\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 365}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=365}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0365}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.405,7.756) -- (8.589,7.553) -- (8.778,7.353) -- (8.972,7.159) -- (9.171,6.968) -- (9.374,6.783) -- (9.581,6.602) -- (9.793,6.426) -- (10.008,6.255) -- (10.228,6.09) -- (10.451,5.929) -- (10.678,5.774) -- (10.908,5.624) -- (11.142,5.48) -- (11.38,5.341);
\draw[line width=0.5pt] (8.405,7.756) -- (8.165,7.529) -- (7.92,7.308) -- (7.669,7.092) -- (7.414,6.882) -- (7.153,6.679) -- (6.888,6.481) -- (6.619,6.29) -- (6.345,6.105) -- (6.066,5.926) -- (5.784,5.755) -- (5.497,5.589) -- (5.207,5.431) -- (4.913,5.28) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (5.539,7.73) -- (5.245,7.758) -- (4.949,7.778) -- (4.653,7.791) -- (4.357,7.798) -- (4.061,7.797) -- (3.764,7.79) -- (3.468,7.775) -- (3.173,7.753) -- (2.878,7.725) -- (2.584,7.69) -- (2.29,7.648) -- (1.998,7.598) -- (1.708,7.542) -- (1.418,7.48);
\draw[line width=0.5pt] (5.539,7.73) -- (5.502,7.536) -- (5.461,7.343) -- (5.415,7.151) -- (5.364,6.96) -- (5.309,6.77) -- (5.249,6.582) -- (5.185,6.395) -- (5.116,6.209) -- (5.044,6.026) -- (4.967,5.844) -- (4.885,5.663) -- (4.8,5.485) -- (4.71,5.309) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,7.48) -- (1.619,7.278) -- (1.825,7.082) -- (2.035,6.891) -- (2.25,6.704) -- (2.47,6.523) -- (2.693,6.347) -- (2.921,6.176) -- (3.152,6.01) -- (3.388,5.85) -- (3.627,5.696) -- (3.869,5.547) -- (4.115,5.404) -- (4.364,5.267) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.114,5.282) -- (10.846,5.229) -- (10.577,5.182) -- (10.307,5.141) -- (10.037,5.107) -- (9.765,5.079) -- (9.493,5.057) -- (9.22,5.042) -- (8.947,5.034) -- (8.675,5.031) -- (8.402,5.035) -- (8.129,5.046) -- (7.857,5.063) -- (7.585,5.086) -- (7.375,5.122) -- (7.165,5.153) -- (6.953,5.179) -- (6.741,5.2) -- (6.529,5.216) -- (6.316,5.227) -- (6.103,5.233) -- (5.89,5.234) -- (5.677,5.23) -- (5.464,5.221) -- (5.251,5.208) -- (5.039,5.189) -- (4.827,5.165) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.075,5.139) -- (10.775,4.929) -- (10.48,4.712) -- (10.19,4.488) -- (9.906,4.257) -- (9.627,4.02) -- (9.354,3.776) -- (9.086,3.526) -- (8.824,3.269) -- (8.569,3.007) -- (8.32,2.738) -- (8.077,2.464) -- (7.841,2.184) -- (7.612,1.899);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.422,5.07) -- (11.458,4.798) -- (11.487,4.525) -- (11.51,4.251) -- (11.527,3.976) -- (11.537,3.701) -- (11.54,3.427) -- (11.537,3.152) -- (11.528,2.877) -- (11.512,2.602) -- (11.49,2.328) -- (11.462,2.055) -- (11.427,1.783) -- (11.385,1.511);
\draw[line width=0.5pt] (4.616,5.136) -- (4.383,5.144) -- (4.15,5.147) -- (3.917,5.145) -- (3.683,5.137) -- (3.45,5.124) -- (3.217,5.105) -- (2.985,5.08) -- (2.754,5.051) -- (2.523,5.015) -- (2.293,4.975) -- (2.064,4.929) -- (1.836,4.877) -- (1.61,4.821) -- (1.385,4.759);
\draw[line width=0.5pt] (4.616,5.136) -- (4.511,4.847) -- (4.399,4.561) -- (4.28,4.278) -- (4.154,3.997) -- (4.022,3.719) -- (3.883,3.445) -- (3.738,3.174) -- (3.587,2.906) -- (3.429,2.642) -- (3.265,2.382) -- (3.096,2.126) -- (2.92,1.874) -- (2.738,1.626) -- (2.551,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.759) -- (1.431,4.507) -- (1.482,4.256) -- (1.54,4.006) -- (1.603,3.758) -- (1.673,3.511) -- (1.748,3.266) -- (1.829,3.023) -- (1.915,2.781) -- (2.007,2.542) -- (2.105,2.305) -- (2.208,2.071) -- (2.317,1.839) -- (2.431,1.609) -- (2.551,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (7.612,1.899) -- (7.883,1.913) -- (8.155,1.92) -- (8.427,1.921) -- (8.7,1.916) -- (8.971,1.904) -- (9.243,1.885) -- (9.514,1.861) -- (9.785,1.83) -- (10.055,1.792) -- (10.323,1.749) -- (10.591,1.699) -- (10.857,1.642) -- (11.122,1.58) -- (11.385,1.511);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,7.756) -- (8.543,7.836) -- (8.485,7.895) -- (8.405,7.916) -- (8.325,7.895) -- (8.266,7.836) -- (8.245,7.756) -- (8.266,7.676) -- (8.325,7.618) -- (8.405,7.596) -- (8.485,7.618) -- (8.543,7.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.699,7.73) -- (5.678,7.81) -- (5.619,7.869) -- (5.539,7.89) -- (5.459,7.869) -- (5.401,7.81) -- (5.379,7.73) -- (5.401,7.65) -- (5.459,7.592) -- (5.539,7.57) -- (5.619,7.592) -- (5.678,7.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.578,7.48) -- (1.557,7.56) -- (1.498,7.618) -- (1.418,7.64) -- (1.338,7.618) -- (1.28,7.56) -- (1.258,7.48) -- (1.28,7.4) -- (1.338,7.341) -- (1.418,7.32) -- (1.498,7.341) -- (1.557,7.4) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.54,5.341) -- (11.518,5.421) -- (11.46,5.48) -- (11.38,5.501) -- (11.3,5.48) -- (11.241,5.421) -- (11.22,5.341) -- (11.241,5.261) -- (11.3,5.203) -- (11.38,5.181) -- (11.46,5.203) -- (11.518,5.261) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.776,5.136) -- (4.755,5.216) -- (4.696,5.274) -- (4.616,5.296) -- (4.536,5.274) -- (4.478,5.216) -- (4.456,5.136) -- (4.478,5.056) -- (4.536,4.997) -- (4.616,4.976) -- (4.696,4.997) -- (4.755,5.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.759) -- (1.524,4.839) -- (1.465,4.897) -- (1.385,4.919) -- (1.305,4.897) -- (1.246,4.839) -- (1.225,4.759) -- (1.246,4.679) -- (1.305,4.62) -- (1.385,4.599) -- (1.465,4.62) -- (1.524,4.679) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.772,1.899) -- (7.75,1.979) -- (7.692,2.038) -- (7.612,2.059) -- (7.532,2.038) -- (7.473,1.979) -- (7.452,1.899) -- (7.473,1.819) -- (7.532,1.761) -- (7.612,1.739) -- (7.692,1.761) -- (7.75,1.819) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,1.511) -- (11.524,1.591) -- (11.465,1.65) -- (11.385,1.671) -- (11.305,1.65) -- (11.246,1.591) -- (11.225,1.511) -- (11.246,1.431) -- (11.305,1.373) -- (11.385,1.351) -- (11.465,1.373) -- (11.524,1.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.711,1.383) -- (2.689,1.463) -- (2.631,1.521) -- (2.551,1.543) -- (2.471,1.521) -- (2.412,1.463) -- (2.391,1.383) -- (2.412,1.303) -- (2.471,1.244) -- (2.551,1.223) -- (2.631,1.244) -- (2.689,1.303) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.334,6.675) -- (10.289,6.845) -- (10.164,6.969) -- (9.994,7.015) -- (9.824,6.969) -- (9.7,6.845) -- (9.654,6.675) -- (9.7,6.505) -- (9.824,6.38) -- (9.994,6.335) -- (10.164,6.38) -- (10.289,6.505) -- cycle;
\node at (9.994,6.675) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.141,6.027) -- (7.095,6.197) -- (6.971,6.321) -- (6.801,6.367) -- (6.631,6.321) -- (6.506,6.197) -- (6.461,6.027) -- (6.506,5.857) -- (6.631,5.732) -- (6.801,5.687) -- (6.971,5.732) -- (7.095,5.857) -- cycle;
\node at (6.801,6.027) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.828,7.456) -- (3.782,7.626) -- (3.658,7.75) -- (3.488,7.796) -- (3.318,7.75) -- (3.193,7.626) -- (3.148,7.456) -- (3.193,7.286) -- (3.318,7.161) -- (3.488,7.116) -- (3.658,7.161) -- (3.782,7.286) -- cycle;
\node at (3.488,7.456) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.826,6.288) -- (5.781,6.458) -- (5.656,6.582) -- (5.486,6.628) -- (5.316,6.582) -- (5.192,6.458) -- (5.146,6.288) -- (5.192,6.118) -- (5.316,5.993) -- (5.486,5.948) -- (5.656,5.993) -- (5.781,6.118) -- cycle;
\node at (5.486,6.288) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.45,6.434) -- (3.404,6.604) -- (3.28,6.728) -- (3.11,6.774) -- (2.94,6.728) -- (2.815,6.604) -- (2.77,6.434) -- (2.815,6.264) -- (2.94,6.139) -- (3.11,6.094) -- (3.28,6.139) -- (3.404,6.264) -- cycle;
\node at (3.11,6.434) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.886,4.769) -- (7.84,4.939) -- (7.716,5.063) -- (7.546,5.109) -- (7.376,5.063) -- (7.251,4.939) -- (7.206,4.769) -- (7.251,4.599) -- (7.376,4.474) -- (7.546,4.429) -- (7.716,4.474) -- (7.84,4.599) -- cycle;
\node at (7.546,4.769) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.909,3.54) -- (9.864,3.71) -- (9.739,3.834) -- (9.569,3.88) -- (9.399,3.834) -- (9.275,3.71) -- (9.229,3.54) -- (9.275,3.37) -- (9.399,3.245) -- (9.569,3.2) -- (9.739,3.245) -- (9.864,3.37) -- cycle;
\node at (9.569,3.54) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.2,3.427) -- (12.155,3.597) -- (12.03,3.721) -- (11.86,3.767) -- (11.69,3.721) -- (11.566,3.597) -- (11.52,3.427) -- (11.566,3.257) -- (11.69,3.133) -- (11.86,3.087) -- (12.03,3.133) -- (12.155,3.257) -- cycle;
\node at (11.86,3.427) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.362,4.763) -- (3.317,4.933) -- (3.192,5.057) -- (3.022,5.103) -- (2.852,5.057) -- (2.728,4.933) -- (2.682,4.763) -- (2.728,4.593) -- (2.852,4.468) -- (3.022,4.423) -- (3.192,4.468) -- (3.317,4.593) -- cycle;
\node at (3.022,4.763) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.359,3.02) -- (4.313,3.19) -- (4.189,3.314) -- (4.019,3.36) -- (3.849,3.314) -- (3.724,3.19) -- (3.679,3.02) -- (3.724,2.85) -- (3.849,2.725) -- (4.019,2.68) -- (4.189,2.725) -- (4.313,2.85) -- cycle;
\node at (4.019,3.02) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.471,3.127) -- (2.426,3.297) -- (2.301,3.422) -- (2.131,3.467) -- (1.961,3.422) -- (1.837,3.297) -- (1.791,3.127) -- (1.837,2.957) -- (1.961,2.833) -- (2.131,2.787) -- (2.301,2.833) -- (2.426,2.957) -- cycle;
\node at (2.131,3.127) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.887,2.179) -- (9.842,2.349) -- (9.717,2.474) -- (9.547,2.519) -- (9.377,2.474) -- (9.253,2.349) -- (9.207,2.179) -- (9.253,2.009) -- (9.377,1.885) -- (9.547,1.839) -- (9.717,1.885) -- (9.842,2.009) -- cycle;
\node at (9.547,2.179) {\scalebox{1.43}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.08,5.041) -- (11.68,5.041) -- (11.68,5.641) -- (11.08,5.641) -- cycle;
\node at (11.38,5.341) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.028,6.926) -- (2.628,6.926) -- (2.628,7.526) -- (2.028,7.526) -- cycle;
\node at (2.328,7.226) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.821,7.05) -- (11.421,7.05) -- (11.421,7.65) -- (10.821,7.65) -- cycle;
\node at (11.121,7.35) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.157,6.983) -- (5.757,6.983) -- (5.757,7.583) -- (5.157,7.583) -- cycle;
\node at (5.457,7.283) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.652,4.145) -- (2.252,4.145) -- (2.252,4.745) -- (1.652,4.745) -- cycle;
\node at (1.952,4.445) {\scalebox{1.43}{\small e}};
\node at (8.791,8.241) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (5.437,8.342) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (0.883,7.793) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (11.996,5.407) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (4.015,5.288) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (0.765,4.756) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (7.91,1.356) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (11.914,1.188) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (2.107,0.95) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,6.806) -- (12.685,7.906);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,7.521) -- (12.685,7.906) -- (12.916,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.356) -- (12.987,7.356);
\node at (12.685,8.291) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑦ rue des Écoles & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑧ passage du Marché & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ chemin Creux & ⑨ rue Basse & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑩ allée des Peupliers & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ rue du Stade & ⑪ rue de l'Église & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{e} l'église \\ \hline
⑥ venelle du Chat & ⑫ chemin des Vignes & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.405,7.756) -- (8.589,7.553) -- (8.778,7.353) -- (8.972,7.159) -- (9.171,6.968) -- (9.374,6.783) -- (9.581,6.602) -- (9.793,6.426) -- (10.008,6.255) -- (10.228,6.09) -- (10.451,5.929) -- (10.678,5.774) -- (10.908,5.624) -- (11.142,5.48) -- (11.38,5.341);
\draw[line width=0.5pt] (8.405,7.756) -- (8.165,7.529) -- (7.92,7.308) -- (7.669,7.092) -- (7.414,6.882) -- (7.153,6.679) -- (6.888,6.481) -- (6.619,6.29) -- (6.345,6.105) -- (6.066,5.926) -- (5.784,5.755) -- (5.497,5.589) -- (5.207,5.431) -- (4.913,5.28) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (5.539,7.73) -- (5.245,7.758) -- (4.949,7.778) -- (4.653,7.791) -- (4.357,7.798) -- (4.061,7.797) -- (3.764,7.79) -- (3.468,7.775) -- (3.173,7.753) -- (2.878,7.725) -- (2.584,7.69) -- (2.29,7.648) -- (1.998,7.598) -- (1.708,7.542) -- (1.418,7.48);
\draw[line width=0.5pt] (5.539,7.73) -- (5.502,7.536) -- (5.461,7.343) -- (5.415,7.151) -- (5.364,6.96) -- (5.309,6.77) -- (5.249,6.582) -- (5.185,6.395) -- (5.116,6.209) -- (5.044,6.026) -- (4.967,5.844) -- (4.885,5.663) -- (4.8,5.485) -- (4.71,5.309) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,7.48) -- (1.619,7.278) -- (1.825,7.082) -- (2.035,6.891) -- (2.25,6.704) -- (2.47,6.523) -- (2.693,6.347) -- (2.921,6.176) -- (3.152,6.01) -- (3.388,5.85) -- (3.627,5.696) -- (3.869,5.547) -- (4.115,5.404) -- (4.364,5.267) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.114,5.282) -- (10.846,5.229) -- (10.577,5.182) -- (10.307,5.141) -- (10.037,5.107) -- (9.765,5.079) -- (9.493,5.057) -- (9.22,5.042) -- (8.947,5.034) -- (8.675,5.031) -- (8.402,5.035) -- (8.129,5.046) -- (7.857,5.063) -- (7.585,5.086) -- (7.375,5.122) -- (7.165,5.153) -- (6.953,5.179) -- (6.741,5.2) -- (6.529,5.216) -- (6.316,5.227) -- (6.103,5.233) -- (5.89,5.234) -- (5.677,5.23) -- (5.464,5.221) -- (5.251,5.208) -- (5.039,5.189) -- (4.827,5.165) -- (4.616,5.136);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.075,5.139) -- (10.775,4.929) -- (10.48,4.712) -- (10.19,4.488) -- (9.906,4.257) -- (9.627,4.02) -- (9.354,3.776) -- (9.086,3.526) -- (8.824,3.269) -- (8.569,3.007) -- (8.32,2.738) -- (8.077,2.464) -- (7.841,2.184) -- (7.612,1.899);
\draw[line width=0.5pt] (11.38,5.341) -- (11.422,5.07) -- (11.458,4.798) -- (11.487,4.525) -- (11.51,4.251) -- (11.527,3.976) -- (11.537,3.701) -- (11.54,3.427) -- (11.537,3.152) -- (11.528,2.877) -- (11.512,2.602) -- (11.49,2.328) -- (11.462,2.055) -- (11.427,1.783) -- (11.385,1.511);
\draw[line width=0.5pt] (4.616,5.136) -- (4.383,5.144) -- (4.15,5.147) -- (3.917,5.145) -- (3.683,5.137) -- (3.45,5.124) -- (3.217,5.105) -- (2.985,5.08) -- (2.754,5.051) -- (2.523,5.015) -- (2.293,4.975) -- (2.064,4.929) -- (1.836,4.877) -- (1.61,4.821) -- (1.385,4.759);
\draw[line width=0.5pt] (4.616,5.136) -- (4.511,4.847) -- (4.399,4.561) -- (4.28,4.278) -- (4.154,3.997) -- (4.022,3.719) -- (3.883,3.445) -- (3.738,3.174) -- (3.587,2.906) -- (3.429,2.642) -- (3.265,2.382) -- (3.096,2.126) -- (2.92,1.874) -- (2.738,1.626) -- (2.551,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,4.759) -- (1.431,4.507) -- (1.482,4.256) -- (1.54,4.006) -- (1.603,3.758) -- (1.673,3.511) -- (1.748,3.266) -- (1.829,3.023) -- (1.915,2.781) -- (2.007,2.542) -- (2.105,2.305) -- (2.208,2.071) -- (2.317,1.839) -- (2.431,1.609) -- (2.551,1.383);
\draw[line width=0.5pt] (7.612,1.899) -- (7.883,1.913) -- (8.155,1.92) -- (8.427,1.921) -- (8.7,1.916) -- (8.971,1.904) -- (9.243,1.885) -- (9.514,1.861) -- (9.785,1.83) -- (10.055,1.792) -- (10.323,1.749) -- (10.591,1.699) -- (10.857,1.642) -- (11.122,1.58) -- (11.385,1.511);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,7.756) -- (8.543,7.836) -- (8.485,7.895) -- (8.405,7.916) -- (8.325,7.895) -- (8.266,7.836) -- (8.245,7.756) -- (8.266,7.676) -- (8.325,7.618) -- (8.405,7.596) -- (8.485,7.618) -- (8.543,7.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.699,7.73) -- (5.678,7.81) -- (5.619,7.869) -- (5.539,7.89) -- (5.459,7.869) -- (5.401,7.81) -- (5.379,7.73) -- (5.401,7.65) -- (5.459,7.592) -- (5.539,7.57) -- (5.619,7.592) -- (5.678,7.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.578,7.48) -- (1.557,7.56) -- (1.498,7.618) -- (1.418,7.64) -- (1.338,7.618) -- (1.28,7.56) -- (1.258,7.48) -- (1.28,7.4) -- (1.338,7.341) -- (1.418,7.32) -- (1.498,7.341) -- (1.557,7.4) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.54,5.341) -- (11.518,5.421) -- (11.46,5.48) -- (11.38,5.501) -- (11.3,5.48) -- (11.241,5.421) -- (11.22,5.341) -- (11.241,5.261) -- (11.3,5.203) -- (11.38,5.181) -- (11.46,5.203) -- (11.518,5.261) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.776,5.136) -- (4.755,5.216) -- (4.696,5.274) -- (4.616,5.296) -- (4.536,5.274) -- (4.478,5.216) -- (4.456,5.136) -- (4.478,5.056) -- (4.536,4.997) -- (4.616,4.976) -- (4.696,4.997) -- (4.755,5.056) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.759) -- (1.524,4.839) -- (1.465,4.897) -- (1.385,4.919) -- (1.305,4.897) -- (1.246,4.839) -- (1.225,4.759) -- (1.246,4.679) -- (1.305,4.62) -- (1.385,4.599) -- (1.465,4.62) -- (1.524,4.679) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.772,1.899) -- (7.75,1.979) -- (7.692,2.038) -- (7.612,2.059) -- (7.532,2.038) -- (7.473,1.979) -- (7.452,1.899) -- (7.473,1.819) -- (7.532,1.761) -- (7.612,1.739) -- (7.692,1.761) -- (7.75,1.819) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,1.511) -- (11.524,1.591) -- (11.465,1.65) -- (11.385,1.671) -- (11.305,1.65) -- (11.246,1.591) -- (11.225,1.511) -- (11.246,1.431) -- (11.305,1.373) -- (11.385,1.351) -- (11.465,1.373) -- (11.524,1.431) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.711,1.383) -- (2.689,1.463) -- (2.631,1.521) -- (2.551,1.543) -- (2.471,1.521) -- (2.412,1.463) -- (2.391,1.383) -- (2.412,1.303) -- (2.471,1.244) -- (2.551,1.223) -- (2.631,1.244) -- (2.689,1.303) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.334,6.675) -- (10.289,6.845) -- (10.164,6.969) -- (9.994,7.015) -- (9.824,6.969) -- (9.7,6.845) -- (9.654,6.675) -- (9.7,6.505) -- (9.824,6.38) -- (9.994,6.335) -- (10.164,6.38) -- (10.289,6.505) -- cycle;
\node at (9.994,6.675) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.141,6.027) -- (7.095,6.197) -- (6.971,6.321) -- (6.801,6.367) -- (6.631,6.321) -- (6.506,6.197) -- (6.461,6.027) -- (6.506,5.857) -- (6.631,5.732) -- (6.801,5.687) -- (6.971,5.732) -- (7.095,5.857) -- cycle;
\node at (6.801,6.027) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.828,7.456) -- (3.782,7.626) -- (3.658,7.75) -- (3.488,7.796) -- (3.318,7.75) -- (3.193,7.626) -- (3.148,7.456) -- (3.193,7.286) -- (3.318,7.161) -- (3.488,7.116) -- (3.658,7.161) -- (3.782,7.286) -- cycle;
\node at (3.488,7.456) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.826,6.288) -- (5.781,6.458) -- (5.656,6.582) -- (5.486,6.628) -- (5.316,6.582) -- (5.192,6.458) -- (5.146,6.288) -- (5.192,6.118) -- (5.316,5.993) -- (5.486,5.948) -- (5.656,5.993) -- (5.781,6.118) -- cycle;
\node at (5.486,6.288) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.45,6.434) -- (3.404,6.604) -- (3.28,6.728) -- (3.11,6.774) -- (2.94,6.728) -- (2.815,6.604) -- (2.77,6.434) -- (2.815,6.264) -- (2.94,6.139) -- (3.11,6.094) -- (3.28,6.139) -- (3.404,6.264) -- cycle;
\node at (3.11,6.434) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.886,4.769) -- (7.84,4.939) -- (7.716,5.063) -- (7.546,5.109) -- (7.376,5.063) -- (7.251,4.939) -- (7.206,4.769) -- (7.251,4.599) -- (7.376,4.474) -- (7.546,4.429) -- (7.716,4.474) -- (7.84,4.599) -- cycle;
\node at (7.546,4.769) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.909,3.54) -- (9.864,3.71) -- (9.739,3.834) -- (9.569,3.88) -- (9.399,3.834) -- (9.275,3.71) -- (9.229,3.54) -- (9.275,3.37) -- (9.399,3.245) -- (9.569,3.2) -- (9.739,3.245) -- (9.864,3.37) -- cycle;
\node at (9.569,3.54) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.2,3.427) -- (12.155,3.597) -- (12.03,3.721) -- (11.86,3.767) -- (11.69,3.721) -- (11.566,3.597) -- (11.52,3.427) -- (11.566,3.257) -- (11.69,3.133) -- (11.86,3.087) -- (12.03,3.133) -- (12.155,3.257) -- cycle;
\node at (11.86,3.427) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.362,4.763) -- (3.317,4.933) -- (3.192,5.057) -- (3.022,5.103) -- (2.852,5.057) -- (2.728,4.933) -- (2.682,4.763) -- (2.728,4.593) -- (2.852,4.468) -- (3.022,4.423) -- (3.192,4.468) -- (3.317,4.593) -- cycle;
\node at (3.022,4.763) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.359,3.02) -- (4.313,3.19) -- (4.189,3.314) -- (4.019,3.36) -- (3.849,3.314) -- (3.724,3.19) -- (3.679,3.02) -- (3.724,2.85) -- (3.849,2.725) -- (4.019,2.68) -- (4.189,2.725) -- (4.313,2.85) -- cycle;
\node at (4.019,3.02) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.471,3.127) -- (2.426,3.297) -- (2.301,3.422) -- (2.131,3.467) -- (1.961,3.422) -- (1.837,3.297) -- (1.791,3.127) -- (1.837,2.957) -- (1.961,2.833) -- (2.131,2.787) -- (2.301,2.833) -- (2.426,2.957) -- cycle;
\node at (2.131,3.127) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.887,2.179) -- (9.842,2.349) -- (9.717,2.474) -- (9.547,2.519) -- (9.377,2.474) -- (9.253,2.349) -- (9.207,2.179) -- (9.253,2.009) -- (9.377,1.885) -- (9.547,1.839) -- (9.717,1.885) -- (9.842,2.009) -- cycle;
\node at (9.547,2.179) {\scalebox{1.598}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.08,5.041) -- (11.68,5.041) -- (11.68,5.641) -- (11.08,5.641) -- cycle;
\node at (11.38,5.341) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.028,6.926) -- (2.628,6.926) -- (2.628,7.526) -- (2.028,7.526) -- cycle;
\node at (2.328,7.226) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.821,7.05) -- (11.421,7.05) -- (11.421,7.65) -- (10.821,7.65) -- cycle;
\node at (11.121,7.35) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.157,6.983) -- (5.757,6.983) -- (5.757,7.583) -- (5.157,7.583) -- cycle;
\node at (5.457,7.283) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.652,4.145) -- (2.252,4.145) -- (2.252,4.745) -- (1.652,4.745) -- cycle;
\node at (1.952,4.445) {\scalebox{1.598}{\small e}};
\node at (8.791,8.241) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (5.437,8.342) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (0.883,7.793) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (11.996,5.407) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (4.015,5.288) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (0.765,4.756) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (7.91,1.356) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (11.914,1.188) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (2.107,0.95) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,6.806) -- (12.685,7.906);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,7.521) -- (12.685,7.906) -- (12.916,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,7.356) -- (12.987,7.356);
\node at (12.685,8.291) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 4 & 6 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue du Puits ①} vers le nord-ouest et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ④}, vers le nord, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑪}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑫}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
