\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 354}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=354}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0354}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7006, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (10.906,8.228) -- (10.454,8.185) -- (10.004,8.131) -- (9.554,8.066) -- (9.107,7.991) -- (8.661,7.905) -- (8.217,7.809) -- (7.776,7.702) -- (7.337,7.586) -- (6.901,7.459) -- (6.469,7.321) -- (6.04,7.174) -- (5.614,7.016) -- (5.193,6.849);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (11.252,7.955) -- (11.139,7.652) -- (11.018,7.351) -- (10.89,7.053) -- (10.756,6.759) -- (10.614,6.467) -- (10.466,6.179) -- (10.311,5.895) -- (10.149,5.614) -- (9.981,5.337) -- (9.806,5.064) -- (9.625,4.796) -- (9.438,4.532) -- (9.244,4.272) -- (9.051,4.182) -- (8.859,4.087) -- (8.67,3.988) -- (8.483,3.884) -- (8.299,3.776) -- (8.117,3.664) -- (7.938,3.547) -- (7.761,3.426) -- (7.588,3.301) -- (7.417,3.172) -- (7.25,3.04) -- (7.086,2.903) -- (6.925,2.762) -- (6.767,2.618);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (11.253,7.776) -- (11.16,7.288) -- (11.078,6.798) -- (11.007,6.307) -- (10.949,5.814) -- (10.901,5.319) -- (10.866,4.824) -- (10.842,4.327) -- (10.83,3.831) -- (10.829,3.334) -- (10.84,2.838) -- (10.863,2.342) -- (10.897,1.847) -- (10.944,1.353);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (4.922,6.803) -- (4.649,6.764) -- (4.376,6.731) -- (4.102,6.704) -- (3.828,6.684) -- (3.553,6.67) -- (3.278,6.663) -- (3.002,6.663) -- (2.727,6.668) -- (2.452,6.681) -- (2.178,6.699) -- (1.904,6.724) -- (1.63,6.756) -- (1.358,6.794);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (4.99,6.801) -- (4.788,6.748) -- (4.587,6.691) -- (4.388,6.629) -- (4.191,6.562) -- (3.994,6.49) -- (3.8,6.414) -- (3.607,6.333) -- (3.417,6.248) -- (3.228,6.159) -- (3.042,6.065) -- (2.858,5.966) -- (2.676,5.864) -- (2.497,5.757);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (5.351,6.566) -- (5.502,6.28) -- (5.646,5.99) -- (5.784,5.697) -- (5.914,5.4) -- (6.038,5.101) -- (6.155,4.798) -- (6.264,4.493) -- (6.366,4.186) -- (6.461,3.876) -- (6.549,3.564) -- (6.629,3.25) -- (6.702,2.935) -- (6.767,2.618);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,6.794) -- (1.427,6.708) -- (1.499,6.624) -- (1.572,6.541) -- (1.648,6.46) -- (1.725,6.381) -- (1.804,6.304) -- (1.885,6.229) -- (1.968,6.155) -- (2.052,6.084) -- (2.138,6.014) -- (2.226,5.947) -- (2.315,5.881) -- (2.405,5.818) -- (2.497,5.757);
\draw[line width=0.5pt] (2.497,5.757) -- (2.834,5.581) -- (3.167,5.398) -- (3.495,5.206) -- (3.819,5.007) -- (4.139,4.8) -- (4.453,4.585) -- (4.762,4.364) -- (5.066,4.135) -- (5.364,3.899) -- (5.657,3.656) -- (5.944,3.406) -- (6.225,3.15) -- (6.499,2.887) -- (6.767,2.618);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,8.261) -- (11.497,8.341) -- (11.438,8.399) -- (11.358,8.421) -- (11.278,8.399) -- (11.22,8.341) -- (11.198,8.261) -- (11.22,8.181) -- (11.278,8.122) -- (11.358,8.101) -- (11.438,8.122) -- (11.497,8.181) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.353,6.849) -- (5.331,6.929) -- (5.273,6.987) -- (5.193,7.009) -- (5.113,6.987) -- (5.054,6.929) -- (5.033,6.849) -- (5.054,6.769) -- (5.113,6.71) -- (5.193,6.689) -- (5.273,6.71) -- (5.331,6.769) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.518,6.794) -- (1.497,6.874) -- (1.438,6.933) -- (1.358,6.954) -- (1.278,6.933) -- (1.22,6.874) -- (1.198,6.794) -- (1.22,6.714) -- (1.278,6.656) -- (1.358,6.634) -- (1.438,6.656) -- (1.497,6.714) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.657,5.757) -- (2.636,5.837) -- (2.577,5.896) -- (2.497,5.917) -- (2.417,5.896) -- (2.359,5.837) -- (2.337,5.757) -- (2.359,5.677) -- (2.417,5.618) -- (2.497,5.597) -- (2.577,5.618) -- (2.636,5.677) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.927,2.618) -- (6.906,2.698) -- (6.847,2.756) -- (6.767,2.778) -- (6.687,2.756) -- (6.629,2.698) -- (6.607,2.618) -- (6.629,2.538) -- (6.687,2.479) -- (6.767,2.458) -- (6.847,2.479) -- (6.906,2.538) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.104,1.353) -- (11.082,1.433) -- (11.024,1.491) -- (10.944,1.513) -- (10.864,1.491) -- (10.805,1.433) -- (10.784,1.353) -- (10.805,1.273) -- (10.864,1.214) -- (10.944,1.193) -- (11.024,1.214) -- (11.082,1.273) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.629,7.497) -- (8.583,7.667) -- (8.459,7.792) -- (8.289,7.837) -- (8.119,7.792) -- (7.994,7.667) -- (7.949,7.497) -- (7.994,7.327) -- (8.119,7.203) -- (8.289,7.157) -- (8.459,7.203) -- (8.583,7.327) -- cycle;
\node at (8.289,7.497) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.799,4.035) -- (9.753,4.205) -- (9.629,4.329) -- (9.459,4.375) -- (9.289,4.329) -- (9.164,4.205) -- (9.119,4.035) -- (9.164,3.865) -- (9.289,3.74) -- (9.459,3.695) -- (9.629,3.74) -- (9.753,3.865) -- cycle;
\node at (9.459,4.035) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,4.805) -- (11.48,4.975) -- (11.355,5.099) -- (11.185,5.145) -- (11.015,5.099) -- (10.891,4.975) -- (10.845,4.805) -- (10.891,4.635) -- (11.015,4.51) -- (11.185,4.465) -- (11.355,4.51) -- (11.48,4.635) -- cycle;
\node at (11.185,4.805) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.622,6.343) -- (3.577,6.513) -- (3.452,6.638) -- (3.282,6.683) -- (3.112,6.638) -- (2.988,6.513) -- (2.942,6.343) -- (2.988,6.173) -- (3.112,6.049) -- (3.282,6.003) -- (3.452,6.049) -- (3.577,6.173) -- cycle;
\node at (3.282,6.343) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.637,6.26) -- (4.591,6.43) -- (4.467,6.554) -- (4.297,6.6) -- (4.127,6.554) -- (4.002,6.43) -- (3.957,6.26) -- (4.002,6.09) -- (4.127,5.965) -- (4.297,5.92) -- (4.467,5.965) -- (4.591,6.09) -- cycle;
\node at (4.297,6.26) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.795,4.91) -- (6.749,5.08) -- (6.625,5.204) -- (6.455,5.25) -- (6.285,5.204) -- (6.16,5.08) -- (6.115,4.91) -- (6.16,4.74) -- (6.285,4.615) -- (6.455,4.57) -- (6.625,4.615) -- (6.749,4.74) -- cycle;
\node at (6.455,4.91) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.44,6.465) -- (2.395,6.635) -- (2.27,6.76) -- (2.1,6.805) -- (1.93,6.76) -- (1.806,6.635) -- (1.76,6.465) -- (1.806,6.295) -- (1.93,6.171) -- (2.1,6.125) -- (2.27,6.171) -- (2.395,6.295) -- cycle;
\node at (2.1,6.465) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.291,4.621) -- (5.246,4.791) -- (5.121,4.916) -- (4.951,4.961) -- (4.781,4.916) -- (4.657,4.791) -- (4.611,4.621) -- (4.657,4.451) -- (4.781,4.327) -- (4.951,4.281) -- (5.121,4.327) -- (5.246,4.451) -- cycle;
\node at (4.951,4.621) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.893,6.549) -- (5.493,6.549) -- (5.493,7.149) -- (4.893,7.149) -- cycle;
\node at (5.193,6.849) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.192,3.96) -- (7.792,3.96) -- (7.792,4.56) -- (7.192,4.56) -- cycle;
\node at (7.492,4.26) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.707,5.604) -- (4.307,5.604) -- (4.307,6.204) -- (3.707,6.204) -- cycle;
\node at (4.007,5.904) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.815,7.753) -- (9.415,7.753) -- (9.415,8.353) -- (8.815,8.353) -- cycle;
\node at (9.115,8.053) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\node at (11.89,8.578) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (4.825,7.348) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (0.765,6.975) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (1.882,5.834) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (6.863,2.005) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (11.415,0.95) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.658,7.311) -- (12.658,8.411);
\draw[line width=0.5pt] (12.427,8.026) -- (12.658,8.411) -- (12.889,8.026);
\draw[line width=0.5pt] (12.356,7.861) -- (12.961,7.861);
\node at (12.658,8.796) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑤ rue de la Mairie & Ⓐ Rond-point de la Poste & \textbf{a} la poste \\ \hline
② avenue de la Gare & ⑥ rue Basse & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ impasse Sainte-Anne & ⑦ allée des Peupliers & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑧ rue des Écoles & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
 &  & Ⓔ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6268, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (10.906,8.228) -- (10.454,8.185) -- (10.004,8.131) -- (9.554,8.066) -- (9.107,7.991) -- (8.661,7.905) -- (8.217,7.809) -- (7.776,7.702) -- (7.337,7.586) -- (6.901,7.459) -- (6.469,7.321) -- (6.04,7.174) -- (5.614,7.016) -- (5.193,6.849);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (11.252,7.955) -- (11.139,7.652) -- (11.018,7.351) -- (10.89,7.053) -- (10.756,6.759) -- (10.614,6.467) -- (10.466,6.179) -- (10.311,5.895) -- (10.149,5.614) -- (9.981,5.337) -- (9.806,5.064) -- (9.625,4.796) -- (9.438,4.532) -- (9.244,4.272) -- (9.051,4.182) -- (8.859,4.087) -- (8.67,3.988) -- (8.483,3.884) -- (8.299,3.776) -- (8.117,3.664) -- (7.938,3.547) -- (7.761,3.426) -- (7.588,3.301) -- (7.417,3.172) -- (7.25,3.04) -- (7.086,2.903) -- (6.925,2.762) -- (6.767,2.618);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,8.261) -- (11.253,7.776) -- (11.16,7.288) -- (11.078,6.798) -- (11.007,6.307) -- (10.949,5.814) -- (10.901,5.319) -- (10.866,4.824) -- (10.842,4.327) -- (10.83,3.831) -- (10.829,3.334) -- (10.84,2.838) -- (10.863,2.342) -- (10.897,1.847) -- (10.944,1.353);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (4.922,6.803) -- (4.649,6.764) -- (4.376,6.731) -- (4.102,6.704) -- (3.828,6.684) -- (3.553,6.67) -- (3.278,6.663) -- (3.002,6.663) -- (2.727,6.668) -- (2.452,6.681) -- (2.178,6.699) -- (1.904,6.724) -- (1.63,6.756) -- (1.358,6.794);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (4.99,6.801) -- (4.788,6.748) -- (4.587,6.691) -- (4.388,6.629) -- (4.191,6.562) -- (3.994,6.49) -- (3.8,6.414) -- (3.607,6.333) -- (3.417,6.248) -- (3.228,6.159) -- (3.042,6.065) -- (2.858,5.966) -- (2.676,5.864) -- (2.497,5.757);
\draw[line width=0.5pt] (5.193,6.849) -- (5.351,6.566) -- (5.502,6.28) -- (5.646,5.99) -- (5.784,5.697) -- (5.914,5.4) -- (6.038,5.101) -- (6.155,4.798) -- (6.264,4.493) -- (6.366,4.186) -- (6.461,3.876) -- (6.549,3.564) -- (6.629,3.25) -- (6.702,2.935) -- (6.767,2.618);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,6.794) -- (1.427,6.708) -- (1.499,6.624) -- (1.572,6.541) -- (1.648,6.46) -- (1.725,6.381) -- (1.804,6.304) -- (1.885,6.229) -- (1.968,6.155) -- (2.052,6.084) -- (2.138,6.014) -- (2.226,5.947) -- (2.315,5.881) -- (2.405,5.818) -- (2.497,5.757);
\draw[line width=0.5pt] (2.497,5.757) -- (2.834,5.581) -- (3.167,5.398) -- (3.495,5.206) -- (3.819,5.007) -- (4.139,4.8) -- (4.453,4.585) -- (4.762,4.364) -- (5.066,4.135) -- (5.364,3.899) -- (5.657,3.656) -- (5.944,3.406) -- (6.225,3.15) -- (6.499,2.887) -- (6.767,2.618);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,8.261) -- (11.497,8.341) -- (11.438,8.399) -- (11.358,8.421) -- (11.278,8.399) -- (11.22,8.341) -- (11.198,8.261) -- (11.22,8.181) -- (11.278,8.122) -- (11.358,8.101) -- (11.438,8.122) -- (11.497,8.181) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.353,6.849) -- (5.331,6.929) -- (5.273,6.987) -- (5.193,7.009) -- (5.113,6.987) -- (5.054,6.929) -- (5.033,6.849) -- (5.054,6.769) -- (5.113,6.71) -- (5.193,6.689) -- (5.273,6.71) -- (5.331,6.769) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.518,6.794) -- (1.497,6.874) -- (1.438,6.933) -- (1.358,6.954) -- (1.278,6.933) -- (1.22,6.874) -- (1.198,6.794) -- (1.22,6.714) -- (1.278,6.656) -- (1.358,6.634) -- (1.438,6.656) -- (1.497,6.714) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.657,5.757) -- (2.636,5.837) -- (2.577,5.896) -- (2.497,5.917) -- (2.417,5.896) -- (2.359,5.837) -- (2.337,5.757) -- (2.359,5.677) -- (2.417,5.618) -- (2.497,5.597) -- (2.577,5.618) -- (2.636,5.677) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.927,2.618) -- (6.906,2.698) -- (6.847,2.756) -- (6.767,2.778) -- (6.687,2.756) -- (6.629,2.698) -- (6.607,2.618) -- (6.629,2.538) -- (6.687,2.479) -- (6.767,2.458) -- (6.847,2.479) -- (6.906,2.538) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.104,1.353) -- (11.082,1.433) -- (11.024,1.491) -- (10.944,1.513) -- (10.864,1.491) -- (10.805,1.433) -- (10.784,1.353) -- (10.805,1.273) -- (10.864,1.214) -- (10.944,1.193) -- (11.024,1.214) -- (11.082,1.273) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.629,7.497) -- (8.583,7.667) -- (8.459,7.792) -- (8.289,7.837) -- (8.119,7.792) -- (7.994,7.667) -- (7.949,7.497) -- (7.994,7.327) -- (8.119,7.203) -- (8.289,7.157) -- (8.459,7.203) -- (8.583,7.327) -- cycle;
\node at (8.289,7.497) {\scalebox{1.595}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.799,4.035) -- (9.753,4.205) -- (9.629,4.329) -- (9.459,4.375) -- (9.289,4.329) -- (9.164,4.205) -- (9.119,4.035) -- (9.164,3.865) -- (9.289,3.74) -- (9.459,3.695) -- (9.629,3.74) -- (9.753,3.865) -- cycle;
\node at (9.459,4.035) {\scalebox{1.595}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,4.805) -- (11.48,4.975) -- (11.355,5.099) -- (11.185,5.145) -- (11.015,5.099) -- (10.891,4.975) -- (10.845,4.805) -- (10.891,4.635) -- (11.015,4.51) -- (11.185,4.465) -- (11.355,4.51) -- (11.48,4.635) -- cycle;
\node at (11.185,4.805) {\scalebox{1.595}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.622,6.343) -- (3.577,6.513) -- (3.452,6.638) -- (3.282,6.683) -- (3.112,6.638) -- (2.988,6.513) -- (2.942,6.343) -- (2.988,6.173) -- (3.112,6.049) -- (3.282,6.003) -- (3.452,6.049) -- (3.577,6.173) -- cycle;
\node at (3.282,6.343) {\scalebox{1.595}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.637,6.26) -- (4.591,6.43) -- (4.467,6.554) -- (4.297,6.6) -- (4.127,6.554) -- (4.002,6.43) -- (3.957,6.26) -- (4.002,6.09) -- (4.127,5.965) -- (4.297,5.92) -- (4.467,5.965) -- (4.591,6.09) -- cycle;
\node at (4.297,6.26) {\scalebox{1.595}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.795,4.91) -- (6.749,5.08) -- (6.625,5.204) -- (6.455,5.25) -- (6.285,5.204) -- (6.16,5.08) -- (6.115,4.91) -- (6.16,4.74) -- (6.285,4.615) -- (6.455,4.57) -- (6.625,4.615) -- (6.749,4.74) -- cycle;
\node at (6.455,4.91) {\scalebox{1.595}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.44,6.465) -- (2.395,6.635) -- (2.27,6.76) -- (2.1,6.805) -- (1.93,6.76) -- (1.806,6.635) -- (1.76,6.465) -- (1.806,6.295) -- (1.93,6.171) -- (2.1,6.125) -- (2.27,6.171) -- (2.395,6.295) -- cycle;
\node at (2.1,6.465) {\scalebox{1.595}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.291,4.621) -- (5.246,4.791) -- (5.121,4.916) -- (4.951,4.961) -- (4.781,4.916) -- (4.657,4.791) -- (4.611,4.621) -- (4.657,4.451) -- (4.781,4.327) -- (4.951,4.281) -- (5.121,4.327) -- (5.246,4.451) -- cycle;
\node at (4.951,4.621) {\scalebox{1.595}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.893,6.549) -- (5.493,6.549) -- (5.493,7.149) -- (4.893,7.149) -- cycle;
\node at (5.193,6.849) {\scalebox{1.595}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.192,3.96) -- (7.792,3.96) -- (7.792,4.56) -- (7.192,4.56) -- cycle;
\node at (7.492,4.26) {\scalebox{1.595}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.707,5.604) -- (4.307,5.604) -- (4.307,6.204) -- (3.707,6.204) -- cycle;
\node at (4.007,5.904) {\scalebox{1.595}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.815,7.753) -- (9.415,7.753) -- (9.415,8.353) -- (8.815,8.353) -- cycle;
\node at (9.115,8.053) {\scalebox{1.595}{\small d}};
\node at (11.89,8.578) {\scalebox{1.595}{\small A}};
\node at (4.825,7.348) {\scalebox{1.595}{\small B}};
\node at (0.765,6.975) {\scalebox{1.595}{\small C}};
\node at (1.882,5.834) {\scalebox{1.595}{\small D}};
\node at (6.863,2.005) {\scalebox{1.595}{\small E}};
\node at (11.415,0.95) {\scalebox{1.595}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.658,7.311) -- (12.658,8.411);
\draw[line width=0.5pt] (12.427,8.026) -- (12.658,8.411) -- (12.889,8.026);
\draw[line width=0.5pt] (12.356,7.861) -- (12.961,7.861);
\node at (12.658,8.796) {\scalebox{1.595}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 2 & 3 & 3 & 1 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
