\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 368}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=368}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0368}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7027, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.214,8.442) -- (10.996,8.442) -- (10.778,8.437) -- (10.561,8.426) -- (10.343,8.411) -- (10.126,8.39) -- (9.909,8.364) -- (9.693,8.333) -- (9.478,8.297) -- (9.263,8.256) -- (9.05,8.21) -- (8.838,8.159) -- (8.627,8.103) -- (8.417,8.042) -- (8.21,7.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.214,8.442) -- (11.254,8.236) -- (11.288,8.028) -- (11.318,7.82) -- (11.342,7.611) -- (11.362,7.402) -- (11.376,7.192) -- (11.386,6.981) -- (11.391,6.771) -- (11.391,6.56) -- (11.386,6.35) -- (11.376,6.14) -- (11.361,5.93) -- (11.341,5.721) -- (11.316,5.512);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (7.96,8.051) -- (7.709,8.12) -- (7.457,8.183) -- (7.203,8.24) -- (6.947,8.291) -- (6.691,8.336) -- (6.433,8.375) -- (6.175,8.408) -- (5.916,8.435) -- (5.656,8.456) -- (5.396,8.47) -- (5.136,8.479) -- (4.876,8.481) -- (4.615,8.477) -- (4.388,8.398) -- (4.159,8.323) -- (3.929,8.254) -- (3.696,8.191) -- (3.462,8.133) -- (3.227,8.08) -- (2.991,8.033) -- (2.754,7.992) -- (2.515,7.956) -- (2.277,7.926) -- (2.037,7.901) -- (1.797,7.882) -- (1.557,7.869) -- (1.316,7.861);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (8.457,7.836) -- (8.701,7.689) -- (8.941,7.537) -- (9.177,7.379) -- (9.41,7.216) -- (9.639,7.047) -- (9.864,6.872) -- (10.085,6.693) -- (10.302,6.508) -- (10.514,6.319) -- (10.722,6.124) -- (10.925,5.925) -- (11.123,5.721) -- (11.316,5.512);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (7.936,7.754) -- (7.667,7.526) -- (7.403,7.291) -- (7.145,7.05) -- (6.893,6.803) -- (6.647,6.55) -- (6.406,6.291) -- (6.172,6.027) -- (5.944,5.757) -- (5.722,5.482) -- (5.507,5.202) -- (5.299,4.917) -- (5.098,4.627) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (1.316,7.861) -- (1.609,7.65) -- (1.897,7.433) -- (2.179,7.208) -- (2.457,6.977) -- (2.728,6.739) -- (2.995,6.495) -- (3.255,6.245) -- (3.51,5.989) -- (3.758,5.727) -- (4.0,5.459) -- (4.236,5.185) -- (4.465,4.906) -- (4.688,4.622) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.065,5.512) -- (10.815,5.506) -- (10.564,5.494) -- (10.314,5.476) -- (10.064,5.452) -- (9.815,5.422) -- (9.566,5.387) -- (9.319,5.345) -- (9.072,5.298) -- (8.827,5.245) -- (8.583,5.186) -- (8.34,5.122) -- (8.1,5.052) -- (7.861,4.976) -- (7.658,4.898) -- (7.454,4.825) -- (7.248,4.757) -- (7.04,4.693) -- (6.831,4.635) -- (6.62,4.581) -- (6.408,4.533) -- (6.196,4.489) -- (5.982,4.45) -- (5.767,4.417) -- (5.552,4.388) -- (5.336,4.365) -- (5.12,4.346) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.147,5.197) -- (10.971,4.887) -- (10.787,4.58) -- (10.596,4.278) -- (10.398,3.981) -- (10.193,3.688) -- (9.981,3.4) -- (9.763,3.117) -- (9.538,2.839) -- (9.306,2.567) -- (9.068,2.3) -- (8.824,2.039) -- (8.574,1.784) -- (8.318,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.196,5.236) -- (11.083,4.957) -- (10.976,4.675) -- (10.876,4.391) -- (10.782,4.104) -- (10.696,3.816) -- (10.616,3.525) -- (10.543,3.233) -- (10.477,2.939) -- (10.417,2.643) -- (10.365,2.346) -- (10.32,2.049) -- (10.282,1.75) -- (10.251,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (4.903,4.333) -- (4.705,4.11) -- (4.501,3.892) -- (4.291,3.679) -- (4.077,3.471) -- (3.858,3.268) -- (3.634,3.07) -- (3.406,2.877) -- (3.173,2.69) -- (2.936,2.508) -- (2.695,2.332) -- (2.449,2.161) -- (2.2,1.997) -- (1.947,1.838) -- (1.69,1.686);
\draw[line width=0.5pt] (4.903,4.333) -- (5.115,4.097) -- (5.332,3.867) -- (5.554,3.641) -- (5.782,3.421) -- (6.015,3.206) -- (6.253,2.997) -- (6.495,2.793) -- (6.743,2.595) -- (6.995,2.403) -- (7.251,2.217) -- (7.512,2.037) -- (7.777,1.863) -- (8.046,1.696) -- (8.318,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (8.318,1.535) -- (8.456,1.55) -- (8.594,1.562) -- (8.733,1.571) -- (8.871,1.576) -- (9.01,1.578) -- (9.149,1.577) -- (9.288,1.572) -- (9.427,1.565) -- (9.565,1.554) -- (9.703,1.54) -- (9.841,1.522) -- (9.978,1.501) -- (10.115,1.478) -- (10.251,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.374,8.442) -- (11.353,8.522) -- (11.294,8.581) -- (11.214,8.602) -- (11.134,8.581) -- (11.076,8.522) -- (11.054,8.442) -- (11.076,8.362) -- (11.134,8.304) -- (11.214,8.282) -- (11.294,8.304) -- (11.353,8.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.37,7.976) -- (8.348,8.056) -- (8.29,8.115) -- (8.21,8.136) -- (8.13,8.115) -- (8.071,8.056) -- (8.05,7.976) -- (8.071,7.896) -- (8.13,7.838) -- (8.21,7.816) -- (8.29,7.838) -- (8.348,7.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.476,7.861) -- (1.455,7.941) -- (1.396,8.0) -- (1.316,8.021) -- (1.236,8.0) -- (1.177,7.941) -- (1.156,7.861) -- (1.177,7.781) -- (1.236,7.723) -- (1.316,7.701) -- (1.396,7.723) -- (1.455,7.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.476,5.512) -- (11.455,5.592) -- (11.396,5.651) -- (11.316,5.672) -- (11.236,5.651) -- (11.177,5.592) -- (11.156,5.512) -- (11.177,5.432) -- (11.236,5.373) -- (11.316,5.352) -- (11.396,5.373) -- (11.455,5.432) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.063,4.333) -- (5.042,4.413) -- (4.983,4.472) -- (4.903,4.493) -- (4.823,4.472) -- (4.765,4.413) -- (4.743,4.333) -- (4.765,4.253) -- (4.823,4.194) -- (4.903,4.173) -- (4.983,4.194) -- (5.042,4.253) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.85,1.686) -- (1.829,1.766) -- (1.77,1.824) -- (1.69,1.846) -- (1.61,1.824) -- (1.552,1.766) -- (1.53,1.686) -- (1.552,1.606) -- (1.61,1.547) -- (1.69,1.526) -- (1.77,1.547) -- (1.829,1.606) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.478,1.535) -- (8.457,1.615) -- (8.398,1.673) -- (8.318,1.695) -- (8.238,1.673) -- (8.18,1.615) -- (8.158,1.535) -- (8.18,1.455) -- (8.238,1.396) -- (8.318,1.375) -- (8.398,1.396) -- (8.457,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.411,1.45) -- (10.389,1.53) -- (10.331,1.589) -- (10.251,1.61) -- (10.171,1.589) -- (10.112,1.53) -- (10.091,1.45) -- (10.112,1.37) -- (10.171,1.312) -- (10.251,1.29) -- (10.331,1.312) -- (10.389,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,8.017) -- (10.036,8.187) -- (9.912,8.312) -- (9.742,8.357) -- (9.572,8.312) -- (9.447,8.187) -- (9.402,8.017) -- (9.447,7.847) -- (9.572,7.723) -- (9.742,7.677) -- (9.912,7.723) -- (10.036,7.847) -- cycle;
\node at (9.742,8.017) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.046,6.992) -- (12.0,7.162) -- (11.876,7.287) -- (11.706,7.332) -- (11.536,7.287) -- (11.411,7.162) -- (11.366,6.992) -- (11.411,6.822) -- (11.536,6.698) -- (11.706,6.652) -- (11.876,6.698) -- (12.0,6.822) -- cycle;
\node at (11.706,6.992) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.009,8.162) -- (4.964,8.332) -- (4.839,8.456) -- (4.669,8.502) -- (4.499,8.456) -- (4.375,8.332) -- (4.329,8.162) -- (4.375,7.992) -- (4.499,7.867) -- (4.669,7.822) -- (4.839,7.867) -- (4.964,7.992) -- cycle;
\node at (4.669,8.162) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.403,7.123) -- (10.358,7.293) -- (10.233,7.417) -- (10.063,7.463) -- (9.893,7.417) -- (9.769,7.293) -- (9.723,7.123) -- (9.769,6.953) -- (9.893,6.829) -- (10.063,6.783) -- (10.233,6.829) -- (10.358,6.953) -- cycle;
\node at (10.063,7.123) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.983,6.076) -- (6.938,6.246) -- (6.813,6.371) -- (6.643,6.416) -- (6.473,6.371) -- (6.349,6.246) -- (6.303,6.076) -- (6.349,5.906) -- (6.473,5.782) -- (6.643,5.736) -- (6.813,5.782) -- (6.938,5.906) -- cycle;
\node at (6.643,6.076) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.82,6.473) -- (3.774,6.643) -- (3.65,6.768) -- (3.48,6.813) -- (3.31,6.768) -- (3.185,6.643) -- (3.14,6.473) -- (3.185,6.303) -- (3.31,6.179) -- (3.48,6.133) -- (3.65,6.179) -- (3.774,6.303) -- cycle;
\node at (3.48,6.473) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.306,4.674) -- (8.26,4.844) -- (8.136,4.968) -- (7.966,5.014) -- (7.796,4.968) -- (7.671,4.844) -- (7.626,4.674) -- (7.671,4.504) -- (7.796,4.38) -- (7.966,4.334) -- (8.136,4.38) -- (8.26,4.504) -- cycle;
\node at (7.966,4.674) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.577,3.207) -- (10.531,3.377) -- (10.407,3.502) -- (10.237,3.547) -- (10.067,3.502) -- (9.942,3.377) -- (9.897,3.207) -- (9.942,3.037) -- (10.067,2.913) -- (10.237,2.867) -- (10.407,2.913) -- (10.531,3.037) -- cycle;
\node at (10.237,3.207) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.265,3.444) -- (11.22,3.614) -- (11.095,3.738) -- (10.925,3.784) -- (10.755,3.738) -- (10.631,3.614) -- (10.585,3.444) -- (10.631,3.274) -- (10.755,3.15) -- (10.925,3.104) -- (11.095,3.15) -- (11.22,3.274) -- cycle;
\node at (10.925,3.444) {\scalebox{1.423}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.949,2.63) -- (3.904,2.8) -- (3.779,2.924) -- (3.609,2.97) -- (3.439,2.924) -- (3.315,2.8) -- (3.269,2.63) -- (3.315,2.46) -- (3.439,2.336) -- (3.609,2.29) -- (3.779,2.336) -- (3.904,2.46) -- cycle;
\node at (3.609,2.63) {\scalebox{1.423}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,3.041) -- (6.993,3.211) -- (6.868,3.335) -- (6.698,3.381) -- (6.528,3.335) -- (6.404,3.211) -- (6.358,3.041) -- (6.404,2.871) -- (6.528,2.746) -- (6.698,2.701) -- (6.868,2.746) -- (6.993,2.871) -- cycle;
\node at (6.698,3.041) {\scalebox{1.423}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.642,1.892) -- (9.596,2.062) -- (9.472,2.187) -- (9.302,2.232) -- (9.132,2.187) -- (9.007,2.062) -- (8.962,1.892) -- (9.007,1.722) -- (9.132,1.598) -- (9.302,1.552) -- (9.472,1.598) -- (9.596,1.722) -- cycle;
\node at (9.302,1.892) {\scalebox{1.423}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.603,4.033) -- (5.203,4.033) -- (5.203,4.633) -- (4.603,4.633) -- cycle;
\node at (4.903,4.333) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.725,8.498) -- (4.325,8.498) -- (4.325,9.098) -- (3.725,9.098) -- cycle;
\node at (4.025,8.798) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.339,1.838) -- (6.939,1.838) -- (6.939,2.438) -- (6.339,2.438) -- cycle;
\node at (6.639,2.138) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\node at (11.679,8.853) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (8.408,8.564) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (0.765,8.145) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (11.928,5.609) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (4.299,4.194) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (1.154,1.375) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\node at (8.524,0.95) {\scalebox{1.423}{\small G}};
\node at (10.668,0.992) {\scalebox{1.423}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.616,7.492) -- (12.616,8.592);
\draw[line width=0.5pt] (12.385,8.207) -- (12.616,8.592) -- (12.847,8.207);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,8.042) -- (12.918,8.042);
\node at (12.616,8.977) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑦ rue de l'Église & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑧ rue du Stade & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑨ chemin des Vignes & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue du Pont & ⑩ impasse du Puits & Ⓓ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑪ rue des Lilas & Ⓔ Rond-point du Stade &  \\ \hline
⑥ allée des Peupliers & ⑫ rue de la Mairie & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6288, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.214,8.442) -- (10.996,8.442) -- (10.778,8.437) -- (10.561,8.426) -- (10.343,8.411) -- (10.126,8.39) -- (9.909,8.364) -- (9.693,8.333) -- (9.478,8.297) -- (9.263,8.256) -- (9.05,8.21) -- (8.838,8.159) -- (8.627,8.103) -- (8.417,8.042) -- (8.21,7.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.214,8.442) -- (11.254,8.236) -- (11.288,8.028) -- (11.318,7.82) -- (11.342,7.611) -- (11.362,7.402) -- (11.376,7.192) -- (11.386,6.981) -- (11.391,6.771) -- (11.391,6.56) -- (11.386,6.35) -- (11.376,6.14) -- (11.361,5.93) -- (11.341,5.721) -- (11.316,5.512);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (7.96,8.051) -- (7.709,8.12) -- (7.457,8.183) -- (7.203,8.24) -- (6.947,8.291) -- (6.691,8.336) -- (6.433,8.375) -- (6.175,8.408) -- (5.916,8.435) -- (5.656,8.456) -- (5.396,8.47) -- (5.136,8.479) -- (4.876,8.481) -- (4.615,8.477) -- (4.388,8.398) -- (4.159,8.323) -- (3.929,8.254) -- (3.696,8.191) -- (3.462,8.133) -- (3.227,8.08) -- (2.991,8.033) -- (2.754,7.992) -- (2.515,7.956) -- (2.277,7.926) -- (2.037,7.901) -- (1.797,7.882) -- (1.557,7.869) -- (1.316,7.861);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (8.457,7.836) -- (8.701,7.689) -- (8.941,7.537) -- (9.177,7.379) -- (9.41,7.216) -- (9.639,7.047) -- (9.864,6.872) -- (10.085,6.693) -- (10.302,6.508) -- (10.514,6.319) -- (10.722,6.124) -- (10.925,5.925) -- (11.123,5.721) -- (11.316,5.512);
\draw[line width=0.5pt] (8.21,7.976) -- (7.936,7.754) -- (7.667,7.526) -- (7.403,7.291) -- (7.145,7.05) -- (6.893,6.803) -- (6.647,6.55) -- (6.406,6.291) -- (6.172,6.027) -- (5.944,5.757) -- (5.722,5.482) -- (5.507,5.202) -- (5.299,4.917) -- (5.098,4.627) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (1.316,7.861) -- (1.609,7.65) -- (1.897,7.433) -- (2.179,7.208) -- (2.457,6.977) -- (2.728,6.739) -- (2.995,6.495) -- (3.255,6.245) -- (3.51,5.989) -- (3.758,5.727) -- (4.0,5.459) -- (4.236,5.185) -- (4.465,4.906) -- (4.688,4.622) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.065,5.512) -- (10.815,5.506) -- (10.564,5.494) -- (10.314,5.476) -- (10.064,5.452) -- (9.815,5.422) -- (9.566,5.387) -- (9.319,5.345) -- (9.072,5.298) -- (8.827,5.245) -- (8.583,5.186) -- (8.34,5.122) -- (8.1,5.052) -- (7.861,4.976) -- (7.658,4.898) -- (7.454,4.825) -- (7.248,4.757) -- (7.04,4.693) -- (6.831,4.635) -- (6.62,4.581) -- (6.408,4.533) -- (6.196,4.489) -- (5.982,4.45) -- (5.767,4.417) -- (5.552,4.388) -- (5.336,4.365) -- (5.12,4.346) -- (4.903,4.333);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.147,5.197) -- (10.971,4.887) -- (10.787,4.58) -- (10.596,4.278) -- (10.398,3.981) -- (10.193,3.688) -- (9.981,3.4) -- (9.763,3.117) -- (9.538,2.839) -- (9.306,2.567) -- (9.068,2.3) -- (8.824,2.039) -- (8.574,1.784) -- (8.318,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (11.316,5.512) -- (11.196,5.236) -- (11.083,4.957) -- (10.976,4.675) -- (10.876,4.391) -- (10.782,4.104) -- (10.696,3.816) -- (10.616,3.525) -- (10.543,3.233) -- (10.477,2.939) -- (10.417,2.643) -- (10.365,2.346) -- (10.32,2.049) -- (10.282,1.75) -- (10.251,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (4.903,4.333) -- (4.705,4.11) -- (4.501,3.892) -- (4.291,3.679) -- (4.077,3.471) -- (3.858,3.268) -- (3.634,3.07) -- (3.406,2.877) -- (3.173,2.69) -- (2.936,2.508) -- (2.695,2.332) -- (2.449,2.161) -- (2.2,1.997) -- (1.947,1.838) -- (1.69,1.686);
\draw[line width=0.5pt] (4.903,4.333) -- (5.115,4.097) -- (5.332,3.867) -- (5.554,3.641) -- (5.782,3.421) -- (6.015,3.206) -- (6.253,2.997) -- (6.495,2.793) -- (6.743,2.595) -- (6.995,2.403) -- (7.251,2.217) -- (7.512,2.037) -- (7.777,1.863) -- (8.046,1.696) -- (8.318,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (8.318,1.535) -- (8.456,1.55) -- (8.594,1.562) -- (8.733,1.571) -- (8.871,1.576) -- (9.01,1.578) -- (9.149,1.577) -- (9.288,1.572) -- (9.427,1.565) -- (9.565,1.554) -- (9.703,1.54) -- (9.841,1.522) -- (9.978,1.501) -- (10.115,1.478) -- (10.251,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.374,8.442) -- (11.353,8.522) -- (11.294,8.581) -- (11.214,8.602) -- (11.134,8.581) -- (11.076,8.522) -- (11.054,8.442) -- (11.076,8.362) -- (11.134,8.304) -- (11.214,8.282) -- (11.294,8.304) -- (11.353,8.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.37,7.976) -- (8.348,8.056) -- (8.29,8.115) -- (8.21,8.136) -- (8.13,8.115) -- (8.071,8.056) -- (8.05,7.976) -- (8.071,7.896) -- (8.13,7.838) -- (8.21,7.816) -- (8.29,7.838) -- (8.348,7.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.476,7.861) -- (1.455,7.941) -- (1.396,8.0) -- (1.316,8.021) -- (1.236,8.0) -- (1.177,7.941) -- (1.156,7.861) -- (1.177,7.781) -- (1.236,7.723) -- (1.316,7.701) -- (1.396,7.723) -- (1.455,7.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.476,5.512) -- (11.455,5.592) -- (11.396,5.651) -- (11.316,5.672) -- (11.236,5.651) -- (11.177,5.592) -- (11.156,5.512) -- (11.177,5.432) -- (11.236,5.373) -- (11.316,5.352) -- (11.396,5.373) -- (11.455,5.432) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.063,4.333) -- (5.042,4.413) -- (4.983,4.472) -- (4.903,4.493) -- (4.823,4.472) -- (4.765,4.413) -- (4.743,4.333) -- (4.765,4.253) -- (4.823,4.194) -- (4.903,4.173) -- (4.983,4.194) -- (5.042,4.253) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.85,1.686) -- (1.829,1.766) -- (1.77,1.824) -- (1.69,1.846) -- (1.61,1.824) -- (1.552,1.766) -- (1.53,1.686) -- (1.552,1.606) -- (1.61,1.547) -- (1.69,1.526) -- (1.77,1.547) -- (1.829,1.606) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.478,1.535) -- (8.457,1.615) -- (8.398,1.673) -- (8.318,1.695) -- (8.238,1.673) -- (8.18,1.615) -- (8.158,1.535) -- (8.18,1.455) -- (8.238,1.396) -- (8.318,1.375) -- (8.398,1.396) -- (8.457,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.411,1.45) -- (10.389,1.53) -- (10.331,1.589) -- (10.251,1.61) -- (10.171,1.589) -- (10.112,1.53) -- (10.091,1.45) -- (10.112,1.37) -- (10.171,1.312) -- (10.251,1.29) -- (10.331,1.312) -- (10.389,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,8.017) -- (10.036,8.187) -- (9.912,8.312) -- (9.742,8.357) -- (9.572,8.312) -- (9.447,8.187) -- (9.402,8.017) -- (9.447,7.847) -- (9.572,7.723) -- (9.742,7.677) -- (9.912,7.723) -- (10.036,7.847) -- cycle;
\node at (9.742,8.017) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.046,6.992) -- (12.0,7.162) -- (11.876,7.287) -- (11.706,7.332) -- (11.536,7.287) -- (11.411,7.162) -- (11.366,6.992) -- (11.411,6.822) -- (11.536,6.698) -- (11.706,6.652) -- (11.876,6.698) -- (12.0,6.822) -- cycle;
\node at (11.706,6.992) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.009,8.162) -- (4.964,8.332) -- (4.839,8.456) -- (4.669,8.502) -- (4.499,8.456) -- (4.375,8.332) -- (4.329,8.162) -- (4.375,7.992) -- (4.499,7.867) -- (4.669,7.822) -- (4.839,7.867) -- (4.964,7.992) -- cycle;
\node at (4.669,8.162) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.403,7.123) -- (10.358,7.293) -- (10.233,7.417) -- (10.063,7.463) -- (9.893,7.417) -- (9.769,7.293) -- (9.723,7.123) -- (9.769,6.953) -- (9.893,6.829) -- (10.063,6.783) -- (10.233,6.829) -- (10.358,6.953) -- cycle;
\node at (10.063,7.123) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.983,6.076) -- (6.938,6.246) -- (6.813,6.371) -- (6.643,6.416) -- (6.473,6.371) -- (6.349,6.246) -- (6.303,6.076) -- (6.349,5.906) -- (6.473,5.782) -- (6.643,5.736) -- (6.813,5.782) -- (6.938,5.906) -- cycle;
\node at (6.643,6.076) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.82,6.473) -- (3.774,6.643) -- (3.65,6.768) -- (3.48,6.813) -- (3.31,6.768) -- (3.185,6.643) -- (3.14,6.473) -- (3.185,6.303) -- (3.31,6.179) -- (3.48,6.133) -- (3.65,6.179) -- (3.774,6.303) -- cycle;
\node at (3.48,6.473) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.306,4.674) -- (8.26,4.844) -- (8.136,4.968) -- (7.966,5.014) -- (7.796,4.968) -- (7.671,4.844) -- (7.626,4.674) -- (7.671,4.504) -- (7.796,4.38) -- (7.966,4.334) -- (8.136,4.38) -- (8.26,4.504) -- cycle;
\node at (7.966,4.674) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.577,3.207) -- (10.531,3.377) -- (10.407,3.502) -- (10.237,3.547) -- (10.067,3.502) -- (9.942,3.377) -- (9.897,3.207) -- (9.942,3.037) -- (10.067,2.913) -- (10.237,2.867) -- (10.407,2.913) -- (10.531,3.037) -- cycle;
\node at (10.237,3.207) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.265,3.444) -- (11.22,3.614) -- (11.095,3.738) -- (10.925,3.784) -- (10.755,3.738) -- (10.631,3.614) -- (10.585,3.444) -- (10.631,3.274) -- (10.755,3.15) -- (10.925,3.104) -- (11.095,3.15) -- (11.22,3.274) -- cycle;
\node at (10.925,3.444) {\scalebox{1.59}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.949,2.63) -- (3.904,2.8) -- (3.779,2.924) -- (3.609,2.97) -- (3.439,2.924) -- (3.315,2.8) -- (3.269,2.63) -- (3.315,2.46) -- (3.439,2.336) -- (3.609,2.29) -- (3.779,2.336) -- (3.904,2.46) -- cycle;
\node at (3.609,2.63) {\scalebox{1.59}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,3.041) -- (6.993,3.211) -- (6.868,3.335) -- (6.698,3.381) -- (6.528,3.335) -- (6.404,3.211) -- (6.358,3.041) -- (6.404,2.871) -- (6.528,2.746) -- (6.698,2.701) -- (6.868,2.746) -- (6.993,2.871) -- cycle;
\node at (6.698,3.041) {\scalebox{1.59}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.642,1.892) -- (9.596,2.062) -- (9.472,2.187) -- (9.302,2.232) -- (9.132,2.187) -- (9.007,2.062) -- (8.962,1.892) -- (9.007,1.722) -- (9.132,1.598) -- (9.302,1.552) -- (9.472,1.598) -- (9.596,1.722) -- cycle;
\node at (9.302,1.892) {\scalebox{1.59}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.603,4.033) -- (5.203,4.033) -- (5.203,4.633) -- (4.603,4.633) -- cycle;
\node at (4.903,4.333) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.725,8.498) -- (4.325,8.498) -- (4.325,9.098) -- (3.725,9.098) -- cycle;
\node at (4.025,8.798) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.339,1.838) -- (6.939,1.838) -- (6.939,2.438) -- (6.339,2.438) -- cycle;
\node at (6.639,2.138) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\node at (11.679,8.853) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (8.408,8.564) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (0.765,8.145) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (11.928,5.609) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (4.299,4.194) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (1.154,1.375) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\node at (8.524,0.95) {\scalebox{1.59}{\small G}};
\node at (10.668,0.992) {\scalebox{1.59}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.616,7.492) -- (12.616,8.592);
\draw[line width=0.5pt] (12.385,8.207) -- (12.616,8.592) -- (12.847,8.207);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,8.042) -- (12.918,8.042);
\node at (12.616,8.977) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 5 & 5 & 1 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (D, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
