\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 363}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=363}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0363}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7066, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.869,10.705) -- (5.579,10.715) -- (5.288,10.717) -- (4.998,10.713) -- (4.708,10.702) -- (4.417,10.684) -- (4.128,10.659) -- (3.839,10.627) -- (3.551,10.589) -- (3.263,10.544) -- (2.977,10.492) -- (2.693,10.433) -- (2.409,10.368) -- (2.128,10.296) -- (1.848,10.218);
\draw[line width=0.5pt] (5.869,10.705) -- (5.885,10.328) -- (5.892,9.951) -- (5.891,9.573) -- (5.88,9.196) -- (5.861,8.818) -- (5.832,8.442) -- (5.795,8.066) -- (5.749,7.691) -- (5.694,7.317) -- (5.63,6.945) -- (5.558,6.574) -- (5.477,6.205) -- (5.387,5.839) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (1.848,10.218) -- (2.04,9.844) -- (2.241,9.475) -- (2.451,9.11) -- (2.669,8.751) -- (2.895,8.396) -- (3.13,8.048) -- (3.373,7.704) -- (3.624,7.367) -- (3.883,7.035) -- (4.149,6.71) -- (4.423,6.391) -- (4.705,6.078) -- (4.993,5.773) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (1.848,10.218) -- (1.914,9.954) -- (1.973,9.689) -- (2.027,9.422) -- (2.073,9.154) -- (2.114,8.885) -- (2.148,8.615) -- (2.176,8.345) -- (2.197,8.073) -- (2.212,7.802) -- (2.221,7.53) -- (2.223,7.258) -- (2.219,6.986) -- (2.209,6.714) -- (2.192,6.443) -- (2.069,6.092) -- (1.954,5.739) -- (1.848,5.382) -- (1.75,5.023) -- (1.66,4.662) -- (1.579,4.299) -- (1.507,3.934) -- (1.443,3.567) -- (1.388,3.199) -- (1.341,2.83) -- (1.303,2.46) -- (1.274,2.089) -- (1.254,1.717) -- (1.242,1.346);
\draw[line width=0.5pt] (11.242,6.085) -- (10.814,6.107) -- (10.385,6.118) -- (9.955,6.12) -- (9.526,6.111) -- (9.097,6.093) -- (8.668,6.064) -- (8.24,6.025) -- (7.814,5.976) -- (7.388,5.917) -- (6.964,5.849) -- (6.542,5.77) -- (6.122,5.681) -- (5.704,5.583) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.746,5.288) -- (6.199,5.091) -- (6.648,4.883) -- (7.091,4.665) -- (7.529,4.436) -- (7.962,4.197) -- (8.389,3.948) -- (8.81,3.689) -- (9.225,3.42) -- (9.633,3.142) -- (10.034,2.854) -- (10.429,2.557) -- (10.816,2.25) -- (11.196,1.935);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.296,5.208) -- (5.31,4.941) -- (5.33,4.675) -- (5.356,4.41) -- (5.389,4.145) -- (5.427,3.881) -- (5.472,3.618) -- (5.523,3.356) -- (5.58,3.095) -- (5.643,2.836) -- (5.713,2.578) -- (5.788,2.322) -- (5.87,2.068) -- (5.957,1.816);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.047,5.138) -- (4.798,4.806) -- (4.54,4.481) -- (4.275,4.162) -- (4.003,3.849) -- (3.723,3.543) -- (3.436,3.243) -- (3.142,2.95) -- (2.841,2.664) -- (2.534,2.386) -- (2.22,2.114) -- (1.9,1.85) -- (1.574,1.594) -- (1.242,1.346);
\draw[line width=0.5pt] (11.196,1.935) -- (10.824,1.984) -- (10.45,2.024) -- (10.075,2.055) -- (9.7,2.077) -- (9.324,2.091) -- (8.948,2.096) -- (8.572,2.091) -- (8.196,2.079) -- (7.82,2.057) -- (7.445,2.026) -- (7.071,1.987) -- (6.698,1.939) -- (6.327,1.882) -- (5.957,1.816);
\draw[line width=0.5pt] (5.957,1.816) -- (5.628,1.731) -- (5.297,1.654) -- (4.964,1.585) -- (4.63,1.523) -- (4.294,1.47) -- (3.957,1.424) -- (3.619,1.386) -- (3.28,1.357) -- (2.941,1.335) -- (2.601,1.321) -- (2.261,1.315) -- (1.921,1.317) -- (1.581,1.328) -- (1.242,1.346);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.029,10.705) -- (6.008,10.785) -- (5.949,10.844) -- (5.869,10.865) -- (5.789,10.844) -- (5.731,10.785) -- (5.709,10.705) -- (5.731,10.625) -- (5.789,10.566) -- (5.869,10.545) -- (5.949,10.566) -- (6.008,10.625) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.008,10.218) -- (1.987,10.298) -- (1.928,10.356) -- (1.848,10.378) -- (1.768,10.356) -- (1.71,10.298) -- (1.688,10.218) -- (1.71,10.138) -- (1.768,10.079) -- (1.848,10.058) -- (1.928,10.079) -- (1.987,10.138) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.402,6.085) -- (11.381,6.165) -- (11.322,6.223) -- (11.242,6.245) -- (11.162,6.223) -- (11.104,6.165) -- (11.082,6.085) -- (11.104,6.005) -- (11.162,5.946) -- (11.242,5.925) -- (11.322,5.946) -- (11.381,6.005) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.449,5.474) -- (5.428,5.554) -- (5.369,5.613) -- (5.289,5.634) -- (5.209,5.613) -- (5.15,5.554) -- (5.129,5.474) -- (5.15,5.394) -- (5.209,5.336) -- (5.289,5.314) -- (5.369,5.336) -- (5.428,5.394) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.356,1.935) -- (11.335,2.015) -- (11.276,2.073) -- (11.196,2.095) -- (11.116,2.073) -- (11.058,2.015) -- (11.036,1.935) -- (11.058,1.855) -- (11.116,1.796) -- (11.196,1.775) -- (11.276,1.796) -- (11.335,1.855) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.117,1.816) -- (6.095,1.896) -- (6.037,1.955) -- (5.957,1.976) -- (5.877,1.955) -- (5.818,1.896) -- (5.797,1.816) -- (5.818,1.736) -- (5.877,1.677) -- (5.957,1.656) -- (6.037,1.677) -- (6.095,1.736) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.402,1.346) -- (1.381,1.426) -- (1.322,1.484) -- (1.242,1.506) -- (1.162,1.484) -- (1.104,1.426) -- (1.082,1.346) -- (1.104,1.266) -- (1.162,1.207) -- (1.242,1.186) -- (1.322,1.207) -- (1.381,1.266) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.217,10.31) -- (4.172,10.48) -- (4.047,10.604) -- (3.877,10.65) -- (3.707,10.604) -- (3.583,10.48) -- (3.537,10.31) -- (3.583,10.14) -- (3.707,10.015) -- (3.877,9.97) -- (4.047,10.015) -- (4.172,10.14) -- cycle;
\node at (3.877,10.31) {\scalebox{1.415}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.453,8.031) -- (6.407,8.201) -- (6.283,8.325) -- (6.113,8.371) -- (5.943,8.325) -- (5.818,8.201) -- (5.773,8.031) -- (5.818,7.861) -- (5.943,7.736) -- (6.113,7.691) -- (6.283,7.736) -- (6.407,7.861) -- cycle;
\node at (6.113,8.031) {\scalebox{1.415}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.972,7.892) -- (3.927,8.062) -- (3.802,8.186) -- (3.632,8.232) -- (3.462,8.186) -- (3.338,8.062) -- (3.292,7.892) -- (3.338,7.722) -- (3.462,7.598) -- (3.632,7.552) -- (3.802,7.598) -- (3.927,7.722) -- cycle;
\node at (3.632,7.892) {\scalebox{1.415}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.844,6.373) -- (2.798,6.543) -- (2.674,6.667) -- (2.504,6.713) -- (2.334,6.667) -- (2.209,6.543) -- (2.164,6.373) -- (2.209,6.203) -- (2.334,6.078) -- (2.504,6.033) -- (2.674,6.078) -- (2.798,6.203) -- cycle;
\node at (2.504,6.373) {\scalebox{1.415}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,5.707) -- (8.568,5.877) -- (8.443,6.001) -- (8.273,6.047) -- (8.103,6.001) -- (7.979,5.877) -- (7.933,5.707) -- (7.979,5.537) -- (8.103,5.412) -- (8.273,5.367) -- (8.443,5.412) -- (8.568,5.537) -- cycle;
\node at (8.273,5.707) {\scalebox{1.415}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.893,4.223) -- (8.848,4.393) -- (8.723,4.517) -- (8.553,4.563) -- (8.383,4.517) -- (8.259,4.393) -- (8.213,4.223) -- (8.259,4.053) -- (8.383,3.928) -- (8.553,3.883) -- (8.723,3.928) -- (8.848,4.053) -- cycle;
\node at (8.553,4.223) {\scalebox{1.415}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.127,3.675) -- (6.081,3.845) -- (5.957,3.97) -- (5.787,4.015) -- (5.617,3.97) -- (5.492,3.845) -- (5.447,3.675) -- (5.492,3.505) -- (5.617,3.381) -- (5.787,3.335) -- (5.957,3.381) -- (6.081,3.505) -- cycle;
\node at (5.787,3.675) {\scalebox{1.415}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.004,3.019) -- (3.959,3.189) -- (3.834,3.314) -- (3.664,3.359) -- (3.494,3.314) -- (3.37,3.189) -- (3.324,3.019) -- (3.37,2.849) -- (3.494,2.725) -- (3.664,2.679) -- (3.834,2.725) -- (3.959,2.849) -- cycle;
\node at (3.664,3.019) {\scalebox{1.415}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.919,1.772) -- (8.873,1.942) -- (8.749,2.066) -- (8.579,2.112) -- (8.409,2.066) -- (8.284,1.942) -- (8.239,1.772) -- (8.284,1.602) -- (8.409,1.477) -- (8.579,1.432) -- (8.749,1.477) -- (8.873,1.602) -- cycle;
\node at (8.579,1.772) {\scalebox{1.415}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.991,1.068) -- (3.945,1.238) -- (3.821,1.362) -- (3.651,1.408) -- (3.481,1.362) -- (3.356,1.238) -- (3.311,1.068) -- (3.356,0.898) -- (3.481,0.774) -- (3.651,0.728) -- (3.821,0.774) -- (3.945,0.898) -- cycle;
\node at (3.651,1.068) {\scalebox{1.415}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.657,1.516) -- (6.257,1.516) -- (6.257,2.116) -- (5.657,2.116) -- cycle;
\node at (5.957,1.816) {\scalebox{1.415}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.095,5.233) -- (9.695,5.233) -- (9.695,5.833) -- (9.095,5.833) -- cycle;
\node at (9.395,5.533) {\scalebox{1.415}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.145,8.8) -- (6.745,8.8) -- (6.745,9.4) -- (6.145,9.4) -- cycle;
\node at (6.445,9.1) {\scalebox{1.415}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.792,1.741) -- (3.392,1.741) -- (3.392,2.341) -- (2.792,2.341) -- cycle;
\node at (3.092,2.041) {\scalebox{1.415}{\small d}};
\node at (5.843,11.324) {\scalebox{1.415}{\small A}};
\node at (1.44,10.684) {\scalebox{1.415}{\small B}};
\node at (11.856,6.17) {\scalebox{1.415}{\small C}};
\node at (4.674,5.556) {\scalebox{1.415}{\small D}};
\node at (11.711,1.588) {\scalebox{1.415}{\small E}};
\node at (5.933,1.196) {\scalebox{1.415}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.415}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.542,9.755) -- (12.542,10.855);
\draw[line width=0.5pt] (12.311,10.47) -- (12.542,10.855) -- (12.773,10.47);
\draw[line width=0.5pt] (12.24,10.305) -- (12.845,10.305);
\node at (12.542,11.24) {\scalebox{1.415}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑥ chemin des Vignes & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② sentier des Prés & ⑦ rue Pasteur & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue de l'Église & ⑧ rue du Puits & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ rue de la Poste & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ impasse Verte & ⑩ avenue de la Gare & Ⓔ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6322, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.869,10.705) -- (5.579,10.715) -- (5.288,10.717) -- (4.998,10.713) -- (4.708,10.702) -- (4.417,10.684) -- (4.128,10.659) -- (3.839,10.627) -- (3.551,10.589) -- (3.263,10.544) -- (2.977,10.492) -- (2.693,10.433) -- (2.409,10.368) -- (2.128,10.296) -- (1.848,10.218);
\draw[line width=0.5pt] (5.869,10.705) -- (5.885,10.328) -- (5.892,9.951) -- (5.891,9.573) -- (5.88,9.196) -- (5.861,8.818) -- (5.832,8.442) -- (5.795,8.066) -- (5.749,7.691) -- (5.694,7.317) -- (5.63,6.945) -- (5.558,6.574) -- (5.477,6.205) -- (5.387,5.839) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (1.848,10.218) -- (2.04,9.844) -- (2.241,9.475) -- (2.451,9.11) -- (2.669,8.751) -- (2.895,8.396) -- (3.13,8.048) -- (3.373,7.704) -- (3.624,7.367) -- (3.883,7.035) -- (4.149,6.71) -- (4.423,6.391) -- (4.705,6.078) -- (4.993,5.773) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (1.848,10.218) -- (1.914,9.954) -- (1.973,9.689) -- (2.027,9.422) -- (2.073,9.154) -- (2.114,8.885) -- (2.148,8.615) -- (2.176,8.345) -- (2.197,8.073) -- (2.212,7.802) -- (2.221,7.53) -- (2.223,7.258) -- (2.219,6.986) -- (2.209,6.714) -- (2.192,6.443) -- (2.069,6.092) -- (1.954,5.739) -- (1.848,5.382) -- (1.75,5.023) -- (1.66,4.662) -- (1.579,4.299) -- (1.507,3.934) -- (1.443,3.567) -- (1.388,3.199) -- (1.341,2.83) -- (1.303,2.46) -- (1.274,2.089) -- (1.254,1.717) -- (1.242,1.346);
\draw[line width=0.5pt] (11.242,6.085) -- (10.814,6.107) -- (10.385,6.118) -- (9.955,6.12) -- (9.526,6.111) -- (9.097,6.093) -- (8.668,6.064) -- (8.24,6.025) -- (7.814,5.976) -- (7.388,5.917) -- (6.964,5.849) -- (6.542,5.77) -- (6.122,5.681) -- (5.704,5.583) -- (5.289,5.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.746,5.288) -- (6.199,5.091) -- (6.648,4.883) -- (7.091,4.665) -- (7.529,4.436) -- (7.962,4.197) -- (8.389,3.948) -- (8.81,3.689) -- (9.225,3.42) -- (9.633,3.142) -- (10.034,2.854) -- (10.429,2.557) -- (10.816,2.25) -- (11.196,1.935);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.296,5.208) -- (5.31,4.941) -- (5.33,4.675) -- (5.356,4.41) -- (5.389,4.145) -- (5.427,3.881) -- (5.472,3.618) -- (5.523,3.356) -- (5.58,3.095) -- (5.643,2.836) -- (5.713,2.578) -- (5.788,2.322) -- (5.87,2.068) -- (5.957,1.816);
\draw[line width=0.5pt] (5.289,5.474) -- (5.047,5.138) -- (4.798,4.806) -- (4.54,4.481) -- (4.275,4.162) -- (4.003,3.849) -- (3.723,3.543) -- (3.436,3.243) -- (3.142,2.95) -- (2.841,2.664) -- (2.534,2.386) -- (2.22,2.114) -- (1.9,1.85) -- (1.574,1.594) -- (1.242,1.346);
\draw[line width=0.5pt] (11.196,1.935) -- (10.824,1.984) -- (10.45,2.024) -- (10.075,2.055) -- (9.7,2.077) -- (9.324,2.091) -- (8.948,2.096) -- (8.572,2.091) -- (8.196,2.079) -- (7.82,2.057) -- (7.445,2.026) -- (7.071,1.987) -- (6.698,1.939) -- (6.327,1.882) -- (5.957,1.816);
\draw[line width=0.5pt] (5.957,1.816) -- (5.628,1.731) -- (5.297,1.654) -- (4.964,1.585) -- (4.63,1.523) -- (4.294,1.47) -- (3.957,1.424) -- (3.619,1.386) -- (3.28,1.357) -- (2.941,1.335) -- (2.601,1.321) -- (2.261,1.315) -- (1.921,1.317) -- (1.581,1.328) -- (1.242,1.346);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.029,10.705) -- (6.008,10.785) -- (5.949,10.844) -- (5.869,10.865) -- (5.789,10.844) -- (5.731,10.785) -- (5.709,10.705) -- (5.731,10.625) -- (5.789,10.566) -- (5.869,10.545) -- (5.949,10.566) -- (6.008,10.625) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.008,10.218) -- (1.987,10.298) -- (1.928,10.356) -- (1.848,10.378) -- (1.768,10.356) -- (1.71,10.298) -- (1.688,10.218) -- (1.71,10.138) -- (1.768,10.079) -- (1.848,10.058) -- (1.928,10.079) -- (1.987,10.138) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.402,6.085) -- (11.381,6.165) -- (11.322,6.223) -- (11.242,6.245) -- (11.162,6.223) -- (11.104,6.165) -- (11.082,6.085) -- (11.104,6.005) -- (11.162,5.946) -- (11.242,5.925) -- (11.322,5.946) -- (11.381,6.005) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.449,5.474) -- (5.428,5.554) -- (5.369,5.613) -- (5.289,5.634) -- (5.209,5.613) -- (5.15,5.554) -- (5.129,5.474) -- (5.15,5.394) -- (5.209,5.336) -- (5.289,5.314) -- (5.369,5.336) -- (5.428,5.394) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.356,1.935) -- (11.335,2.015) -- (11.276,2.073) -- (11.196,2.095) -- (11.116,2.073) -- (11.058,2.015) -- (11.036,1.935) -- (11.058,1.855) -- (11.116,1.796) -- (11.196,1.775) -- (11.276,1.796) -- (11.335,1.855) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.117,1.816) -- (6.095,1.896) -- (6.037,1.955) -- (5.957,1.976) -- (5.877,1.955) -- (5.818,1.896) -- (5.797,1.816) -- (5.818,1.736) -- (5.877,1.677) -- (5.957,1.656) -- (6.037,1.677) -- (6.095,1.736) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.402,1.346) -- (1.381,1.426) -- (1.322,1.484) -- (1.242,1.506) -- (1.162,1.484) -- (1.104,1.426) -- (1.082,1.346) -- (1.104,1.266) -- (1.162,1.207) -- (1.242,1.186) -- (1.322,1.207) -- (1.381,1.266) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.217,10.31) -- (4.172,10.48) -- (4.047,10.604) -- (3.877,10.65) -- (3.707,10.604) -- (3.583,10.48) -- (3.537,10.31) -- (3.583,10.14) -- (3.707,10.015) -- (3.877,9.97) -- (4.047,10.015) -- (4.172,10.14) -- cycle;
\node at (3.877,10.31) {\scalebox{1.582}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.453,8.031) -- (6.407,8.201) -- (6.283,8.325) -- (6.113,8.371) -- (5.943,8.325) -- (5.818,8.201) -- (5.773,8.031) -- (5.818,7.861) -- (5.943,7.736) -- (6.113,7.691) -- (6.283,7.736) -- (6.407,7.861) -- cycle;
\node at (6.113,8.031) {\scalebox{1.582}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.972,7.892) -- (3.927,8.062) -- (3.802,8.186) -- (3.632,8.232) -- (3.462,8.186) -- (3.338,8.062) -- (3.292,7.892) -- (3.338,7.722) -- (3.462,7.598) -- (3.632,7.552) -- (3.802,7.598) -- (3.927,7.722) -- cycle;
\node at (3.632,7.892) {\scalebox{1.582}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.844,6.373) -- (2.798,6.543) -- (2.674,6.667) -- (2.504,6.713) -- (2.334,6.667) -- (2.209,6.543) -- (2.164,6.373) -- (2.209,6.203) -- (2.334,6.078) -- (2.504,6.033) -- (2.674,6.078) -- (2.798,6.203) -- cycle;
\node at (2.504,6.373) {\scalebox{1.582}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,5.707) -- (8.568,5.877) -- (8.443,6.001) -- (8.273,6.047) -- (8.103,6.001) -- (7.979,5.877) -- (7.933,5.707) -- (7.979,5.537) -- (8.103,5.412) -- (8.273,5.367) -- (8.443,5.412) -- (8.568,5.537) -- cycle;
\node at (8.273,5.707) {\scalebox{1.582}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.893,4.223) -- (8.848,4.393) -- (8.723,4.517) -- (8.553,4.563) -- (8.383,4.517) -- (8.259,4.393) -- (8.213,4.223) -- (8.259,4.053) -- (8.383,3.928) -- (8.553,3.883) -- (8.723,3.928) -- (8.848,4.053) -- cycle;
\node at (8.553,4.223) {\scalebox{1.582}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.127,3.675) -- (6.081,3.845) -- (5.957,3.97) -- (5.787,4.015) -- (5.617,3.97) -- (5.492,3.845) -- (5.447,3.675) -- (5.492,3.505) -- (5.617,3.381) -- (5.787,3.335) -- (5.957,3.381) -- (6.081,3.505) -- cycle;
\node at (5.787,3.675) {\scalebox{1.582}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.004,3.019) -- (3.959,3.189) -- (3.834,3.314) -- (3.664,3.359) -- (3.494,3.314) -- (3.37,3.189) -- (3.324,3.019) -- (3.37,2.849) -- (3.494,2.725) -- (3.664,2.679) -- (3.834,2.725) -- (3.959,2.849) -- cycle;
\node at (3.664,3.019) {\scalebox{1.582}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.919,1.772) -- (8.873,1.942) -- (8.749,2.066) -- (8.579,2.112) -- (8.409,2.066) -- (8.284,1.942) -- (8.239,1.772) -- (8.284,1.602) -- (8.409,1.477) -- (8.579,1.432) -- (8.749,1.477) -- (8.873,1.602) -- cycle;
\node at (8.579,1.772) {\scalebox{1.582}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.991,1.068) -- (3.945,1.238) -- (3.821,1.362) -- (3.651,1.408) -- (3.481,1.362) -- (3.356,1.238) -- (3.311,1.068) -- (3.356,0.898) -- (3.481,0.774) -- (3.651,0.728) -- (3.821,0.774) -- (3.945,0.898) -- cycle;
\node at (3.651,1.068) {\scalebox{1.582}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.657,1.516) -- (6.257,1.516) -- (6.257,2.116) -- (5.657,2.116) -- cycle;
\node at (5.957,1.816) {\scalebox{1.582}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.095,5.233) -- (9.695,5.233) -- (9.695,5.833) -- (9.095,5.833) -- cycle;
\node at (9.395,5.533) {\scalebox{1.582}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.145,8.8) -- (6.745,8.8) -- (6.745,9.4) -- (6.145,9.4) -- cycle;
\node at (6.445,9.1) {\scalebox{1.582}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.792,1.741) -- (3.392,1.741) -- (3.392,2.341) -- (2.792,2.341) -- cycle;
\node at (3.092,2.041) {\scalebox{1.582}{\small d}};
\node at (5.843,11.324) {\scalebox{1.582}{\small A}};
\node at (1.44,10.684) {\scalebox{1.582}{\small B}};
\node at (11.856,6.17) {\scalebox{1.582}{\small C}};
\node at (4.674,5.556) {\scalebox{1.582}{\small D}};
\node at (11.711,1.588) {\scalebox{1.582}{\small E}};
\node at (5.933,1.196) {\scalebox{1.582}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.582}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.542,9.755) -- (12.542,10.855);
\draw[line width=0.5pt] (12.311,10.47) -- (12.542,10.855) -- (12.773,10.47);
\draw[line width=0.5pt] (12.24,10.305) -- (12.845,10.305);
\node at (12.542,11.24) {\scalebox{1.582}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 1 & 6 & 2 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
