\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 351}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=351}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0351}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7003, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.364,5.836) -- (10.929,5.826) -- (10.495,5.805) -- (10.062,5.775) -- (9.629,5.734) -- (9.197,5.683) -- (8.766,5.622) -- (8.337,5.55) -- (7.91,5.469) -- (7.485,5.377) -- (7.062,5.276) -- (6.642,5.165) -- (6.224,5.044) -- (5.81,4.913) -- (5.399,4.772);
\draw[line width=0.5pt] (11.364,5.836) -- (11.393,5.545) -- (11.416,5.254) -- (11.432,4.963) -- (11.441,4.67) -- (11.443,4.378) -- (11.439,4.086) -- (11.427,3.794) -- (11.409,3.502) -- (11.383,3.211) -- (11.351,2.92) -- (11.312,2.631) -- (11.267,2.342) -- (11.214,2.055) -- (11.155,1.769);
\draw[line width=0.5pt] (1.364,5.246) -- (1.644,5.168) -- (1.927,5.097) -- (2.211,5.032) -- (2.497,4.975) -- (2.784,4.924) -- (3.072,4.88) -- (3.362,4.842) -- (3.652,4.812) -- (3.942,4.788) -- (4.233,4.771) -- (4.525,4.761) -- (4.816,4.758) -- (5.108,4.762) -- (5.399,4.772);
\draw[line width=0.5pt] (1.364,5.246) -- (1.524,5.191) -- (1.683,5.132) -- (1.841,5.069) -- (1.997,5.003) -- (2.152,4.933) -- (2.305,4.86) -- (2.456,4.783) -- (2.606,4.702) -- (2.753,4.618) -- (2.898,4.53) -- (3.042,4.44) -- (3.183,4.345) -- (3.322,4.248) -- (3.458,4.147);
\draw[line width=0.5pt] (5.399,4.772) -- (5.254,4.749) -- (5.111,4.723) -- (4.967,4.693) -- (4.825,4.66) -- (4.683,4.623) -- (4.542,4.583) -- (4.403,4.54) -- (4.264,4.493) -- (4.126,4.443) -- (3.99,4.39) -- (3.855,4.334) -- (3.721,4.275) -- (3.589,4.213) -- (3.458,4.147);
\draw[line width=0.5pt] (5.399,4.772) -- (5.539,4.704) -- (5.677,4.633) -- (5.814,4.558) -- (5.949,4.48) -- (6.082,4.398) -- (6.214,4.314) -- (6.343,4.227) -- (6.47,4.136) -- (6.595,4.043) -- (6.718,3.946) -- (6.838,3.847) -- (6.956,3.745) -- (7.072,3.641) -- (7.185,3.533) -- (7.447,3.365) -- (7.713,3.203) -- (7.983,3.047) -- (8.256,2.897) -- (8.533,2.754) -- (8.814,2.617) -- (9.097,2.487) -- (9.384,2.364) -- (9.673,2.247) -- (9.965,2.138) -- (10.259,2.035) -- (10.556,1.939) -- (10.854,1.85) -- (11.155,1.769);
\draw[line width=0.5pt] (3.458,4.147) -- (3.595,3.937) -- (3.736,3.731) -- (3.883,3.528) -- (4.034,3.328) -- (4.19,3.132) -- (4.351,2.94) -- (4.516,2.752) -- (4.685,2.567) -- (4.859,2.387) -- (5.036,2.21) -- (5.218,2.038) -- (5.404,1.87) -- (5.594,1.707) -- (5.788,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (11.155,1.769) -- (10.777,1.694) -- (10.397,1.629) -- (10.016,1.573) -- (9.634,1.525) -- (9.25,1.487) -- (8.865,1.457) -- (8.48,1.437) -- (8.095,1.426) -- (7.709,1.424) -- (7.324,1.43) -- (6.939,1.446) -- (6.554,1.471) -- (6.17,1.505) -- (5.788,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,5.836) -- (11.502,5.916) -- (11.444,5.975) -- (11.364,5.996) -- (11.284,5.975) -- (11.225,5.916) -- (11.204,5.836) -- (11.225,5.756) -- (11.284,5.697) -- (11.364,5.676) -- (11.444,5.697) -- (11.502,5.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.524,5.246) -- (1.502,5.326) -- (1.444,5.384) -- (1.364,5.406) -- (1.284,5.384) -- (1.225,5.326) -- (1.204,5.246) -- (1.225,5.166) -- (1.284,5.107) -- (1.364,5.086) -- (1.444,5.107) -- (1.502,5.166) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.559,4.772) -- (5.537,4.852) -- (5.479,4.911) -- (5.399,4.932) -- (5.319,4.911) -- (5.26,4.852) -- (5.239,4.772) -- (5.26,4.692) -- (5.319,4.634) -- (5.399,4.612) -- (5.479,4.634) -- (5.537,4.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.618,4.147) -- (3.597,4.227) -- (3.538,4.286) -- (3.458,4.307) -- (3.378,4.286) -- (3.319,4.227) -- (3.298,4.147) -- (3.319,4.067) -- (3.378,4.008) -- (3.458,3.987) -- (3.538,4.008) -- (3.597,4.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.315,1.769) -- (11.293,1.849) -- (11.235,1.907) -- (11.155,1.929) -- (11.075,1.907) -- (11.016,1.849) -- (10.995,1.769) -- (11.016,1.689) -- (11.075,1.63) -- (11.155,1.609) -- (11.235,1.63) -- (11.293,1.689) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.948,1.548) -- (5.926,1.628) -- (5.868,1.687) -- (5.788,1.708) -- (5.708,1.687) -- (5.649,1.628) -- (5.628,1.548) -- (5.649,1.468) -- (5.708,1.41) -- (5.788,1.388) -- (5.868,1.41) -- (5.926,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,5.235) -- (8.688,5.405) -- (8.564,5.53) -- (8.394,5.575) -- (8.224,5.53) -- (8.099,5.405) -- (8.054,5.235) -- (8.099,5.065) -- (8.224,4.941) -- (8.394,4.895) -- (8.564,4.941) -- (8.688,5.065) -- cycle;
\node at (8.394,5.235) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.087,3.777) -- (12.041,3.947) -- (11.917,4.072) -- (11.747,4.117) -- (11.577,4.072) -- (11.452,3.947) -- (11.407,3.777) -- (11.452,3.607) -- (11.577,3.483) -- (11.747,3.437) -- (11.917,3.483) -- (12.041,3.607) -- cycle;
\node at (11.747,3.777) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.739,5.16) -- (3.693,5.33) -- (3.569,5.455) -- (3.399,5.5) -- (3.229,5.455) -- (3.105,5.33) -- (3.059,5.16) -- (3.105,4.99) -- (3.229,4.866) -- (3.399,4.82) -- (3.569,4.866) -- (3.693,4.99) -- cycle;
\node at (3.399,5.16) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.945,5.066) -- (2.899,5.236) -- (2.775,5.36) -- (2.605,5.406) -- (2.435,5.36) -- (2.31,5.236) -- (2.265,5.066) -- (2.31,4.896) -- (2.435,4.772) -- (2.605,4.726) -- (2.775,4.772) -- (2.899,4.896) -- cycle;
\node at (2.605,5.066) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.841,4.235) -- (4.795,4.405) -- (4.671,4.53) -- (4.501,4.575) -- (4.331,4.53) -- (4.206,4.405) -- (4.161,4.235) -- (4.206,4.065) -- (4.331,3.941) -- (4.501,3.895) -- (4.671,3.941) -- (4.795,4.065) -- cycle;
\node at (4.501,4.235) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.715,3.791) -- (7.669,3.961) -- (7.545,4.086) -- (7.375,4.131) -- (7.205,4.086) -- (7.08,3.961) -- (7.035,3.791) -- (7.08,3.621) -- (7.205,3.497) -- (7.375,3.451) -- (7.545,3.497) -- (7.669,3.621) -- cycle;
\node at (7.375,3.791) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.094,2.965) -- (5.048,3.135) -- (4.924,3.26) -- (4.754,3.305) -- (4.584,3.26) -- (4.459,3.135) -- (4.414,2.965) -- (4.459,2.795) -- (4.584,2.671) -- (4.754,2.625) -- (4.924,2.671) -- (5.048,2.795) -- cycle;
\node at (4.754,2.965) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.833,1.117) -- (8.788,1.287) -- (8.663,1.412) -- (8.493,1.457) -- (8.323,1.412) -- (8.199,1.287) -- (8.153,1.117) -- (8.199,0.947) -- (8.323,0.823) -- (8.493,0.777) -- (8.663,0.823) -- (8.788,0.947) -- cycle;
\node at (8.493,1.117) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.855,1.469) -- (11.455,1.469) -- (11.455,2.069) -- (10.855,2.069) -- cycle;
\node at (11.155,1.769) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.646,2.317) -- (4.246,2.317) -- (4.246,2.917) -- (3.646,2.917) -- cycle;
\node at (3.946,2.617) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.174,3.793) -- (3.774,3.793) -- (3.774,4.393) -- (3.174,4.393) -- cycle;
\node at (3.474,4.093) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.381,5.354) -- (1.981,5.354) -- (1.981,5.954) -- (1.381,5.954) -- cycle;
\node at (1.681,5.654) {\scalebox{1.428}{\small d}};
\node at (11.941,6.063) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (0.765,5.406) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (4.93,5.178) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (2.84,4.201) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (11.721,1.516) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (5.625,0.95) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.664,4.886) -- (12.664,5.986);
\draw[line width=0.5pt] (12.433,5.601) -- (12.664,5.986) -- (12.895,5.601);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,5.436) -- (12.966,5.436);
\node at (12.664,6.371) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑤ avenue de la Gare & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑥ rue des Jardins & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue de l'Église & ⑦ allée des Peupliers & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑧ rue Pasteur & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
 &  & Ⓔ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6266, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.364,5.836) -- (10.929,5.826) -- (10.495,5.805) -- (10.062,5.775) -- (9.629,5.734) -- (9.197,5.683) -- (8.766,5.622) -- (8.337,5.55) -- (7.91,5.469) -- (7.485,5.377) -- (7.062,5.276) -- (6.642,5.165) -- (6.224,5.044) -- (5.81,4.913) -- (5.399,4.772);
\draw[line width=0.5pt] (11.364,5.836) -- (11.393,5.545) -- (11.416,5.254) -- (11.432,4.963) -- (11.441,4.67) -- (11.443,4.378) -- (11.439,4.086) -- (11.427,3.794) -- (11.409,3.502) -- (11.383,3.211) -- (11.351,2.92) -- (11.312,2.631) -- (11.267,2.342) -- (11.214,2.055) -- (11.155,1.769);
\draw[line width=0.5pt] (1.364,5.246) -- (1.644,5.168) -- (1.927,5.097) -- (2.211,5.032) -- (2.497,4.975) -- (2.784,4.924) -- (3.072,4.88) -- (3.362,4.842) -- (3.652,4.812) -- (3.942,4.788) -- (4.233,4.771) -- (4.525,4.761) -- (4.816,4.758) -- (5.108,4.762) -- (5.399,4.772);
\draw[line width=0.5pt] (1.364,5.246) -- (1.524,5.191) -- (1.683,5.132) -- (1.841,5.069) -- (1.997,5.003) -- (2.152,4.933) -- (2.305,4.86) -- (2.456,4.783) -- (2.606,4.702) -- (2.753,4.618) -- (2.898,4.53) -- (3.042,4.44) -- (3.183,4.345) -- (3.322,4.248) -- (3.458,4.147);
\draw[line width=0.5pt] (5.399,4.772) -- (5.254,4.749) -- (5.111,4.723) -- (4.967,4.693) -- (4.825,4.66) -- (4.683,4.623) -- (4.542,4.583) -- (4.403,4.54) -- (4.264,4.493) -- (4.126,4.443) -- (3.99,4.39) -- (3.855,4.334) -- (3.721,4.275) -- (3.589,4.213) -- (3.458,4.147);
\draw[line width=0.5pt] (5.399,4.772) -- (5.539,4.704) -- (5.677,4.633) -- (5.814,4.558) -- (5.949,4.48) -- (6.082,4.398) -- (6.214,4.314) -- (6.343,4.227) -- (6.47,4.136) -- (6.595,4.043) -- (6.718,3.946) -- (6.838,3.847) -- (6.956,3.745) -- (7.072,3.641) -- (7.185,3.533) -- (7.447,3.365) -- (7.713,3.203) -- (7.983,3.047) -- (8.256,2.897) -- (8.533,2.754) -- (8.814,2.617) -- (9.097,2.487) -- (9.384,2.364) -- (9.673,2.247) -- (9.965,2.138) -- (10.259,2.035) -- (10.556,1.939) -- (10.854,1.85) -- (11.155,1.769);
\draw[line width=0.5pt] (3.458,4.147) -- (3.595,3.937) -- (3.736,3.731) -- (3.883,3.528) -- (4.034,3.328) -- (4.19,3.132) -- (4.351,2.94) -- (4.516,2.752) -- (4.685,2.567) -- (4.859,2.387) -- (5.036,2.21) -- (5.218,2.038) -- (5.404,1.87) -- (5.594,1.707) -- (5.788,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (11.155,1.769) -- (10.777,1.694) -- (10.397,1.629) -- (10.016,1.573) -- (9.634,1.525) -- (9.25,1.487) -- (8.865,1.457) -- (8.48,1.437) -- (8.095,1.426) -- (7.709,1.424) -- (7.324,1.43) -- (6.939,1.446) -- (6.554,1.471) -- (6.17,1.505) -- (5.788,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.524,5.836) -- (11.502,5.916) -- (11.444,5.975) -- (11.364,5.996) -- (11.284,5.975) -- (11.225,5.916) -- (11.204,5.836) -- (11.225,5.756) -- (11.284,5.697) -- (11.364,5.676) -- (11.444,5.697) -- (11.502,5.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.524,5.246) -- (1.502,5.326) -- (1.444,5.384) -- (1.364,5.406) -- (1.284,5.384) -- (1.225,5.326) -- (1.204,5.246) -- (1.225,5.166) -- (1.284,5.107) -- (1.364,5.086) -- (1.444,5.107) -- (1.502,5.166) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.559,4.772) -- (5.537,4.852) -- (5.479,4.911) -- (5.399,4.932) -- (5.319,4.911) -- (5.26,4.852) -- (5.239,4.772) -- (5.26,4.692) -- (5.319,4.634) -- (5.399,4.612) -- (5.479,4.634) -- (5.537,4.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.618,4.147) -- (3.597,4.227) -- (3.538,4.286) -- (3.458,4.307) -- (3.378,4.286) -- (3.319,4.227) -- (3.298,4.147) -- (3.319,4.067) -- (3.378,4.008) -- (3.458,3.987) -- (3.538,4.008) -- (3.597,4.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.315,1.769) -- (11.293,1.849) -- (11.235,1.907) -- (11.155,1.929) -- (11.075,1.907) -- (11.016,1.849) -- (10.995,1.769) -- (11.016,1.689) -- (11.075,1.63) -- (11.155,1.609) -- (11.235,1.63) -- (11.293,1.689) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.948,1.548) -- (5.926,1.628) -- (5.868,1.687) -- (5.788,1.708) -- (5.708,1.687) -- (5.649,1.628) -- (5.628,1.548) -- (5.649,1.468) -- (5.708,1.41) -- (5.788,1.388) -- (5.868,1.41) -- (5.926,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.734,5.235) -- (8.688,5.405) -- (8.564,5.53) -- (8.394,5.575) -- (8.224,5.53) -- (8.099,5.405) -- (8.054,5.235) -- (8.099,5.065) -- (8.224,4.941) -- (8.394,4.895) -- (8.564,4.941) -- (8.688,5.065) -- cycle;
\node at (8.394,5.235) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.087,3.777) -- (12.041,3.947) -- (11.917,4.072) -- (11.747,4.117) -- (11.577,4.072) -- (11.452,3.947) -- (11.407,3.777) -- (11.452,3.607) -- (11.577,3.483) -- (11.747,3.437) -- (11.917,3.483) -- (12.041,3.607) -- cycle;
\node at (11.747,3.777) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.739,5.16) -- (3.693,5.33) -- (3.569,5.455) -- (3.399,5.5) -- (3.229,5.455) -- (3.105,5.33) -- (3.059,5.16) -- (3.105,4.99) -- (3.229,4.866) -- (3.399,4.82) -- (3.569,4.866) -- (3.693,4.99) -- cycle;
\node at (3.399,5.16) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.945,5.066) -- (2.899,5.236) -- (2.775,5.36) -- (2.605,5.406) -- (2.435,5.36) -- (2.31,5.236) -- (2.265,5.066) -- (2.31,4.896) -- (2.435,4.772) -- (2.605,4.726) -- (2.775,4.772) -- (2.899,4.896) -- cycle;
\node at (2.605,5.066) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.841,4.235) -- (4.795,4.405) -- (4.671,4.53) -- (4.501,4.575) -- (4.331,4.53) -- (4.206,4.405) -- (4.161,4.235) -- (4.206,4.065) -- (4.331,3.941) -- (4.501,3.895) -- (4.671,3.941) -- (4.795,4.065) -- cycle;
\node at (4.501,4.235) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.715,3.791) -- (7.669,3.961) -- (7.545,4.086) -- (7.375,4.131) -- (7.205,4.086) -- (7.08,3.961) -- (7.035,3.791) -- (7.08,3.621) -- (7.205,3.497) -- (7.375,3.451) -- (7.545,3.497) -- (7.669,3.621) -- cycle;
\node at (7.375,3.791) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.094,2.965) -- (5.048,3.135) -- (4.924,3.26) -- (4.754,3.305) -- (4.584,3.26) -- (4.459,3.135) -- (4.414,2.965) -- (4.459,2.795) -- (4.584,2.671) -- (4.754,2.625) -- (4.924,2.671) -- (5.048,2.795) -- cycle;
\node at (4.754,2.965) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.833,1.117) -- (8.788,1.287) -- (8.663,1.412) -- (8.493,1.457) -- (8.323,1.412) -- (8.199,1.287) -- (8.153,1.117) -- (8.199,0.947) -- (8.323,0.823) -- (8.493,0.777) -- (8.663,0.823) -- (8.788,0.947) -- cycle;
\node at (8.493,1.117) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.855,1.469) -- (11.455,1.469) -- (11.455,2.069) -- (10.855,2.069) -- cycle;
\node at (11.155,1.769) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.646,2.317) -- (4.246,2.317) -- (4.246,2.917) -- (3.646,2.917) -- cycle;
\node at (3.946,2.617) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.174,3.793) -- (3.774,3.793) -- (3.774,4.393) -- (3.174,4.393) -- cycle;
\node at (3.474,4.093) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.381,5.354) -- (1.981,5.354) -- (1.981,5.954) -- (1.381,5.954) -- cycle;
\node at (1.681,5.654) {\scalebox{1.596}{\small d}};
\node at (11.941,6.063) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (0.765,5.406) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (4.93,5.178) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (2.84,4.201) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (11.721,1.516) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (5.625,0.95) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.664,4.886) -- (12.664,5.986);
\draw[line width=0.5pt] (12.433,5.601) -- (12.664,5.986) -- (12.895,5.601);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,5.436) -- (12.966,5.436);
\node at (12.664,6.371) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{E}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue du Pont ②} vers le nord et atteint Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ①}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de l'Église ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin des Vignes ④}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
