\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 362}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=362}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0362}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7525, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.024,10.72) -- (9.683,10.825) -- (9.339,10.922) -- (8.993,11.011) -- (8.645,11.092) -- (8.295,11.164) -- (7.944,11.229) -- (7.591,11.285) -- (7.237,11.332) -- (6.882,11.372) -- (6.526,11.403) -- (6.17,11.425) -- (5.813,11.44) -- (5.456,11.445) -- (5.171,11.323) -- (4.883,11.208) -- (4.592,11.099) -- (4.299,10.998) -- (4.004,10.903) -- (3.706,10.815) -- (3.406,10.734) -- (3.105,10.661) -- (2.801,10.594) -- (2.497,10.535) -- (2.191,10.482) -- (1.884,10.437) -- (1.576,10.4) -- (1.268,10.369);
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.395,10.37) -- (10.423,10.131) -- (10.444,9.892) -- (10.46,9.653) -- (10.47,9.413) -- (10.475,9.173) -- (10.474,8.933) -- (10.468,8.693) -- (10.455,8.453) -- (10.438,8.214) -- (10.414,7.975) -- (10.385,7.737) -- (10.35,7.499) -- (10.31,7.263);
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.045,10.359) -- (9.734,10.104) -- (9.428,9.841) -- (9.129,9.571) -- (8.836,9.294) -- (8.55,9.01) -- (8.27,8.72) -- (7.998,8.423) -- (7.732,8.12) -- (7.473,7.81) -- (7.222,7.495) -- (6.979,7.174) -- (6.743,6.847) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (1.268,10.369) -- (1.682,10.154) -- (2.091,9.928) -- (2.494,9.693) -- (2.892,9.448) -- (3.284,9.194) -- (3.671,8.931) -- (4.051,8.659) -- (4.424,8.378) -- (4.791,8.088) -- (5.15,7.79) -- (5.503,7.483) -- (5.848,7.169) -- (6.186,6.846) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (10.31,7.263) -- (10.033,7.251) -- (9.756,7.233) -- (9.48,7.209) -- (9.204,7.178) -- (8.929,7.14) -- (8.655,7.096) -- (8.382,7.046) -- (8.11,6.989) -- (7.84,6.926) -- (7.571,6.856) -- (7.304,6.78) -- (7.039,6.698) -- (6.776,6.61) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (1.937,6.9) -- (2.266,6.923) -- (2.595,6.938) -- (2.925,6.945) -- (3.254,6.945) -- (3.584,6.937) -- (3.913,6.921) -- (4.242,6.897) -- (4.571,6.865) -- (4.898,6.826) -- (5.224,6.779) -- (5.55,6.725) -- (5.873,6.663) -- (6.195,6.593) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (6.516,6.515) -- (6.393,6.244) -- (6.277,5.97) -- (6.168,5.693) -- (6.065,5.414) -- (5.969,5.132) -- (5.879,4.848) -- (5.796,4.562) -- (5.72,4.274) -- (5.651,3.984) -- (5.588,3.693) -- (5.533,3.4) -- (5.484,3.106) -- (5.442,2.812) -- (5.407,2.516);
\draw[line width=0.5pt] (6.516,6.515) -- (6.848,6.199) -- (7.173,5.874) -- (7.49,5.542) -- (7.799,5.203) -- (8.1,4.856) -- (8.393,4.502) -- (8.678,4.141) -- (8.954,3.774) -- (9.221,3.401) -- (9.48,3.021) -- (9.729,2.635) -- (9.97,2.244) -- (10.2,1.847) -- (10.422,1.445);
\draw[line width=0.5pt] (5.407,2.516) -- (5.751,2.385) -- (6.098,2.263) -- (6.447,2.148) -- (6.8,2.042) -- (7.154,1.945) -- (7.511,1.855) -- (7.87,1.774) -- (8.231,1.701) -- (8.594,1.637) -- (8.957,1.581) -- (9.322,1.534) -- (9.688,1.496) -- (10.055,1.466) -- (10.422,1.445);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.522,10.607) -- (10.501,10.687) -- (10.442,10.746) -- (10.362,10.767) -- (10.282,10.746) -- (10.224,10.687) -- (10.202,10.607) -- (10.224,10.527) -- (10.282,10.469) -- (10.362,10.447) -- (10.442,10.469) -- (10.501,10.527) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.428,10.369) -- (1.406,10.449) -- (1.348,10.508) -- (1.268,10.529) -- (1.188,10.508) -- (1.129,10.449) -- (1.108,10.369) -- (1.129,10.289) -- (1.188,10.231) -- (1.268,10.209) -- (1.348,10.231) -- (1.406,10.289) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.47,7.263) -- (10.449,7.343) -- (10.39,7.401) -- (10.31,7.423) -- (10.23,7.401) -- (10.172,7.343) -- (10.15,7.263) -- (10.172,7.183) -- (10.23,7.124) -- (10.31,7.103) -- (10.39,7.124) -- (10.449,7.183) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.097,6.9) -- (2.076,6.98) -- (2.017,7.039) -- (1.937,7.06) -- (1.857,7.039) -- (1.799,6.98) -- (1.777,6.9) -- (1.799,6.82) -- (1.857,6.762) -- (1.937,6.74) -- (2.017,6.762) -- (2.076,6.82) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.676,6.515) -- (6.654,6.595) -- (6.596,6.654) -- (6.516,6.675) -- (6.436,6.654) -- (6.377,6.595) -- (6.356,6.515) -- (6.377,6.435) -- (6.436,6.377) -- (6.516,6.355) -- (6.596,6.377) -- (6.654,6.435) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.567,2.516) -- (5.546,2.596) -- (5.487,2.655) -- (5.407,2.676) -- (5.327,2.655) -- (5.269,2.596) -- (5.247,2.516) -- (5.269,2.436) -- (5.327,2.378) -- (5.407,2.356) -- (5.487,2.378) -- (5.546,2.436) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.582,1.445) -- (10.56,1.525) -- (10.502,1.584) -- (10.422,1.605) -- (10.342,1.584) -- (10.283,1.525) -- (10.262,1.445) -- (10.283,1.365) -- (10.342,1.307) -- (10.422,1.285) -- (10.502,1.307) -- (10.56,1.365) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.853,11.13) -- (5.808,11.3) -- (5.683,11.425) -- (5.513,11.47) -- (5.343,11.425) -- (5.219,11.3) -- (5.173,11.13) -- (5.219,10.96) -- (5.343,10.836) -- (5.513,10.79) -- (5.683,10.836) -- (5.808,10.96) -- cycle;
\node at (5.513,11.13) {\scalebox{1.329}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.134,8.928) -- (11.089,9.098) -- (10.964,9.222) -- (10.794,9.268) -- (10.624,9.222) -- (10.5,9.098) -- (10.454,8.928) -- (10.5,8.758) -- (10.624,8.633) -- (10.794,8.588) -- (10.964,8.633) -- (11.089,8.758) -- cycle;
\node at (10.794,8.928) {\scalebox{1.329}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.843,8.501) -- (8.798,8.671) -- (8.673,8.795) -- (8.503,8.841) -- (8.333,8.795) -- (8.209,8.671) -- (8.163,8.501) -- (8.209,8.331) -- (8.333,8.206) -- (8.503,8.161) -- (8.673,8.206) -- (8.798,8.331) -- cycle;
\node at (8.503,8.501) {\scalebox{1.329}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.58,8.917) -- (4.534,9.087) -- (4.41,9.211) -- (4.24,9.257) -- (4.07,9.211) -- (3.946,9.087) -- (3.9,8.917) -- (3.946,8.747) -- (4.07,8.622) -- (4.24,8.577) -- (4.41,8.622) -- (4.534,8.747) -- cycle;
\node at (4.24,8.917) {\scalebox{1.329}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.784,6.732) -- (8.738,6.902) -- (8.614,7.026) -- (8.444,7.072) -- (8.274,7.026) -- (8.149,6.902) -- (8.104,6.732) -- (8.149,6.562) -- (8.274,6.437) -- (8.444,6.392) -- (8.614,6.437) -- (8.738,6.562) -- cycle;
\node at (8.444,6.732) {\scalebox{1.329}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.609,7.216) -- (4.564,7.386) -- (4.439,7.51) -- (4.269,7.556) -- (4.099,7.51) -- (3.975,7.386) -- (3.929,7.216) -- (3.975,7.046) -- (4.099,6.921) -- (4.269,6.876) -- (4.439,6.921) -- (4.564,7.046) -- cycle;
\node at (4.269,7.216) {\scalebox{1.329}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.445,4.476) -- (6.399,4.646) -- (6.275,4.771) -- (6.105,4.816) -- (5.935,4.771) -- (5.81,4.646) -- (5.765,4.476) -- (5.81,4.306) -- (5.935,4.182) -- (6.105,4.136) -- (6.275,4.182) -- (6.399,4.306) -- cycle;
\node at (6.105,4.476) {\scalebox{1.329}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.271,4.337) -- (9.226,4.507) -- (9.101,4.631) -- (8.931,4.677) -- (8.761,4.631) -- (8.637,4.507) -- (8.591,4.337) -- (8.637,4.167) -- (8.761,4.042) -- (8.931,3.997) -- (9.101,4.042) -- (9.226,4.167) -- cycle;
\node at (8.931,4.337) {\scalebox{1.329}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.277,2.087) -- (8.232,2.257) -- (8.107,2.381) -- (7.937,2.427) -- (7.767,2.381) -- (7.643,2.257) -- (7.597,2.087) -- (7.643,1.917) -- (7.767,1.792) -- (7.937,1.747) -- (8.107,1.792) -- (8.232,1.917) -- cycle;
\node at (7.937,2.087) {\scalebox{1.329}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.062,10.307) -- (10.662,10.307) -- (10.662,10.907) -- (10.062,10.907) -- cycle;
\node at (10.362,10.607) {\scalebox{1.329}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.358,9.635) -- (3.958,9.635) -- (3.958,10.235) -- (3.358,10.235) -- cycle;
\node at (3.658,9.935) {\scalebox{1.329}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.195,8.771) -- (9.795,8.771) -- (9.795,9.371) -- (9.195,9.371) -- cycle;
\node at (9.495,9.071) {\scalebox{1.329}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.667,3.483) -- (10.267,3.483) -- (10.267,4.083) -- (9.667,4.083) -- cycle;
\node at (9.967,3.783) {\scalebox{1.329}{\small d}};
\node at (10.782,11.064) {\scalebox{1.329}{\small A}};
\node at (0.765,10.732) {\scalebox{1.329}{\small B}};
\node at (10.918,7.385) {\scalebox{1.329}{\small C}};
\node at (1.319,6.951) {\scalebox{1.329}{\small D}};
\node at (5.896,6.506) {\scalebox{1.329}{\small E}};
\node at (5.23,1.922) {\scalebox{1.329}{\small F}};
\node at (10.795,0.95) {\scalebox{1.329}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.722,9.657) -- (11.722,10.757);
\draw[line width=0.5pt] (11.491,10.372) -- (11.722,10.757) -- (11.953,10.372);
\draw[line width=0.5pt] (11.419,10.207) -- (12.024,10.207);
\node at (11.722,11.142) {\scalebox{1.329}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Moulin & ⑥ impasse du Puits & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑦ boulevard du Parc & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue de l'Église & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑨ rue Basse & Ⓓ Place de la Fontaine & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue Neuve &  & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6733, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.024,10.72) -- (9.683,10.825) -- (9.339,10.922) -- (8.993,11.011) -- (8.645,11.092) -- (8.295,11.164) -- (7.944,11.229) -- (7.591,11.285) -- (7.237,11.332) -- (6.882,11.372) -- (6.526,11.403) -- (6.17,11.425) -- (5.813,11.44) -- (5.456,11.445) -- (5.171,11.323) -- (4.883,11.208) -- (4.592,11.099) -- (4.299,10.998) -- (4.004,10.903) -- (3.706,10.815) -- (3.406,10.734) -- (3.105,10.661) -- (2.801,10.594) -- (2.497,10.535) -- (2.191,10.482) -- (1.884,10.437) -- (1.576,10.4) -- (1.268,10.369);
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.395,10.37) -- (10.423,10.131) -- (10.444,9.892) -- (10.46,9.653) -- (10.47,9.413) -- (10.475,9.173) -- (10.474,8.933) -- (10.468,8.693) -- (10.455,8.453) -- (10.438,8.214) -- (10.414,7.975) -- (10.385,7.737) -- (10.35,7.499) -- (10.31,7.263);
\draw[line width=0.5pt] (10.362,10.607) -- (10.045,10.359) -- (9.734,10.104) -- (9.428,9.841) -- (9.129,9.571) -- (8.836,9.294) -- (8.55,9.01) -- (8.27,8.72) -- (7.998,8.423) -- (7.732,8.12) -- (7.473,7.81) -- (7.222,7.495) -- (6.979,7.174) -- (6.743,6.847) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (1.268,10.369) -- (1.682,10.154) -- (2.091,9.928) -- (2.494,9.693) -- (2.892,9.448) -- (3.284,9.194) -- (3.671,8.931) -- (4.051,8.659) -- (4.424,8.378) -- (4.791,8.088) -- (5.15,7.79) -- (5.503,7.483) -- (5.848,7.169) -- (6.186,6.846) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (10.31,7.263) -- (10.033,7.251) -- (9.756,7.233) -- (9.48,7.209) -- (9.204,7.178) -- (8.929,7.14) -- (8.655,7.096) -- (8.382,7.046) -- (8.11,6.989) -- (7.84,6.926) -- (7.571,6.856) -- (7.304,6.78) -- (7.039,6.698) -- (6.776,6.61) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (1.937,6.9) -- (2.266,6.923) -- (2.595,6.938) -- (2.925,6.945) -- (3.254,6.945) -- (3.584,6.937) -- (3.913,6.921) -- (4.242,6.897) -- (4.571,6.865) -- (4.898,6.826) -- (5.224,6.779) -- (5.55,6.725) -- (5.873,6.663) -- (6.195,6.593) -- (6.516,6.515);
\draw[line width=0.5pt] (6.516,6.515) -- (6.393,6.244) -- (6.277,5.97) -- (6.168,5.693) -- (6.065,5.414) -- (5.969,5.132) -- (5.879,4.848) -- (5.796,4.562) -- (5.72,4.274) -- (5.651,3.984) -- (5.588,3.693) -- (5.533,3.4) -- (5.484,3.106) -- (5.442,2.812) -- (5.407,2.516);
\draw[line width=0.5pt] (6.516,6.515) -- (6.848,6.199) -- (7.173,5.874) -- (7.49,5.542) -- (7.799,5.203) -- (8.1,4.856) -- (8.393,4.502) -- (8.678,4.141) -- (8.954,3.774) -- (9.221,3.401) -- (9.48,3.021) -- (9.729,2.635) -- (9.97,2.244) -- (10.2,1.847) -- (10.422,1.445);
\draw[line width=0.5pt] (5.407,2.516) -- (5.751,2.385) -- (6.098,2.263) -- (6.447,2.148) -- (6.8,2.042) -- (7.154,1.945) -- (7.511,1.855) -- (7.87,1.774) -- (8.231,1.701) -- (8.594,1.637) -- (8.957,1.581) -- (9.322,1.534) -- (9.688,1.496) -- (10.055,1.466) -- (10.422,1.445);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.522,10.607) -- (10.501,10.687) -- (10.442,10.746) -- (10.362,10.767) -- (10.282,10.746) -- (10.224,10.687) -- (10.202,10.607) -- (10.224,10.527) -- (10.282,10.469) -- (10.362,10.447) -- (10.442,10.469) -- (10.501,10.527) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.428,10.369) -- (1.406,10.449) -- (1.348,10.508) -- (1.268,10.529) -- (1.188,10.508) -- (1.129,10.449) -- (1.108,10.369) -- (1.129,10.289) -- (1.188,10.231) -- (1.268,10.209) -- (1.348,10.231) -- (1.406,10.289) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.47,7.263) -- (10.449,7.343) -- (10.39,7.401) -- (10.31,7.423) -- (10.23,7.401) -- (10.172,7.343) -- (10.15,7.263) -- (10.172,7.183) -- (10.23,7.124) -- (10.31,7.103) -- (10.39,7.124) -- (10.449,7.183) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.097,6.9) -- (2.076,6.98) -- (2.017,7.039) -- (1.937,7.06) -- (1.857,7.039) -- (1.799,6.98) -- (1.777,6.9) -- (1.799,6.82) -- (1.857,6.762) -- (1.937,6.74) -- (2.017,6.762) -- (2.076,6.82) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.676,6.515) -- (6.654,6.595) -- (6.596,6.654) -- (6.516,6.675) -- (6.436,6.654) -- (6.377,6.595) -- (6.356,6.515) -- (6.377,6.435) -- (6.436,6.377) -- (6.516,6.355) -- (6.596,6.377) -- (6.654,6.435) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.567,2.516) -- (5.546,2.596) -- (5.487,2.655) -- (5.407,2.676) -- (5.327,2.655) -- (5.269,2.596) -- (5.247,2.516) -- (5.269,2.436) -- (5.327,2.378) -- (5.407,2.356) -- (5.487,2.378) -- (5.546,2.436) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.582,1.445) -- (10.56,1.525) -- (10.502,1.584) -- (10.422,1.605) -- (10.342,1.584) -- (10.283,1.525) -- (10.262,1.445) -- (10.283,1.365) -- (10.342,1.307) -- (10.422,1.285) -- (10.502,1.307) -- (10.56,1.365) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.853,11.13) -- (5.808,11.3) -- (5.683,11.425) -- (5.513,11.47) -- (5.343,11.425) -- (5.219,11.3) -- (5.173,11.13) -- (5.219,10.96) -- (5.343,10.836) -- (5.513,10.79) -- (5.683,10.836) -- (5.808,10.96) -- cycle;
\node at (5.513,11.13) {\scalebox{1.485}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.134,8.928) -- (11.089,9.098) -- (10.964,9.222) -- (10.794,9.268) -- (10.624,9.222) -- (10.5,9.098) -- (10.454,8.928) -- (10.5,8.758) -- (10.624,8.633) -- (10.794,8.588) -- (10.964,8.633) -- (11.089,8.758) -- cycle;
\node at (10.794,8.928) {\scalebox{1.485}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.843,8.501) -- (8.798,8.671) -- (8.673,8.795) -- (8.503,8.841) -- (8.333,8.795) -- (8.209,8.671) -- (8.163,8.501) -- (8.209,8.331) -- (8.333,8.206) -- (8.503,8.161) -- (8.673,8.206) -- (8.798,8.331) -- cycle;
\node at (8.503,8.501) {\scalebox{1.485}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.58,8.917) -- (4.534,9.087) -- (4.41,9.211) -- (4.24,9.257) -- (4.07,9.211) -- (3.946,9.087) -- (3.9,8.917) -- (3.946,8.747) -- (4.07,8.622) -- (4.24,8.577) -- (4.41,8.622) -- (4.534,8.747) -- cycle;
\node at (4.24,8.917) {\scalebox{1.485}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.784,6.732) -- (8.738,6.902) -- (8.614,7.026) -- (8.444,7.072) -- (8.274,7.026) -- (8.149,6.902) -- (8.104,6.732) -- (8.149,6.562) -- (8.274,6.437) -- (8.444,6.392) -- (8.614,6.437) -- (8.738,6.562) -- cycle;
\node at (8.444,6.732) {\scalebox{1.485}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.609,7.216) -- (4.564,7.386) -- (4.439,7.51) -- (4.269,7.556) -- (4.099,7.51) -- (3.975,7.386) -- (3.929,7.216) -- (3.975,7.046) -- (4.099,6.921) -- (4.269,6.876) -- (4.439,6.921) -- (4.564,7.046) -- cycle;
\node at (4.269,7.216) {\scalebox{1.485}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.445,4.476) -- (6.399,4.646) -- (6.275,4.771) -- (6.105,4.816) -- (5.935,4.771) -- (5.81,4.646) -- (5.765,4.476) -- (5.81,4.306) -- (5.935,4.182) -- (6.105,4.136) -- (6.275,4.182) -- (6.399,4.306) -- cycle;
\node at (6.105,4.476) {\scalebox{1.485}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.271,4.337) -- (9.226,4.507) -- (9.101,4.631) -- (8.931,4.677) -- (8.761,4.631) -- (8.637,4.507) -- (8.591,4.337) -- (8.637,4.167) -- (8.761,4.042) -- (8.931,3.997) -- (9.101,4.042) -- (9.226,4.167) -- cycle;
\node at (8.931,4.337) {\scalebox{1.485}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.277,2.087) -- (8.232,2.257) -- (8.107,2.381) -- (7.937,2.427) -- (7.767,2.381) -- (7.643,2.257) -- (7.597,2.087) -- (7.643,1.917) -- (7.767,1.792) -- (7.937,1.747) -- (8.107,1.792) -- (8.232,1.917) -- cycle;
\node at (7.937,2.087) {\scalebox{1.485}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.062,10.307) -- (10.662,10.307) -- (10.662,10.907) -- (10.062,10.907) -- cycle;
\node at (10.362,10.607) {\scalebox{1.485}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.358,9.635) -- (3.958,9.635) -- (3.958,10.235) -- (3.358,10.235) -- cycle;
\node at (3.658,9.935) {\scalebox{1.485}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.195,8.771) -- (9.795,8.771) -- (9.795,9.371) -- (9.195,9.371) -- cycle;
\node at (9.495,9.071) {\scalebox{1.485}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.667,3.483) -- (10.267,3.483) -- (10.267,4.083) -- (9.667,4.083) -- cycle;
\node at (9.967,3.783) {\scalebox{1.485}{\small d}};
\node at (10.782,11.064) {\scalebox{1.485}{\small A}};
\node at (0.765,10.732) {\scalebox{1.485}{\small B}};
\node at (10.918,7.385) {\scalebox{1.485}{\small C}};
\node at (1.319,6.951) {\scalebox{1.485}{\small D}};
\node at (5.896,6.506) {\scalebox{1.485}{\small E}};
\node at (5.23,1.922) {\scalebox{1.485}{\small F}};
\node at (10.795,0.95) {\scalebox{1.485}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.722,9.657) -- (11.722,10.757);
\draw[line width=0.5pt] (11.491,10.372) -- (11.722,10.757) -- (11.953,10.372);
\draw[line width=0.5pt] (11.419,10.207) -- (12.024,10.207);
\node at (11.722,11.142) {\scalebox{1.485}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 2 & 1 & 6 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue du Moulin ①} vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ②}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{impasse du Puits ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
