\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 352}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=352}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0352}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7027, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.317,7.675) -- (1.639,7.539) -- (1.965,7.41) -- (2.293,7.289) -- (2.624,7.176) -- (2.958,7.071) -- (3.295,6.974) -- (3.633,6.884) -- (3.974,6.803) -- (4.316,6.729) -- (4.66,6.664) -- (5.006,6.607) -- (5.352,6.557) -- (5.7,6.517) -- (6.048,6.484);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,7.675) -- (1.499,7.395) -- (1.675,7.111) -- (1.844,6.823) -- (2.006,6.531) -- (2.162,6.235) -- (2.31,5.935) -- (2.451,5.633) -- (2.585,5.326) -- (2.712,5.017) -- (2.832,4.705) -- (2.944,4.39) -- (3.048,4.073) -- (3.146,3.754) -- (3.235,3.432);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (6.349,6.424) -- (6.652,6.372) -- (6.956,6.326) -- (7.261,6.288) -- (7.567,6.257) -- (7.873,6.234) -- (8.18,6.217) -- (8.487,6.208) -- (8.795,6.205) -- (9.102,6.211) -- (9.409,6.223) -- (9.716,6.242) -- (10.022,6.269) -- (10.327,6.303);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (6.297,6.321) -- (6.542,6.152) -- (6.783,5.978) -- (7.019,5.797) -- (7.252,5.611) -- (7.48,5.42) -- (7.704,5.223) -- (7.923,5.022) -- (8.137,4.815) -- (8.346,4.603) -- (8.55,4.386) -- (8.749,4.165) -- (8.942,3.939) -- (9.131,3.709);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (5.815,6.298) -- (5.587,6.107) -- (5.363,5.911) -- (5.144,5.709) -- (4.93,5.503) -- (4.72,5.291) -- (4.516,5.074) -- (4.316,4.853) -- (4.122,4.627) -- (3.933,4.396) -- (3.75,4.161) -- (3.573,3.922) -- (3.401,3.679) -- (3.235,3.432);
\draw[line width=0.5pt] (10.327,6.303) -- (10.271,6.106) -- (10.21,5.911) -- (10.144,5.716) -- (10.074,5.524) -- (9.999,5.333) -- (9.92,5.144) -- (9.836,4.957) -- (9.748,4.771) -- (9.655,4.588) -- (9.559,4.407) -- (9.458,4.229) -- (9.353,4.053) -- (9.244,3.879) -- (9.131,3.709);
\draw[line width=0.5pt] (10.327,6.303) -- (10.343,5.94) -- (10.367,5.578) -- (10.4,5.216) -- (10.442,4.854) -- (10.492,4.494) -- (10.55,4.135) -- (10.617,3.778) -- (10.692,3.422) -- (10.776,3.068) -- (10.868,2.716) -- (10.968,2.367) -- (11.076,2.02) -- (11.193,1.675) -- (11.317,1.334);
\draw[line width=0.5pt] (3.235,3.432) -- (3.488,3.369) -- (3.74,3.3) -- (3.99,3.224) -- (4.238,3.143) -- (4.485,3.056) -- (4.729,2.964) -- (4.971,2.865) -- (5.211,2.761) -- (5.448,2.651) -- (5.683,2.536) -- (5.914,2.415) -- (6.143,2.289) -- (6.369,2.158) -- (6.591,2.021) -- (6.918,1.921) -- (7.248,1.828) -- (7.58,1.743) -- (7.914,1.666) -- (8.25,1.597) -- (8.587,1.536) -- (8.926,1.483) -- (9.265,1.437) -- (9.606,1.4) -- (9.948,1.371) -- (10.29,1.349) -- (10.632,1.336) -- (10.975,1.331) -- (11.317,1.334);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,7.675) -- (1.456,7.755) -- (1.397,7.813) -- (1.317,7.835) -- (1.237,7.813) -- (1.178,7.755) -- (1.157,7.675) -- (1.178,7.595) -- (1.237,7.536) -- (1.317,7.515) -- (1.397,7.536) -- (1.456,7.595) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.208,6.484) -- (6.186,6.564) -- (6.128,6.622) -- (6.048,6.644) -- (5.968,6.622) -- (5.909,6.564) -- (5.888,6.484) -- (5.909,6.404) -- (5.968,6.345) -- (6.048,6.324) -- (6.128,6.345) -- (6.186,6.404) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.487,6.303) -- (10.466,6.383) -- (10.407,6.442) -- (10.327,6.463) -- (10.247,6.442) -- (10.189,6.383) -- (10.167,6.303) -- (10.189,6.223) -- (10.247,6.165) -- (10.327,6.143) -- (10.407,6.165) -- (10.466,6.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,3.709) -- (9.269,3.789) -- (9.211,3.847) -- (9.131,3.869) -- (9.051,3.847) -- (8.992,3.789) -- (8.971,3.709) -- (8.992,3.629) -- (9.051,3.57) -- (9.131,3.549) -- (9.211,3.57) -- (9.269,3.629) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.395,3.432) -- (3.374,3.512) -- (3.315,3.571) -- (3.235,3.592) -- (3.155,3.571) -- (3.096,3.512) -- (3.075,3.432) -- (3.096,3.352) -- (3.155,3.294) -- (3.235,3.272) -- (3.315,3.294) -- (3.374,3.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.477,1.334) -- (11.456,1.414) -- (11.397,1.473) -- (11.317,1.494) -- (11.237,1.473) -- (11.178,1.414) -- (11.157,1.334) -- (11.178,1.254) -- (11.237,1.195) -- (11.317,1.174) -- (11.397,1.195) -- (11.456,1.254) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.051,7.195) -- (4.006,7.365) -- (3.881,7.489) -- (3.711,7.535) -- (3.541,7.489) -- (3.417,7.365) -- (3.371,7.195) -- (3.417,7.025) -- (3.541,6.9) -- (3.711,6.855) -- (3.881,6.9) -- (4.006,7.025) -- cycle;
\node at (3.711,7.195) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.083,5.764) -- (3.037,5.934) -- (2.913,6.059) -- (2.743,6.104) -- (2.573,6.059) -- (2.448,5.934) -- (2.403,5.764) -- (2.448,5.594) -- (2.573,5.47) -- (2.743,5.424) -- (2.913,5.47) -- (3.037,5.594) -- cycle;
\node at (2.743,5.764) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.534,6.537) -- (8.488,6.707) -- (8.364,6.831) -- (8.194,6.877) -- (8.024,6.831) -- (7.899,6.707) -- (7.854,6.537) -- (7.899,6.367) -- (8.024,6.242) -- (8.194,6.197) -- (8.364,6.242) -- (8.488,6.367) -- cycle;
\node at (8.194,6.537) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.258,5.461) -- (8.212,5.631) -- (8.088,5.756) -- (7.918,5.801) -- (7.748,5.756) -- (7.623,5.631) -- (7.578,5.461) -- (7.623,5.291) -- (7.748,5.167) -- (7.918,5.121) -- (8.088,5.167) -- (8.212,5.291) -- cycle;
\node at (7.918,5.461) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.091,4.857) -- (5.045,5.027) -- (4.921,5.152) -- (4.751,5.197) -- (4.581,5.152) -- (4.456,5.027) -- (4.411,4.857) -- (4.456,4.687) -- (4.581,4.563) -- (4.751,4.517) -- (4.921,4.563) -- (5.045,4.687) -- cycle;
\node at (4.751,4.857) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.466,4.823) -- (10.421,4.993) -- (10.296,5.117) -- (10.126,5.163) -- (9.956,5.117) -- (9.832,4.993) -- (9.786,4.823) -- (9.832,4.653) -- (9.956,4.528) -- (10.126,4.483) -- (10.296,4.528) -- (10.421,4.653) -- cycle;
\node at (10.126,4.823) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.271,3.84) -- (11.225,4.01) -- (11.101,4.135) -- (10.931,4.18) -- (10.761,4.135) -- (10.637,4.01) -- (10.591,3.84) -- (10.637,3.67) -- (10.761,3.546) -- (10.931,3.5) -- (11.101,3.546) -- (11.225,3.67) -- cycle;
\node at (10.931,3.84) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.058,2.315) -- (7.012,2.485) -- (6.888,2.61) -- (6.718,2.655) -- (6.548,2.61) -- (6.423,2.485) -- (6.378,2.315) -- (6.423,2.145) -- (6.548,2.021) -- (6.718,1.975) -- (6.888,2.021) -- (7.012,2.145) -- cycle;
\node at (6.718,2.315) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.027,6.003) -- (10.627,6.003) -- (10.627,6.603) -- (10.027,6.603) -- cycle;
\node at (10.327,6.303) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.621,7.82) -- (3.221,7.82) -- (3.221,8.42) -- (2.621,8.42) -- cycle;
\node at (2.921,8.12) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.588,5.839) -- (2.188,5.839) -- (2.188,6.439) -- (1.588,6.439) -- cycle;
\node at (1.888,6.139) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.135,4.395) -- (11.735,4.395) -- (11.735,4.995) -- (11.135,4.995) -- cycle;
\node at (11.435,4.695) {\scalebox{1.423}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.931,3.349) -- (12.531,3.349) -- (12.531,3.949) -- (11.931,3.949) -- cycle;
\node at (12.231,3.649) {\scalebox{1.423}{\small e}};
\node at (0.765,7.957) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (5.766,7.036) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (10.896,6.549) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (9.685,3.432) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (2.655,3.212) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (11.804,0.95) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.617,6.725) -- (12.617,7.825);
\draw[line width=0.5pt] (12.386,7.44) -- (12.617,7.825) -- (12.848,7.44);
\draw[line width=0.5pt] (12.315,7.275) -- (12.92,7.275);
\node at (12.617,8.21) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Haute & ⑤ rue du Pont & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑥ allée des Peupliers & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ passage du Marché & ⑦ rue Basse & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue de l'Église & ⑧ venelle du Chat & Ⓓ Place de l'Église & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
 &  & Ⓔ Rond-point des Vaches & \textbf{e} le stade \\ \hline
 &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6287, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.317,7.675) -- (1.639,7.539) -- (1.965,7.41) -- (2.293,7.289) -- (2.624,7.176) -- (2.958,7.071) -- (3.295,6.974) -- (3.633,6.884) -- (3.974,6.803) -- (4.316,6.729) -- (4.66,6.664) -- (5.006,6.607) -- (5.352,6.557) -- (5.7,6.517) -- (6.048,6.484);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,7.675) -- (1.499,7.395) -- (1.675,7.111) -- (1.844,6.823) -- (2.006,6.531) -- (2.162,6.235) -- (2.31,5.935) -- (2.451,5.633) -- (2.585,5.326) -- (2.712,5.017) -- (2.832,4.705) -- (2.944,4.39) -- (3.048,4.073) -- (3.146,3.754) -- (3.235,3.432);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (6.349,6.424) -- (6.652,6.372) -- (6.956,6.326) -- (7.261,6.288) -- (7.567,6.257) -- (7.873,6.234) -- (8.18,6.217) -- (8.487,6.208) -- (8.795,6.205) -- (9.102,6.211) -- (9.409,6.223) -- (9.716,6.242) -- (10.022,6.269) -- (10.327,6.303);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (6.297,6.321) -- (6.542,6.152) -- (6.783,5.978) -- (7.019,5.797) -- (7.252,5.611) -- (7.48,5.42) -- (7.704,5.223) -- (7.923,5.022) -- (8.137,4.815) -- (8.346,4.603) -- (8.55,4.386) -- (8.749,4.165) -- (8.942,3.939) -- (9.131,3.709);
\draw[line width=0.5pt] (6.048,6.484) -- (5.815,6.298) -- (5.587,6.107) -- (5.363,5.911) -- (5.144,5.709) -- (4.93,5.503) -- (4.72,5.291) -- (4.516,5.074) -- (4.316,4.853) -- (4.122,4.627) -- (3.933,4.396) -- (3.75,4.161) -- (3.573,3.922) -- (3.401,3.679) -- (3.235,3.432);
\draw[line width=0.5pt] (10.327,6.303) -- (10.271,6.106) -- (10.21,5.911) -- (10.144,5.716) -- (10.074,5.524) -- (9.999,5.333) -- (9.92,5.144) -- (9.836,4.957) -- (9.748,4.771) -- (9.655,4.588) -- (9.559,4.407) -- (9.458,4.229) -- (9.353,4.053) -- (9.244,3.879) -- (9.131,3.709);
\draw[line width=0.5pt] (10.327,6.303) -- (10.343,5.94) -- (10.367,5.578) -- (10.4,5.216) -- (10.442,4.854) -- (10.492,4.494) -- (10.55,4.135) -- (10.617,3.778) -- (10.692,3.422) -- (10.776,3.068) -- (10.868,2.716) -- (10.968,2.367) -- (11.076,2.02) -- (11.193,1.675) -- (11.317,1.334);
\draw[line width=0.5pt] (3.235,3.432) -- (3.488,3.369) -- (3.74,3.3) -- (3.99,3.224) -- (4.238,3.143) -- (4.485,3.056) -- (4.729,2.964) -- (4.971,2.865) -- (5.211,2.761) -- (5.448,2.651) -- (5.683,2.536) -- (5.914,2.415) -- (6.143,2.289) -- (6.369,2.158) -- (6.591,2.021) -- (6.918,1.921) -- (7.248,1.828) -- (7.58,1.743) -- (7.914,1.666) -- (8.25,1.597) -- (8.587,1.536) -- (8.926,1.483) -- (9.265,1.437) -- (9.606,1.4) -- (9.948,1.371) -- (10.29,1.349) -- (10.632,1.336) -- (10.975,1.331) -- (11.317,1.334);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,7.675) -- (1.456,7.755) -- (1.397,7.813) -- (1.317,7.835) -- (1.237,7.813) -- (1.178,7.755) -- (1.157,7.675) -- (1.178,7.595) -- (1.237,7.536) -- (1.317,7.515) -- (1.397,7.536) -- (1.456,7.595) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.208,6.484) -- (6.186,6.564) -- (6.128,6.622) -- (6.048,6.644) -- (5.968,6.622) -- (5.909,6.564) -- (5.888,6.484) -- (5.909,6.404) -- (5.968,6.345) -- (6.048,6.324) -- (6.128,6.345) -- (6.186,6.404) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.487,6.303) -- (10.466,6.383) -- (10.407,6.442) -- (10.327,6.463) -- (10.247,6.442) -- (10.189,6.383) -- (10.167,6.303) -- (10.189,6.223) -- (10.247,6.165) -- (10.327,6.143) -- (10.407,6.165) -- (10.466,6.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,3.709) -- (9.269,3.789) -- (9.211,3.847) -- (9.131,3.869) -- (9.051,3.847) -- (8.992,3.789) -- (8.971,3.709) -- (8.992,3.629) -- (9.051,3.57) -- (9.131,3.549) -- (9.211,3.57) -- (9.269,3.629) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.395,3.432) -- (3.374,3.512) -- (3.315,3.571) -- (3.235,3.592) -- (3.155,3.571) -- (3.096,3.512) -- (3.075,3.432) -- (3.096,3.352) -- (3.155,3.294) -- (3.235,3.272) -- (3.315,3.294) -- (3.374,3.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.477,1.334) -- (11.456,1.414) -- (11.397,1.473) -- (11.317,1.494) -- (11.237,1.473) -- (11.178,1.414) -- (11.157,1.334) -- (11.178,1.254) -- (11.237,1.195) -- (11.317,1.174) -- (11.397,1.195) -- (11.456,1.254) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.051,7.195) -- (4.006,7.365) -- (3.881,7.489) -- (3.711,7.535) -- (3.541,7.489) -- (3.417,7.365) -- (3.371,7.195) -- (3.417,7.025) -- (3.541,6.9) -- (3.711,6.855) -- (3.881,6.9) -- (4.006,7.025) -- cycle;
\node at (3.711,7.195) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.083,5.764) -- (3.037,5.934) -- (2.913,6.059) -- (2.743,6.104) -- (2.573,6.059) -- (2.448,5.934) -- (2.403,5.764) -- (2.448,5.594) -- (2.573,5.47) -- (2.743,5.424) -- (2.913,5.47) -- (3.037,5.594) -- cycle;
\node at (2.743,5.764) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.534,6.537) -- (8.488,6.707) -- (8.364,6.831) -- (8.194,6.877) -- (8.024,6.831) -- (7.899,6.707) -- (7.854,6.537) -- (7.899,6.367) -- (8.024,6.242) -- (8.194,6.197) -- (8.364,6.242) -- (8.488,6.367) -- cycle;
\node at (8.194,6.537) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.258,5.461) -- (8.212,5.631) -- (8.088,5.756) -- (7.918,5.801) -- (7.748,5.756) -- (7.623,5.631) -- (7.578,5.461) -- (7.623,5.291) -- (7.748,5.167) -- (7.918,5.121) -- (8.088,5.167) -- (8.212,5.291) -- cycle;
\node at (7.918,5.461) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.091,4.857) -- (5.045,5.027) -- (4.921,5.152) -- (4.751,5.197) -- (4.581,5.152) -- (4.456,5.027) -- (4.411,4.857) -- (4.456,4.687) -- (4.581,4.563) -- (4.751,4.517) -- (4.921,4.563) -- (5.045,4.687) -- cycle;
\node at (4.751,4.857) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.466,4.823) -- (10.421,4.993) -- (10.296,5.117) -- (10.126,5.163) -- (9.956,5.117) -- (9.832,4.993) -- (9.786,4.823) -- (9.832,4.653) -- (9.956,4.528) -- (10.126,4.483) -- (10.296,4.528) -- (10.421,4.653) -- cycle;
\node at (10.126,4.823) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.271,3.84) -- (11.225,4.01) -- (11.101,4.135) -- (10.931,4.18) -- (10.761,4.135) -- (10.637,4.01) -- (10.591,3.84) -- (10.637,3.67) -- (10.761,3.546) -- (10.931,3.5) -- (11.101,3.546) -- (11.225,3.67) -- cycle;
\node at (10.931,3.84) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.058,2.315) -- (7.012,2.485) -- (6.888,2.61) -- (6.718,2.655) -- (6.548,2.61) -- (6.423,2.485) -- (6.378,2.315) -- (6.423,2.145) -- (6.548,2.021) -- (6.718,1.975) -- (6.888,2.021) -- (7.012,2.145) -- cycle;
\node at (6.718,2.315) {\scalebox{1.591}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.027,6.003) -- (10.627,6.003) -- (10.627,6.603) -- (10.027,6.603) -- cycle;
\node at (10.327,6.303) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.621,7.82) -- (3.221,7.82) -- (3.221,8.42) -- (2.621,8.42) -- cycle;
\node at (2.921,8.12) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.588,5.839) -- (2.188,5.839) -- (2.188,6.439) -- (1.588,6.439) -- cycle;
\node at (1.888,6.139) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.135,4.395) -- (11.735,4.395) -- (11.735,4.995) -- (11.135,4.995) -- cycle;
\node at (11.435,4.695) {\scalebox{1.591}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.931,3.349) -- (12.531,3.349) -- (12.531,3.949) -- (11.931,3.949) -- cycle;
\node at (12.231,3.649) {\scalebox{1.591}{\small e}};
\node at (0.765,7.957) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (5.766,7.036) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (10.896,6.549) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (9.685,3.432) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (2.655,3.212) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\node at (11.804,0.95) {\scalebox{1.591}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.617,6.725) -- (12.617,7.825);
\draw[line width=0.5pt] (12.386,7.44) -- (12.617,7.825) -- (12.848,7.44);
\draw[line width=0.5pt] (12.315,7.275) -- (12.92,7.275);
\node at (12.617,8.21) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 3 & 2 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}, prend le \textbf{passage du Marché ③} vers l'ouest et atteint Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Haute ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ④}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
