\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 366}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=366}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0366}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7048, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (1.98,7.806) -- (2.195,7.812) -- (2.409,7.824) -- (2.624,7.84) -- (2.837,7.862) -- (3.051,7.888) -- (3.263,7.92) -- (3.475,7.956) -- (3.686,7.997) -- (3.896,8.044) -- (4.104,8.095) -- (4.312,8.151) -- (4.518,8.212) -- (4.722,8.278) -- (4.989,8.244) -- (5.255,8.204) -- (5.52,8.158) -- (5.784,8.105) -- (6.047,8.046) -- (6.308,7.981) -- (6.568,7.91) -- (6.826,7.832) -- (7.082,7.749) -- (7.336,7.66) -- (7.588,7.565) -- (7.837,7.464) -- (8.084,7.357) -- (8.329,7.244);
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (2.005,7.63) -- (2.241,7.449) -- (2.472,7.263) -- (2.699,7.071) -- (2.922,6.874) -- (3.139,6.671) -- (3.352,6.464) -- (3.56,6.252) -- (3.763,6.034) -- (3.961,5.813) -- (4.153,5.586) -- (4.34,5.355) -- (4.522,5.12) -- (4.697,4.881);
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (1.74,7.565) -- (1.721,7.324) -- (1.707,7.083) -- (1.699,6.841) -- (1.696,6.599) -- (1.699,6.358) -- (1.708,6.116) -- (1.722,5.875) -- (1.742,5.634) -- (1.768,5.393) -- (1.8,5.154) -- (1.837,4.915) -- (1.879,4.677) -- (1.928,4.441);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.097,7.037) -- (7.861,6.835) -- (7.62,6.639) -- (7.374,6.449) -- (7.124,6.264) -- (6.869,6.085) -- (6.611,5.913) -- (6.348,5.746) -- (6.081,5.586) -- (5.811,5.432) -- (5.538,5.284) -- (5.261,5.143) -- (4.981,5.009) -- (4.697,4.881);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.316,7.057) -- (8.307,6.869) -- (8.303,6.682) -- (8.304,6.494) -- (8.309,6.307) -- (8.318,6.119) -- (8.331,5.932) -- (8.349,5.745) -- (8.372,5.559) -- (8.398,5.373) -- (8.43,5.188) -- (8.465,5.004) -- (8.505,4.821) -- (8.549,4.639);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.568,7.077) -- (8.804,6.904) -- (9.035,6.726) -- (9.263,6.542) -- (9.486,6.353) -- (9.704,6.159) -- (9.918,5.96) -- (10.127,5.755) -- (10.332,5.546) -- (10.531,5.333) -- (10.725,5.114) -- (10.914,4.891) -- (11.098,4.664) -- (11.276,4.433);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.968,4.822) -- (5.239,4.769) -- (5.512,4.722) -- (5.786,4.682) -- (6.061,4.649) -- (6.337,4.622) -- (6.613,4.601) -- (6.89,4.587) -- (7.167,4.579) -- (7.444,4.578) -- (7.721,4.583) -- (7.997,4.595) -- (8.273,4.614) -- (8.549,4.639);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.506,4.82) -- (4.313,4.763) -- (4.119,4.71) -- (3.923,4.662) -- (3.727,4.619) -- (3.529,4.581) -- (3.331,4.547) -- (3.132,4.517) -- (2.932,4.493) -- (2.731,4.473) -- (2.531,4.458) -- (2.33,4.447) -- (2.129,4.442) -- (1.928,4.441);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.417,4.674) -- (4.142,4.461) -- (3.872,4.24) -- (3.607,4.014) -- (3.347,3.781) -- (3.093,3.542) -- (2.844,3.298) -- (2.602,3.047) -- (2.365,2.791) -- (2.134,2.53) -- (1.91,2.263) -- (1.692,1.991) -- (1.48,1.714) -- (1.276,1.432);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (5.002,4.677) -- (5.301,4.466) -- (5.595,4.247) -- (5.885,4.022) -- (6.168,3.79) -- (6.447,3.551) -- (6.719,3.306) -- (6.986,3.054) -- (7.247,2.797) -- (7.502,2.533) -- (7.75,2.263) -- (7.992,1.988) -- (8.227,1.707) -- (8.456,1.421);
\draw[line width=0.5pt] (8.549,4.639) -- (8.74,4.594) -- (8.932,4.554) -- (9.125,4.519) -- (9.319,4.488) -- (9.513,4.462) -- (9.708,4.44) -- (9.904,4.423) -- (10.1,4.411) -- (10.296,4.403) -- (10.492,4.399) -- (10.688,4.401) -- (10.884,4.407) -- (11.08,4.417) -- (11.276,4.433);
\draw[line width=0.5pt] (8.549,4.639) -- (8.578,4.41) -- (8.601,4.18) -- (8.618,3.95) -- (8.631,3.719) -- (8.638,3.488) -- (8.639,3.257) -- (8.635,3.026) -- (8.626,2.795) -- (8.611,2.564) -- (8.591,2.334) -- (8.565,2.105) -- (8.534,1.876) -- (8.498,1.648) -- (8.456,1.421);
\draw[line width=0.5pt] (1.928,4.441) -- (1.849,4.235) -- (1.774,4.027) -- (1.705,3.817) -- (1.641,3.606) -- (1.581,3.393) -- (1.527,3.179) -- (1.478,2.963) -- (1.433,2.747) -- (1.394,2.529) -- (1.36,2.311) -- (1.331,2.092) -- (1.307,1.872) -- (1.289,1.652) -- (1.276,1.432);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.926,7.805) -- (1.904,7.885) -- (1.846,7.944) -- (1.766,7.965) -- (1.686,7.944) -- (1.627,7.885) -- (1.606,7.805) -- (1.627,7.725) -- (1.686,7.666) -- (1.766,7.645) -- (1.846,7.666) -- (1.904,7.725) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.489,7.244) -- (8.467,7.324) -- (8.409,7.382) -- (8.329,7.404) -- (8.249,7.382) -- (8.19,7.324) -- (8.169,7.244) -- (8.19,7.164) -- (8.249,7.105) -- (8.329,7.084) -- (8.409,7.105) -- (8.467,7.164) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.857,4.881) -- (4.836,4.961) -- (4.777,5.02) -- (4.697,5.041) -- (4.617,5.02) -- (4.559,4.961) -- (4.537,4.881) -- (4.559,4.801) -- (4.617,4.743) -- (4.697,4.721) -- (4.777,4.743) -- (4.836,4.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.709,4.639) -- (8.687,4.719) -- (8.629,4.777) -- (8.549,4.799) -- (8.469,4.777) -- (8.41,4.719) -- (8.389,4.639) -- (8.41,4.559) -- (8.469,4.5) -- (8.549,4.479) -- (8.629,4.5) -- (8.687,4.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.088,4.441) -- (2.066,4.521) -- (2.008,4.579) -- (1.928,4.601) -- (1.848,4.579) -- (1.789,4.521) -- (1.768,4.441) -- (1.789,4.361) -- (1.848,4.302) -- (1.928,4.281) -- (2.008,4.302) -- (2.066,4.361) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.436,4.433) -- (11.414,4.513) -- (11.356,4.571) -- (11.276,4.593) -- (11.196,4.571) -- (11.137,4.513) -- (11.116,4.433) -- (11.137,4.353) -- (11.196,4.294) -- (11.276,4.273) -- (11.356,4.294) -- (11.414,4.353) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.436,1.432) -- (1.414,1.512) -- (1.356,1.571) -- (1.276,1.592) -- (1.196,1.571) -- (1.137,1.512) -- (1.116,1.432) -- (1.137,1.352) -- (1.196,1.293) -- (1.276,1.272) -- (1.356,1.293) -- (1.414,1.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.616,1.421) -- (8.594,1.501) -- (8.536,1.559) -- (8.456,1.581) -- (8.376,1.559) -- (8.317,1.501) -- (8.296,1.421) -- (8.317,1.341) -- (8.376,1.282) -- (8.456,1.261) -- (8.536,1.282) -- (8.594,1.341) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,8.597) -- (4.995,8.767) -- (4.87,8.892) -- (4.7,8.937) -- (4.53,8.892) -- (4.406,8.767) -- (4.36,8.597) -- (4.406,8.427) -- (4.53,8.303) -- (4.7,8.257) -- (4.87,8.303) -- (4.995,8.427) -- cycle;
\node at (4.7,8.597) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.918,6.691) -- (3.873,6.861) -- (3.748,6.985) -- (3.578,7.031) -- (3.408,6.985) -- (3.284,6.861) -- (3.238,6.691) -- (3.284,6.521) -- (3.408,6.396) -- (3.578,6.351) -- (3.748,6.396) -- (3.873,6.521) -- cycle;
\node at (3.578,6.691) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.368,6.131) -- (2.322,6.301) -- (2.198,6.426) -- (2.028,6.471) -- (1.858,6.426) -- (1.733,6.301) -- (1.688,6.131) -- (1.733,5.961) -- (1.858,5.837) -- (2.028,5.791) -- (2.198,5.837) -- (2.322,5.961) -- cycle;
\node at (2.028,6.131) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.125,5.644) -- (7.08,5.814) -- (6.955,5.939) -- (6.785,5.984) -- (6.615,5.939) -- (6.491,5.814) -- (6.445,5.644) -- (6.491,5.474) -- (6.615,5.35) -- (6.785,5.304) -- (6.955,5.35) -- (7.08,5.474) -- cycle;
\node at (6.785,5.644) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.99,5.959) -- (8.945,6.129) -- (8.82,6.254) -- (8.65,6.299) -- (8.48,6.254) -- (8.356,6.129) -- (8.31,5.959) -- (8.356,5.789) -- (8.48,5.665) -- (8.65,5.619) -- (8.82,5.665) -- (8.945,5.789) -- cycle;
\node at (8.65,5.959) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.479,6.191) -- (10.433,6.361) -- (10.309,6.486) -- (10.139,6.531) -- (9.969,6.486) -- (9.845,6.361) -- (9.799,6.191) -- (9.845,6.021) -- (9.969,5.897) -- (10.139,5.851) -- (10.309,5.897) -- (10.433,6.021) -- cycle;
\node at (10.139,6.191) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.973,4.92) -- (6.928,5.09) -- (6.803,5.215) -- (6.633,5.26) -- (6.463,5.215) -- (6.339,5.09) -- (6.293,4.92) -- (6.339,4.75) -- (6.463,4.626) -- (6.633,4.58) -- (6.803,4.626) -- (6.928,4.75) -- cycle;
\node at (6.633,4.92) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.721,4.231) -- (3.675,4.401) -- (3.551,4.525) -- (3.381,4.571) -- (3.211,4.525) -- (3.087,4.401) -- (3.041,4.231) -- (3.087,4.061) -- (3.211,3.936) -- (3.381,3.891) -- (3.551,3.936) -- (3.675,4.061) -- cycle;
\node at (3.381,4.231) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.411,3.072) -- (3.366,3.242) -- (3.241,3.367) -- (3.071,3.412) -- (2.901,3.367) -- (2.777,3.242) -- (2.731,3.072) -- (2.777,2.902) -- (2.901,2.778) -- (3.071,2.732) -- (3.241,2.778) -- (3.366,2.902) -- cycle;
\node at (3.071,3.072) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.276,3.541) -- (7.231,3.711) -- (7.106,3.836) -- (6.936,3.881) -- (6.766,3.836) -- (6.642,3.711) -- (6.596,3.541) -- (6.642,3.371) -- (6.766,3.247) -- (6.936,3.201) -- (7.106,3.247) -- (7.231,3.371) -- cycle;
\node at (6.936,3.541) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.268,4.742) -- (10.222,4.912) -- (10.098,5.037) -- (9.928,5.082) -- (9.758,5.037) -- (9.633,4.912) -- (9.588,4.742) -- (9.633,4.572) -- (9.758,4.448) -- (9.928,4.402) -- (10.098,4.448) -- (10.222,4.572) -- cycle;
\node at (9.928,4.742) {\scalebox{1.419}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.295,3.017) -- (9.249,3.187) -- (9.125,3.311) -- (8.955,3.357) -- (8.785,3.311) -- (8.661,3.187) -- (8.615,3.017) -- (8.661,2.847) -- (8.785,2.722) -- (8.955,2.677) -- (9.125,2.722) -- (9.249,2.847) -- cycle;
\node at (8.955,3.017) {\scalebox{1.419}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.13,2.895) -- (2.085,3.065) -- (1.96,3.19) -- (1.79,3.235) -- (1.62,3.19) -- (1.496,3.065) -- (1.45,2.895) -- (1.496,2.725) -- (1.62,2.601) -- (1.79,2.555) -- (1.96,2.601) -- (2.085,2.725) -- cycle;
\node at (1.79,2.895) {\scalebox{1.419}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.466,7.505) -- (2.066,7.505) -- (2.066,8.105) -- (1.466,8.105) -- cycle;
\node at (1.766,7.805) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.018,6.469) -- (11.618,6.469) -- (11.618,7.069) -- (11.018,7.069) -- cycle;
\node at (11.318,6.769) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.713,7.378) -- (3.313,7.378) -- (3.313,7.978) -- (2.713,7.978) -- cycle;
\node at (3.013,7.678) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.739,4.786) -- (11.339,4.786) -- (11.339,5.386) -- (10.739,5.386) -- cycle;
\node at (11.039,5.086) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (0.956,6.298) -- (1.556,6.298) -- (1.556,6.898) -- (0.956,6.898) -- cycle;
\node at (1.256,6.598) {\scalebox{1.419}{\small e}};
\node at (1.285,8.196) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (8.753,7.696) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (4.106,5.068) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (9.169,4.661) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (1.308,4.425) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.896,4.421) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (0.765,1.08) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (8.859,0.95) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.576,6.855) -- (12.576,7.955);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,7.57) -- (12.576,7.955) -- (12.807,7.57);
\draw[line width=0.5pt] (12.273,7.405) -- (12.878,7.405);
\node at (12.576,8.34) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑧ chemin du Lavoir & Ⓐ Rond-point de la Gare & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑨ sentier des Prés & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue des Jardins & ⑩ rue Neuve & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑪ passage du Marché & Ⓓ Rond-point de la Poste & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ rue du Four & ⑫ boulevard du Parc & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{e} l'école \\ \hline
⑥ rue Haute & ⑬ chemin des Vignes & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
⑦ rue du Stade &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6307, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (1.98,7.806) -- (2.195,7.812) -- (2.409,7.824) -- (2.624,7.84) -- (2.837,7.862) -- (3.051,7.888) -- (3.263,7.92) -- (3.475,7.956) -- (3.686,7.997) -- (3.896,8.044) -- (4.104,8.095) -- (4.312,8.151) -- (4.518,8.212) -- (4.722,8.278) -- (4.989,8.244) -- (5.255,8.204) -- (5.52,8.158) -- (5.784,8.105) -- (6.047,8.046) -- (6.308,7.981) -- (6.568,7.91) -- (6.826,7.832) -- (7.082,7.749) -- (7.336,7.66) -- (7.588,7.565) -- (7.837,7.464) -- (8.084,7.357) -- (8.329,7.244);
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (2.005,7.63) -- (2.241,7.449) -- (2.472,7.263) -- (2.699,7.071) -- (2.922,6.874) -- (3.139,6.671) -- (3.352,6.464) -- (3.56,6.252) -- (3.763,6.034) -- (3.961,5.813) -- (4.153,5.586) -- (4.34,5.355) -- (4.522,5.12) -- (4.697,4.881);
\draw[line width=0.5pt] (1.766,7.805) -- (1.74,7.565) -- (1.721,7.324) -- (1.707,7.083) -- (1.699,6.841) -- (1.696,6.599) -- (1.699,6.358) -- (1.708,6.116) -- (1.722,5.875) -- (1.742,5.634) -- (1.768,5.393) -- (1.8,5.154) -- (1.837,4.915) -- (1.879,4.677) -- (1.928,4.441);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.097,7.037) -- (7.861,6.835) -- (7.62,6.639) -- (7.374,6.449) -- (7.124,6.264) -- (6.869,6.085) -- (6.611,5.913) -- (6.348,5.746) -- (6.081,5.586) -- (5.811,5.432) -- (5.538,5.284) -- (5.261,5.143) -- (4.981,5.009) -- (4.697,4.881);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.316,7.057) -- (8.307,6.869) -- (8.303,6.682) -- (8.304,6.494) -- (8.309,6.307) -- (8.318,6.119) -- (8.331,5.932) -- (8.349,5.745) -- (8.372,5.559) -- (8.398,5.373) -- (8.43,5.188) -- (8.465,5.004) -- (8.505,4.821) -- (8.549,4.639);
\draw[line width=0.5pt] (8.329,7.244) -- (8.568,7.077) -- (8.804,6.904) -- (9.035,6.726) -- (9.263,6.542) -- (9.486,6.353) -- (9.704,6.159) -- (9.918,5.96) -- (10.127,5.755) -- (10.332,5.546) -- (10.531,5.333) -- (10.725,5.114) -- (10.914,4.891) -- (11.098,4.664) -- (11.276,4.433);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.968,4.822) -- (5.239,4.769) -- (5.512,4.722) -- (5.786,4.682) -- (6.061,4.649) -- (6.337,4.622) -- (6.613,4.601) -- (6.89,4.587) -- (7.167,4.579) -- (7.444,4.578) -- (7.721,4.583) -- (7.997,4.595) -- (8.273,4.614) -- (8.549,4.639);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.506,4.82) -- (4.313,4.763) -- (4.119,4.71) -- (3.923,4.662) -- (3.727,4.619) -- (3.529,4.581) -- (3.331,4.547) -- (3.132,4.517) -- (2.932,4.493) -- (2.731,4.473) -- (2.531,4.458) -- (2.33,4.447) -- (2.129,4.442) -- (1.928,4.441);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (4.417,4.674) -- (4.142,4.461) -- (3.872,4.24) -- (3.607,4.014) -- (3.347,3.781) -- (3.093,3.542) -- (2.844,3.298) -- (2.602,3.047) -- (2.365,2.791) -- (2.134,2.53) -- (1.91,2.263) -- (1.692,1.991) -- (1.48,1.714) -- (1.276,1.432);
\draw[line width=0.5pt] (4.697,4.881) -- (5.002,4.677) -- (5.301,4.466) -- (5.595,4.247) -- (5.885,4.022) -- (6.168,3.79) -- (6.447,3.551) -- (6.719,3.306) -- (6.986,3.054) -- (7.247,2.797) -- (7.502,2.533) -- (7.75,2.263) -- (7.992,1.988) -- (8.227,1.707) -- (8.456,1.421);
\draw[line width=0.5pt] (8.549,4.639) -- (8.74,4.594) -- (8.932,4.554) -- (9.125,4.519) -- (9.319,4.488) -- (9.513,4.462) -- (9.708,4.44) -- (9.904,4.423) -- (10.1,4.411) -- (10.296,4.403) -- (10.492,4.399) -- (10.688,4.401) -- (10.884,4.407) -- (11.08,4.417) -- (11.276,4.433);
\draw[line width=0.5pt] (8.549,4.639) -- (8.578,4.41) -- (8.601,4.18) -- (8.618,3.95) -- (8.631,3.719) -- (8.638,3.488) -- (8.639,3.257) -- (8.635,3.026) -- (8.626,2.795) -- (8.611,2.564) -- (8.591,2.334) -- (8.565,2.105) -- (8.534,1.876) -- (8.498,1.648) -- (8.456,1.421);
\draw[line width=0.5pt] (1.928,4.441) -- (1.849,4.235) -- (1.774,4.027) -- (1.705,3.817) -- (1.641,3.606) -- (1.581,3.393) -- (1.527,3.179) -- (1.478,2.963) -- (1.433,2.747) -- (1.394,2.529) -- (1.36,2.311) -- (1.331,2.092) -- (1.307,1.872) -- (1.289,1.652) -- (1.276,1.432);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.926,7.805) -- (1.904,7.885) -- (1.846,7.944) -- (1.766,7.965) -- (1.686,7.944) -- (1.627,7.885) -- (1.606,7.805) -- (1.627,7.725) -- (1.686,7.666) -- (1.766,7.645) -- (1.846,7.666) -- (1.904,7.725) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.489,7.244) -- (8.467,7.324) -- (8.409,7.382) -- (8.329,7.404) -- (8.249,7.382) -- (8.19,7.324) -- (8.169,7.244) -- (8.19,7.164) -- (8.249,7.105) -- (8.329,7.084) -- (8.409,7.105) -- (8.467,7.164) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.857,4.881) -- (4.836,4.961) -- (4.777,5.02) -- (4.697,5.041) -- (4.617,5.02) -- (4.559,4.961) -- (4.537,4.881) -- (4.559,4.801) -- (4.617,4.743) -- (4.697,4.721) -- (4.777,4.743) -- (4.836,4.801) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.709,4.639) -- (8.687,4.719) -- (8.629,4.777) -- (8.549,4.799) -- (8.469,4.777) -- (8.41,4.719) -- (8.389,4.639) -- (8.41,4.559) -- (8.469,4.5) -- (8.549,4.479) -- (8.629,4.5) -- (8.687,4.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.088,4.441) -- (2.066,4.521) -- (2.008,4.579) -- (1.928,4.601) -- (1.848,4.579) -- (1.789,4.521) -- (1.768,4.441) -- (1.789,4.361) -- (1.848,4.302) -- (1.928,4.281) -- (2.008,4.302) -- (2.066,4.361) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.436,4.433) -- (11.414,4.513) -- (11.356,4.571) -- (11.276,4.593) -- (11.196,4.571) -- (11.137,4.513) -- (11.116,4.433) -- (11.137,4.353) -- (11.196,4.294) -- (11.276,4.273) -- (11.356,4.294) -- (11.414,4.353) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.436,1.432) -- (1.414,1.512) -- (1.356,1.571) -- (1.276,1.592) -- (1.196,1.571) -- (1.137,1.512) -- (1.116,1.432) -- (1.137,1.352) -- (1.196,1.293) -- (1.276,1.272) -- (1.356,1.293) -- (1.414,1.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.616,1.421) -- (8.594,1.501) -- (8.536,1.559) -- (8.456,1.581) -- (8.376,1.559) -- (8.317,1.501) -- (8.296,1.421) -- (8.317,1.341) -- (8.376,1.282) -- (8.456,1.261) -- (8.536,1.282) -- (8.594,1.341) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,8.597) -- (4.995,8.767) -- (4.87,8.892) -- (4.7,8.937) -- (4.53,8.892) -- (4.406,8.767) -- (4.36,8.597) -- (4.406,8.427) -- (4.53,8.303) -- (4.7,8.257) -- (4.87,8.303) -- (4.995,8.427) -- cycle;
\node at (4.7,8.597) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.918,6.691) -- (3.873,6.861) -- (3.748,6.985) -- (3.578,7.031) -- (3.408,6.985) -- (3.284,6.861) -- (3.238,6.691) -- (3.284,6.521) -- (3.408,6.396) -- (3.578,6.351) -- (3.748,6.396) -- (3.873,6.521) -- cycle;
\node at (3.578,6.691) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.368,6.131) -- (2.322,6.301) -- (2.198,6.426) -- (2.028,6.471) -- (1.858,6.426) -- (1.733,6.301) -- (1.688,6.131) -- (1.733,5.961) -- (1.858,5.837) -- (2.028,5.791) -- (2.198,5.837) -- (2.322,5.961) -- cycle;
\node at (2.028,6.131) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.125,5.644) -- (7.08,5.814) -- (6.955,5.939) -- (6.785,5.984) -- (6.615,5.939) -- (6.491,5.814) -- (6.445,5.644) -- (6.491,5.474) -- (6.615,5.35) -- (6.785,5.304) -- (6.955,5.35) -- (7.08,5.474) -- cycle;
\node at (6.785,5.644) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.99,5.959) -- (8.945,6.129) -- (8.82,6.254) -- (8.65,6.299) -- (8.48,6.254) -- (8.356,6.129) -- (8.31,5.959) -- (8.356,5.789) -- (8.48,5.665) -- (8.65,5.619) -- (8.82,5.665) -- (8.945,5.789) -- cycle;
\node at (8.65,5.959) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.479,6.191) -- (10.433,6.361) -- (10.309,6.486) -- (10.139,6.531) -- (9.969,6.486) -- (9.845,6.361) -- (9.799,6.191) -- (9.845,6.021) -- (9.969,5.897) -- (10.139,5.851) -- (10.309,5.897) -- (10.433,6.021) -- cycle;
\node at (10.139,6.191) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.973,4.92) -- (6.928,5.09) -- (6.803,5.215) -- (6.633,5.26) -- (6.463,5.215) -- (6.339,5.09) -- (6.293,4.92) -- (6.339,4.75) -- (6.463,4.626) -- (6.633,4.58) -- (6.803,4.626) -- (6.928,4.75) -- cycle;
\node at (6.633,4.92) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.721,4.231) -- (3.675,4.401) -- (3.551,4.525) -- (3.381,4.571) -- (3.211,4.525) -- (3.087,4.401) -- (3.041,4.231) -- (3.087,4.061) -- (3.211,3.936) -- (3.381,3.891) -- (3.551,3.936) -- (3.675,4.061) -- cycle;
\node at (3.381,4.231) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.411,3.072) -- (3.366,3.242) -- (3.241,3.367) -- (3.071,3.412) -- (2.901,3.367) -- (2.777,3.242) -- (2.731,3.072) -- (2.777,2.902) -- (2.901,2.778) -- (3.071,2.732) -- (3.241,2.778) -- (3.366,2.902) -- cycle;
\node at (3.071,3.072) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.276,3.541) -- (7.231,3.711) -- (7.106,3.836) -- (6.936,3.881) -- (6.766,3.836) -- (6.642,3.711) -- (6.596,3.541) -- (6.642,3.371) -- (6.766,3.247) -- (6.936,3.201) -- (7.106,3.247) -- (7.231,3.371) -- cycle;
\node at (6.936,3.541) {\scalebox{1.586}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.268,4.742) -- (10.222,4.912) -- (10.098,5.037) -- (9.928,5.082) -- (9.758,5.037) -- (9.633,4.912) -- (9.588,4.742) -- (9.633,4.572) -- (9.758,4.448) -- (9.928,4.402) -- (10.098,4.448) -- (10.222,4.572) -- cycle;
\node at (9.928,4.742) {\scalebox{1.586}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.295,3.017) -- (9.249,3.187) -- (9.125,3.311) -- (8.955,3.357) -- (8.785,3.311) -- (8.661,3.187) -- (8.615,3.017) -- (8.661,2.847) -- (8.785,2.722) -- (8.955,2.677) -- (9.125,2.722) -- (9.249,2.847) -- cycle;
\node at (8.955,3.017) {\scalebox{1.586}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.13,2.895) -- (2.085,3.065) -- (1.96,3.19) -- (1.79,3.235) -- (1.62,3.19) -- (1.496,3.065) -- (1.45,2.895) -- (1.496,2.725) -- (1.62,2.601) -- (1.79,2.555) -- (1.96,2.601) -- (2.085,2.725) -- cycle;
\node at (1.79,2.895) {\scalebox{1.586}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.466,7.505) -- (2.066,7.505) -- (2.066,8.105) -- (1.466,8.105) -- cycle;
\node at (1.766,7.805) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.018,6.469) -- (11.618,6.469) -- (11.618,7.069) -- (11.018,7.069) -- cycle;
\node at (11.318,6.769) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.713,7.378) -- (3.313,7.378) -- (3.313,7.978) -- (2.713,7.978) -- cycle;
\node at (3.013,7.678) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.739,4.786) -- (11.339,4.786) -- (11.339,5.386) -- (10.739,5.386) -- cycle;
\node at (11.039,5.086) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (0.956,6.298) -- (1.556,6.298) -- (1.556,6.898) -- (0.956,6.898) -- cycle;
\node at (1.256,6.598) {\scalebox{1.586}{\small e}};
\node at (1.285,8.196) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (8.753,7.696) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (4.106,5.068) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (9.169,4.661) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (1.308,4.425) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.896,4.421) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (0.765,1.08) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\node at (8.859,0.95) {\scalebox{1.586}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.576,6.855) -- (12.576,7.955);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,7.57) -- (12.576,7.955) -- (12.807,7.57);
\draw[line width=0.5pt] (12.273,7.405) -- (12.878,7.405);
\node at (12.576,8.34) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue de la Mairie ①} vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ③}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Stade ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑫}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑬}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
