\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 360}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=360}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0360}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7274, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.458,11.563) -- (10.1,11.261) -- (9.749,10.95) -- (9.405,10.632) -- (9.07,10.305) -- (8.741,9.97) -- (8.421,9.628) -- (8.109,9.278) -- (7.805,8.921) -- (7.51,8.557) -- (7.223,8.186) -- (6.945,7.808) -- (6.677,7.424) -- (6.417,7.034) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (10.458,11.563) -- (10.492,11.167) -- (10.516,10.77) -- (10.531,10.373) -- (10.537,9.976) -- (10.534,9.578) -- (10.521,9.18) -- (10.499,8.783) -- (10.467,8.387) -- (10.426,7.991) -- (10.376,7.597) -- (10.317,7.203) -- (10.248,6.812) -- (10.171,6.422) -- (10.084,6.034) -- (10.093,5.732) -- (10.11,5.43) -- (10.133,5.128) -- (10.164,4.826) -- (10.202,4.526) -- (10.247,4.226) -- (10.3,3.928) -- (10.359,3.631) -- (10.425,3.335) -- (10.498,3.041) -- (10.577,2.749) -- (10.664,2.458) -- (10.758,2.171) -- (10.858,1.885);
\draw[line width=0.5pt] (2.505,10.948) -- (2.818,10.832) -- (3.134,10.723) -- (3.452,10.621) -- (3.773,10.527) -- (4.096,10.441) -- (4.421,10.362) -- (4.747,10.291) -- (5.076,10.227) -- (5.405,10.171) -- (5.736,10.123) -- (6.068,10.083) -- (6.401,10.051) -- (6.734,10.026) -- (7.068,10.009);
\draw[line width=0.5pt] (2.505,10.948) -- (2.811,10.683) -- (3.112,10.411) -- (3.406,10.131) -- (3.693,9.844) -- (3.973,9.551) -- (4.247,9.251) -- (4.514,8.945) -- (4.773,8.632) -- (5.025,8.314) -- (5.269,7.99) -- (5.505,7.66) -- (5.734,7.324) -- (5.955,6.984) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (7.068,10.009) -- (6.967,9.78) -- (6.872,9.549) -- (6.782,9.315) -- (6.698,9.08) -- (6.619,8.842) -- (6.546,8.602) -- (6.478,8.361) -- (6.416,8.118) -- (6.36,7.874) -- (6.31,7.629) -- (6.265,7.383) -- (6.227,7.135) -- (6.194,6.887) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (6.551,6.353) -- (6.929,6.058) -- (7.3,5.755) -- (7.663,5.443) -- (8.019,5.122) -- (8.368,4.793) -- (8.708,4.455) -- (9.041,4.11) -- (9.366,3.757) -- (9.682,3.397) -- (9.989,3.029) -- (10.288,2.655) -- (10.578,2.273) -- (10.858,1.885);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (5.761,6.334) -- (5.362,6.019) -- (4.97,5.695) -- (4.586,5.362) -- (4.21,5.02) -- (3.842,4.669) -- (3.483,4.31) -- (3.132,3.942) -- (2.789,3.566) -- (2.456,3.182) -- (2.132,2.79) -- (1.817,2.392) -- (1.512,1.985) -- (1.217,1.572);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (6.178,6.272) -- (6.18,5.905) -- (6.173,5.538) -- (6.157,5.171) -- (6.133,4.805) -- (6.101,4.439) -- (6.06,4.075) -- (6.01,3.711) -- (5.952,3.348) -- (5.885,2.987) -- (5.81,2.628) -- (5.726,2.271) -- (5.634,1.916) -- (5.533,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (1.217,1.572) -- (1.523,1.524) -- (1.829,1.484) -- (2.137,1.45) -- (2.446,1.424) -- (2.755,1.405) -- (3.065,1.394) -- (3.375,1.389) -- (3.685,1.392) -- (3.994,1.403) -- (4.304,1.42) -- (4.612,1.445) -- (4.92,1.477) -- (5.227,1.516) -- (5.533,1.563);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.618,11.563) -- (10.596,11.643) -- (10.538,11.701) -- (10.458,11.723) -- (10.378,11.701) -- (10.319,11.643) -- (10.298,11.563) -- (10.319,11.483) -- (10.378,11.424) -- (10.458,11.403) -- (10.538,11.424) -- (10.596,11.483) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.665,10.948) -- (2.643,11.028) -- (2.585,11.087) -- (2.505,11.108) -- (2.425,11.087) -- (2.366,11.028) -- (2.345,10.948) -- (2.366,10.868) -- (2.425,10.81) -- (2.505,10.788) -- (2.585,10.81) -- (2.643,10.868) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,10.009) -- (7.206,10.089) -- (7.148,10.148) -- (7.068,10.169) -- (6.988,10.148) -- (6.929,10.089) -- (6.908,10.009) -- (6.929,9.929) -- (6.988,9.871) -- (7.068,9.849) -- (7.148,9.871) -- (7.206,9.929) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.327,6.639) -- (6.305,6.719) -- (6.247,6.777) -- (6.167,6.799) -- (6.087,6.777) -- (6.028,6.719) -- (6.007,6.639) -- (6.028,6.559) -- (6.087,6.5) -- (6.167,6.479) -- (6.247,6.5) -- (6.305,6.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.018,1.885) -- (10.996,1.965) -- (10.938,2.024) -- (10.858,2.045) -- (10.778,2.024) -- (10.719,1.965) -- (10.698,1.885) -- (10.719,1.805) -- (10.778,1.746) -- (10.858,1.725) -- (10.938,1.746) -- (10.996,1.805) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.377,1.572) -- (1.355,1.652) -- (1.297,1.711) -- (1.217,1.732) -- (1.137,1.711) -- (1.078,1.652) -- (1.057,1.572) -- (1.078,1.492) -- (1.137,1.434) -- (1.217,1.412) -- (1.297,1.434) -- (1.355,1.492) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.693,1.563) -- (5.672,1.643) -- (5.613,1.701) -- (5.533,1.723) -- (5.453,1.701) -- (5.395,1.643) -- (5.373,1.563) -- (5.395,1.483) -- (5.453,1.424) -- (5.533,1.403) -- (5.613,1.424) -- (5.672,1.483) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.69,9.068) -- (8.645,9.238) -- (8.52,9.362) -- (8.35,9.408) -- (8.18,9.362) -- (8.056,9.238) -- (8.01,9.068) -- (8.056,8.898) -- (8.18,8.773) -- (8.35,8.728) -- (8.52,8.773) -- (8.645,8.898) -- cycle;
\node at (8.35,9.068) {\scalebox{1.375}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.742,5.999) -- (10.696,6.169) -- (10.572,6.293) -- (10.402,6.339) -- (10.232,6.293) -- (10.107,6.169) -- (10.062,5.999) -- (10.107,5.829) -- (10.232,5.704) -- (10.402,5.659) -- (10.572,5.704) -- (10.696,5.829) -- cycle;
\node at (10.402,5.999) {\scalebox{1.375}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.152,10.604) -- (5.106,10.774) -- (4.982,10.899) -- (4.812,10.944) -- (4.642,10.899) -- (4.517,10.774) -- (4.472,10.604) -- (4.517,10.434) -- (4.642,10.31) -- (4.812,10.264) -- (4.982,10.31) -- (5.106,10.434) -- cycle;
\node at (4.812,10.604) {\scalebox{1.375}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.097,9.152) -- (5.052,9.322) -- (4.927,9.446) -- (4.757,9.492) -- (4.587,9.446) -- (4.463,9.322) -- (4.417,9.152) -- (4.463,8.982) -- (4.587,8.857) -- (4.757,8.812) -- (4.927,8.857) -- (5.052,8.982) -- cycle;
\node at (4.757,9.152) {\scalebox{1.375}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.127,8.279) -- (7.082,8.449) -- (6.957,8.573) -- (6.787,8.619) -- (6.617,8.573) -- (6.493,8.449) -- (6.447,8.279) -- (6.493,8.109) -- (6.617,7.984) -- (6.787,7.939) -- (6.957,7.984) -- (7.082,8.109) -- cycle;
\node at (6.787,8.279) {\scalebox{1.375}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.276,4.68) -- (9.231,4.85) -- (9.106,4.974) -- (8.936,5.02) -- (8.766,4.974) -- (8.642,4.85) -- (8.596,4.68) -- (8.642,4.51) -- (8.766,4.386) -- (8.936,4.34) -- (9.106,4.386) -- (9.231,4.51) -- cycle;
\node at (8.936,4.68) {\scalebox{1.375}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.052,4.086) -- (4.006,4.256) -- (3.882,4.38) -- (3.712,4.426) -- (3.542,4.38) -- (3.417,4.256) -- (3.372,4.086) -- (3.417,3.916) -- (3.542,3.792) -- (3.712,3.746) -- (3.882,3.792) -- (4.006,3.916) -- cycle;
\node at (3.712,4.086) {\scalebox{1.375}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.717,4.035) -- (6.672,4.205) -- (6.547,4.329) -- (6.377,4.375) -- (6.207,4.329) -- (6.083,4.205) -- (6.037,4.035) -- (6.083,3.865) -- (6.207,3.741) -- (6.377,3.695) -- (6.547,3.741) -- (6.672,3.865) -- cycle;
\node at (6.377,4.035) {\scalebox{1.375}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.715,1.709) -- (3.67,1.879) -- (3.545,2.004) -- (3.375,2.049) -- (3.205,2.004) -- (3.081,1.879) -- (3.035,1.709) -- (3.081,1.539) -- (3.205,1.415) -- (3.375,1.369) -- (3.545,1.415) -- (3.67,1.539) -- cycle;
\node at (3.375,1.709) {\scalebox{1.375}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.867,6.339) -- (6.467,6.339) -- (6.467,6.939) -- (5.867,6.939) -- cycle;
\node at (6.167,6.639) {\scalebox{1.375}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.113,8.943) -- (7.713,8.943) -- (7.713,9.543) -- (7.113,9.543) -- cycle;
\node at (7.413,9.243) {\scalebox{1.375}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (4.633,9.001) -- (5.233,9.001) -- (5.233,9.601) -- (4.633,9.601) -- cycle;
\node at (4.933,9.301) {\scalebox{1.375}{\small c}};
\node at (10.845,12.047) {\scalebox{1.375}{\small A}};
\node at (2.115,11.43) {\scalebox{1.375}{\small B}};
\node at (7.2,10.615) {\scalebox{1.375}{\small C}};
\node at (6.001,7.236) {\scalebox{1.375}{\small D}};
\node at (11.305,1.455) {\scalebox{1.375}{\small E}};
\node at (0.765,1.148) {\scalebox{1.375}{\small F}};
\node at (5.44,0.95) {\scalebox{1.375}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.158,10.613) -- (12.158,11.713);
\draw[line width=0.5pt] (11.927,11.328) -- (12.158,11.713) -- (12.389,11.328);
\draw[line width=0.5pt] (11.855,11.163) -- (12.46,11.163);
\node at (12.158,12.098) {\scalebox{1.375}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑥ rue Verte & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue du Moulin & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ avenue de la Gare & Ⓓ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑤ allée des Peupliers &  & Ⓔ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6508, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.458,11.563) -- (10.1,11.261) -- (9.749,10.95) -- (9.405,10.632) -- (9.07,10.305) -- (8.741,9.97) -- (8.421,9.628) -- (8.109,9.278) -- (7.805,8.921) -- (7.51,8.557) -- (7.223,8.186) -- (6.945,7.808) -- (6.677,7.424) -- (6.417,7.034) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (10.458,11.563) -- (10.492,11.167) -- (10.516,10.77) -- (10.531,10.373) -- (10.537,9.976) -- (10.534,9.578) -- (10.521,9.18) -- (10.499,8.783) -- (10.467,8.387) -- (10.426,7.991) -- (10.376,7.597) -- (10.317,7.203) -- (10.248,6.812) -- (10.171,6.422) -- (10.084,6.034) -- (10.093,5.732) -- (10.11,5.43) -- (10.133,5.128) -- (10.164,4.826) -- (10.202,4.526) -- (10.247,4.226) -- (10.3,3.928) -- (10.359,3.631) -- (10.425,3.335) -- (10.498,3.041) -- (10.577,2.749) -- (10.664,2.458) -- (10.758,2.171) -- (10.858,1.885);
\draw[line width=0.5pt] (2.505,10.948) -- (2.818,10.832) -- (3.134,10.723) -- (3.452,10.621) -- (3.773,10.527) -- (4.096,10.441) -- (4.421,10.362) -- (4.747,10.291) -- (5.076,10.227) -- (5.405,10.171) -- (5.736,10.123) -- (6.068,10.083) -- (6.401,10.051) -- (6.734,10.026) -- (7.068,10.009);
\draw[line width=0.5pt] (2.505,10.948) -- (2.811,10.683) -- (3.112,10.411) -- (3.406,10.131) -- (3.693,9.844) -- (3.973,9.551) -- (4.247,9.251) -- (4.514,8.945) -- (4.773,8.632) -- (5.025,8.314) -- (5.269,7.99) -- (5.505,7.66) -- (5.734,7.324) -- (5.955,6.984) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (7.068,10.009) -- (6.967,9.78) -- (6.872,9.549) -- (6.782,9.315) -- (6.698,9.08) -- (6.619,8.842) -- (6.546,8.602) -- (6.478,8.361) -- (6.416,8.118) -- (6.36,7.874) -- (6.31,7.629) -- (6.265,7.383) -- (6.227,7.135) -- (6.194,6.887) -- (6.167,6.639);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (6.551,6.353) -- (6.929,6.058) -- (7.3,5.755) -- (7.663,5.443) -- (8.019,5.122) -- (8.368,4.793) -- (8.708,4.455) -- (9.041,4.11) -- (9.366,3.757) -- (9.682,3.397) -- (9.989,3.029) -- (10.288,2.655) -- (10.578,2.273) -- (10.858,1.885);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (5.761,6.334) -- (5.362,6.019) -- (4.97,5.695) -- (4.586,5.362) -- (4.21,5.02) -- (3.842,4.669) -- (3.483,4.31) -- (3.132,3.942) -- (2.789,3.566) -- (2.456,3.182) -- (2.132,2.79) -- (1.817,2.392) -- (1.512,1.985) -- (1.217,1.572);
\draw[line width=0.5pt] (6.167,6.639) -- (6.178,6.272) -- (6.18,5.905) -- (6.173,5.538) -- (6.157,5.171) -- (6.133,4.805) -- (6.101,4.439) -- (6.06,4.075) -- (6.01,3.711) -- (5.952,3.348) -- (5.885,2.987) -- (5.81,2.628) -- (5.726,2.271) -- (5.634,1.916) -- (5.533,1.563);
\draw[line width=0.5pt] (1.217,1.572) -- (1.523,1.524) -- (1.829,1.484) -- (2.137,1.45) -- (2.446,1.424) -- (2.755,1.405) -- (3.065,1.394) -- (3.375,1.389) -- (3.685,1.392) -- (3.994,1.403) -- (4.304,1.42) -- (4.612,1.445) -- (4.92,1.477) -- (5.227,1.516) -- (5.533,1.563);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.618,11.563) -- (10.596,11.643) -- (10.538,11.701) -- (10.458,11.723) -- (10.378,11.701) -- (10.319,11.643) -- (10.298,11.563) -- (10.319,11.483) -- (10.378,11.424) -- (10.458,11.403) -- (10.538,11.424) -- (10.596,11.483) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.665,10.948) -- (2.643,11.028) -- (2.585,11.087) -- (2.505,11.108) -- (2.425,11.087) -- (2.366,11.028) -- (2.345,10.948) -- (2.366,10.868) -- (2.425,10.81) -- (2.505,10.788) -- (2.585,10.81) -- (2.643,10.868) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.228,10.009) -- (7.206,10.089) -- (7.148,10.148) -- (7.068,10.169) -- (6.988,10.148) -- (6.929,10.089) -- (6.908,10.009) -- (6.929,9.929) -- (6.988,9.871) -- (7.068,9.849) -- (7.148,9.871) -- (7.206,9.929) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.327,6.639) -- (6.305,6.719) -- (6.247,6.777) -- (6.167,6.799) -- (6.087,6.777) -- (6.028,6.719) -- (6.007,6.639) -- (6.028,6.559) -- (6.087,6.5) -- (6.167,6.479) -- (6.247,6.5) -- (6.305,6.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.018,1.885) -- (10.996,1.965) -- (10.938,2.024) -- (10.858,2.045) -- (10.778,2.024) -- (10.719,1.965) -- (10.698,1.885) -- (10.719,1.805) -- (10.778,1.746) -- (10.858,1.725) -- (10.938,1.746) -- (10.996,1.805) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.377,1.572) -- (1.355,1.652) -- (1.297,1.711) -- (1.217,1.732) -- (1.137,1.711) -- (1.078,1.652) -- (1.057,1.572) -- (1.078,1.492) -- (1.137,1.434) -- (1.217,1.412) -- (1.297,1.434) -- (1.355,1.492) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.693,1.563) -- (5.672,1.643) -- (5.613,1.701) -- (5.533,1.723) -- (5.453,1.701) -- (5.395,1.643) -- (5.373,1.563) -- (5.395,1.483) -- (5.453,1.424) -- (5.533,1.403) -- (5.613,1.424) -- (5.672,1.483) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.69,9.068) -- (8.645,9.238) -- (8.52,9.362) -- (8.35,9.408) -- (8.18,9.362) -- (8.056,9.238) -- (8.01,9.068) -- (8.056,8.898) -- (8.18,8.773) -- (8.35,8.728) -- (8.52,8.773) -- (8.645,8.898) -- cycle;
\node at (8.35,9.068) {\scalebox{1.537}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.742,5.999) -- (10.696,6.169) -- (10.572,6.293) -- (10.402,6.339) -- (10.232,6.293) -- (10.107,6.169) -- (10.062,5.999) -- (10.107,5.829) -- (10.232,5.704) -- (10.402,5.659) -- (10.572,5.704) -- (10.696,5.829) -- cycle;
\node at (10.402,5.999) {\scalebox{1.537}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.152,10.604) -- (5.106,10.774) -- (4.982,10.899) -- (4.812,10.944) -- (4.642,10.899) -- (4.517,10.774) -- (4.472,10.604) -- (4.517,10.434) -- (4.642,10.31) -- (4.812,10.264) -- (4.982,10.31) -- (5.106,10.434) -- cycle;
\node at (4.812,10.604) {\scalebox{1.537}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.097,9.152) -- (5.052,9.322) -- (4.927,9.446) -- (4.757,9.492) -- (4.587,9.446) -- (4.463,9.322) -- (4.417,9.152) -- (4.463,8.982) -- (4.587,8.857) -- (4.757,8.812) -- (4.927,8.857) -- (5.052,8.982) -- cycle;
\node at (4.757,9.152) {\scalebox{1.537}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.127,8.279) -- (7.082,8.449) -- (6.957,8.573) -- (6.787,8.619) -- (6.617,8.573) -- (6.493,8.449) -- (6.447,8.279) -- (6.493,8.109) -- (6.617,7.984) -- (6.787,7.939) -- (6.957,7.984) -- (7.082,8.109) -- cycle;
\node at (6.787,8.279) {\scalebox{1.537}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.276,4.68) -- (9.231,4.85) -- (9.106,4.974) -- (8.936,5.02) -- (8.766,4.974) -- (8.642,4.85) -- (8.596,4.68) -- (8.642,4.51) -- (8.766,4.386) -- (8.936,4.34) -- (9.106,4.386) -- (9.231,4.51) -- cycle;
\node at (8.936,4.68) {\scalebox{1.537}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.052,4.086) -- (4.006,4.256) -- (3.882,4.38) -- (3.712,4.426) -- (3.542,4.38) -- (3.417,4.256) -- (3.372,4.086) -- (3.417,3.916) -- (3.542,3.792) -- (3.712,3.746) -- (3.882,3.792) -- (4.006,3.916) -- cycle;
\node at (3.712,4.086) {\scalebox{1.537}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.717,4.035) -- (6.672,4.205) -- (6.547,4.329) -- (6.377,4.375) -- (6.207,4.329) -- (6.083,4.205) -- (6.037,4.035) -- (6.083,3.865) -- (6.207,3.741) -- (6.377,3.695) -- (6.547,3.741) -- (6.672,3.865) -- cycle;
\node at (6.377,4.035) {\scalebox{1.537}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.715,1.709) -- (3.67,1.879) -- (3.545,2.004) -- (3.375,2.049) -- (3.205,2.004) -- (3.081,1.879) -- (3.035,1.709) -- (3.081,1.539) -- (3.205,1.415) -- (3.375,1.369) -- (3.545,1.415) -- (3.67,1.539) -- cycle;
\node at (3.375,1.709) {\scalebox{1.537}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.867,6.339) -- (6.467,6.339) -- (6.467,6.939) -- (5.867,6.939) -- cycle;
\node at (6.167,6.639) {\scalebox{1.537}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.113,8.943) -- (7.713,8.943) -- (7.713,9.543) -- (7.113,9.543) -- cycle;
\node at (7.413,9.243) {\scalebox{1.537}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (4.633,9.001) -- (5.233,9.001) -- (5.233,9.601) -- (4.633,9.601) -- cycle;
\node at (4.933,9.301) {\scalebox{1.537}{\small c}};
\node at (10.845,12.047) {\scalebox{1.537}{\small A}};
\node at (2.115,11.43) {\scalebox{1.537}{\small B}};
\node at (7.2,10.615) {\scalebox{1.537}{\small C}};
\node at (6.001,7.236) {\scalebox{1.537}{\small D}};
\node at (11.305,1.455) {\scalebox{1.537}{\small E}};
\node at (0.765,1.148) {\scalebox{1.537}{\small F}};
\node at (5.44,0.95) {\scalebox{1.537}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.158,10.613) -- (12.158,11.713);
\draw[line width=0.5pt] (11.927,11.328) -- (12.158,11.713) -- (12.389,11.328);
\draw[line width=0.5pt] (11.855,11.163) -- (12.46,11.163);
\node at (12.158,12.098) {\scalebox{1.537}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin Creux ①} vers le nord-est et atteint Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ③}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑨}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
