\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 370}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=370}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0370}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7018, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.663,7.189) -- (7.482,7.21) -- (7.3,7.228) -- (7.117,7.241) -- (6.934,7.249) -- (6.751,7.254) -- (6.568,7.254) -- (6.385,7.25) -- (6.202,7.241) -- (6.019,7.228) -- (5.837,7.211) -- (5.655,7.19) -- (5.474,7.164) -- (5.293,7.134) -- (5.114,7.1);
\draw[line width=0.5pt] (7.663,7.189) -- (7.705,7.031) -- (7.743,6.871) -- (7.777,6.711) -- (7.807,6.55) -- (7.834,6.388) -- (7.857,6.226) -- (7.876,6.063) -- (7.891,5.9) -- (7.902,5.736) -- (7.909,5.573) -- (7.913,5.409) -- (7.913,5.245) -- (7.909,5.081) -- (7.901,4.918);
\draw[line width=0.5pt] (5.114,7.1) -- (5.021,6.954) -- (4.932,6.806) -- (4.846,6.656) -- (4.764,6.503) -- (4.685,6.349) -- (4.611,6.193) -- (4.539,6.035) -- (4.472,5.876) -- (4.408,5.715) -- (4.348,5.553) -- (4.292,5.389) -- (4.24,5.224) -- (4.192,5.058) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.334,6.792) -- (1.554,6.688) -- (1.771,6.579) -- (1.987,6.465) -- (2.199,6.346) -- (2.409,6.221) -- (2.615,6.092) -- (2.819,5.958) -- (3.019,5.819) -- (3.216,5.676) -- (3.41,5.528) -- (3.6,5.375) -- (3.786,5.218) -- (3.969,5.057) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.334,6.792) -- (1.319,6.61) -- (1.308,6.427) -- (1.302,6.244) -- (1.3,6.061) -- (1.303,5.878) -- (1.309,5.695) -- (1.32,5.513) -- (1.336,5.33) -- (1.355,5.148) -- (1.379,4.967) -- (1.407,4.786) -- (1.44,4.606) -- (1.476,4.426) -- (1.517,4.248) -- (1.602,4.092) -- (1.682,3.935) -- (1.759,3.775) -- (1.832,3.614) -- (1.902,3.451) -- (1.967,3.287) -- (2.029,3.121) -- (2.087,2.953) -- (2.14,2.784) -- (2.19,2.614) -- (2.236,2.443) -- (2.278,2.271) -- (2.315,2.098) -- (2.349,1.925);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (7.635,4.875) -- (7.368,4.838) -- (7.101,4.808) -- (6.832,4.784) -- (6.564,4.766) -- (6.294,4.755) -- (6.025,4.75) -- (5.756,4.751) -- (5.486,4.759) -- (5.217,4.772) -- (4.949,4.793) -- (4.681,4.819) -- (4.414,4.852) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (8.133,4.813) -- (8.369,4.713) -- (8.606,4.619) -- (8.846,4.531) -- (9.088,4.448) -- (9.332,4.371) -- (9.578,4.3) -- (9.825,4.234) -- (10.074,4.175) -- (10.324,4.121) -- (10.575,4.073) -- (10.827,4.031) -- (11.08,3.995) -- (11.334,3.965);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (7.928,4.674) -- (7.95,4.429) -- (7.965,4.183) -- (7.975,3.938) -- (7.98,3.692) -- (7.978,3.446) -- (7.971,3.2) -- (7.958,2.954) -- (7.939,2.709) -- (7.914,2.464) -- (7.884,2.22) -- (7.848,1.977) -- (7.806,1.734) -- (7.758,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (4.147,4.891) -- (3.988,4.701) -- (3.832,4.506) -- (3.681,4.308) -- (3.535,4.107) -- (3.394,3.902) -- (3.257,3.694) -- (3.126,3.482) -- (2.999,3.268) -- (2.878,3.05) -- (2.761,2.83) -- (2.65,2.608) -- (2.544,2.382) -- (2.444,2.155) -- (2.349,1.925);
\draw[line width=0.5pt] (11.334,3.965) -- (11.107,3.751) -- (10.876,3.542) -- (10.64,3.339) -- (10.398,3.141) -- (10.153,2.949) -- (9.902,2.762) -- (9.648,2.582) -- (9.389,2.407) -- (9.127,2.239) -- (8.86,2.077) -- (8.59,1.921) -- (8.316,1.772) -- (8.039,1.629) -- (7.758,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.823,7.189) -- (7.802,7.269) -- (7.743,7.327) -- (7.663,7.349) -- (7.583,7.327) -- (7.525,7.269) -- (7.503,7.189) -- (7.525,7.109) -- (7.583,7.05) -- (7.663,7.029) -- (7.743,7.05) -- (7.802,7.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.274,7.1) -- (5.252,7.18) -- (5.194,7.239) -- (5.114,7.26) -- (5.034,7.239) -- (4.975,7.18) -- (4.954,7.1) -- (4.975,7.02) -- (5.034,6.961) -- (5.114,6.94) -- (5.194,6.961) -- (5.252,7.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.494,6.792) -- (1.472,6.872) -- (1.414,6.931) -- (1.334,6.952) -- (1.254,6.931) -- (1.195,6.872) -- (1.174,6.792) -- (1.195,6.712) -- (1.254,6.654) -- (1.334,6.632) -- (1.414,6.654) -- (1.472,6.712) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.061,4.918) -- (8.039,4.998) -- (7.981,5.056) -- (7.901,5.078) -- (7.821,5.056) -- (7.762,4.998) -- (7.741,4.918) -- (7.762,4.838) -- (7.821,4.779) -- (7.901,4.758) -- (7.981,4.779) -- (8.039,4.838) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.307,4.891) -- (4.286,4.971) -- (4.227,5.03) -- (4.147,5.051) -- (4.067,5.03) -- (4.009,4.971) -- (3.987,4.891) -- (4.009,4.811) -- (4.067,4.753) -- (4.147,4.731) -- (4.227,4.753) -- (4.286,4.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.494,3.965) -- (11.472,4.045) -- (11.414,4.104) -- (11.334,4.125) -- (11.254,4.104) -- (11.195,4.045) -- (11.174,3.965) -- (11.195,3.885) -- (11.254,3.827) -- (11.334,3.805) -- (11.414,3.827) -- (11.472,3.885) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.509,1.925) -- (2.488,2.005) -- (2.429,2.063) -- (2.349,2.085) -- (2.269,2.063) -- (2.21,2.005) -- (2.189,1.925) -- (2.21,1.845) -- (2.269,1.786) -- (2.349,1.765) -- (2.429,1.786) -- (2.488,1.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.918,1.493) -- (7.897,1.573) -- (7.838,1.632) -- (7.758,1.653) -- (7.678,1.632) -- (7.62,1.573) -- (7.598,1.493) -- (7.62,1.413) -- (7.678,1.355) -- (7.758,1.333) -- (7.838,1.355) -- (7.897,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.736,6.93) -- (6.69,7.1) -- (6.566,7.224) -- (6.396,7.27) -- (6.226,7.224) -- (6.102,7.1) -- (6.056,6.93) -- (6.102,6.76) -- (6.226,6.635) -- (6.396,6.59) -- (6.566,6.635) -- (6.69,6.76) -- cycle;
\node at (6.396,6.93) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.534,6.096) -- (8.488,6.266) -- (8.364,6.391) -- (8.194,6.436) -- (8.024,6.391) -- (7.899,6.266) -- (7.854,6.096) -- (7.899,5.926) -- (8.024,5.802) -- (8.194,5.756) -- (8.364,5.802) -- (8.488,5.926) -- cycle;
\node at (8.194,6.096) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.173,5.907) -- (5.127,6.077) -- (5.003,6.202) -- (4.833,6.247) -- (4.663,6.202) -- (4.538,6.077) -- (4.493,5.907) -- (4.538,5.737) -- (4.663,5.613) -- (4.833,5.567) -- (5.003,5.613) -- (5.127,5.737) -- cycle;
\node at (4.833,5.907) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.338,6.223) -- (3.292,6.393) -- (3.168,6.518) -- (2.998,6.563) -- (2.828,6.518) -- (2.704,6.393) -- (2.658,6.223) -- (2.704,6.053) -- (2.828,5.929) -- (2.998,5.883) -- (3.168,5.929) -- (3.292,6.053) -- cycle;
\node at (2.998,6.223) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.157,4.36) -- (2.111,4.53) -- (1.987,4.655) -- (1.817,4.7) -- (1.647,4.655) -- (1.522,4.53) -- (1.477,4.36) -- (1.522,4.19) -- (1.647,4.066) -- (1.817,4.02) -- (1.987,4.066) -- (2.111,4.19) -- cycle;
\node at (1.817,4.36) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.367,4.43) -- (6.322,4.6) -- (6.197,4.724) -- (6.027,4.77) -- (5.857,4.724) -- (5.733,4.6) -- (5.687,4.43) -- (5.733,4.26) -- (5.857,4.135) -- (6.027,4.09) -- (6.197,4.135) -- (6.322,4.26) -- cycle;
\node at (6.027,4.43) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.003,4.608) -- (9.958,4.778) -- (9.833,4.903) -- (9.663,4.948) -- (9.493,4.903) -- (9.369,4.778) -- (9.323,4.608) -- (9.369,4.438) -- (9.493,4.314) -- (9.663,4.268) -- (9.833,4.314) -- (9.958,4.438) -- cycle;
\node at (9.663,4.608) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.63,3.186) -- (8.585,3.356) -- (8.46,3.481) -- (8.29,3.526) -- (8.12,3.481) -- (7.996,3.356) -- (7.95,3.186) -- (7.996,3.016) -- (8.12,2.892) -- (8.29,2.846) -- (8.46,2.892) -- (8.585,3.016) -- cycle;
\node at (8.29,3.186) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.739,3.316) -- (3.694,3.486) -- (3.569,3.611) -- (3.399,3.656) -- (3.229,3.611) -- (3.105,3.486) -- (3.059,3.316) -- (3.105,3.146) -- (3.229,3.022) -- (3.399,2.976) -- (3.569,3.022) -- (3.694,3.146) -- cycle;
\node at (3.399,3.316) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.17,2.319) -- (10.124,2.489) -- (10.0,2.613) -- (9.83,2.659) -- (9.66,2.613) -- (9.535,2.489) -- (9.49,2.319) -- (9.535,2.149) -- (9.66,2.024) -- (9.83,1.979) -- (10.0,2.024) -- (10.124,2.149) -- cycle;
\node at (9.83,2.319) {\scalebox{1.425}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.601,4.618) -- (8.201,4.618) -- (8.201,5.218) -- (7.601,5.218) -- cycle;
\node at (7.901,4.918) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.358,7.47) -- (6.958,7.47) -- (6.958,8.07) -- (6.358,8.07) -- cycle;
\node at (6.658,7.77) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.09,6.343) -- (9.69,6.343) -- (9.69,6.943) -- (9.09,6.943) -- cycle;
\node at (9.39,6.643) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.525,4.543) -- (11.125,4.543) -- (11.125,5.143) -- (10.525,5.143) -- cycle;
\node at (10.825,4.843) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.384,2.282) -- (2.984,2.282) -- (2.984,2.882) -- (2.384,2.882) -- cycle;
\node at (2.684,2.582) {\scalebox{1.425}{\small e}};
\node at (8.023,7.694) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (4.903,7.683) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (0.765,7.04) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (8.519,4.96) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (3.529,4.928) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (11.946,3.872) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\node at (1.863,1.539) {\scalebox{1.425}{\small G}};
\node at (8.057,0.95) {\scalebox{1.425}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.634,6.239) -- (12.634,7.339);
\draw[line width=0.5pt] (12.403,6.954) -- (12.634,7.339) -- (12.865,6.954);
\draw[line width=0.5pt] (12.331,6.789) -- (12.936,6.789);
\node at (12.634,7.724) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Four & ⑥ chemin du Lavoir & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑦ rue des Écoles & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑧ rue Pasteur & Ⓒ Coin du Lavoir & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑨ venelle du Chat & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs & ⑩ rue des Jardins & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} le marché couvert \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.628, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.663,7.189) -- (7.482,7.21) -- (7.3,7.228) -- (7.117,7.241) -- (6.934,7.249) -- (6.751,7.254) -- (6.568,7.254) -- (6.385,7.25) -- (6.202,7.241) -- (6.019,7.228) -- (5.837,7.211) -- (5.655,7.19) -- (5.474,7.164) -- (5.293,7.134) -- (5.114,7.1);
\draw[line width=0.5pt] (7.663,7.189) -- (7.705,7.031) -- (7.743,6.871) -- (7.777,6.711) -- (7.807,6.55) -- (7.834,6.388) -- (7.857,6.226) -- (7.876,6.063) -- (7.891,5.9) -- (7.902,5.736) -- (7.909,5.573) -- (7.913,5.409) -- (7.913,5.245) -- (7.909,5.081) -- (7.901,4.918);
\draw[line width=0.5pt] (5.114,7.1) -- (5.021,6.954) -- (4.932,6.806) -- (4.846,6.656) -- (4.764,6.503) -- (4.685,6.349) -- (4.611,6.193) -- (4.539,6.035) -- (4.472,5.876) -- (4.408,5.715) -- (4.348,5.553) -- (4.292,5.389) -- (4.24,5.224) -- (4.192,5.058) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.334,6.792) -- (1.554,6.688) -- (1.771,6.579) -- (1.987,6.465) -- (2.199,6.346) -- (2.409,6.221) -- (2.615,6.092) -- (2.819,5.958) -- (3.019,5.819) -- (3.216,5.676) -- (3.41,5.528) -- (3.6,5.375) -- (3.786,5.218) -- (3.969,5.057) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (1.334,6.792) -- (1.319,6.61) -- (1.308,6.427) -- (1.302,6.244) -- (1.3,6.061) -- (1.303,5.878) -- (1.309,5.695) -- (1.32,5.513) -- (1.336,5.33) -- (1.355,5.148) -- (1.379,4.967) -- (1.407,4.786) -- (1.44,4.606) -- (1.476,4.426) -- (1.517,4.248) -- (1.602,4.092) -- (1.682,3.935) -- (1.759,3.775) -- (1.832,3.614) -- (1.902,3.451) -- (1.967,3.287) -- (2.029,3.121) -- (2.087,2.953) -- (2.14,2.784) -- (2.19,2.614) -- (2.236,2.443) -- (2.278,2.271) -- (2.315,2.098) -- (2.349,1.925);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (7.635,4.875) -- (7.368,4.838) -- (7.101,4.808) -- (6.832,4.784) -- (6.564,4.766) -- (6.294,4.755) -- (6.025,4.75) -- (5.756,4.751) -- (5.486,4.759) -- (5.217,4.772) -- (4.949,4.793) -- (4.681,4.819) -- (4.414,4.852) -- (4.147,4.891);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (8.133,4.813) -- (8.369,4.713) -- (8.606,4.619) -- (8.846,4.531) -- (9.088,4.448) -- (9.332,4.371) -- (9.578,4.3) -- (9.825,4.234) -- (10.074,4.175) -- (10.324,4.121) -- (10.575,4.073) -- (10.827,4.031) -- (11.08,3.995) -- (11.334,3.965);
\draw[line width=0.5pt] (7.901,4.918) -- (7.928,4.674) -- (7.95,4.429) -- (7.965,4.183) -- (7.975,3.938) -- (7.98,3.692) -- (7.978,3.446) -- (7.971,3.2) -- (7.958,2.954) -- (7.939,2.709) -- (7.914,2.464) -- (7.884,2.22) -- (7.848,1.977) -- (7.806,1.734) -- (7.758,1.493);
\draw[line width=0.5pt] (4.147,4.891) -- (3.988,4.701) -- (3.832,4.506) -- (3.681,4.308) -- (3.535,4.107) -- (3.394,3.902) -- (3.257,3.694) -- (3.126,3.482) -- (2.999,3.268) -- (2.878,3.05) -- (2.761,2.83) -- (2.65,2.608) -- (2.544,2.382) -- (2.444,2.155) -- (2.349,1.925);
\draw[line width=0.5pt] (11.334,3.965) -- (11.107,3.751) -- (10.876,3.542) -- (10.64,3.339) -- (10.398,3.141) -- (10.153,2.949) -- (9.902,2.762) -- (9.648,2.582) -- (9.389,2.407) -- (9.127,2.239) -- (8.86,2.077) -- (8.59,1.921) -- (8.316,1.772) -- (8.039,1.629) -- (7.758,1.493);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.823,7.189) -- (7.802,7.269) -- (7.743,7.327) -- (7.663,7.349) -- (7.583,7.327) -- (7.525,7.269) -- (7.503,7.189) -- (7.525,7.109) -- (7.583,7.05) -- (7.663,7.029) -- (7.743,7.05) -- (7.802,7.109) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.274,7.1) -- (5.252,7.18) -- (5.194,7.239) -- (5.114,7.26) -- (5.034,7.239) -- (4.975,7.18) -- (4.954,7.1) -- (4.975,7.02) -- (5.034,6.961) -- (5.114,6.94) -- (5.194,6.961) -- (5.252,7.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.494,6.792) -- (1.472,6.872) -- (1.414,6.931) -- (1.334,6.952) -- (1.254,6.931) -- (1.195,6.872) -- (1.174,6.792) -- (1.195,6.712) -- (1.254,6.654) -- (1.334,6.632) -- (1.414,6.654) -- (1.472,6.712) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.061,4.918) -- (8.039,4.998) -- (7.981,5.056) -- (7.901,5.078) -- (7.821,5.056) -- (7.762,4.998) -- (7.741,4.918) -- (7.762,4.838) -- (7.821,4.779) -- (7.901,4.758) -- (7.981,4.779) -- (8.039,4.838) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.307,4.891) -- (4.286,4.971) -- (4.227,5.03) -- (4.147,5.051) -- (4.067,5.03) -- (4.009,4.971) -- (3.987,4.891) -- (4.009,4.811) -- (4.067,4.753) -- (4.147,4.731) -- (4.227,4.753) -- (4.286,4.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.494,3.965) -- (11.472,4.045) -- (11.414,4.104) -- (11.334,4.125) -- (11.254,4.104) -- (11.195,4.045) -- (11.174,3.965) -- (11.195,3.885) -- (11.254,3.827) -- (11.334,3.805) -- (11.414,3.827) -- (11.472,3.885) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.509,1.925) -- (2.488,2.005) -- (2.429,2.063) -- (2.349,2.085) -- (2.269,2.063) -- (2.21,2.005) -- (2.189,1.925) -- (2.21,1.845) -- (2.269,1.786) -- (2.349,1.765) -- (2.429,1.786) -- (2.488,1.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.918,1.493) -- (7.897,1.573) -- (7.838,1.632) -- (7.758,1.653) -- (7.678,1.632) -- (7.62,1.573) -- (7.598,1.493) -- (7.62,1.413) -- (7.678,1.355) -- (7.758,1.333) -- (7.838,1.355) -- (7.897,1.413) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.736,6.93) -- (6.69,7.1) -- (6.566,7.224) -- (6.396,7.27) -- (6.226,7.224) -- (6.102,7.1) -- (6.056,6.93) -- (6.102,6.76) -- (6.226,6.635) -- (6.396,6.59) -- (6.566,6.635) -- (6.69,6.76) -- cycle;
\node at (6.396,6.93) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.534,6.096) -- (8.488,6.266) -- (8.364,6.391) -- (8.194,6.436) -- (8.024,6.391) -- (7.899,6.266) -- (7.854,6.096) -- (7.899,5.926) -- (8.024,5.802) -- (8.194,5.756) -- (8.364,5.802) -- (8.488,5.926) -- cycle;
\node at (8.194,6.096) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.173,5.907) -- (5.127,6.077) -- (5.003,6.202) -- (4.833,6.247) -- (4.663,6.202) -- (4.538,6.077) -- (4.493,5.907) -- (4.538,5.737) -- (4.663,5.613) -- (4.833,5.567) -- (5.003,5.613) -- (5.127,5.737) -- cycle;
\node at (4.833,5.907) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.338,6.223) -- (3.292,6.393) -- (3.168,6.518) -- (2.998,6.563) -- (2.828,6.518) -- (2.704,6.393) -- (2.658,6.223) -- (2.704,6.053) -- (2.828,5.929) -- (2.998,5.883) -- (3.168,5.929) -- (3.292,6.053) -- cycle;
\node at (2.998,6.223) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.157,4.36) -- (2.111,4.53) -- (1.987,4.655) -- (1.817,4.7) -- (1.647,4.655) -- (1.522,4.53) -- (1.477,4.36) -- (1.522,4.19) -- (1.647,4.066) -- (1.817,4.02) -- (1.987,4.066) -- (2.111,4.19) -- cycle;
\node at (1.817,4.36) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.367,4.43) -- (6.322,4.6) -- (6.197,4.724) -- (6.027,4.77) -- (5.857,4.724) -- (5.733,4.6) -- (5.687,4.43) -- (5.733,4.26) -- (5.857,4.135) -- (6.027,4.09) -- (6.197,4.135) -- (6.322,4.26) -- cycle;
\node at (6.027,4.43) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.003,4.608) -- (9.958,4.778) -- (9.833,4.903) -- (9.663,4.948) -- (9.493,4.903) -- (9.369,4.778) -- (9.323,4.608) -- (9.369,4.438) -- (9.493,4.314) -- (9.663,4.268) -- (9.833,4.314) -- (9.958,4.438) -- cycle;
\node at (9.663,4.608) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.63,3.186) -- (8.585,3.356) -- (8.46,3.481) -- (8.29,3.526) -- (8.12,3.481) -- (7.996,3.356) -- (7.95,3.186) -- (7.996,3.016) -- (8.12,2.892) -- (8.29,2.846) -- (8.46,2.892) -- (8.585,3.016) -- cycle;
\node at (8.29,3.186) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.739,3.316) -- (3.694,3.486) -- (3.569,3.611) -- (3.399,3.656) -- (3.229,3.611) -- (3.105,3.486) -- (3.059,3.316) -- (3.105,3.146) -- (3.229,3.022) -- (3.399,2.976) -- (3.569,3.022) -- (3.694,3.146) -- cycle;
\node at (3.399,3.316) {\scalebox{1.592}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.17,2.319) -- (10.124,2.489) -- (10.0,2.613) -- (9.83,2.659) -- (9.66,2.613) -- (9.535,2.489) -- (9.49,2.319) -- (9.535,2.149) -- (9.66,2.024) -- (9.83,1.979) -- (10.0,2.024) -- (10.124,2.149) -- cycle;
\node at (9.83,2.319) {\scalebox{1.592}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.601,4.618) -- (8.201,4.618) -- (8.201,5.218) -- (7.601,5.218) -- cycle;
\node at (7.901,4.918) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.358,7.47) -- (6.958,7.47) -- (6.958,8.07) -- (6.358,8.07) -- cycle;
\node at (6.658,7.77) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.09,6.343) -- (9.69,6.343) -- (9.69,6.943) -- (9.09,6.943) -- cycle;
\node at (9.39,6.643) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.525,4.543) -- (11.125,4.543) -- (11.125,5.143) -- (10.525,5.143) -- cycle;
\node at (10.825,4.843) {\scalebox{1.592}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.384,2.282) -- (2.984,2.282) -- (2.984,2.882) -- (2.384,2.882) -- cycle;
\node at (2.684,2.582) {\scalebox{1.592}{\small e}};
\node at (8.023,7.694) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (4.903,7.683) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (0.765,7.04) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (8.519,4.96) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (3.529,4.928) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (11.946,3.872) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\node at (1.863,1.539) {\scalebox{1.592}{\small G}};
\node at (8.057,0.95) {\scalebox{1.592}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.634,6.239) -- (12.634,7.339);
\draw[line width=0.5pt] (12.403,6.954) -- (12.634,7.339) -- (12.865,6.954);
\draw[line width=0.5pt] (12.331,6.789) -- (12.936,6.789);
\node at (12.634,7.724) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue de l'Église ②} vers le nord et atteint Place des Tanneurs \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑤}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Écoles ⑦}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
