\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 367}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=367}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0367}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7059, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.256,7.773) -- (11.059,7.795) -- (10.862,7.812) -- (10.665,7.824) -- (10.467,7.832) -- (10.27,7.836) -- (10.072,7.834) -- (9.874,7.828) -- (9.676,7.817) -- (9.479,7.802) -- (9.282,7.782) -- (9.086,7.757) -- (8.89,7.728) -- (8.695,7.694) -- (8.502,7.656);
\draw[line width=0.5pt] (11.256,7.773) -- (11.256,7.493) -- (11.249,7.213) -- (11.235,6.933) -- (11.215,6.653) -- (11.189,6.374) -- (11.156,6.095) -- (11.116,5.818) -- (11.07,5.541) -- (11.017,5.266) -- (10.958,4.991) -- (10.893,4.719) -- (10.821,4.448) -- (10.742,4.179) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.222,7.669) -- (7.942,7.675) -- (7.662,7.675) -- (7.382,7.667) -- (7.102,7.654) -- (6.823,7.634) -- (6.544,7.607) -- (6.266,7.573) -- (5.988,7.534) -- (5.712,7.487) -- (5.437,7.435) -- (5.163,7.375) -- (4.891,7.31) -- (4.621,7.237);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.231,7.357) -- (7.953,7.064) -- (7.669,6.777) -- (7.377,6.498) -- (7.079,6.225) -- (6.775,5.959) -- (6.465,5.701) -- (6.148,5.45) -- (5.826,5.206) -- (5.498,4.97) -- (5.165,4.742) -- (4.827,4.521) -- (4.483,4.309) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.613,7.367) -- (8.732,7.081) -- (8.858,6.797) -- (8.99,6.517) -- (9.128,6.24) -- (9.274,5.966) -- (9.425,5.695) -- (9.583,5.428) -- (9.747,5.165) -- (9.918,4.906) -- (10.094,4.651) -- (10.276,4.4) -- (10.464,4.154) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,7.237) -- (4.391,7.186) -- (4.16,7.14) -- (3.929,7.1) -- (3.696,7.065) -- (3.462,7.035) -- (3.228,7.011) -- (2.993,6.993) -- (2.758,6.98) -- (2.523,6.972) -- (2.287,6.97) -- (2.052,6.974) -- (1.817,6.983) -- (1.582,6.997) -- (1.348,7.018);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,7.237) -- (4.552,7.021) -- (4.488,6.803) -- (4.43,6.583) -- (4.377,6.362) -- (4.329,6.139) -- (4.286,5.916) -- (4.249,5.692) -- (4.216,5.466) -- (4.189,5.24) -- (4.168,5.014) -- (4.151,4.787) -- (4.141,4.56) -- (4.135,4.333) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (1.348,7.018) -- (1.577,6.842) -- (1.802,6.661) -- (2.023,6.474) -- (2.24,6.282) -- (2.452,6.085) -- (2.659,5.883) -- (2.861,5.677) -- (3.059,5.465) -- (3.252,5.249) -- (3.439,5.029) -- (3.621,4.804) -- (3.798,4.575) -- (3.969,4.342) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (4.444,4.047) -- (4.755,3.995) -- (5.066,3.951) -- (5.379,3.914) -- (5.693,3.884) -- (6.007,3.862) -- (6.322,3.848) -- (6.637,3.84) -- (6.952,3.84) -- (7.267,3.848) -- (7.582,3.862) -- (7.896,3.885) -- (8.209,3.914) -- (8.522,3.951) -- (8.674,3.972) -- (8.826,3.989) -- (8.979,4.002) -- (9.132,4.012) -- (9.285,4.018) -- (9.438,4.021) -- (9.591,4.02) -- (9.745,4.015) -- (9.898,4.007) -- (10.051,3.995) -- (10.203,3.98) -- (10.355,3.961) -- (10.507,3.938) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (4.413,4.001) -- (4.689,3.89) -- (4.962,3.772) -- (5.233,3.648) -- (5.501,3.517) -- (5.765,3.381) -- (6.026,3.238) -- (6.284,3.089) -- (6.538,2.933) -- (6.789,2.772) -- (7.035,2.606) -- (7.278,2.433) -- (7.516,2.255) -- (7.75,2.071);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (3.9,3.94) -- (3.67,3.77) -- (3.444,3.593) -- (3.221,3.412) -- (3.003,3.225) -- (2.79,3.033) -- (2.581,2.836) -- (2.376,2.634) -- (2.177,2.428) -- (1.982,2.217) -- (1.793,2.001) -- (1.608,1.781) -- (1.429,1.557) -- (1.256,1.329);
\draw[line width=0.5pt] (10.658,3.912) -- (10.472,3.75) -- (10.282,3.592) -- (10.089,3.438) -- (9.891,3.29) -- (9.691,3.146) -- (9.487,3.006) -- (9.28,2.872) -- (9.069,2.742) -- (8.856,2.617) -- (8.64,2.498) -- (8.421,2.383) -- (8.2,2.274) -- (7.976,2.17) -- (7.75,2.071);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.416,7.773) -- (11.394,7.853) -- (11.336,7.911) -- (11.256,7.933) -- (11.176,7.911) -- (11.117,7.853) -- (11.096,7.773) -- (11.117,7.693) -- (11.176,7.634) -- (11.256,7.613) -- (11.336,7.634) -- (11.394,7.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.662,7.656) -- (8.64,7.736) -- (8.582,7.795) -- (8.502,7.816) -- (8.422,7.795) -- (8.363,7.736) -- (8.342,7.656) -- (8.363,7.576) -- (8.422,7.517) -- (8.502,7.496) -- (8.582,7.517) -- (8.64,7.576) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,7.237) -- (4.759,7.317) -- (4.701,7.376) -- (4.621,7.397) -- (4.541,7.376) -- (4.482,7.317) -- (4.461,7.237) -- (4.482,7.157) -- (4.541,7.099) -- (4.621,7.077) -- (4.701,7.099) -- (4.759,7.157) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.508,7.018) -- (1.486,7.098) -- (1.428,7.156) -- (1.348,7.178) -- (1.268,7.156) -- (1.209,7.098) -- (1.188,7.018) -- (1.209,6.938) -- (1.268,6.879) -- (1.348,6.858) -- (1.428,6.879) -- (1.486,6.938) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.295,4.106) -- (4.273,4.186) -- (4.215,4.244) -- (4.135,4.266) -- (4.055,4.244) -- (3.996,4.186) -- (3.975,4.106) -- (3.996,4.026) -- (4.055,3.967) -- (4.135,3.946) -- (4.215,3.967) -- (4.273,4.026) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.818,3.912) -- (10.796,3.992) -- (10.738,4.05) -- (10.658,4.072) -- (10.578,4.05) -- (10.519,3.992) -- (10.498,3.912) -- (10.519,3.832) -- (10.578,3.773) -- (10.658,3.752) -- (10.738,3.773) -- (10.796,3.832) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.91,2.071) -- (7.888,2.151) -- (7.83,2.21) -- (7.75,2.231) -- (7.67,2.21) -- (7.611,2.151) -- (7.59,2.071) -- (7.611,1.991) -- (7.67,1.933) -- (7.75,1.911) -- (7.83,1.933) -- (7.888,1.991) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,1.329) -- (1.394,1.409) -- (1.336,1.467) -- (1.256,1.489) -- (1.176,1.467) -- (1.117,1.409) -- (1.096,1.329) -- (1.117,1.249) -- (1.176,1.19) -- (1.256,1.169) -- (1.336,1.19) -- (1.394,1.249) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.227,7.508) -- (10.182,7.678) -- (10.057,7.803) -- (9.887,7.848) -- (9.717,7.803) -- (9.593,7.678) -- (9.547,7.508) -- (9.593,7.338) -- (9.717,7.214) -- (9.887,7.168) -- (10.057,7.214) -- (10.182,7.338) -- cycle;
\node at (9.887,7.508) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.772,5.769) -- (11.727,5.939) -- (11.602,6.063) -- (11.432,6.109) -- (11.262,6.063) -- (11.138,5.939) -- (11.092,5.769) -- (11.138,5.599) -- (11.262,5.474) -- (11.432,5.429) -- (11.602,5.474) -- (11.727,5.599) -- cycle;
\node at (11.432,5.769) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.918,7.289) -- (6.873,7.459) -- (6.748,7.583) -- (6.578,7.629) -- (6.408,7.583) -- (6.284,7.459) -- (6.238,7.289) -- (6.284,7.119) -- (6.408,6.994) -- (6.578,6.949) -- (6.748,6.994) -- (6.873,7.119) -- cycle;
\node at (6.578,7.289) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.007,5.452) -- (6.961,5.622) -- (6.837,5.747) -- (6.667,5.792) -- (6.497,5.747) -- (6.372,5.622) -- (6.327,5.452) -- (6.372,5.282) -- (6.497,5.158) -- (6.667,5.112) -- (6.837,5.158) -- (6.961,5.282) -- cycle;
\node at (6.667,5.452) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.043,5.855) -- (9.997,6.025) -- (9.873,6.149) -- (9.703,6.195) -- (9.533,6.149) -- (9.408,6.025) -- (9.363,5.855) -- (9.408,5.685) -- (9.533,5.56) -- (9.703,5.515) -- (9.873,5.56) -- (9.997,5.685) -- cycle;
\node at (9.703,5.855) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.355,6.673) -- (3.309,6.843) -- (3.185,6.968) -- (3.015,7.013) -- (2.845,6.968) -- (2.72,6.843) -- (2.675,6.673) -- (2.72,6.503) -- (2.845,6.379) -- (3.015,6.333) -- (3.185,6.379) -- (3.309,6.503) -- cycle;
\node at (3.015,6.673) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,5.643) -- (4.859,5.813) -- (4.735,5.937) -- (4.565,5.983) -- (4.395,5.937) -- (4.27,5.813) -- (4.225,5.643) -- (4.27,5.473) -- (4.395,5.348) -- (4.565,5.303) -- (4.735,5.348) -- (4.859,5.473) -- cycle;
\node at (4.565,5.643) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.433,5.898) -- (3.387,6.068) -- (3.263,6.192) -- (3.093,6.238) -- (2.923,6.192) -- (2.798,6.068) -- (2.753,5.898) -- (2.798,5.728) -- (2.923,5.603) -- (3.093,5.558) -- (3.263,5.603) -- (3.387,5.728) -- cycle;
\node at (3.093,5.898) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.822,4.269) -- (8.777,4.439) -- (8.652,4.563) -- (8.482,4.609) -- (8.312,4.563) -- (8.188,4.439) -- (8.142,4.269) -- (8.188,4.099) -- (8.312,3.974) -- (8.482,3.929) -- (8.652,3.974) -- (8.777,4.099) -- cycle;
\node at (8.482,4.269) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.523,3.516) -- (6.478,3.686) -- (6.353,3.811) -- (6.183,3.856) -- (6.013,3.811) -- (5.889,3.686) -- (5.843,3.516) -- (5.889,3.346) -- (6.013,3.222) -- (6.183,3.176) -- (6.353,3.222) -- (6.478,3.346) -- cycle;
\node at (6.183,3.516) {\scalebox{1.417}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.143,2.606) -- (3.097,2.776) -- (2.973,2.9) -- (2.803,2.946) -- (2.633,2.9) -- (2.508,2.776) -- (2.463,2.606) -- (2.508,2.436) -- (2.633,2.311) -- (2.803,2.266) -- (2.973,2.311) -- (3.097,2.436) -- cycle;
\node at (2.803,2.606) {\scalebox{1.417}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.791,2.601) -- (9.745,2.771) -- (9.621,2.896) -- (9.451,2.941) -- (9.281,2.896) -- (9.156,2.771) -- (9.111,2.601) -- (9.156,2.431) -- (9.281,2.307) -- (9.451,2.261) -- (9.621,2.307) -- (9.745,2.431) -- cycle;
\node at (9.451,2.601) {\scalebox{1.417}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.835,3.806) -- (4.435,3.806) -- (4.435,4.406) -- (3.835,4.406) -- cycle;
\node at (4.135,4.106) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.819,1.435) -- (2.419,1.435) -- (2.419,2.035) -- (1.819,2.035) -- cycle;
\node at (2.119,1.735) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.586,5.21) -- (8.186,5.21) -- (8.186,5.81) -- (7.586,5.81) -- cycle;
\node at (7.886,5.51) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.337,6.266) -- (1.937,6.266) -- (1.937,6.866) -- (1.337,6.866) -- cycle;
\node at (1.637,6.566) {\scalebox{1.417}{\small d}};
\node at (11.806,8.059) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (8.921,8.113) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (4.249,7.734) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (0.77,7.242) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (3.581,3.827) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (11.256,3.748) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\node at (8.031,1.519) {\scalebox{1.417}{\small G}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.417}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.556,6.823) -- (12.556,7.923);
\draw[line width=0.5pt] (12.325,7.538) -- (12.556,7.923) -- (12.787,7.538);
\draw[line width=0.5pt] (12.253,7.373) -- (12.858,7.373);
\node at (12.556,8.308) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑦ rue Haute & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Pasteur & ⑧ rue Verte & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ boulevard du Parc & ⑨ rue du Moulin & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ allée des Peupliers & ⑩ rue du Four & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ rue de la Poste & ⑪ impasse Verte & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ rue du Puits & ⑫ chemin Creux & Ⓕ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6316, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.256,7.773) -- (11.059,7.795) -- (10.862,7.812) -- (10.665,7.824) -- (10.467,7.832) -- (10.27,7.836) -- (10.072,7.834) -- (9.874,7.828) -- (9.676,7.817) -- (9.479,7.802) -- (9.282,7.782) -- (9.086,7.757) -- (8.89,7.728) -- (8.695,7.694) -- (8.502,7.656);
\draw[line width=0.5pt] (11.256,7.773) -- (11.256,7.493) -- (11.249,7.213) -- (11.235,6.933) -- (11.215,6.653) -- (11.189,6.374) -- (11.156,6.095) -- (11.116,5.818) -- (11.07,5.541) -- (11.017,5.266) -- (10.958,4.991) -- (10.893,4.719) -- (10.821,4.448) -- (10.742,4.179) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.222,7.669) -- (7.942,7.675) -- (7.662,7.675) -- (7.382,7.667) -- (7.102,7.654) -- (6.823,7.634) -- (6.544,7.607) -- (6.266,7.573) -- (5.988,7.534) -- (5.712,7.487) -- (5.437,7.435) -- (5.163,7.375) -- (4.891,7.31) -- (4.621,7.237);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.231,7.357) -- (7.953,7.064) -- (7.669,6.777) -- (7.377,6.498) -- (7.079,6.225) -- (6.775,5.959) -- (6.465,5.701) -- (6.148,5.45) -- (5.826,5.206) -- (5.498,4.97) -- (5.165,4.742) -- (4.827,4.521) -- (4.483,4.309) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (8.502,7.656) -- (8.613,7.367) -- (8.732,7.081) -- (8.858,6.797) -- (8.99,6.517) -- (9.128,6.24) -- (9.274,5.966) -- (9.425,5.695) -- (9.583,5.428) -- (9.747,5.165) -- (9.918,4.906) -- (10.094,4.651) -- (10.276,4.4) -- (10.464,4.154) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,7.237) -- (4.391,7.186) -- (4.16,7.14) -- (3.929,7.1) -- (3.696,7.065) -- (3.462,7.035) -- (3.228,7.011) -- (2.993,6.993) -- (2.758,6.98) -- (2.523,6.972) -- (2.287,6.97) -- (2.052,6.974) -- (1.817,6.983) -- (1.582,6.997) -- (1.348,7.018);
\draw[line width=0.5pt] (4.621,7.237) -- (4.552,7.021) -- (4.488,6.803) -- (4.43,6.583) -- (4.377,6.362) -- (4.329,6.139) -- (4.286,5.916) -- (4.249,5.692) -- (4.216,5.466) -- (4.189,5.24) -- (4.168,5.014) -- (4.151,4.787) -- (4.141,4.56) -- (4.135,4.333) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (1.348,7.018) -- (1.577,6.842) -- (1.802,6.661) -- (2.023,6.474) -- (2.24,6.282) -- (2.452,6.085) -- (2.659,5.883) -- (2.861,5.677) -- (3.059,5.465) -- (3.252,5.249) -- (3.439,5.029) -- (3.621,4.804) -- (3.798,4.575) -- (3.969,4.342) -- (4.135,4.106);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (4.444,4.047) -- (4.755,3.995) -- (5.066,3.951) -- (5.379,3.914) -- (5.693,3.884) -- (6.007,3.862) -- (6.322,3.848) -- (6.637,3.84) -- (6.952,3.84) -- (7.267,3.848) -- (7.582,3.862) -- (7.896,3.885) -- (8.209,3.914) -- (8.522,3.951) -- (8.674,3.972) -- (8.826,3.989) -- (8.979,4.002) -- (9.132,4.012) -- (9.285,4.018) -- (9.438,4.021) -- (9.591,4.02) -- (9.745,4.015) -- (9.898,4.007) -- (10.051,3.995) -- (10.203,3.98) -- (10.355,3.961) -- (10.507,3.938) -- (10.658,3.912);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (4.413,4.001) -- (4.689,3.89) -- (4.962,3.772) -- (5.233,3.648) -- (5.501,3.517) -- (5.765,3.381) -- (6.026,3.238) -- (6.284,3.089) -- (6.538,2.933) -- (6.789,2.772) -- (7.035,2.606) -- (7.278,2.433) -- (7.516,2.255) -- (7.75,2.071);
\draw[line width=0.5pt] (4.135,4.106) -- (3.9,3.94) -- (3.67,3.77) -- (3.444,3.593) -- (3.221,3.412) -- (3.003,3.225) -- (2.79,3.033) -- (2.581,2.836) -- (2.376,2.634) -- (2.177,2.428) -- (1.982,2.217) -- (1.793,2.001) -- (1.608,1.781) -- (1.429,1.557) -- (1.256,1.329);
\draw[line width=0.5pt] (10.658,3.912) -- (10.472,3.75) -- (10.282,3.592) -- (10.089,3.438) -- (9.891,3.29) -- (9.691,3.146) -- (9.487,3.006) -- (9.28,2.872) -- (9.069,2.742) -- (8.856,2.617) -- (8.64,2.498) -- (8.421,2.383) -- (8.2,2.274) -- (7.976,2.17) -- (7.75,2.071);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.416,7.773) -- (11.394,7.853) -- (11.336,7.911) -- (11.256,7.933) -- (11.176,7.911) -- (11.117,7.853) -- (11.096,7.773) -- (11.117,7.693) -- (11.176,7.634) -- (11.256,7.613) -- (11.336,7.634) -- (11.394,7.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.662,7.656) -- (8.64,7.736) -- (8.582,7.795) -- (8.502,7.816) -- (8.422,7.795) -- (8.363,7.736) -- (8.342,7.656) -- (8.363,7.576) -- (8.422,7.517) -- (8.502,7.496) -- (8.582,7.517) -- (8.64,7.576) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.781,7.237) -- (4.759,7.317) -- (4.701,7.376) -- (4.621,7.397) -- (4.541,7.376) -- (4.482,7.317) -- (4.461,7.237) -- (4.482,7.157) -- (4.541,7.099) -- (4.621,7.077) -- (4.701,7.099) -- (4.759,7.157) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.508,7.018) -- (1.486,7.098) -- (1.428,7.156) -- (1.348,7.178) -- (1.268,7.156) -- (1.209,7.098) -- (1.188,7.018) -- (1.209,6.938) -- (1.268,6.879) -- (1.348,6.858) -- (1.428,6.879) -- (1.486,6.938) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.295,4.106) -- (4.273,4.186) -- (4.215,4.244) -- (4.135,4.266) -- (4.055,4.244) -- (3.996,4.186) -- (3.975,4.106) -- (3.996,4.026) -- (4.055,3.967) -- (4.135,3.946) -- (4.215,3.967) -- (4.273,4.026) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.818,3.912) -- (10.796,3.992) -- (10.738,4.05) -- (10.658,4.072) -- (10.578,4.05) -- (10.519,3.992) -- (10.498,3.912) -- (10.519,3.832) -- (10.578,3.773) -- (10.658,3.752) -- (10.738,3.773) -- (10.796,3.832) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.91,2.071) -- (7.888,2.151) -- (7.83,2.21) -- (7.75,2.231) -- (7.67,2.21) -- (7.611,2.151) -- (7.59,2.071) -- (7.611,1.991) -- (7.67,1.933) -- (7.75,1.911) -- (7.83,1.933) -- (7.888,1.991) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,1.329) -- (1.394,1.409) -- (1.336,1.467) -- (1.256,1.489) -- (1.176,1.467) -- (1.117,1.409) -- (1.096,1.329) -- (1.117,1.249) -- (1.176,1.19) -- (1.256,1.169) -- (1.336,1.19) -- (1.394,1.249) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.227,7.508) -- (10.182,7.678) -- (10.057,7.803) -- (9.887,7.848) -- (9.717,7.803) -- (9.593,7.678) -- (9.547,7.508) -- (9.593,7.338) -- (9.717,7.214) -- (9.887,7.168) -- (10.057,7.214) -- (10.182,7.338) -- cycle;
\node at (9.887,7.508) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.772,5.769) -- (11.727,5.939) -- (11.602,6.063) -- (11.432,6.109) -- (11.262,6.063) -- (11.138,5.939) -- (11.092,5.769) -- (11.138,5.599) -- (11.262,5.474) -- (11.432,5.429) -- (11.602,5.474) -- (11.727,5.599) -- cycle;
\node at (11.432,5.769) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.918,7.289) -- (6.873,7.459) -- (6.748,7.583) -- (6.578,7.629) -- (6.408,7.583) -- (6.284,7.459) -- (6.238,7.289) -- (6.284,7.119) -- (6.408,6.994) -- (6.578,6.949) -- (6.748,6.994) -- (6.873,7.119) -- cycle;
\node at (6.578,7.289) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.007,5.452) -- (6.961,5.622) -- (6.837,5.747) -- (6.667,5.792) -- (6.497,5.747) -- (6.372,5.622) -- (6.327,5.452) -- (6.372,5.282) -- (6.497,5.158) -- (6.667,5.112) -- (6.837,5.158) -- (6.961,5.282) -- cycle;
\node at (6.667,5.452) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.043,5.855) -- (9.997,6.025) -- (9.873,6.149) -- (9.703,6.195) -- (9.533,6.149) -- (9.408,6.025) -- (9.363,5.855) -- (9.408,5.685) -- (9.533,5.56) -- (9.703,5.515) -- (9.873,5.56) -- (9.997,5.685) -- cycle;
\node at (9.703,5.855) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.355,6.673) -- (3.309,6.843) -- (3.185,6.968) -- (3.015,7.013) -- (2.845,6.968) -- (2.72,6.843) -- (2.675,6.673) -- (2.72,6.503) -- (2.845,6.379) -- (3.015,6.333) -- (3.185,6.379) -- (3.309,6.503) -- cycle;
\node at (3.015,6.673) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.905,5.643) -- (4.859,5.813) -- (4.735,5.937) -- (4.565,5.983) -- (4.395,5.937) -- (4.27,5.813) -- (4.225,5.643) -- (4.27,5.473) -- (4.395,5.348) -- (4.565,5.303) -- (4.735,5.348) -- (4.859,5.473) -- cycle;
\node at (4.565,5.643) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.433,5.898) -- (3.387,6.068) -- (3.263,6.192) -- (3.093,6.238) -- (2.923,6.192) -- (2.798,6.068) -- (2.753,5.898) -- (2.798,5.728) -- (2.923,5.603) -- (3.093,5.558) -- (3.263,5.603) -- (3.387,5.728) -- cycle;
\node at (3.093,5.898) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.822,4.269) -- (8.777,4.439) -- (8.652,4.563) -- (8.482,4.609) -- (8.312,4.563) -- (8.188,4.439) -- (8.142,4.269) -- (8.188,4.099) -- (8.312,3.974) -- (8.482,3.929) -- (8.652,3.974) -- (8.777,4.099) -- cycle;
\node at (8.482,4.269) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.523,3.516) -- (6.478,3.686) -- (6.353,3.811) -- (6.183,3.856) -- (6.013,3.811) -- (5.889,3.686) -- (5.843,3.516) -- (5.889,3.346) -- (6.013,3.222) -- (6.183,3.176) -- (6.353,3.222) -- (6.478,3.346) -- cycle;
\node at (6.183,3.516) {\scalebox{1.583}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.143,2.606) -- (3.097,2.776) -- (2.973,2.9) -- (2.803,2.946) -- (2.633,2.9) -- (2.508,2.776) -- (2.463,2.606) -- (2.508,2.436) -- (2.633,2.311) -- (2.803,2.266) -- (2.973,2.311) -- (3.097,2.436) -- cycle;
\node at (2.803,2.606) {\scalebox{1.583}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.791,2.601) -- (9.745,2.771) -- (9.621,2.896) -- (9.451,2.941) -- (9.281,2.896) -- (9.156,2.771) -- (9.111,2.601) -- (9.156,2.431) -- (9.281,2.307) -- (9.451,2.261) -- (9.621,2.307) -- (9.745,2.431) -- cycle;
\node at (9.451,2.601) {\scalebox{1.583}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.835,3.806) -- (4.435,3.806) -- (4.435,4.406) -- (3.835,4.406) -- cycle;
\node at (4.135,4.106) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.819,1.435) -- (2.419,1.435) -- (2.419,2.035) -- (1.819,2.035) -- cycle;
\node at (2.119,1.735) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.586,5.21) -- (8.186,5.21) -- (8.186,5.81) -- (7.586,5.81) -- cycle;
\node at (7.886,5.51) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.337,6.266) -- (1.937,6.266) -- (1.937,6.866) -- (1.337,6.866) -- cycle;
\node at (1.637,6.566) {\scalebox{1.583}{\small d}};
\node at (11.806,8.059) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (8.921,8.113) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (4.249,7.734) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (0.77,7.242) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (3.581,3.827) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (11.256,3.748) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (8.031,1.519) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.583}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.556,6.823) -- (12.556,7.923);
\draw[line width=0.5pt] (12.325,7.538) -- (12.556,7.923) -- (12.787,7.538);
\draw[line width=0.5pt] (12.253,7.373) -- (12.858,7.373);
\node at (12.556,8.308) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 3 & 2 & 6 & 4 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{H} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{H} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{E}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{H}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}, prend le \textbf{boulevard du Parc ③} vers l'est et atteint Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ①}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse Verte ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
