\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 353}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=353}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0353}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7023, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.118,7.613) -- (9.814,7.643) -- (9.509,7.667) -- (9.204,7.683) -- (8.898,7.692) -- (8.592,7.694) -- (8.286,7.688) -- (7.98,7.676) -- (7.675,7.656) -- (7.37,7.629) -- (7.066,7.595) -- (6.762,7.554) -- (6.46,7.505) -- (6.16,7.45) -- (5.86,7.387);
\draw[line width=0.5pt] (10.118,7.613) -- (10.256,7.291) -- (10.385,6.967) -- (10.507,6.639) -- (10.621,6.309) -- (10.728,5.975) -- (10.826,5.64) -- (10.917,5.302) -- (10.999,4.962) -- (11.074,4.62) -- (11.14,4.277) -- (11.199,3.932) -- (11.249,3.586) -- (11.291,3.24) -- (11.325,2.892);
\draw[line width=0.5pt] (5.86,7.387) -- (5.657,7.185) -- (5.459,6.979) -- (5.265,6.768) -- (5.077,6.552) -- (4.894,6.331) -- (4.715,6.107) -- (4.543,5.878) -- (4.375,5.646) -- (4.213,5.409) -- (4.057,5.169) -- (3.906,4.925) -- (3.762,4.678) -- (3.623,4.427) -- (3.49,4.174);
\draw[line width=0.5pt] (5.86,7.387) -- (6.132,7.228) -- (6.4,7.063) -- (6.663,6.892) -- (6.923,6.714) -- (7.179,6.53) -- (7.43,6.34) -- (7.677,6.145) -- (7.919,5.943) -- (8.156,5.736) -- (8.388,5.524) -- (8.615,5.306) -- (8.837,5.083) -- (9.054,4.855) -- (9.265,4.621) -- (9.392,4.476) -- (9.522,4.334) -- (9.656,4.195) -- (9.793,4.059) -- (9.934,3.927) -- (10.077,3.797) -- (10.224,3.672) -- (10.373,3.549) -- (10.525,3.43) -- (10.68,3.315) -- (10.838,3.204) -- (10.998,3.096) -- (11.16,2.992) -- (11.325,2.892);
\draw[line width=0.5pt] (3.49,4.174) -- (3.312,4.036) -- (3.136,3.893) -- (2.965,3.747) -- (2.796,3.596) -- (2.632,3.442) -- (2.471,3.283) -- (2.313,3.121) -- (2.16,2.955) -- (2.01,2.786) -- (1.865,2.613) -- (1.724,2.437) -- (1.586,2.258) -- (1.454,2.075) -- (1.325,1.89);
\draw[line width=0.5pt] (3.49,4.174) -- (3.678,4.013) -- (3.861,3.847) -- (4.041,3.678) -- (4.217,3.504) -- (4.389,3.326) -- (4.556,3.144) -- (4.719,2.958) -- (4.878,2.768) -- (5.033,2.574) -- (5.182,2.377) -- (5.327,2.177) -- (5.467,1.973) -- (5.603,1.766) -- (5.733,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (11.325,2.892) -- (10.914,2.858) -- (10.504,2.815) -- (10.095,2.762) -- (9.687,2.7) -- (9.281,2.628) -- (8.877,2.546) -- (8.474,2.455) -- (8.074,2.354) -- (7.676,2.244) -- (7.281,2.125) -- (6.889,1.997) -- (6.5,1.859) -- (6.115,1.712) -- (5.733,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (1.325,1.89) -- (1.641,1.914) -- (1.958,1.932) -- (2.275,1.941) -- (2.592,1.943) -- (2.909,1.938) -- (3.226,1.925) -- (3.543,1.905) -- (3.859,1.877) -- (4.174,1.842) -- (4.489,1.8) -- (4.802,1.75) -- (5.114,1.693) -- (5.424,1.628) -- (5.733,1.556);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.278,7.613) -- (10.257,7.693) -- (10.198,7.751) -- (10.118,7.773) -- (10.038,7.751) -- (9.98,7.693) -- (9.958,7.613) -- (9.98,7.533) -- (10.038,7.474) -- (10.118,7.453) -- (10.198,7.474) -- (10.257,7.533) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.02,7.387) -- (5.999,7.467) -- (5.94,7.526) -- (5.86,7.547) -- (5.78,7.526) -- (5.722,7.467) -- (5.7,7.387) -- (5.722,7.307) -- (5.78,7.249) -- (5.86,7.227) -- (5.94,7.249) -- (5.999,7.307) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.65,4.174) -- (3.629,4.254) -- (3.57,4.312) -- (3.49,4.334) -- (3.41,4.312) -- (3.351,4.254) -- (3.33,4.174) -- (3.351,4.094) -- (3.41,4.035) -- (3.49,4.014) -- (3.57,4.035) -- (3.629,4.094) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.485,2.892) -- (11.464,2.972) -- (11.405,3.03) -- (11.325,3.052) -- (11.245,3.03) -- (11.187,2.972) -- (11.165,2.892) -- (11.187,2.812) -- (11.245,2.753) -- (11.325,2.732) -- (11.405,2.753) -- (11.464,2.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.485,1.89) -- (1.464,1.97) -- (1.405,2.028) -- (1.325,2.05) -- (1.245,2.028) -- (1.187,1.97) -- (1.165,1.89) -- (1.187,1.81) -- (1.245,1.751) -- (1.325,1.73) -- (1.405,1.751) -- (1.464,1.81) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.893,1.556) -- (5.872,1.636) -- (5.813,1.695) -- (5.733,1.716) -- (5.653,1.695) -- (5.594,1.636) -- (5.573,1.556) -- (5.594,1.476) -- (5.653,1.418) -- (5.733,1.396) -- (5.813,1.418) -- (5.872,1.476) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.337,7.356) -- (8.291,7.526) -- (8.167,7.65) -- (7.997,7.696) -- (7.827,7.65) -- (7.703,7.526) -- (7.657,7.356) -- (7.703,7.186) -- (7.827,7.062) -- (7.997,7.016) -- (8.167,7.062) -- (8.291,7.186) -- cycle;
\node at (7.997,7.356) {\scalebox{1.424}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.567,5.381) -- (11.521,5.551) -- (11.397,5.676) -- (11.227,5.721) -- (11.057,5.676) -- (10.932,5.551) -- (10.887,5.381) -- (10.932,5.211) -- (11.057,5.087) -- (11.227,5.041) -- (11.397,5.087) -- (11.521,5.211) -- cycle;
\node at (11.227,5.381) {\scalebox{1.424}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.14,5.688) -- (5.095,5.858) -- (4.97,5.983) -- (4.8,6.028) -- (4.63,5.983) -- (4.506,5.858) -- (4.46,5.688) -- (4.506,5.518) -- (4.63,5.394) -- (4.8,5.348) -- (4.97,5.394) -- (5.095,5.518) -- cycle;
\node at (4.8,5.688) {\scalebox{1.424}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.843,4.835) -- (9.798,5.005) -- (9.673,5.129) -- (9.503,5.175) -- (9.333,5.129) -- (9.209,5.005) -- (9.163,4.835) -- (9.209,4.665) -- (9.333,4.54) -- (9.503,4.495) -- (9.673,4.54) -- (9.798,4.665) -- cycle;
\node at (9.503,4.835) {\scalebox{1.424}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.886,2.901) -- (2.84,3.071) -- (2.716,3.195) -- (2.546,3.241) -- (2.376,3.195) -- (2.251,3.071) -- (2.206,2.901) -- (2.251,2.731) -- (2.376,2.607) -- (2.546,2.561) -- (2.716,2.607) -- (2.84,2.731) -- cycle;
\node at (2.546,2.901) {\scalebox{1.424}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.302,3.166) -- (5.257,3.336) -- (5.132,3.46) -- (4.962,3.506) -- (4.792,3.46) -- (4.668,3.336) -- (4.622,3.166) -- (4.668,2.996) -- (4.792,2.871) -- (4.962,2.826) -- (5.132,2.871) -- (5.257,2.996) -- cycle;
\node at (4.962,3.166) {\scalebox{1.424}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.888,2.144) -- (8.843,2.314) -- (8.718,2.438) -- (8.548,2.484) -- (8.378,2.438) -- (8.254,2.314) -- (8.208,2.144) -- (8.254,1.974) -- (8.378,1.849) -- (8.548,1.804) -- (8.718,1.849) -- (8.843,1.974) -- cycle;
\node at (8.548,2.144) {\scalebox{1.424}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,2.224) -- (3.861,2.394) -- (3.737,2.518) -- (3.567,2.564) -- (3.397,2.518) -- (3.273,2.394) -- (3.227,2.224) -- (3.273,2.054) -- (3.397,1.93) -- (3.567,1.884) -- (3.737,1.93) -- (3.861,2.054) -- cycle;
\node at (3.567,2.224) {\scalebox{1.424}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,7.087) -- (6.16,7.087) -- (6.16,7.687) -- (5.56,7.687) -- cycle;
\node at (5.86,7.387) {\scalebox{1.424}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.366,1.547) -- (2.966,1.547) -- (2.966,2.147) -- (2.366,2.147) -- cycle;
\node at (2.666,1.847) {\scalebox{1.424}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.221,5.386) -- (12.821,5.386) -- (12.821,5.986) -- (12.221,5.986) -- cycle;
\node at (12.521,5.686) {\scalebox{1.424}{\small c}};
\node at (10.583,8.023) {\scalebox{1.424}{\small A}};
\node at (5.773,8.001) {\scalebox{1.424}{\small B}};
\node at (2.87,4.157) {\scalebox{1.424}{\small C}};
\node at (11.924,2.73) {\scalebox{1.424}{\small D}};
\node at (0.765,1.624) {\scalebox{1.424}{\small E}};
\node at (5.604,0.95) {\scalebox{1.424}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.625,6.663) -- (12.625,7.763);
\draw[line width=0.5pt] (12.394,7.378) -- (12.625,7.763) -- (12.856,7.378);
\draw[line width=0.5pt] (12.323,7.213) -- (12.928,7.213);
\node at (12.625,8.148) {\scalebox{1.424}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑤ rue Haute & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑥ quai aux Fleurs & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑦ rue Neuve & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ chemin de Ronde & ⑧ chemin des Vignes & Ⓓ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓔ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6283, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.118,7.613) -- (9.814,7.643) -- (9.509,7.667) -- (9.204,7.683) -- (8.898,7.692) -- (8.592,7.694) -- (8.286,7.688) -- (7.98,7.676) -- (7.675,7.656) -- (7.37,7.629) -- (7.066,7.595) -- (6.762,7.554) -- (6.46,7.505) -- (6.16,7.45) -- (5.86,7.387);
\draw[line width=0.5pt] (10.118,7.613) -- (10.256,7.291) -- (10.385,6.967) -- (10.507,6.639) -- (10.621,6.309) -- (10.728,5.975) -- (10.826,5.64) -- (10.917,5.302) -- (10.999,4.962) -- (11.074,4.62) -- (11.14,4.277) -- (11.199,3.932) -- (11.249,3.586) -- (11.291,3.24) -- (11.325,2.892);
\draw[line width=0.5pt] (5.86,7.387) -- (5.657,7.185) -- (5.459,6.979) -- (5.265,6.768) -- (5.077,6.552) -- (4.894,6.331) -- (4.715,6.107) -- (4.543,5.878) -- (4.375,5.646) -- (4.213,5.409) -- (4.057,5.169) -- (3.906,4.925) -- (3.762,4.678) -- (3.623,4.427) -- (3.49,4.174);
\draw[line width=0.5pt] (5.86,7.387) -- (6.132,7.228) -- (6.4,7.063) -- (6.663,6.892) -- (6.923,6.714) -- (7.179,6.53) -- (7.43,6.34) -- (7.677,6.145) -- (7.919,5.943) -- (8.156,5.736) -- (8.388,5.524) -- (8.615,5.306) -- (8.837,5.083) -- (9.054,4.855) -- (9.265,4.621) -- (9.392,4.476) -- (9.522,4.334) -- (9.656,4.195) -- (9.793,4.059) -- (9.934,3.927) -- (10.077,3.797) -- (10.224,3.672) -- (10.373,3.549) -- (10.525,3.43) -- (10.68,3.315) -- (10.838,3.204) -- (10.998,3.096) -- (11.16,2.992) -- (11.325,2.892);
\draw[line width=0.5pt] (3.49,4.174) -- (3.312,4.036) -- (3.136,3.893) -- (2.965,3.747) -- (2.796,3.596) -- (2.632,3.442) -- (2.471,3.283) -- (2.313,3.121) -- (2.16,2.955) -- (2.01,2.786) -- (1.865,2.613) -- (1.724,2.437) -- (1.586,2.258) -- (1.454,2.075) -- (1.325,1.89);
\draw[line width=0.5pt] (3.49,4.174) -- (3.678,4.013) -- (3.861,3.847) -- (4.041,3.678) -- (4.217,3.504) -- (4.389,3.326) -- (4.556,3.144) -- (4.719,2.958) -- (4.878,2.768) -- (5.033,2.574) -- (5.182,2.377) -- (5.327,2.177) -- (5.467,1.973) -- (5.603,1.766) -- (5.733,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (11.325,2.892) -- (10.914,2.858) -- (10.504,2.815) -- (10.095,2.762) -- (9.687,2.7) -- (9.281,2.628) -- (8.877,2.546) -- (8.474,2.455) -- (8.074,2.354) -- (7.676,2.244) -- (7.281,2.125) -- (6.889,1.997) -- (6.5,1.859) -- (6.115,1.712) -- (5.733,1.556);
\draw[line width=0.5pt] (1.325,1.89) -- (1.641,1.914) -- (1.958,1.932) -- (2.275,1.941) -- (2.592,1.943) -- (2.909,1.938) -- (3.226,1.925) -- (3.543,1.905) -- (3.859,1.877) -- (4.174,1.842) -- (4.489,1.8) -- (4.802,1.75) -- (5.114,1.693) -- (5.424,1.628) -- (5.733,1.556);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.278,7.613) -- (10.257,7.693) -- (10.198,7.751) -- (10.118,7.773) -- (10.038,7.751) -- (9.98,7.693) -- (9.958,7.613) -- (9.98,7.533) -- (10.038,7.474) -- (10.118,7.453) -- (10.198,7.474) -- (10.257,7.533) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.02,7.387) -- (5.999,7.467) -- (5.94,7.526) -- (5.86,7.547) -- (5.78,7.526) -- (5.722,7.467) -- (5.7,7.387) -- (5.722,7.307) -- (5.78,7.249) -- (5.86,7.227) -- (5.94,7.249) -- (5.999,7.307) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.65,4.174) -- (3.629,4.254) -- (3.57,4.312) -- (3.49,4.334) -- (3.41,4.312) -- (3.351,4.254) -- (3.33,4.174) -- (3.351,4.094) -- (3.41,4.035) -- (3.49,4.014) -- (3.57,4.035) -- (3.629,4.094) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.485,2.892) -- (11.464,2.972) -- (11.405,3.03) -- (11.325,3.052) -- (11.245,3.03) -- (11.187,2.972) -- (11.165,2.892) -- (11.187,2.812) -- (11.245,2.753) -- (11.325,2.732) -- (11.405,2.753) -- (11.464,2.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.485,1.89) -- (1.464,1.97) -- (1.405,2.028) -- (1.325,2.05) -- (1.245,2.028) -- (1.187,1.97) -- (1.165,1.89) -- (1.187,1.81) -- (1.245,1.751) -- (1.325,1.73) -- (1.405,1.751) -- (1.464,1.81) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.893,1.556) -- (5.872,1.636) -- (5.813,1.695) -- (5.733,1.716) -- (5.653,1.695) -- (5.594,1.636) -- (5.573,1.556) -- (5.594,1.476) -- (5.653,1.418) -- (5.733,1.396) -- (5.813,1.418) -- (5.872,1.476) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.337,7.356) -- (8.291,7.526) -- (8.167,7.65) -- (7.997,7.696) -- (7.827,7.65) -- (7.703,7.526) -- (7.657,7.356) -- (7.703,7.186) -- (7.827,7.062) -- (7.997,7.016) -- (8.167,7.062) -- (8.291,7.186) -- cycle;
\node at (7.997,7.356) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.567,5.381) -- (11.521,5.551) -- (11.397,5.676) -- (11.227,5.721) -- (11.057,5.676) -- (10.932,5.551) -- (10.887,5.381) -- (10.932,5.211) -- (11.057,5.087) -- (11.227,5.041) -- (11.397,5.087) -- (11.521,5.211) -- cycle;
\node at (11.227,5.381) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.14,5.688) -- (5.095,5.858) -- (4.97,5.983) -- (4.8,6.028) -- (4.63,5.983) -- (4.506,5.858) -- (4.46,5.688) -- (4.506,5.518) -- (4.63,5.394) -- (4.8,5.348) -- (4.97,5.394) -- (5.095,5.518) -- cycle;
\node at (4.8,5.688) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.843,4.835) -- (9.798,5.005) -- (9.673,5.129) -- (9.503,5.175) -- (9.333,5.129) -- (9.209,5.005) -- (9.163,4.835) -- (9.209,4.665) -- (9.333,4.54) -- (9.503,4.495) -- (9.673,4.54) -- (9.798,4.665) -- cycle;
\node at (9.503,4.835) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.886,2.901) -- (2.84,3.071) -- (2.716,3.195) -- (2.546,3.241) -- (2.376,3.195) -- (2.251,3.071) -- (2.206,2.901) -- (2.251,2.731) -- (2.376,2.607) -- (2.546,2.561) -- (2.716,2.607) -- (2.84,2.731) -- cycle;
\node at (2.546,2.901) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.302,3.166) -- (5.257,3.336) -- (5.132,3.46) -- (4.962,3.506) -- (4.792,3.46) -- (4.668,3.336) -- (4.622,3.166) -- (4.668,2.996) -- (4.792,2.871) -- (4.962,2.826) -- (5.132,2.871) -- (5.257,2.996) -- cycle;
\node at (4.962,3.166) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.888,2.144) -- (8.843,2.314) -- (8.718,2.438) -- (8.548,2.484) -- (8.378,2.438) -- (8.254,2.314) -- (8.208,2.144) -- (8.254,1.974) -- (8.378,1.849) -- (8.548,1.804) -- (8.718,1.849) -- (8.843,1.974) -- cycle;
\node at (8.548,2.144) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.907,2.224) -- (3.861,2.394) -- (3.737,2.518) -- (3.567,2.564) -- (3.397,2.518) -- (3.273,2.394) -- (3.227,2.224) -- (3.273,2.054) -- (3.397,1.93) -- (3.567,1.884) -- (3.737,1.93) -- (3.861,2.054) -- cycle;
\node at (3.567,2.224) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,7.087) -- (6.16,7.087) -- (6.16,7.687) -- (5.56,7.687) -- cycle;
\node at (5.86,7.387) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.366,1.547) -- (2.966,1.547) -- (2.966,2.147) -- (2.366,2.147) -- cycle;
\node at (2.666,1.847) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.221,5.386) -- (12.821,5.386) -- (12.821,5.986) -- (12.221,5.986) -- cycle;
\node at (12.521,5.686) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\node at (10.583,8.023) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (5.773,8.001) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (2.87,4.157) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (11.924,2.73) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (0.765,1.624) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (5.604,0.95) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.625,6.663) -- (12.625,7.763);
\draw[line width=0.5pt] (12.394,7.378) -- (12.625,7.763) -- (12.856,7.378);
\draw[line width=0.5pt] (12.323,7.213) -- (12.928,7.213);
\node at (12.625,8.148) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
