- cycle;
\node at (7.791,3.454) {\scalebox{1.597}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.347,3.044) -- (10.301,3.214) -- (10.177,3.339) -- (10.007,3.384) -- (9.837,3.339) -- (9.712,3.214) -- (9.667,3.044) -- (9.712,2.874) -- (9.837,2.75) -- (10.007,2.704) -- (10.177,2.75) -- (10.301,2.874) -- cycle;
\node at (10.007,3.044) {\scalebox{1.597}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.026,2.585) -- (3.98,2.755) -- (3.856,2.88) -- (3.686,2.925) -- (3.516,2.88) -- (3.391,2.755) -- (3.346,2.585) -- (3.391,2.415) -- (3.516,2.291) -- (3.686,2.245) -- (3.856,2.291) -- (3.98,2.415) -- cycle;
\node at (3.686,2.585) {\scalebox{1.597}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.586,2.386) -- (8.541,2.556) -- (8.416,2.68) -- (8.246,2.726) -- (8.076,2.68) -- (7.952,2.556) -- (7.906,2.386) -- (7.952,2.216) -- (8.076,2.091) -- (8.246,2.046) -- (8.416,2.091) -- (8.541,2.216) -- cycle;
\node at (8.246,2.386) {\scalebox{1.597}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.944,4.292) -- (9.544,4.292) -- (9.544,4.892) -- (8.944,4.892) -- cycle;
\node at (9.244,4.592) {\scalebox{1.597}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.028,3.301) -- (12.628,3.301) -- (12.628,3.901) -- (12.028,3.901) -- cycle;
\node at (12.328,3.601) {\scalebox{1.597}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.618,1.368) -- (9.218,1.368) -- (9.218,1.968) -- (8.618,1.968) -- cycle;
\node at (8.918,1.668) {\scalebox{1.597}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.939,2.404) -- (11.539,2.404) -- (11.539,3.004) -- (10.939,3.004) -- cycle;
\node at (11.239,2.704) {\scalebox{1.597}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.505,4.793) -- (12.105,4.793) -- (12.105,5.393) -- (11.505,5.393) -- cycle;
\node at (11.805,5.093) {\scalebox{1.597}{\small e}};
\node at (4.606,8.253) {\scalebox{1.597}{\small A}};
\node at (11.932,6.543) {\scalebox{1.597}{\small B}};
\node at (9.86,4.662) {\scalebox{1.597}{\small C}};
\node at (5.516,2.748) {\scalebox{1.597}{\small D}};
\node at (0.765,2.877) {\scalebox{1.597}{\small E}};
\node at (10.889,0.95) {\scalebox{1.597}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.669,6.788) -- (12.669,7.888);
\draw[line width=0.5pt] (12.438,7.503) -- (12.669,7.888) -- (12.9,7.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.367,7.338) -- (12.972,7.338);
\node at (12.669,8.273) {\scalebox{1.597}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 4 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
