\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 364}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=364}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0364}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7378, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.061,11.371) -- (6.732,11.332) -- (6.403,11.285) -- (6.075,11.23) -- (5.749,11.168) -- (5.424,11.098) -- (5.101,11.02) -- (4.78,10.935) -- (4.461,10.842) -- (4.144,10.742) -- (3.83,10.634) -- (3.518,10.519) -- (3.209,10.397) -- (2.903,10.267) -- (2.601,10.131);
\draw[line width=0.5pt] (7.061,11.371) -- (7.096,10.996) -- (7.121,10.621) -- (7.138,10.245) -- (7.146,9.869) -- (7.145,9.492) -- (7.135,9.116) -- (7.116,8.739) -- (7.089,8.364) -- (7.053,7.989) -- (7.008,7.615) -- (6.954,7.242) -- (6.891,6.871) -- (6.82,6.502) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (2.601,10.131) -- (2.851,9.802) -- (3.108,9.48) -- (3.373,9.163) -- (3.645,8.853) -- (3.925,8.549) -- (4.212,8.252) -- (4.506,7.962) -- (4.806,7.678) -- (5.113,7.402) -- (5.426,7.133) -- (5.746,6.872) -- (6.071,6.618) -- (6.403,6.372) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (2.601,10.131) -- (2.551,9.888) -- (2.494,9.647) -- (2.432,9.407) -- (2.365,9.169) -- (2.292,8.932) -- (2.213,8.697) -- (2.129,8.464) -- (2.039,8.233) -- (1.944,8.004) -- (1.843,7.778) -- (1.738,7.554) -- (1.627,7.332) -- (1.511,7.113) -- (1.389,6.898) -- (1.318,6.508) -- (1.256,6.116) -- (1.203,5.723) -- (1.16,5.328) -- (1.126,4.933) -- (1.101,4.537) -- (1.085,4.14) -- (1.079,3.744) -- (1.082,3.347) -- (1.094,2.95) -- (1.116,2.554) -- (1.147,2.159) -- (1.188,1.764) -- (1.237,1.371);
\draw[line width=0.5pt] (10.673,6.761) -- (10.388,6.759) -- (10.102,6.751) -- (9.817,6.736) -- (9.532,6.715) -- (9.247,6.686) -- (8.963,6.651) -- (8.681,6.61) -- (8.399,6.562) -- (8.118,6.507) -- (7.839,6.445) -- (7.561,6.377) -- (7.286,6.303) -- (7.012,6.222) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (10.673,6.761) -- (10.658,6.372) -- (10.633,5.984) -- (10.599,5.597) -- (10.555,5.211) -- (10.503,4.825) -- (10.442,4.441) -- (10.371,4.058) -- (10.292,3.677) -- (10.204,3.298) -- (10.107,2.922) -- (10.001,2.547) -- (9.886,2.176) -- (9.763,1.807) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.684,5.901) -- (6.633,5.667) -- (6.589,5.431) -- (6.549,5.195) -- (6.516,4.957) -- (6.488,4.719) -- (6.465,4.48) -- (6.448,4.24) -- (6.437,4.001) -- (6.431,3.761) -- (6.431,3.521) -- (6.437,3.281) -- (6.448,3.042) -- (6.465,2.803);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.996,5.833) -- (7.245,5.526) -- (7.487,5.214) -- (7.721,4.895) -- (7.948,4.571) -- (8.167,4.242) -- (8.379,3.907) -- (8.582,3.568) -- (8.778,3.224) -- (8.965,2.876) -- (9.145,2.523) -- (9.315,2.166) -- (9.477,1.806) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.298,5.857) -- (5.862,5.569) -- (5.434,5.271) -- (5.012,4.963) -- (4.598,4.645) -- (4.191,4.317) -- (3.792,3.98) -- (3.401,3.633) -- (3.018,3.277) -- (2.644,2.913) -- (2.279,2.54) -- (1.922,2.158) -- (1.575,1.769) -- (1.237,1.371);
\draw[line width=0.5pt] (6.465,2.803) -- (6.705,2.741) -- (6.942,2.673) -- (7.178,2.6) -- (7.413,2.522) -- (7.645,2.437) -- (7.876,2.348) -- (8.104,2.253) -- (8.33,2.152) -- (8.554,2.047) -- (8.775,1.936) -- (8.993,1.82) -- (9.209,1.699) -- (9.422,1.573) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.465,2.803) -- (6.079,2.758) -- (5.694,2.705) -- (5.31,2.643) -- (4.928,2.571) -- (4.547,2.49) -- (4.169,2.401) -- (3.792,2.302) -- (3.418,2.195) -- (3.047,2.079) -- (2.678,1.955) -- (2.313,1.822) -- (1.951,1.68) -- (1.592,1.53) -- (1.237,1.371);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.221,11.371) -- (7.2,11.451) -- (7.141,11.509) -- (7.061,11.531) -- (6.981,11.509) -- (6.923,11.451) -- (6.901,11.371) -- (6.923,11.291) -- (6.981,11.232) -- (7.061,11.211) -- (7.141,11.232) -- (7.2,11.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.761,10.131) -- (2.74,10.211) -- (2.681,10.269) -- (2.601,10.291) -- (2.521,10.269) -- (2.462,10.211) -- (2.441,10.131) -- (2.462,10.051) -- (2.521,9.992) -- (2.601,9.971) -- (2.681,9.992) -- (2.74,10.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.833,6.761) -- (10.812,6.841) -- (10.753,6.899) -- (10.673,6.921) -- (10.593,6.899) -- (10.535,6.841) -- (10.513,6.761) -- (10.535,6.681) -- (10.593,6.622) -- (10.673,6.601) -- (10.753,6.622) -- (10.812,6.681) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.9,6.134) -- (6.878,6.214) -- (6.82,6.273) -- (6.74,6.294) -- (6.66,6.273) -- (6.601,6.214) -- (6.58,6.134) -- (6.601,6.054) -- (6.66,5.996) -- (6.74,5.974) -- (6.82,5.996) -- (6.878,6.054) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.625,2.803) -- (6.604,2.883) -- (6.545,2.941) -- (6.465,2.963) -- (6.385,2.941) -- (6.327,2.883) -- (6.305,2.803) -- (6.327,2.723) -- (6.385,2.664) -- (6.465,2.643) -- (6.545,2.664) -- (6.604,2.723) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.791,1.441) -- (9.77,1.521) -- (9.711,1.58) -- (9.631,1.601) -- (9.551,1.58) -- (9.492,1.521) -- (9.471,1.441) -- (9.492,1.361) -- (9.551,1.303) -- (9.631,1.281) -- (9.711,1.303) -- (9.77,1.361) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.397,1.371) -- (1.376,1.451) -- (1.317,1.509) -- (1.237,1.531) -- (1.157,1.509) -- (1.099,1.451) -- (1.077,1.371) -- (1.099,1.291) -- (1.157,1.232) -- (1.237,1.211) -- (1.317,1.232) -- (1.376,1.291) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.206,10.626) -- (5.16,10.796) -- (5.036,10.921) -- (4.866,10.966) -- (4.696,10.921) -- (4.571,10.796) -- (4.526,10.626) -- (4.571,10.456) -- (4.696,10.332) -- (4.866,10.286) -- (5.036,10.332) -- (5.16,10.456) -- cycle;
\node at (4.866,10.626) {\scalebox{1.355}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.776,8.72) -- (7.73,8.89) -- (7.606,9.014) -- (7.436,9.06) -- (7.266,9.014) -- (7.141,8.89) -- (7.096,8.72) -- (7.141,8.55) -- (7.266,8.425) -- (7.436,8.38) -- (7.606,8.425) -- (7.73,8.55) -- cycle;
\node at (7.436,8.72) {\scalebox{1.355}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.068,8.192) -- (5.022,8.362) -- (4.898,8.486) -- (4.728,8.532) -- (4.558,8.486) -- (4.433,8.362) -- (4.388,8.192) -- (4.433,8.022) -- (4.558,7.898) -- (4.728,7.852) -- (4.898,7.898) -- (5.022,8.022) -- cycle;
\node at (4.728,8.192) {\scalebox{1.355}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.034,6.801) -- (1.989,6.971) -- (1.864,7.095) -- (1.694,7.141) -- (1.524,7.095) -- (1.4,6.971) -- (1.354,6.801) -- (1.4,6.631) -- (1.524,6.506) -- (1.694,6.461) -- (1.864,6.506) -- (1.989,6.631) -- cycle;
\node at (1.694,6.801) {\scalebox{1.355}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.071,6.294) -- (9.025,6.464) -- (8.901,6.588) -- (8.731,6.634) -- (8.561,6.588) -- (8.437,6.464) -- (8.391,6.294) -- (8.437,6.124) -- (8.561,5.999) -- (8.731,5.954) -- (8.901,5.999) -- (9.025,6.124) -- cycle;
\node at (8.731,6.294) {\scalebox{1.355}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.026,3.997) -- (10.98,4.167) -- (10.856,4.291) -- (10.686,4.337) -- (10.516,4.291) -- (10.391,4.167) -- (10.346,3.997) -- (10.391,3.827) -- (10.516,3.702) -- (10.686,3.657) -- (10.856,3.702) -- (10.98,3.827) -- cycle;
\node at (10.686,3.997) {\scalebox{1.355}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.124,4.454) -- (7.078,4.624) -- (6.954,4.748) -- (6.784,4.794) -- (6.614,4.748) -- (6.49,4.624) -- (6.444,4.454) -- (6.49,4.284) -- (6.614,4.159) -- (6.784,4.114) -- (6.954,4.159) -- (7.078,4.284) -- cycle;
\node at (6.784,4.454) {\scalebox{1.355}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.991,4.075) -- (8.946,4.245) -- (8.821,4.369) -- (8.651,4.415) -- (8.481,4.369) -- (8.357,4.245) -- (8.311,4.075) -- (8.357,3.905) -- (8.481,3.781) -- (8.651,3.735) -- (8.821,3.781) -- (8.946,3.905) -- cycle;
\node at (8.651,4.075) {\scalebox{1.355}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.341,3.738) -- (4.296,3.908) -- (4.171,4.032) -- (4.001,4.078) -- (3.831,4.032) -- (3.707,3.908) -- (3.661,3.738) -- (3.707,3.568) -- (3.831,3.443) -- (4.001,3.398) -- (4.171,3.443) -- (4.296,3.568) -- cycle;
\node at (4.001,3.738) {\scalebox{1.355}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,2.547) -- (8.525,2.717) -- (8.401,2.841) -- (8.231,2.887) -- (8.061,2.841) -- (7.936,2.717) -- (7.891,2.547) -- (7.936,2.377) -- (8.061,2.252) -- (8.231,2.207) -- (8.401,2.252) -- (8.525,2.377) -- cycle;
\node at (8.231,2.547) {\scalebox{1.355}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.217,1.994) -- (4.171,2.164) -- (4.047,2.288) -- (3.877,2.334) -- (3.707,2.288) -- (3.582,2.164) -- (3.537,1.994) -- (3.582,1.824) -- (3.707,1.699) -- (3.877,1.654) -- (4.047,1.699) -- (4.171,1.824) -- cycle;
\node at (3.877,1.994) {\scalebox{1.355}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.44,5.834) -- (7.04,5.834) -- (7.04,6.434) -- (6.44,6.434) -- cycle;
\node at (6.74,6.134) {\scalebox{1.355}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.637,3.256) -- (12.237,3.256) -- (12.237,3.856) -- (11.637,3.856) -- cycle;
\node at (11.937,3.556) {\scalebox{1.355}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.81,9.412) -- (8.41,9.412) -- (8.41,10.012) -- (7.81,10.012) -- cycle;
\node at (8.11,9.712) {\scalebox{1.355}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.056,9.021) -- (4.656,9.021) -- (4.656,9.621) -- (4.056,9.621) -- cycle;
\node at (4.356,9.321) {\scalebox{1.355}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.309,11.158) -- (4.909,11.158) -- (4.909,11.758) -- (4.309,11.758) -- cycle;
\node at (4.609,11.458) {\scalebox{1.355}{\small e}};
\node at (7.139,11.986) {\scalebox{1.355}{\small A}};
\node at (2.2,10.604) {\scalebox{1.355}{\small B}};
\node at (11.276,6.906) {\scalebox{1.355}{\small C}};
\node at (7.166,6.585) {\scalebox{1.355}{\small D}};
\node at (6.491,2.183) {\scalebox{1.355}{\small E}};
\node at (10.009,0.95) {\scalebox{1.355}{\small F}};
\node at (0.765,0.969) {\scalebox{1.355}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.973,10.421) -- (11.973,11.521);
\draw[line width=0.5pt] (11.742,11.136) -- (11.973,11.521) -- (12.204,11.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.671,10.971) -- (12.276,10.971);
\node at (11.973,11.906) {\scalebox{1.355}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑦ rue Basse & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑧ rue du Puits & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue Verte & ⑨ chemin de Ronde & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue du Pont & ⑩ rue de la Mairie & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ rue Pasteur & ⑪ rue Haute & Ⓔ Carrefour du Moulin & \textbf{e} le gymnase \\ \hline
⑥ rue de l'Église &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6602, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.061,11.371) -- (6.732,11.332) -- (6.403,11.285) -- (6.075,11.23) -- (5.749,11.168) -- (5.424,11.098) -- (5.101,11.02) -- (4.78,10.935) -- (4.461,10.842) -- (4.144,10.742) -- (3.83,10.634) -- (3.518,10.519) -- (3.209,10.397) -- (2.903,10.267) -- (2.601,10.131);
\draw[line width=0.5pt] (7.061,11.371) -- (7.096,10.996) -- (7.121,10.621) -- (7.138,10.245) -- (7.146,9.869) -- (7.145,9.492) -- (7.135,9.116) -- (7.116,8.739) -- (7.089,8.364) -- (7.053,7.989) -- (7.008,7.615) -- (6.954,7.242) -- (6.891,6.871) -- (6.82,6.502) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (2.601,10.131) -- (2.851,9.802) -- (3.108,9.48) -- (3.373,9.163) -- (3.645,8.853) -- (3.925,8.549) -- (4.212,8.252) -- (4.506,7.962) -- (4.806,7.678) -- (5.113,7.402) -- (5.426,7.133) -- (5.746,6.872) -- (6.071,6.618) -- (6.403,6.372) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (2.601,10.131) -- (2.551,9.888) -- (2.494,9.647) -- (2.432,9.407) -- (2.365,9.169) -- (2.292,8.932) -- (2.213,8.697) -- (2.129,8.464) -- (2.039,8.233) -- (1.944,8.004) -- (1.843,7.778) -- (1.738,7.554) -- (1.627,7.332) -- (1.511,7.113) -- (1.389,6.898) -- (1.318,6.508) -- (1.256,6.116) -- (1.203,5.723) -- (1.16,5.328) -- (1.126,4.933) -- (1.101,4.537) -- (1.085,4.14) -- (1.079,3.744) -- (1.082,3.347) -- (1.094,2.95) -- (1.116,2.554) -- (1.147,2.159) -- (1.188,1.764) -- (1.237,1.371);
\draw[line width=0.5pt] (10.673,6.761) -- (10.388,6.759) -- (10.102,6.751) -- (9.817,6.736) -- (9.532,6.715) -- (9.247,6.686) -- (8.963,6.651) -- (8.681,6.61) -- (8.399,6.562) -- (8.118,6.507) -- (7.839,6.445) -- (7.561,6.377) -- (7.286,6.303) -- (7.012,6.222) -- (6.74,6.134);
\draw[line width=0.5pt] (10.673,6.761) -- (10.658,6.372) -- (10.633,5.984) -- (10.599,5.597) -- (10.555,5.211) -- (10.503,4.825) -- (10.442,4.441) -- (10.371,4.058) -- (10.292,3.677) -- (10.204,3.298) -- (10.107,2.922) -- (10.001,2.547) -- (9.886,2.176) -- (9.763,1.807) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.684,5.901) -- (6.633,5.667) -- (6.589,5.431) -- (6.549,5.195) -- (6.516,4.957) -- (6.488,4.719) -- (6.465,4.48) -- (6.448,4.24) -- (6.437,4.001) -- (6.431,3.761) -- (6.431,3.521) -- (6.437,3.281) -- (6.448,3.042) -- (6.465,2.803);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.996,5.833) -- (7.245,5.526) -- (7.487,5.214) -- (7.721,4.895) -- (7.948,4.571) -- (8.167,4.242) -- (8.379,3.907) -- (8.582,3.568) -- (8.778,3.224) -- (8.965,2.876) -- (9.145,2.523) -- (9.315,2.166) -- (9.477,1.806) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.74,6.134) -- (6.298,5.857) -- (5.862,5.569) -- (5.434,5.271) -- (5.012,4.963) -- (4.598,4.645) -- (4.191,4.317) -- (3.792,3.98) -- (3.401,3.633) -- (3.018,3.277) -- (2.644,2.913) -- (2.279,2.54) -- (1.922,2.158) -- (1.575,1.769) -- (1.237,1.371);
\draw[line width=0.5pt] (6.465,2.803) -- (6.705,2.741) -- (6.942,2.673) -- (7.178,2.6) -- (7.413,2.522) -- (7.645,2.437) -- (7.876,2.348) -- (8.104,2.253) -- (8.33,2.152) -- (8.554,2.047) -- (8.775,1.936) -- (8.993,1.82) -- (9.209,1.699) -- (9.422,1.573) -- (9.631,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (6.465,2.803) -- (6.079,2.758) -- (5.694,2.705) -- (5.31,2.643) -- (4.928,2.571) -- (4.547,2.49) -- (4.169,2.401) -- (3.792,2.302) -- (3.418,2.195) -- (3.047,2.079) -- (2.678,1.955) -- (2.313,1.822) -- (1.951,1.68) -- (1.592,1.53) -- (1.237,1.371);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.221,11.371) -- (7.2,11.451) -- (7.141,11.509) -- (7.061,11.531) -- (6.981,11.509) -- (6.923,11.451) -- (6.901,11.371) -- (6.923,11.291) -- (6.981,11.232) -- (7.061,11.211) -- (7.141,11.232) -- (7.2,11.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.761,10.131) -- (2.74,10.211) -- (2.681,10.269) -- (2.601,10.291) -- (2.521,10.269) -- (2.462,10.211) -- (2.441,10.131) -- (2.462,10.051) -- (2.521,9.992) -- (2.601,9.971) -- (2.681,9.992) -- (2.74,10.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.833,6.761) -- (10.812,6.841) -- (10.753,6.899) -- (10.673,6.921) -- (10.593,6.899) -- (10.535,6.841) -- (10.513,6.761) -- (10.535,6.681) -- (10.593,6.622) -- (10.673,6.601) -- (10.753,6.622) -- (10.812,6.681) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.9,6.134) -- (6.878,6.214) -- (6.82,6.273) -- (6.74,6.294) -- (6.66,6.273) -- (6.601,6.214) -- (6.58,6.134) -- (6.601,6.054) -- (6.66,5.996) -- (6.74,5.974) -- (6.82,5.996) -- (6.878,6.054) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.625,2.803) -- (6.604,2.883) -- (6.545,2.941) -- (6.465,2.963) -- (6.385,2.941) -- (6.327,2.883) -- (6.305,2.803) -- (6.327,2.723) -- (6.385,2.664) -- (6.465,2.643) -- (6.545,2.664) -- (6.604,2.723) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.791,1.441) -- (9.77,1.521) -- (9.711,1.58) -- (9.631,1.601) -- (9.551,1.58) -- (9.492,1.521) -- (9.471,1.441) -- (9.492,1.361) -- (9.551,1.303) -- (9.631,1.281) -- (9.711,1.303) -- (9.77,1.361) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.397,1.371) -- (1.376,1.451) -- (1.317,1.509) -- (1.237,1.531) -- (1.157,1.509) -- (1.099,1.451) -- (1.077,1.371) -- (1.099,1.291) -- (1.157,1.232) -- (1.237,1.211) -- (1.317,1.232) -- (1.376,1.291) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.206,10.626) -- (5.16,10.796) -- (5.036,10.921) -- (4.866,10.966) -- (4.696,10.921) -- (4.571,10.796) -- (4.526,10.626) -- (4.571,10.456) -- (4.696,10.332) -- (4.866,10.286) -- (5.036,10.332) -- (5.16,10.456) -- cycle;
\node at (4.866,10.626) {\scalebox{1.515}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.776,8.72) -- (7.73,8.89) -- (7.606,9.014) -- (7.436,9.06) -- (7.266,9.014) -- (7.141,8.89) -- (7.096,8.72) -- (7.141,8.55) -- (7.266,8.425) -- (7.436,8.38) -- (7.606,8.425) -- (7.73,8.55) -- cycle;
\node at (7.436,8.72) {\scalebox{1.515}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.068,8.192) -- (5.022,8.362) -- (4.898,8.486) -- (4.728,8.532) -- (4.558,8.486) -- (4.433,8.362) -- (4.388,8.192) -- (4.433,8.022) -- (4.558,7.898) -- (4.728,7.852) -- (4.898,7.898) -- (5.022,8.022) -- cycle;
\node at (4.728,8.192) {\scalebox{1.515}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.034,6.801) -- (1.989,6.971) -- (1.864,7.095) -- (1.694,7.141) -- (1.524,7.095) -- (1.4,6.971) -- (1.354,6.801) -- (1.4,6.631) -- (1.524,6.506) -- (1.694,6.461) -- (1.864,6.506) -- (1.989,6.631) -- cycle;
\node at (1.694,6.801) {\scalebox{1.515}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.071,6.294) -- (9.025,6.464) -- (8.901,6.588) -- (8.731,6.634) -- (8.561,6.588) -- (8.437,6.464) -- (8.391,6.294) -- (8.437,6.124) -- (8.561,5.999) -- (8.731,5.954) -- (8.901,5.999) -- (9.025,6.124) -- cycle;
\node at (8.731,6.294) {\scalebox{1.515}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.026,3.997) -- (10.98,4.167) -- (10.856,4.291) -- (10.686,4.337) -- (10.516,4.291) -- (10.391,4.167) -- (10.346,3.997) -- (10.391,3.827) -- (10.516,3.702) -- (10.686,3.657) -- (10.856,3.702) -- (10.98,3.827) -- cycle;
\node at (10.686,3.997) {\scalebox{1.515}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.124,4.454) -- (7.078,4.624) -- (6.954,4.748) -- (6.784,4.794) -- (6.614,4.748) -- (6.49,4.624) -- (6.444,4.454) -- (6.49,4.284) -- (6.614,4.159) -- (6.784,4.114) -- (6.954,4.159) -- (7.078,4.284) -- cycle;
\node at (6.784,4.454) {\scalebox{1.515}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.991,4.075) -- (8.946,4.245) -- (8.821,4.369) -- (8.651,4.415) -- (8.481,4.369) -- (8.357,4.245) -- (8.311,4.075) -- (8.357,3.905) -- (8.481,3.781) -- (8.651,3.735) -- (8.821,3.781) -- (8.946,3.905) -- cycle;
\node at (8.651,4.075) {\scalebox{1.515}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.341,3.738) -- (4.296,3.908) -- (4.171,4.032) -- (4.001,4.078) -- (3.831,4.032) -- (3.707,3.908) -- (3.661,3.738) -- (3.707,3.568) -- (3.831,3.443) -- (4.001,3.398) -- (4.171,3.443) -- (4.296,3.568) -- cycle;
\node at (4.001,3.738) {\scalebox{1.515}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.571,2.547) -- (8.525,2.717) -- (8.401,2.841) -- (8.231,2.887) -- (8.061,2.841) -- (7.936,2.717) -- (7.891,2.547) -- (7.936,2.377) -- (8.061,2.252) -- (8.231,2.207) -- (8.401,2.252) -- (8.525,2.377) -- cycle;
\node at (8.231,2.547) {\scalebox{1.515}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.217,1.994) -- (4.171,2.164) -- (4.047,2.288) -- (3.877,2.334) -- (3.707,2.288) -- (3.582,2.164) -- (3.537,1.994) -- (3.582,1.824) -- (3.707,1.699) -- (3.877,1.654) -- (4.047,1.699) -- (4.171,1.824) -- cycle;
\node at (3.877,1.994) {\scalebox{1.515}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.44,5.834) -- (7.04,5.834) -- (7.04,6.434) -- (6.44,6.434) -- cycle;
\node at (6.74,6.134) {\scalebox{1.515}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.637,3.256) -- (12.237,3.256) -- (12.237,3.856) -- (11.637,3.856) -- cycle;
\node at (11.937,3.556) {\scalebox{1.515}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.81,9.412) -- (8.41,9.412) -- (8.41,10.012) -- (7.81,10.012) -- cycle;
\node at (8.11,9.712) {\scalebox{1.515}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.056,9.021) -- (4.656,9.021) -- (4.656,9.621) -- (4.056,9.621) -- cycle;
\node at (4.356,9.321) {\scalebox{1.515}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.309,11.158) -- (4.909,11.158) -- (4.909,11.758) -- (4.309,11.758) -- cycle;
\node at (4.609,11.458) {\scalebox{1.515}{\small e}};
\node at (7.139,11.986) {\scalebox{1.515}{\small A}};
\node at (2.2,10.604) {\scalebox{1.515}{\small B}};
\node at (11.276,6.906) {\scalebox{1.515}{\small C}};
\node at (7.166,6.585) {\scalebox{1.515}{\small D}};
\node at (6.491,2.183) {\scalebox{1.515}{\small E}};
\node at (10.009,0.95) {\scalebox{1.515}{\small F}};
\node at (0.765,0.969) {\scalebox{1.515}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.973,10.421) -- (11.973,11.521);
\draw[line width=0.5pt] (11.742,11.136) -- (11.973,11.521) -- (12.204,11.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.671,10.971) -- (12.276,10.971);
\node at (11.973,11.906) {\scalebox{1.515}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 6 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
