\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 350}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=350}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0350}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7049, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.607,6.788) -- (2.931,6.73) -- (3.257,6.68) -- (3.584,6.638) -- (3.912,6.603) -- (4.241,6.576) -- (4.57,6.557) -- (4.9,6.545) -- (5.23,6.541) -- (5.56,6.545) -- (5.89,6.557) -- (6.219,6.576) -- (6.548,6.603) -- (6.876,6.638) -- (7.202,6.681);
\draw[line width=0.5pt] (2.607,6.788) -- (2.774,6.712) -- (2.939,6.632) -- (3.102,6.548) -- (3.263,6.461) -- (3.422,6.369) -- (3.579,6.274) -- (3.734,6.175) -- (3.886,6.072) -- (4.036,5.966) -- (4.183,5.857) -- (4.328,5.744) -- (4.47,5.627) -- (4.609,5.508) -- (4.745,5.385);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.014,6.616) -- (6.827,6.547) -- (6.642,6.473) -- (6.459,6.394) -- (6.277,6.312) -- (6.098,6.225) -- (5.92,6.134) -- (5.745,6.039) -- (5.572,5.94) -- (5.401,5.837) -- (5.233,5.73) -- (5.068,5.619) -- (4.905,5.504) -- (4.745,5.385);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.193,6.417) -- (7.178,6.154) -- (7.156,5.891) -- (7.128,5.628) -- (7.094,5.366) -- (7.053,5.105) -- (7.007,4.846) -- (6.955,4.587) -- (6.896,4.329) -- (6.831,4.073) -- (6.761,3.819) -- (6.684,3.566) -- (6.602,3.315) -- (6.514,3.067);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.348,6.553) -- (7.497,6.428) -- (7.649,6.307) -- (7.804,6.189) -- (7.962,6.075) -- (8.122,5.965) -- (8.285,5.858) -- (8.45,5.755) -- (8.618,5.657) -- (8.788,5.562) -- (8.96,5.471) -- (9.134,5.385) -- (9.31,5.302) -- (9.488,5.224) -- (9.644,5.053) -- (9.796,4.879) -- (9.944,4.701) -- (10.087,4.519) -- (10.227,4.334) -- (10.362,4.146) -- (10.492,3.955) -- (10.618,3.761) -- (10.74,3.564) -- (10.856,3.364) -- (10.968,3.161) -- (11.076,2.956) -- (11.178,2.749) -- (11.275,2.539);
\draw[line width=0.5pt] (4.745,5.385) -- (4.896,5.24) -- (5.043,5.092) -- (5.187,4.94) -- (5.327,4.784) -- (5.463,4.626) -- (5.596,4.464) -- (5.725,4.299) -- (5.85,4.131) -- (5.971,3.96) -- (6.088,3.787) -- (6.201,3.611) -- (6.309,3.432) -- (6.414,3.251) -- (6.514,3.067);
\draw[line width=0.5pt] (4.745,5.385) -- (4.454,5.134) -- (4.17,4.875) -- (3.891,4.61) -- (3.619,4.339) -- (3.353,4.061) -- (3.094,3.777) -- (2.842,3.487) -- (2.596,3.191) -- (2.357,2.889) -- (2.126,2.582) -- (1.902,2.27) -- (1.685,1.952) -- (1.476,1.63) -- (1.275,1.303);
\draw[line width=0.5pt] (6.514,3.067) -- (6.857,3.082) -- (7.2,3.088) -- (7.544,3.087) -- (7.888,3.077) -- (8.231,3.059) -- (8.574,3.033) -- (8.916,2.999) -- (9.257,2.957) -- (9.598,2.907) -- (9.937,2.85) -- (10.274,2.784) -- (10.61,2.71) -- (10.943,2.628) -- (11.275,2.539);
\draw[line width=0.5pt] (6.514,3.067) -- (6.123,2.999) -- (5.734,2.922) -- (5.347,2.836) -- (4.962,2.741) -- (4.579,2.636) -- (4.199,2.523) -- (3.821,2.401) -- (3.447,2.27) -- (3.076,2.13) -- (2.708,1.981) -- (2.344,1.824) -- (1.983,1.659) -- (1.627,1.485) -- (1.275,1.303);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.767,6.788) -- (2.746,6.868) -- (2.687,6.927) -- (2.607,6.948) -- (2.527,6.927) -- (2.468,6.868) -- (2.447,6.788) -- (2.468,6.708) -- (2.527,6.65) -- (2.607,6.628) -- (2.687,6.65) -- (2.746,6.708) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.362,6.681) -- (7.341,6.761) -- (7.282,6.819) -- (7.202,6.841) -- (7.122,6.819) -- (7.064,6.761) -- (7.042,6.681) -- (7.064,6.601) -- (7.122,6.542) -- (7.202,6.521) -- (7.282,6.542) -- (7.341,6.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,5.385) -- (4.884,5.465) -- (4.825,5.523) -- (4.745,5.545) -- (4.665,5.523) -- (4.606,5.465) -- (4.585,5.385) -- (4.606,5.305) -- (4.665,5.246) -- (4.745,5.225) -- (4.825,5.246) -- (4.884,5.305) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.674,3.067) -- (6.652,3.147) -- (6.594,3.206) -- (6.514,3.227) -- (6.434,3.206) -- (6.375,3.147) -- (6.354,3.067) -- (6.375,2.987) -- (6.434,2.928) -- (6.514,2.907) -- (6.594,2.928) -- (6.652,2.987) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,2.539) -- (11.414,2.619) -- (11.355,2.677) -- (11.275,2.699) -- (11.195,2.677) -- (11.136,2.619) -- (11.115,2.539) -- (11.136,2.459) -- (11.195,2.4) -- (11.275,2.379) -- (11.355,2.4) -- (11.414,2.459) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.303) -- (1.414,1.383) -- (1.355,1.441) -- (1.275,1.463) -- (1.195,1.441) -- (1.136,1.383) -- (1.115,1.303) -- (1.136,1.223) -- (1.195,1.164) -- (1.275,1.143) -- (1.355,1.164) -- (1.414,1.223) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.248,6.865) -- (5.202,7.035) -- (5.078,7.159) -- (4.908,7.205) -- (4.738,7.159) -- (4.613,7.035) -- (4.568,6.865) -- (4.613,6.695) -- (4.738,6.57) -- (4.908,6.525) -- (5.078,6.57) -- (5.202,6.695) -- cycle;
\node at (4.908,6.865) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.249,6.442) -- (4.204,6.612) -- (4.079,6.737) -- (3.909,6.782) -- (3.739,6.737) -- (3.615,6.612) -- (3.569,6.442) -- (3.615,6.272) -- (3.739,6.148) -- (3.909,6.102) -- (4.079,6.148) -- (4.204,6.272) -- cycle;
\node at (3.909,6.442) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.41,5.851) -- (6.364,6.021) -- (6.24,6.146) -- (6.07,6.191) -- (5.9,6.146) -- (5.775,6.021) -- (5.73,5.851) -- (5.775,5.681) -- (5.9,5.557) -- (6.07,5.511) -- (6.24,5.557) -- (6.364,5.681) -- cycle;
\node at (6.07,5.851) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.661,4.786) -- (7.616,4.956) -- (7.491,5.08) -- (7.321,5.126) -- (7.151,5.08) -- (7.027,4.956) -- (6.981,4.786) -- (7.027,4.616) -- (7.151,4.491) -- (7.321,4.446) -- (7.491,4.491) -- (7.616,4.616) -- cycle;
\node at (7.321,4.786) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.019,5.48) -- (9.973,5.65) -- (9.849,5.775) -- (9.679,5.82) -- (9.509,5.775) -- (9.385,5.65) -- (9.339,5.48) -- (9.385,5.31) -- (9.509,5.186) -- (9.679,5.14) -- (9.849,5.186) -- (9.973,5.31) -- cycle;
\node at (9.679,5.48) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.319,4.493) -- (6.274,4.663) -- (6.149,4.787) -- (5.979,4.833) -- (5.809,4.787) -- (5.685,4.663) -- (5.639,4.493) -- (5.685,4.323) -- (5.809,4.199) -- (5.979,4.153) -- (6.149,4.199) -- (6.274,4.323) -- cycle;
\node at (5.979,4.493) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.425,3.28) -- (3.38,3.45) -- (3.255,3.574) -- (3.085,3.62) -- (2.915,3.574) -- (2.791,3.45) -- (2.745,3.28) -- (2.791,3.11) -- (2.915,2.985) -- (3.085,2.94) -- (3.255,2.985) -- (3.38,3.11) -- cycle;
\node at (3.085,3.28) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,3.317) -- (9.246,3.487) -- (9.121,3.612) -- (8.951,3.657) -- (8.781,3.612) -- (8.657,3.487) -- (8.611,3.317) -- (8.657,3.147) -- (8.781,3.023) -- (8.951,2.977) -- (9.121,3.023) -- (9.246,3.147) -- cycle;
\node at (8.951,3.317) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.264,2.098) -- (4.218,2.268) -- (4.094,2.392) -- (3.924,2.438) -- (3.754,2.392) -- (3.629,2.268) -- (3.584,2.098) -- (3.629,1.928) -- (3.754,1.803) -- (3.924,1.758) -- (4.094,1.803) -- (4.218,1.928) -- cycle;
\node at (3.924,2.098) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.445,5.085) -- (5.045,5.085) -- (5.045,5.685) -- (4.445,5.685) -- cycle;
\node at (4.745,5.385) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.088,0.664) -- (3.688,0.664) -- (3.688,1.264) -- (3.088,1.264) -- cycle;
\node at (3.388,0.964) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.35,7.863) -- (4.95,7.863) -- (4.95,8.463) -- (4.35,8.463) -- cycle;
\node at (4.65,8.163) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\node at (2.13,7.185) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (7.548,7.196) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (4.362,5.872) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (6.883,2.569) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (11.867,2.356) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,5.838) -- (12.575,6.938);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,6.553) -- (12.575,6.938) -- (12.806,6.553);
\draw[line width=0.5pt] (12.273,6.388) -- (12.878,6.388);
\node at (12.575,7.323) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Basse & ⑥ rue des Écoles & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑦ rue des Lilas & Ⓑ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑧ allée des Tilleuls & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue Neuve & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑤ allée des Peupliers &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6307, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.607,6.788) -- (2.931,6.73) -- (3.257,6.68) -- (3.584,6.638) -- (3.912,6.603) -- (4.241,6.576) -- (4.57,6.557) -- (4.9,6.545) -- (5.23,6.541) -- (5.56,6.545) -- (5.89,6.557) -- (6.219,6.576) -- (6.548,6.603) -- (6.876,6.638) -- (7.202,6.681);
\draw[line width=0.5pt] (2.607,6.788) -- (2.774,6.712) -- (2.939,6.632) -- (3.102,6.548) -- (3.263,6.461) -- (3.422,6.369) -- (3.579,6.274) -- (3.734,6.175) -- (3.886,6.072) -- (4.036,5.966) -- (4.183,5.857) -- (4.328,5.744) -- (4.47,5.627) -- (4.609,5.508) -- (4.745,5.385);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.014,6.616) -- (6.827,6.547) -- (6.642,6.473) -- (6.459,6.394) -- (6.277,6.312) -- (6.098,6.225) -- (5.92,6.134) -- (5.745,6.039) -- (5.572,5.94) -- (5.401,5.837) -- (5.233,5.73) -- (5.068,5.619) -- (4.905,5.504) -- (4.745,5.385);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.193,6.417) -- (7.178,6.154) -- (7.156,5.891) -- (7.128,5.628) -- (7.094,5.366) -- (7.053,5.105) -- (7.007,4.846) -- (6.955,4.587) -- (6.896,4.329) -- (6.831,4.073) -- (6.761,3.819) -- (6.684,3.566) -- (6.602,3.315) -- (6.514,3.067);
\draw[line width=0.5pt] (7.202,6.681) -- (7.348,6.553) -- (7.497,6.428) -- (7.649,6.307) -- (7.804,6.189) -- (7.962,6.075) -- (8.122,5.965) -- (8.285,5.858) -- (8.45,5.755) -- (8.618,5.657) -- (8.788,5.562) -- (8.96,5.471) -- (9.134,5.385) -- (9.31,5.302) -- (9.488,5.224) -- (9.644,5.053) -- (9.796,4.879) -- (9.944,4.701) -- (10.087,4.519) -- (10.227,4.334) -- (10.362,4.146) -- (10.492,3.955) -- (10.618,3.761) -- (10.74,3.564) -- (10.856,3.364) -- (10.968,3.161) -- (11.076,2.956) -- (11.178,2.749) -- (11.275,2.539);
\draw[line width=0.5pt] (4.745,5.385) -- (4.896,5.24) -- (5.043,5.092) -- (5.187,4.94) -- (5.327,4.784) -- (5.463,4.626) -- (5.596,4.464) -- (5.725,4.299) -- (5.85,4.131) -- (5.971,3.96) -- (6.088,3.787) -- (6.201,3.611) -- (6.309,3.432) -- (6.414,3.251) -- (6.514,3.067);
\draw[line width=0.5pt] (4.745,5.385) -- (4.454,5.134) -- (4.17,4.875) -- (3.891,4.61) -- (3.619,4.339) -- (3.353,4.061) -- (3.094,3.777) -- (2.842,3.487) -- (2.596,3.191) -- (2.357,2.889) -- (2.126,2.582) -- (1.902,2.27) -- (1.685,1.952) -- (1.476,1.63) -- (1.275,1.303);
\draw[line width=0.5pt] (6.514,3.067) -- (6.857,3.082) -- (7.2,3.088) -- (7.544,3.087) -- (7.888,3.077) -- (8.231,3.059) -- (8.574,3.033) -- (8.916,2.999) -- (9.257,2.957) -- (9.598,2.907) -- (9.937,2.85) -- (10.274,2.784) -- (10.61,2.71) -- (10.943,2.628) -- (11.275,2.539);
\draw[line width=0.5pt] (6.514,3.067) -- (6.123,2.999) -- (5.734,2.922) -- (5.347,2.836) -- (4.962,2.741) -- (4.579,2.636) -- (4.199,2.523) -- (3.821,2.401) -- (3.447,2.27) -- (3.076,2.13) -- (2.708,1.981) -- (2.344,1.824) -- (1.983,1.659) -- (1.627,1.485) -- (1.275,1.303);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.767,6.788) -- (2.746,6.868) -- (2.687,6.927) -- (2.607,6.948) -- (2.527,6.927) -- (2.468,6.868) -- (2.447,6.788) -- (2.468,6.708) -- (2.527,6.65) -- (2.607,6.628) -- (2.687,6.65) -- (2.746,6.708) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.362,6.681) -- (7.341,6.761) -- (7.282,6.819) -- (7.202,6.841) -- (7.122,6.819) -- (7.064,6.761) -- (7.042,6.681) -- (7.064,6.601) -- (7.122,6.542) -- (7.202,6.521) -- (7.282,6.542) -- (7.341,6.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,5.385) -- (4.884,5.465) -- (4.825,5.523) -- (4.745,5.545) -- (4.665,5.523) -- (4.606,5.465) -- (4.585,5.385) -- (4.606,5.305) -- (4.665,5.246) -- (4.745,5.225) -- (4.825,5.246) -- (4.884,5.305) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.674,3.067) -- (6.652,3.147) -- (6.594,3.206) -- (6.514,3.227) -- (6.434,3.206) -- (6.375,3.147) -- (6.354,3.067) -- (6.375,2.987) -- (6.434,2.928) -- (6.514,2.907) -- (6.594,2.928) -- (6.652,2.987) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,2.539) -- (11.414,2.619) -- (11.355,2.677) -- (11.275,2.699) -- (11.195,2.677) -- (11.136,2.619) -- (11.115,2.539) -- (11.136,2.459) -- (11.195,2.4) -- (11.275,2.379) -- (11.355,2.4) -- (11.414,2.459) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.303) -- (1.414,1.383) -- (1.355,1.441) -- (1.275,1.463) -- (1.195,1.441) -- (1.136,1.383) -- (1.115,1.303) -- (1.136,1.223) -- (1.195,1.164) -- (1.275,1.143) -- (1.355,1.164) -- (1.414,1.223) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.248,6.865) -- (5.202,7.035) -- (5.078,7.159) -- (4.908,7.205) -- (4.738,7.159) -- (4.613,7.035) -- (4.568,6.865) -- (4.613,6.695) -- (4.738,6.57) -- (4.908,6.525) -- (5.078,6.57) -- (5.202,6.695) -- cycle;
\node at (4.908,6.865) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.249,6.442) -- (4.204,6.612) -- (4.079,6.737) -- (3.909,6.782) -- (3.739,6.737) -- (3.615,6.612) -- (3.569,6.442) -- (3.615,6.272) -- (3.739,6.148) -- (3.909,6.102) -- (4.079,6.148) -- (4.204,6.272) -- cycle;
\node at (3.909,6.442) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.41,5.851) -- (6.364,6.021) -- (6.24,6.146) -- (6.07,6.191) -- (5.9,6.146) -- (5.775,6.021) -- (5.73,5.851) -- (5.775,5.681) -- (5.9,5.557) -- (6.07,5.511) -- (6.24,5.557) -- (6.364,5.681) -- cycle;
\node at (6.07,5.851) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.661,4.786) -- (7.616,4.956) -- (7.491,5.08) -- (7.321,5.126) -- (7.151,5.08) -- (7.027,4.956) -- (6.981,4.786) -- (7.027,4.616) -- (7.151,4.491) -- (7.321,4.446) -- (7.491,4.491) -- (7.616,4.616) -- cycle;
\node at (7.321,4.786) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.019,5.48) -- (9.973,5.65) -- (9.849,5.775) -- (9.679,5.82) -- (9.509,5.775) -- (9.385,5.65) -- (9.339,5.48) -- (9.385,5.31) -- (9.509,5.186) -- (9.679,5.14) -- (9.849,5.186) -- (9.973,5.31) -- cycle;
\node at (9.679,5.48) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.319,4.493) -- (6.274,4.663) -- (6.149,4.787) -- (5.979,4.833) -- (5.809,4.787) -- (5.685,4.663) -- (5.639,4.493) -- (5.685,4.323) -- (5.809,4.199) -- (5.979,4.153) -- (6.149,4.199) -- (6.274,4.323) -- cycle;
\node at (5.979,4.493) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.425,3.28) -- (3.38,3.45) -- (3.255,3.574) -- (3.085,3.62) -- (2.915,3.574) -- (2.791,3.45) -- (2.745,3.28) -- (2.791,3.11) -- (2.915,2.985) -- (3.085,2.94) -- (3.255,2.985) -- (3.38,3.11) -- cycle;
\node at (3.085,3.28) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,3.317) -- (9.246,3.487) -- (9.121,3.612) -- (8.951,3.657) -- (8.781,3.612) -- (8.657,3.487) -- (8.611,3.317) -- (8.657,3.147) -- (8.781,3.023) -- (8.951,2.977) -- (9.121,3.023) -- (9.246,3.147) -- cycle;
\node at (8.951,3.317) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.264,2.098) -- (4.218,2.268) -- (4.094,2.392) -- (3.924,2.438) -- (3.754,2.392) -- (3.629,2.268) -- (3.584,2.098) -- (3.629,1.928) -- (3.754,1.803) -- (3.924,1.758) -- (4.094,1.803) -- (4.218,1.928) -- cycle;
\node at (3.924,2.098) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.445,5.085) -- (5.045,5.085) -- (5.045,5.685) -- (4.445,5.685) -- cycle;
\node at (4.745,5.385) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.088,0.664) -- (3.688,0.664) -- (3.688,1.264) -- (3.088,1.264) -- cycle;
\node at (3.388,0.964) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.35,7.863) -- (4.95,7.863) -- (4.95,8.463) -- (4.35,8.463) -- cycle;
\node at (4.65,8.163) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\node at (2.13,7.185) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (7.548,7.196) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (4.362,5.872) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (6.883,2.569) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (11.867,2.356) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,5.838) -- (12.575,6.938);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,6.553) -- (12.575,6.938) -- (12.806,6.553);
\draw[line width=0.5pt] (12.273,6.388) -- (12.878,6.388);
\node at (12.575,7.323) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue de l'Église ②} vers le nord-ouest et atteint Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ①}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Pasteur ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
