\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 361}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=361}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0361}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7564, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.415,11.265) -- (5.171,11.264) -- (4.928,11.257) -- (4.684,11.245) -- (4.441,11.227) -- (4.198,11.203) -- (3.956,11.173) -- (3.714,11.137) -- (3.474,11.096) -- (3.234,11.05) -- (2.996,10.997) -- (2.759,10.94) -- (2.523,10.876) -- (2.289,10.807) -- (2.057,10.733);
\draw[line width=0.5pt] (5.415,11.265) -- (5.506,10.86) -- (5.588,10.453) -- (5.66,10.044) -- (5.722,9.634) -- (5.775,9.222) -- (5.818,8.809) -- (5.851,8.395) -- (5.875,7.98) -- (5.889,7.565) -- (5.893,7.149) -- (5.887,6.734) -- (5.871,6.319) -- (5.846,5.905) -- (5.811,5.492);
\draw[line width=0.5pt] (2.057,10.733) -- (1.952,10.372) -- (1.856,10.009) -- (1.769,9.644) -- (1.69,9.277) -- (1.62,8.908) -- (1.558,8.537) -- (1.505,8.165) -- (1.461,7.792) -- (1.426,7.418) -- (1.399,7.044) -- (1.382,6.668) -- (1.373,6.293) -- (1.373,5.918) -- (1.382,5.542);
\draw[line width=0.5pt] (1.382,5.542) -- (1.696,5.587) -- (2.012,5.625) -- (2.328,5.655) -- (2.645,5.677) -- (2.963,5.692) -- (3.28,5.7) -- (3.598,5.7) -- (3.916,5.692) -- (4.234,5.677) -- (4.551,5.655) -- (4.867,5.625) -- (5.183,5.588) -- (5.498,5.544) -- (5.811,5.492);
\draw[line width=0.5pt] (1.382,5.542) -- (1.353,5.26) -- (1.331,4.976) -- (1.316,4.692) -- (1.308,4.408) -- (1.306,4.124) -- (1.311,3.839) -- (1.322,3.555) -- (1.34,3.271) -- (1.365,2.988) -- (1.397,2.705) -- (1.435,2.423) -- (1.48,2.143) -- (1.531,1.863) -- (1.589,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (5.811,5.492) -- (6.089,5.511) -- (6.368,5.525) -- (6.648,5.531) -- (6.927,5.531) -- (7.207,5.525) -- (7.486,5.512) -- (7.765,5.492) -- (8.043,5.466) -- (8.321,5.433) -- (8.597,5.394) -- (8.873,5.348) -- (9.148,5.296) -- (9.421,5.238) -- (9.692,5.172);
\draw[line width=0.5pt] (5.811,5.492) -- (5.469,5.261) -- (5.133,5.022) -- (4.802,4.775) -- (4.477,4.521) -- (4.158,4.259) -- (3.845,3.989) -- (3.539,3.712) -- (3.239,3.428) -- (2.946,3.138) -- (2.66,2.84) -- (2.381,2.536) -- (2.11,2.225) -- (1.846,1.908) -- (1.589,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (9.692,5.172) -- (9.777,4.939) -- (9.855,4.704) -- (9.928,4.467) -- (9.996,4.228) -- (10.058,3.987) -- (10.114,3.746) -- (10.164,3.502) -- (10.209,3.258) -- (10.248,3.013) -- (10.281,2.767) -- (10.309,2.52) -- (10.331,2.273) -- (10.346,2.025) -- (10.356,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (10.356,1.778) -- (10.0,1.795) -- (9.644,1.805) -- (9.287,1.806) -- (8.93,1.798) -- (8.574,1.782) -- (8.218,1.758) -- (7.862,1.725) -- (7.508,1.684) -- (7.154,1.635) -- (6.802,1.578) -- (6.451,1.512) -- (6.102,1.438) -- (5.755,1.356) -- (5.41,1.265) -- (5.136,1.246) -- (4.861,1.233) -- (4.586,1.227) -- (4.311,1.228) -- (4.036,1.234) -- (3.761,1.248) -- (3.487,1.267) -- (3.213,1.294) -- (2.939,1.326) -- (2.667,1.365) -- (2.396,1.411) -- (2.125,1.462) -- (1.857,1.521) -- (1.589,1.585);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.575,11.265) -- (5.554,11.345) -- (5.495,11.404) -- (5.415,11.425) -- (5.335,11.404) -- (5.277,11.345) -- (5.255,11.265) -- (5.277,11.185) -- (5.335,11.127) -- (5.415,11.105) -- (5.495,11.127) -- (5.554,11.185) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.217,10.733) -- (2.196,10.813) -- (2.137,10.871) -- (2.057,10.893) -- (1.977,10.871) -- (1.919,10.813) -- (1.897,10.733) -- (1.919,10.653) -- (1.977,10.594) -- (2.057,10.573) -- (2.137,10.594) -- (2.196,10.653) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.542,5.542) -- (1.52,5.622) -- (1.462,5.681) -- (1.382,5.702) -- (1.302,5.681) -- (1.243,5.622) -- (1.222,5.542) -- (1.243,5.462) -- (1.302,5.404) -- (1.382,5.382) -- (1.462,5.404) -- (1.52,5.462) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.971,5.492) -- (5.95,5.572) -- (5.891,5.63) -- (5.811,5.652) -- (5.731,5.63) -- (5.672,5.572) -- (5.651,5.492) -- (5.672,5.412) -- (5.731,5.353) -- (5.811,5.332) -- (5.891,5.353) -- (5.95,5.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.852,5.172) -- (9.831,5.252) -- (9.772,5.311) -- (9.692,5.332) -- (9.612,5.311) -- (9.554,5.252) -- (9.532,5.172) -- (9.554,5.092) -- (9.612,5.034) -- (9.692,5.012) -- (9.772,5.034) -- (9.831,5.092) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.516,1.778) -- (10.495,1.858) -- (10.436,1.916) -- (10.356,1.938) -- (10.276,1.916) -- (10.218,1.858) -- (10.196,1.778) -- (10.218,1.698) -- (10.276,1.639) -- (10.356,1.618) -- (10.436,1.639) -- (10.495,1.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,1.585) -- (1.728,1.665) -- (1.669,1.724) -- (1.589,1.745) -- (1.509,1.724) -- (1.451,1.665) -- (1.429,1.585) -- (1.451,1.505) -- (1.509,1.446) -- (1.589,1.425) -- (1.669,1.446) -- (1.728,1.505) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.104,10.821) -- (4.059,10.991) -- (3.934,11.116) -- (3.764,11.161) -- (3.594,11.116) -- (3.47,10.991) -- (3.424,10.821) -- (3.47,10.651) -- (3.594,10.527) -- (3.764,10.481) -- (3.934,10.527) -- (4.059,10.651) -- cycle;
\node at (3.764,10.821) {\scalebox{1.322}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.51,8.417) -- (6.465,8.587) -- (6.34,8.711) -- (6.17,8.757) -- (6.0,8.711) -- (5.876,8.587) -- (5.83,8.417) -- (5.876,8.247) -- (6.0,8.122) -- (6.17,8.077) -- (6.34,8.122) -- (6.465,8.247) -- cycle;
\node at (6.17,8.417) {\scalebox{1.322}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.163,8.124) -- (2.117,8.294) -- (1.993,8.419) -- (1.823,8.464) -- (1.653,8.419) -- (1.528,8.294) -- (1.483,8.124) -- (1.528,7.954) -- (1.653,7.83) -- (1.823,7.784) -- (1.993,7.83) -- (2.117,7.954) -- cycle;
\node at (1.823,8.124) {\scalebox{1.322}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.942,6.02) -- (3.897,6.19) -- (3.772,6.314) -- (3.602,6.36) -- (3.432,6.314) -- (3.308,6.19) -- (3.262,6.02) -- (3.308,5.85) -- (3.432,5.725) -- (3.602,5.68) -- (3.772,5.725) -- (3.897,5.85) -- cycle;
\node at (3.602,6.02) {\scalebox{1.322}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.982,3.572) -- (1.936,3.742) -- (1.812,3.866) -- (1.642,3.912) -- (1.472,3.866) -- (1.347,3.742) -- (1.302,3.572) -- (1.347,3.402) -- (1.472,3.277) -- (1.642,3.232) -- (1.812,3.277) -- (1.936,3.402) -- cycle;
\node at (1.642,3.572) {\scalebox{1.322}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.131,5.811) -- (8.085,5.981) -- (7.961,6.106) -- (7.791,6.151) -- (7.621,6.106) -- (7.497,5.981) -- (7.451,5.811) -- (7.497,5.641) -- (7.621,5.517) -- (7.791,5.471) -- (7.961,5.517) -- (8.085,5.641) -- cycle;
\node at (7.791,5.811) {\scalebox{1.322}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.096,3.478) -- (4.051,3.648) -- (3.926,3.772) -- (3.756,3.818) -- (3.586,3.772) -- (3.462,3.648) -- (3.416,3.478) -- (3.462,3.308) -- (3.586,3.183) -- (3.756,3.138) -- (3.926,3.183) -- (4.051,3.308) -- cycle;
\node at (3.756,3.478) {\scalebox{1.322}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.818,3.564) -- (10.773,3.734) -- (10.648,3.858) -- (10.478,3.904) -- (10.308,3.858) -- (10.184,3.734) -- (10.138,3.564) -- (10.184,3.394) -- (10.308,3.269) -- (10.478,3.224) -- (10.648,3.269) -- (10.773,3.394) -- cycle;
\node at (10.478,3.564) {\scalebox{1.322}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,0.95) -- (5.761,1.12) -- (5.636,1.244) -- (5.466,1.29) -- (5.296,1.244) -- (5.172,1.12) -- (5.126,0.95) -- (5.172,0.78) -- (5.296,0.656) -- (5.466,0.61) -- (5.636,0.656) -- (5.761,0.78) -- cycle;
\node at (5.466,0.95) {\scalebox{1.322}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.289,1.285) -- (1.889,1.285) -- (1.889,1.885) -- (1.289,1.885) -- cycle;
\node at (1.589,1.585) {\scalebox{1.322}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.187,11.349) -- (3.787,11.349) -- (3.787,11.949) -- (3.187,11.949) -- cycle;
\node at (3.487,11.649) {\scalebox{1.322}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.133,2.019) -- (3.733,2.019) -- (3.733,2.619) -- (3.133,2.619) -- cycle;
\node at (3.433,2.319) {\scalebox{1.322}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.581,9.121) -- (7.181,9.121) -- (7.181,9.721) -- (6.581,9.721) -- cycle;
\node at (6.881,9.421) {\scalebox{1.322}{\small d}};
\node at (5.442,11.885) {\scalebox{1.322}{\small A}};
\node at (1.718,11.252) {\scalebox{1.322}{\small B}};
\node at (0.765,5.478) {\scalebox{1.322}{\small C}};
\node at (6.315,5.131) {\scalebox{1.322}{\small D}};
\node at (10.304,5.069) {\scalebox{1.322}{\small E}};
\node at (10.839,1.389) {\scalebox{1.322}{\small F}};
\node at (1.194,1.107) {\scalebox{1.322}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.656,10.315) -- (11.656,11.415);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,11.03) -- (11.656,11.415) -- (11.887,11.03);
\draw[line width=0.5pt] (11.354,10.865) -- (11.959,10.865);
\node at (11.656,11.8) {\scalebox{1.322}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑥ avenue de la Gare & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Four & ⑦ rue Verte & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue Basse & ⑧ chemin du Lavoir & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ chemin Creux &  & Ⓔ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6768, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.415,11.265) -- (5.171,11.264) -- (4.928,11.257) -- (4.684,11.245) -- (4.441,11.227) -- (4.198,11.203) -- (3.956,11.173) -- (3.714,11.137) -- (3.474,11.096) -- (3.234,11.05) -- (2.996,10.997) -- (2.759,10.94) -- (2.523,10.876) -- (2.289,10.807) -- (2.057,10.733);
\draw[line width=0.5pt] (5.415,11.265) -- (5.506,10.86) -- (5.588,10.453) -- (5.66,10.044) -- (5.722,9.634) -- (5.775,9.222) -- (5.818,8.809) -- (5.851,8.395) -- (5.875,7.98) -- (5.889,7.565) -- (5.893,7.149) -- (5.887,6.734) -- (5.871,6.319) -- (5.846,5.905) -- (5.811,5.492);
\draw[line width=0.5pt] (2.057,10.733) -- (1.952,10.372) -- (1.856,10.009) -- (1.769,9.644) -- (1.69,9.277) -- (1.62,8.908) -- (1.558,8.537) -- (1.505,8.165) -- (1.461,7.792) -- (1.426,7.418) -- (1.399,7.044) -- (1.382,6.668) -- (1.373,6.293) -- (1.373,5.918) -- (1.382,5.542);
\draw[line width=0.5pt] (1.382,5.542) -- (1.696,5.587) -- (2.012,5.625) -- (2.328,5.655) -- (2.645,5.677) -- (2.963,5.692) -- (3.28,5.7) -- (3.598,5.7) -- (3.916,5.692) -- (4.234,5.677) -- (4.551,5.655) -- (4.867,5.625) -- (5.183,5.588) -- (5.498,5.544) -- (5.811,5.492);
\draw[line width=0.5pt] (1.382,5.542) -- (1.353,5.26) -- (1.331,4.976) -- (1.316,4.692) -- (1.308,4.408) -- (1.306,4.124) -- (1.311,3.839) -- (1.322,3.555) -- (1.34,3.271) -- (1.365,2.988) -- (1.397,2.705) -- (1.435,2.423) -- (1.48,2.143) -- (1.531,1.863) -- (1.589,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (5.811,5.492) -- (6.089,5.511) -- (6.368,5.525) -- (6.648,5.531) -- (6.927,5.531) -- (7.207,5.525) -- (7.486,5.512) -- (7.765,5.492) -- (8.043,5.466) -- (8.321,5.433) -- (8.597,5.394) -- (8.873,5.348) -- (9.148,5.296) -- (9.421,5.238) -- (9.692,5.172);
\draw[line width=0.5pt] (5.811,5.492) -- (5.469,5.261) -- (5.133,5.022) -- (4.802,4.775) -- (4.477,4.521) -- (4.158,4.259) -- (3.845,3.989) -- (3.539,3.712) -- (3.239,3.428) -- (2.946,3.138) -- (2.66,2.84) -- (2.381,2.536) -- (2.11,2.225) -- (1.846,1.908) -- (1.589,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (9.692,5.172) -- (9.777,4.939) -- (9.855,4.704) -- (9.928,4.467) -- (9.996,4.228) -- (10.058,3.987) -- (10.114,3.746) -- (10.164,3.502) -- (10.209,3.258) -- (10.248,3.013) -- (10.281,2.767) -- (10.309,2.52) -- (10.331,2.273) -- (10.346,2.025) -- (10.356,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (10.356,1.778) -- (10.0,1.795) -- (9.644,1.805) -- (9.287,1.806) -- (8.93,1.798) -- (8.574,1.782) -- (8.218,1.758) -- (7.862,1.725) -- (7.508,1.684) -- (7.154,1.635) -- (6.802,1.578) -- (6.451,1.512) -- (6.102,1.438) -- (5.755,1.356) -- (5.41,1.265) -- (5.136,1.246) -- (4.861,1.233) -- (4.586,1.227) -- (4.311,1.228) -- (4.036,1.234) -- (3.761,1.248) -- (3.487,1.267) -- (3.213,1.294) -- (2.939,1.326) -- (2.667,1.365) -- (2.396,1.411) -- (2.125,1.462) -- (1.857,1.521) -- (1.589,1.585);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.575,11.265) -- (5.554,11.345) -- (5.495,11.404) -- (5.415,11.425) -- (5.335,11.404) -- (5.277,11.345) -- (5.255,11.265) -- (5.277,11.185) -- (5.335,11.127) -- (5.415,11.105) -- (5.495,11.127) -- (5.554,11.185) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.217,10.733) -- (2.196,10.813) -- (2.137,10.871) -- (2.057,10.893) -- (1.977,10.871) -- (1.919,10.813) -- (1.897,10.733) -- (1.919,10.653) -- (1.977,10.594) -- (2.057,10.573) -- (2.137,10.594) -- (2.196,10.653) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.542,5.542) -- (1.52,5.622) -- (1.462,5.681) -- (1.382,5.702) -- (1.302,5.681) -- (1.243,5.622) -- (1.222,5.542) -- (1.243,5.462) -- (1.302,5.404) -- (1.382,5.382) -- (1.462,5.404) -- (1.52,5.462) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.971,5.492) -- (5.95,5.572) -- (5.891,5.63) -- (5.811,5.652) -- (5.731,5.63) -- (5.672,5.572) -- (5.651,5.492) -- (5.672,5.412) -- (5.731,5.353) -- (5.811,5.332) -- (5.891,5.353) -- (5.95,5.412) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.852,5.172) -- (9.831,5.252) -- (9.772,5.311) -- (9.692,5.332) -- (9.612,5.311) -- (9.554,5.252) -- (9.532,5.172) -- (9.554,5.092) -- (9.612,5.034) -- (9.692,5.012) -- (9.772,5.034) -- (9.831,5.092) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.516,1.778) -- (10.495,1.858) -- (10.436,1.916) -- (10.356,1.938) -- (10.276,1.916) -- (10.218,1.858) -- (10.196,1.778) -- (10.218,1.698) -- (10.276,1.639) -- (10.356,1.618) -- (10.436,1.639) -- (10.495,1.698) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,1.585) -- (1.728,1.665) -- (1.669,1.724) -- (1.589,1.745) -- (1.509,1.724) -- (1.451,1.665) -- (1.429,1.585) -- (1.451,1.505) -- (1.509,1.446) -- (1.589,1.425) -- (1.669,1.446) -- (1.728,1.505) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.104,10.821) -- (4.059,10.991) -- (3.934,11.116) -- (3.764,11.161) -- (3.594,11.116) -- (3.47,10.991) -- (3.424,10.821) -- (3.47,10.651) -- (3.594,10.527) -- (3.764,10.481) -- (3.934,10.527) -- (4.059,10.651) -- cycle;
\node at (3.764,10.821) {\scalebox{1.478}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.51,8.417) -- (6.465,8.587) -- (6.34,8.711) -- (6.17,8.757) -- (6.0,8.711) -- (5.876,8.587) -- (5.83,8.417) -- (5.876,8.247) -- (6.0,8.122) -- (6.17,8.077) -- (6.34,8.122) -- (6.465,8.247) -- cycle;
\node at (6.17,8.417) {\scalebox{1.478}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.163,8.124) -- (2.117,8.294) -- (1.993,8.419) -- (1.823,8.464) -- (1.653,8.419) -- (1.528,8.294) -- (1.483,8.124) -- (1.528,7.954) -- (1.653,7.83) -- (1.823,7.784) -- (1.993,7.83) -- (2.117,7.954) -- cycle;
\node at (1.823,8.124) {\scalebox{1.478}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.942,6.02) -- (3.897,6.19) -- (3.772,6.314) -- (3.602,6.36) -- (3.432,6.314) -- (3.308,6.19) -- (3.262,6.02) -- (3.308,5.85) -- (3.432,5.725) -- (3.602,5.68) -- (3.772,5.725) -- (3.897,5.85) -- cycle;
\node at (3.602,6.02) {\scalebox{1.478}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.982,3.572) -- (1.936,3.742) -- (1.812,3.866) -- (1.642,3.912) -- (1.472,3.866) -- (1.347,3.742) -- (1.302,3.572) -- (1.347,3.402) -- (1.472,3.277) -- (1.642,3.232) -- (1.812,3.277) -- (1.936,3.402) -- cycle;
\node at (1.642,3.572) {\scalebox{1.478}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.131,5.811) -- (8.085,5.981) -- (7.961,6.106) -- (7.791,6.151) -- (7.621,6.106) -- (7.497,5.981) -- (7.451,5.811) -- (7.497,5.641) -- (7.621,5.517) -- (7.791,5.471) -- (7.961,5.517) -- (8.085,5.641) -- cycle;
\node at (7.791,5.811) {\scalebox{1.478}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.096,3.478) -- (4.051,3.648) -- (3.926,3.772) -- (3.756,3.818) -- (3.586,3.772) -- (3.462,3.648) -- (3.416,3.478) -- (3.462,3.308) -- (3.586,3.183) -- (3.756,3.138) -- (3.926,3.183) -- (4.051,3.308) -- cycle;
\node at (3.756,3.478) {\scalebox{1.478}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.818,3.564) -- (10.773,3.734) -- (10.648,3.858) -- (10.478,3.904) -- (10.308,3.858) -- (10.184,3.734) -- (10.138,3.564) -- (10.184,3.394) -- (10.308,3.269) -- (10.478,3.224) -- (10.648,3.269) -- (10.773,3.394) -- cycle;
\node at (10.478,3.564) {\scalebox{1.478}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,0.95) -- (5.761,1.12) -- (5.636,1.244) -- (5.466,1.29) -- (5.296,1.244) -- (5.172,1.12) -- (5.126,0.95) -- (5.172,0.78) -- (5.296,0.656) -- (5.466,0.61) -- (5.636,0.656) -- (5.761,0.78) -- cycle;
\node at (5.466,0.95) {\scalebox{1.478}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.289,1.285) -- (1.889,1.285) -- (1.889,1.885) -- (1.289,1.885) -- cycle;
\node at (1.589,1.585) {\scalebox{1.478}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.187,11.349) -- (3.787,11.349) -- (3.787,11.949) -- (3.187,11.949) -- cycle;
\node at (3.487,11.649) {\scalebox{1.478}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.133,2.019) -- (3.733,2.019) -- (3.733,2.619) -- (3.133,2.619) -- cycle;
\node at (3.433,2.319) {\scalebox{1.478}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.581,9.121) -- (7.181,9.121) -- (7.181,9.721) -- (6.581,9.721) -- cycle;
\node at (6.881,9.421) {\scalebox{1.478}{\small d}};
\node at (5.442,11.885) {\scalebox{1.478}{\small A}};
\node at (1.718,11.252) {\scalebox{1.478}{\small B}};
\node at (0.765,5.478) {\scalebox{1.478}{\small C}};
\node at (6.315,5.131) {\scalebox{1.478}{\small D}};
\node at (10.304,5.069) {\scalebox{1.478}{\small E}};
\node at (10.839,1.389) {\scalebox{1.478}{\small F}};
\node at (1.194,1.107) {\scalebox{1.478}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.656,10.315) -- (11.656,11.415);
\draw[line width=0.5pt] (11.425,11.03) -- (11.656,11.415) -- (11.887,11.03);
\draw[line width=0.5pt] (11.354,10.865) -- (11.959,10.865);
\node at (11.656,11.8) {\scalebox{1.478}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{G}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en C}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}, prend le \textbf{chemin Creux ⑤} vers le nord et atteint Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Basse ③}, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑥}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ④}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
