\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 371}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=371}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0371}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6982, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.262,7.723) -- (2.415,7.723) -- (2.568,7.727) -- (2.721,7.734) -- (2.873,7.745) -- (3.026,7.76) -- (3.178,7.778) -- (3.329,7.8) -- (3.48,7.826) -- (3.631,7.855) -- (3.78,7.887) -- (3.929,7.923) -- (4.077,7.962) -- (4.223,8.005) -- (4.447,7.978) -- (4.671,7.944) -- (4.893,7.906) -- (5.114,7.862) -- (5.335,7.813) -- (5.554,7.759) -- (5.772,7.7) -- (5.988,7.635) -- (6.203,7.566) -- (6.417,7.492) -- (6.628,7.412) -- (6.837,7.328) -- (7.044,7.239) -- (7.249,7.144);
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.294,7.551) -- (2.475,7.371) -- (2.651,7.188) -- (2.824,7.0) -- (2.992,6.808) -- (3.155,6.612) -- (3.313,6.412) -- (3.467,6.209) -- (3.617,6.002) -- (3.761,5.791) -- (3.9,5.578) -- (4.034,5.361) -- (4.163,5.141) -- (4.286,4.919);
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.031,7.536) -- (1.957,7.344) -- (1.887,7.15) -- (1.822,6.955) -- (1.762,6.758) -- (1.707,6.56) -- (1.656,6.361) -- (1.61,6.16) -- (1.568,5.958) -- (1.531,5.756) -- (1.5,5.553) -- (1.472,5.349) -- (1.45,5.144) -- (1.433,4.939) -- (1.461,4.745) -- (1.484,4.55) -- (1.503,4.354) -- (1.517,4.158) -- (1.526,3.962) -- (1.531,3.765) -- (1.531,3.568) -- (1.527,3.372) -- (1.518,3.175) -- (1.504,2.979) -- (1.486,2.783) -- (1.463,2.588) -- (1.435,2.394) -- (1.403,2.2);
\draw[line width=0.5pt] (7.249,7.144) -- (7.294,6.938) -- (7.334,6.73) -- (7.369,6.522) -- (7.399,6.312) -- (7.424,6.102) -- (7.444,5.892) -- (7.459,5.681) -- (7.469,5.469) -- (7.474,5.258) -- (7.474,5.046) -- (7.47,4.835) -- (7.46,4.624) -- (7.445,4.413) -- (7.425,4.202);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.501,4.833) -- (4.718,4.753) -- (4.936,4.679) -- (5.156,4.609) -- (5.378,4.544) -- (5.602,4.485) -- (5.826,4.431) -- (6.052,4.382) -- (6.279,4.339) -- (6.507,4.301) -- (6.736,4.268) -- (6.965,4.241) -- (7.195,4.219) -- (7.425,4.202);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.112,4.694) -- (3.932,4.474) -- (3.747,4.258) -- (3.557,4.047) -- (3.362,3.84) -- (3.162,3.638) -- (2.957,3.44) -- (2.748,3.248) -- (2.534,3.06) -- (2.316,2.877) -- (2.094,2.7) -- (1.868,2.528) -- (1.637,2.361) -- (1.403,2.2);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.469,4.645) -- (4.658,4.375) -- (4.853,4.11) -- (5.055,3.85) -- (5.262,3.594) -- (5.476,3.343) -- (5.695,3.098) -- (5.921,2.857) -- (6.151,2.622) -- (6.387,2.392) -- (6.629,2.169) -- (6.876,1.95) -- (7.127,1.738) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (7.425,4.202) -- (7.619,4.221) -- (7.814,4.236) -- (8.009,4.246) -- (8.204,4.251) -- (8.399,4.252) -- (8.594,4.248) -- (8.789,4.239) -- (8.984,4.226) -- (9.178,4.209) -- (9.372,4.186) -- (9.565,4.16) -- (9.758,4.128) -- (9.95,4.093) -- (10.14,4.052);
\draw[line width=0.5pt] (7.425,4.202) -- (7.393,4.013) -- (7.365,3.824) -- (7.342,3.634) -- (7.324,3.443) -- (7.309,3.252) -- (7.3,3.061) -- (7.294,2.869) -- (7.294,2.677) -- (7.297,2.486) -- (7.306,2.294) -- (7.318,2.103) -- (7.336,1.912) -- (7.357,1.722) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (10.14,4.052) -- (9.973,3.843) -- (9.8,3.639) -- (9.622,3.438) -- (9.44,3.242) -- (9.253,3.049) -- (9.062,2.862) -- (8.866,2.679) -- (8.666,2.5) -- (8.462,2.326) -- (8.254,2.157) -- (8.042,1.993) -- (7.826,1.834) -- (7.607,1.681) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (10.14,4.052) -- (10.201,3.853) -- (10.267,3.656) -- (10.337,3.46) -- (10.412,3.266) -- (10.492,3.074) -- (10.576,2.883) -- (10.664,2.695) -- (10.757,2.509) -- (10.854,2.324) -- (10.956,2.143) -- (11.061,1.964) -- (11.171,1.787) -- (11.285,1.613) -- (11.403,1.442);
\draw[line width=0.5pt] (7.384,1.532) -- (7.67,1.57) -- (7.956,1.601) -- (8.244,1.625) -- (8.532,1.642) -- (8.82,1.652) -- (9.109,1.656) -- (9.397,1.653) -- (9.686,1.643) -- (9.974,1.626) -- (10.261,1.603) -- (10.548,1.573) -- (10.834,1.536) -- (11.119,1.492) -- (11.403,1.442);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.269,7.726) -- (2.248,7.806) -- (2.189,7.864) -- (2.109,7.886) -- (2.029,7.864) -- (1.97,7.806) -- (1.949,7.726) -- (1.97,7.646) -- (2.029,7.587) -- (2.109,7.566) -- (2.189,7.587) -- (2.248,7.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.409,7.144) -- (7.388,7.224) -- (7.329,7.283) -- (7.249,7.304) -- (7.169,7.283) -- (7.111,7.224) -- (7.089,7.144) -- (7.111,7.064) -- (7.169,7.006) -- (7.249,6.984) -- (7.329,7.006) -- (7.388,7.064) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.446,4.919) -- (4.425,4.999) -- (4.366,5.057) -- (4.286,5.079) -- (4.206,5.057) -- (4.148,4.999) -- (4.126,4.919) -- (4.148,4.839) -- (4.206,4.78) -- (4.286,4.759) -- (4.366,4.78) -- (4.425,4.839) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.585,4.202) -- (7.564,4.282) -- (7.505,4.341) -- (7.425,4.362) -- (7.345,4.341) -- (7.287,4.282) -- (7.265,4.202) -- (7.287,4.122) -- (7.345,4.064) -- (7.425,4.042) -- (7.505,4.064) -- (7.564,4.122) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.3,4.052) -- (10.279,4.132) -- (10.22,4.191) -- (10.14,4.212) -- (10.06,4.191) -- (10.002,4.132) -- (9.98,4.052) -- (10.002,3.972) -- (10.06,3.914) -- (10.14,3.892) -- (10.22,3.914) -- (10.279,3.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.563,2.2) -- (1.542,2.28) -- (1.483,2.338) -- (1.403,2.36) -- (1.323,2.338) -- (1.265,2.28) -- (1.243,2.2) -- (1.265,2.12) -- (1.323,2.061) -- (1.403,2.04) -- (1.483,2.061) -- (1.542,2.12) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.544,1.532) -- (7.522,1.612) -- (7.464,1.671) -- (7.384,1.692) -- (7.304,1.671) -- (7.245,1.612) -- (7.224,1.532) -- (7.245,1.452) -- (7.304,1.394) -- (7.384,1.372) -- (7.464,1.394) -- (7.522,1.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.563,1.442) -- (11.542,1.522) -- (11.483,1.58) -- (11.403,1.602) -- (11.323,1.58) -- (11.265,1.522) -- (11.243,1.442) -- (11.265,1.362) -- (11.323,1.303) -- (11.403,1.282) -- (11.483,1.303) -- (11.542,1.362) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.55,8.325) -- (4.505,8.495) -- (4.38,8.62) -- (4.21,8.665) -- (4.04,8.62) -- (3.916,8.495) -- (3.87,8.325) -- (3.916,8.155) -- (4.04,8.031) -- (4.21,7.985) -- (4.38,8.031) -- (4.505,8.155) -- cycle;
\node at (4.21,8.325) {\scalebox{1.432}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.906,6.608) -- (3.861,6.778) -- (3.736,6.903) -- (3.566,6.948) -- (3.396,6.903) -- (3.272,6.778) -- (3.226,6.608) -- (3.272,6.438) -- (3.396,6.314) -- (3.566,6.268) -- (3.736,6.314) -- (3.861,6.438) -- cycle;
\node at (3.566,6.608) {\scalebox{1.432}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.093,4.948) -- (2.047,5.118) -- (1.923,5.242) -- (1.753,5.288) -- (1.583,5.242) -- (1.458,5.118) -- (1.413,4.948) -- (1.458,4.778) -- (1.583,4.653) -- (1.753,4.608) -- (1.923,4.653) -- (2.047,4.778) -- cycle;
\node at (1.753,4.948) {\scalebox{1.432}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.118,5.7) -- (8.073,5.87) -- (7.948,5.994) -- (7.778,6.04) -- (7.608,5.994) -- (7.484,5.87) -- (7.438,5.7) -- (7.484,5.53) -- (7.608,5.405) -- (7.778,5.36) -- (7.948,5.405) -- (8.073,5.53) -- cycle;
\node at (7.778,5.7) {\scalebox{1.432}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.237,4.743) -- (6.192,4.913) -- (6.067,5.037) -- (5.897,5.083) -- (5.727,5.037) -- (5.603,4.913) -- (5.557,4.743) -- (5.603,4.573) -- (5.727,4.448) -- (5.897,4.403) -- (6.067,4.448) -- (6.192,4.573) -- cycle;
\node at (5.897,4.743) {\scalebox{1.432}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.517,3.207) -- (3.471,3.377) -- (3.347,3.502) -- (3.177,3.547) -- (3.007,3.502) -- (2.882,3.377) -- (2.837,3.207) -- (2.882,3.037) -- (3.007,2.913) -- (3.177,2.867) -- (3.347,2.913) -- (3.471,3.037) -- cycle;
\node at (3.177,3.207) {\scalebox{1.432}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.271,3.314) -- (6.226,3.484) -- (6.101,3.608) -- (5.931,3.654) -- (5.761,3.608) -- (5.637,3.484) -- (5.591,3.314) -- (5.637,3.144) -- (5.761,3.019) -- (5.931,2.974) -- (6.101,3.019) -- (6.226,3.144) -- cycle;
\node at (5.931,3.314) {\scalebox{1.432}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.147,4.559) -- (9.101,4.729) -- (8.977,4.853) -- (8.807,4.899) -- (8.637,4.853) -- (8.512,4.729) -- (8.467,4.559) -- (8.512,4.389) -- (8.637,4.264) -- (8.807,4.219) -- (8.977,4.264) -- (9.101,4.389) -- cycle;
\node at (8.807,4.559) {\scalebox{1.432}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.954,2.864) -- (7.909,3.034) -- (7.784,3.158) -- (7.614,3.204) -- (7.444,3.158) -- (7.32,3.034) -- (7.274,2.864) -- (7.32,2.694) -- (7.444,2.57) -- (7.614,2.524) -- (7.784,2.57) -- (7.909,2.694) -- cycle;
\node at (7.614,2.864) {\scalebox{1.432}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.422,2.442) -- (9.376,2.612) -- (9.252,2.737) -- (9.082,2.782) -- (8.912,2.737) -- (8.787,2.612) -- (8.742,2.442) -- (8.787,2.272) -- (8.912,2.148) -- (9.082,2.102) -- (9.252,2.148) -- (9.376,2.272) -- cycle;
\node at (9.082,2.442) {\scalebox{1.432}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.292,2.834) -- (11.247,3.004) -- (11.122,3.129) -- (10.952,3.174) -- (10.782,3.129) -- (10.658,3.004) -- (10.612,2.834) -- (10.658,2.664) -- (10.782,2.54) -- (10.952,2.494) -- (11.122,2.54) -- (11.247,2.664) -- cycle;
\node at (10.952,2.834) {\scalebox{1.432}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.73,1.333) -- (9.684,1.503) -- (9.56,1.627) -- (9.39,1.673) -- (9.22,1.627) -- (9.096,1.503) -- (9.05,1.333) -- (9.096,1.163) -- (9.22,1.038) -- (9.39,0.993) -- (9.56,1.038) -- (9.684,1.163) -- cycle;
\node at (9.39,1.333) {\scalebox{1.432}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.809,7.426) -- (2.409,7.426) -- (2.409,8.026) -- (1.809,8.026) -- cycle;
\node at (2.109,7.726) {\scalebox{1.432}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,4.849) -- (1.2,4.849) -- (1.2,5.449) -- (0.6,5.449) -- cycle;
\node at (0.9,5.149) {\scalebox{1.432}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.582,4.771) -- (10.182,4.771) -- (10.182,5.371) -- (9.582,5.371) -- cycle;
\node at (9.882,5.071) {\scalebox{1.432}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.33,2.175) -- (5.93,2.175) -- (5.93,2.775) -- (5.33,2.775) -- cycle;
\node at (5.63,2.475) {\scalebox{1.432}{\small d}};
\node at (1.631,8.121) {\scalebox{1.432}{\small A}};
\node at (7.414,7.742) {\scalebox{1.432}{\small B}};
\node at (3.703,5.128) {\scalebox{1.432}{\small C}};
\node at (8.045,4.233) {\scalebox{1.432}{\small D}};
\node at (10.76,4.036) {\scalebox{1.432}{\small E}};
\node at (0.825,1.975) {\scalebox{1.432}{\small F}};
\node at (7.597,0.95) {\scalebox{1.432}{\small G}};
\node at (11.948,1.145) {\scalebox{1.432}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.703,6.776) -- (12.703,7.876);
\draw[line width=0.5pt] (12.472,7.491) -- (12.703,7.876) -- (12.934,7.491);
\draw[line width=0.5pt] (12.401,7.326) -- (13.006,7.326);
\node at (12.703,8.261) {\scalebox{1.432}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑦ rue Haute & Ⓐ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑧ chemin de Ronde & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ boulevard du Parc & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue de l'Église & ⑩ rue du Four & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑪ chemin des Vignes & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑥ rue du Stade & ⑫ chemin du Lavoir & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6247, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.262,7.723) -- (2.415,7.723) -- (2.568,7.727) -- (2.721,7.734) -- (2.873,7.745) -- (3.026,7.76) -- (3.178,7.778) -- (3.329,7.8) -- (3.48,7.826) -- (3.631,7.855) -- (3.78,7.887) -- (3.929,7.923) -- (4.077,7.962) -- (4.223,8.005) -- (4.447,7.978) -- (4.671,7.944) -- (4.893,7.906) -- (5.114,7.862) -- (5.335,7.813) -- (5.554,7.759) -- (5.772,7.7) -- (5.988,7.635) -- (6.203,7.566) -- (6.417,7.492) -- (6.628,7.412) -- (6.837,7.328) -- (7.044,7.239) -- (7.249,7.144);
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.294,7.551) -- (2.475,7.371) -- (2.651,7.188) -- (2.824,7.0) -- (2.992,6.808) -- (3.155,6.612) -- (3.313,6.412) -- (3.467,6.209) -- (3.617,6.002) -- (3.761,5.791) -- (3.9,5.578) -- (4.034,5.361) -- (4.163,5.141) -- (4.286,4.919);
\draw[line width=0.5pt] (2.109,7.726) -- (2.031,7.536) -- (1.957,7.344) -- (1.887,7.15) -- (1.822,6.955) -- (1.762,6.758) -- (1.707,6.56) -- (1.656,6.361) -- (1.61,6.16) -- (1.568,5.958) -- (1.531,5.756) -- (1.5,5.553) -- (1.472,5.349) -- (1.45,5.144) -- (1.433,4.939) -- (1.461,4.745) -- (1.484,4.55) -- (1.503,4.354) -- (1.517,4.158) -- (1.526,3.962) -- (1.531,3.765) -- (1.531,3.568) -- (1.527,3.372) -- (1.518,3.175) -- (1.504,2.979) -- (1.486,2.783) -- (1.463,2.588) -- (1.435,2.394) -- (1.403,2.2);
\draw[line width=0.5pt] (7.249,7.144) -- (7.294,6.938) -- (7.334,6.73) -- (7.369,6.522) -- (7.399,6.312) -- (7.424,6.102) -- (7.444,5.892) -- (7.459,5.681) -- (7.469,5.469) -- (7.474,5.258) -- (7.474,5.046) -- (7.47,4.835) -- (7.46,4.624) -- (7.445,4.413) -- (7.425,4.202);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.501,4.833) -- (4.718,4.753) -- (4.936,4.679) -- (5.156,4.609) -- (5.378,4.544) -- (5.602,4.485) -- (5.826,4.431) -- (6.052,4.382) -- (6.279,4.339) -- (6.507,4.301) -- (6.736,4.268) -- (6.965,4.241) -- (7.195,4.219) -- (7.425,4.202);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.112,4.694) -- (3.932,4.474) -- (3.747,4.258) -- (3.557,4.047) -- (3.362,3.84) -- (3.162,3.638) -- (2.957,3.44) -- (2.748,3.248) -- (2.534,3.06) -- (2.316,2.877) -- (2.094,2.7) -- (1.868,2.528) -- (1.637,2.361) -- (1.403,2.2);
\draw[line width=0.5pt] (4.286,4.919) -- (4.469,4.645) -- (4.658,4.375) -- (4.853,4.11) -- (5.055,3.85) -- (5.262,3.594) -- (5.476,3.343) -- (5.695,3.098) -- (5.921,2.857) -- (6.151,2.622) -- (6.387,2.392) -- (6.629,2.169) -- (6.876,1.95) -- (7.127,1.738) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (7.425,4.202) -- (7.619,4.221) -- (7.814,4.236) -- (8.009,4.246) -- (8.204,4.251) -- (8.399,4.252) -- (8.594,4.248) -- (8.789,4.239) -- (8.984,4.226) -- (9.178,4.209) -- (9.372,4.186) -- (9.565,4.16) -- (9.758,4.128) -- (9.95,4.093) -- (10.14,4.052);
\draw[line width=0.5pt] (7.425,4.202) -- (7.393,4.013) -- (7.365,3.824) -- (7.342,3.634) -- (7.324,3.443) -- (7.309,3.252) -- (7.3,3.061) -- (7.294,2.869) -- (7.294,2.677) -- (7.297,2.486) -- (7.306,2.294) -- (7.318,2.103) -- (7.336,1.912) -- (7.357,1.722) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (10.14,4.052) -- (9.973,3.843) -- (9.8,3.639) -- (9.622,3.438) -- (9.44,3.242) -- (9.253,3.049) -- (9.062,2.862) -- (8.866,2.679) -- (8.666,2.5) -- (8.462,2.326) -- (8.254,2.157) -- (8.042,1.993) -- (7.826,1.834) -- (7.607,1.681) -- (7.384,1.532);
\draw[line width=0.5pt] (10.14,4.052) -- (10.201,3.853) -- (10.267,3.656) -- (10.337,3.46) -- (10.412,3.266) -- (10.492,3.074) -- (10.576,2.883) -- (10.664,2.695) -- (10.757,2.509) -- (10.854,2.324) -- (10.956,2.143) -- (11.061,1.964) -- (11.171,1.787) -- (11.285,1.613) -- (11.403,1.442);
\draw[line width=0.5pt] (7.384,1.532) -- (7.67,1.57) -- (7.956,1.601) -- (8.244,1.625) -- (8.532,1.642) -- (8.82,1.652) -- (9.109,1.656) -- (9.397,1.653) -- (9.686,1.643) -- (9.974,1.626) -- (10.261,1.603) -- (10.548,1.573) -- (10.834,1.536) -- (11.119,1.492) -- (11.403,1.442);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.269,7.726) -- (2.248,7.806) -- (2.189,7.864) -- (2.109,7.886) -- (2.029,7.864) -- (1.97,7.806) -- (1.949,7.726) -- (1.97,7.646) -- (2.029,7.587) -- (2.109,7.566) -- (2.189,7.587) -- (2.248,7.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.409,7.144) -- (7.388,7.224) -- (7.329,7.283) -- (7.249,7.304) -- (7.169,7.283) -- (7.111,7.224) -- (7.089,7.144) -- (7.111,7.064) -- (7.169,7.006) -- (7.249,6.984) -- (7.329,7.006) -- (7.388,7.064) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.446,4.919) -- (4.425,4.999) -- (4.366,5.057) -- (4.286,5.079) -- (4.206,5.057) -- (4.148,4.999) -- (4.126,4.919) -- (4.148,4.839) -- (4.206,4.78) -- (4.286,4.759) -- (4.366,4.78) -- (4.425,4.839) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.585,4.202) -- (7.564,4.282) -- (7.505,4.341) -- (7.425,4.362) -- (7.345,4.341) -- (7.287,4.282) -- (7.265,4.202) -- (7.287,4.122) -- (7.345,4.064) -- (7.425,4.042) -- (7.505,4.064) -- (7.564,4.122) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.3,4.052) -- (10.279,4.132) -- (10.22,4.191) -- (10.14,4.212) -- (10.06,4.191) -- (10.002,4.132) -- (9.98,4.052) -- (10.002,3.972) -- (10.06,3.914) -- (10.14,3.892) -- (10.22,3.914) -- (10.279,3.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.563,2.2) -- (1.542,2.28) -- (1.483,2.338) -- (1.403,2.36) -- (1.323,2.338) -- (1.265,2.28) -- (1.243,2.2) -- (1.265,2.12) -- (1.323,2.061) -- (1.403,2.04) -- (1.483,2.061) -- (1.542,2.12) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.544,1.532) -- (7.522,1.612) -- (7.464,1.671) -- (7.384,1.692) -- (7.304,1.671) -- (7.245,1.612) -- (7.224,1.532) -- (7.245,1.452) -- (7.304,1.394) -- (7.384,1.372) -- (7.464,1.394) -- (7.522,1.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.563,1.442) -- (11.542,1.522) -- (11.483,1.58) -- (11.403,1.602) -- (11.323,1.58) -- (11.265,1.522) -- (11.243,1.442) -- (11.265,1.362) -- (11.323,1.303) -- (11.403,1.282) -- (11.483,1.303) -- (11.542,1.362) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.55,8.325) -- (4.505,8.495) -- (4.38,8.62) -- (4.21,8.665) -- (4.04,8.62) -- (3.916,8.495) -- (3.87,8.325) -- (3.916,8.155) -- (4.04,8.031) -- (4.21,7.985) -- (4.38,8.031) -- (4.505,8.155) -- cycle;
\node at (4.21,8.325) {\scalebox{1.601}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.906,6.608) -- (3.861,6.778) -- (3.736,6.903) -- (3.566,6.948) -- (3.396,6.903) -- (3.272,6.778) -- (3.226,6.608) -- (3.272,6.438) -- (3.396,6.314) -- (3.566,6.268) -- (3.736,6.314) -- (3.861,6.438) -- cycle;
\node at (3.566,6.608) {\scalebox{1.601}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.093,4.948) -- (2.047,5.118) -- (1.923,5.242) -- (1.753,5.288) -- (1.583,5.242) -- (1.458,5.118) -- (1.413,4.948) -- (1.458,4.778) -- (1.583,4.653) -- (1.753,4.608) -- (1.923,4.653) -- (2.047,4.778) -- cycle;
\node at (1.753,4.948) {\scalebox{1.601}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.118,5.7) -- (8.073,5.87) -- (7.948,5.994) -- (7.778,6.04) -- (7.608,5.994) -- (7.484,5.87) -- (7.438,5.7) -- (7.484,5.53) -- (7.608,5.405) -- (7.778,5.36) -- (7.948,5.405) -- (8.073,5.53) -- cycle;
\node at (7.778,5.7) {\scalebox{1.601}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.237,4.743) -- (6.192,4.913) -- (6.067,5.037) -- (5.897,5.083) -- (5.727,5.037) -- (5.603,4.913) -- (5.557,4.743) -- (5.603,4.573) -- (5.727,4.448) -- (5.897,4.403) -- (6.067,4.448) -- (6.192,4.573) -- cycle;
\node at (5.897,4.743) {\scalebox{1.601}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.517,3.207) -- (3.471,3.377) -- (3.347,3.502) -- (3.177,3.547) -- (3.007,3.502) -- (2.882,3.377) -- (2.837,3.207) -- (2.882,3.037) -- (3.007,2.913) -- (3.177,2.867) -- (3.347,2.913) -- (3.471,3.037) -- cycle;
\node at (3.177,3.207) {\scalebox{1.601}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.271,3.314) -- (6.226,3.484) -- (6.101,3.608) -- (5.931,3.654) -- (5.761,3.608) -- (5.637,3.484) -- (5.591,3.314) -- (5.637,3.144) -- (5.761,3.019) -- (5.931,2.974) -- (6.101,3.019) -- (6.226,3.144) -- cycle;
\node at (5.931,3.314) {\scalebox{1.601}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.147,4.559) -- (9.101,4.729) -- (8.977,4.853) -- (8.807,4.899) -- (8.637,4.853) -- (8.512,4.729) -- (8.467,4.559) -- (8.512,4.389) -- (8.637,4.264) -- (8.807,4.219) -- (8.977,4.264) -- (9.101,4.389) -- cycle;
\node at (8.807,4.559) {\scalebox{1.601}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.954,2.864) -- (7.909,3.034) -- (7.784,3.158) -- (7.614,3.204) -- (7.444,3.158) -- (7.32,3.034) -- (7.274,2.864) -- (7.32,2.694) -- (7.444,2.57) -- (7.614,2.524) -- (7.784,2.57) -- (7.909,2.694) -- cycle;
\node at (7.614,2.864) {\scalebox{1.601}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.422,2.442) -- (9.376,2.612) -- (9.252,2.737) -- (9.082,2.782) -- (8.912,2.737) -- (8.787,2.612) -- (8.742,2.442) -- (8.787,2.272) -- (8.912,2.148) -- (9.082,2.102) -- (9.252,2.148) -- (9.376,2.272) -- cycle;
\node at (9.082,2.442) {\scalebox{1.601}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.292,2.834) -- (11.247,3.004) -- (11.122,3.129) -- (10.952,3.174) -- (10.782,3.129) -- (10.658,3.004) -- (10.612,2.834) -- (10.658,2.664) -- (10.782,2.54) -- (10.952,2.494) -- (11.122,2.54) -- (11.247,2.664) -- cycle;
\node at (10.952,2.834) {\scalebox{1.601}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.73,1.333) -- (9.684,1.503) -- (9.56,1.627) -- (9.39,1.673) -- (9.22,1.627) -- (9.096,1.503) -- (9.05,1.333) -- (9.096,1.163) -- (9.22,1.038) -- (9.39,0.993) -- (9.56,1.038) -- (9.684,1.163) -- cycle;
\node at (9.39,1.333) {\scalebox{1.601}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.809,7.426) -- (2.409,7.426) -- (2.409,8.026) -- (1.809,8.026) -- cycle;
\node at (2.109,7.726) {\scalebox{1.601}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,4.849) -- (1.2,4.849) -- (1.2,5.449) -- (0.6,5.449) -- cycle;
\node at (0.9,5.149) {\scalebox{1.601}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.582,4.771) -- (10.182,4.771) -- (10.182,5.371) -- (9.582,5.371) -- cycle;
\node at (9.882,5.071) {\scalebox{1.601}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.33,2.175) -- (5.93,2.175) -- (5.93,2.775) -- (5.33,2.775) -- cycle;
\node at (5.63,2.475) {\scalebox{1.601}{\small d}};
\node at (1.631,8.121) {\scalebox{1.601}{\small A}};
\node at (7.414,7.742) {\scalebox{1.601}{\small B}};
\node at (3.703,5.128) {\scalebox{1.601}{\small C}};
\node at (8.045,4.233) {\scalebox{1.601}{\small D}};
\node at (10.76,4.036) {\scalebox{1.601}{\small E}};
\node at (0.825,1.975) {\scalebox{1.601}{\small F}};
\node at (7.597,0.95) {\scalebox{1.601}{\small G}};
\node at (11.948,1.145) {\scalebox{1.601}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.703,6.776) -- (12.703,7.876);
\draw[line width=0.5pt] (12.472,7.491) -- (12.703,7.876) -- (12.934,7.491);
\draw[line width=0.5pt] (12.401,7.326) -- (13.006,7.326);
\node at (12.703,8.261) {\scalebox{1.601}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 4 & 3 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(A)}, prend le \textbf{sentier des Prés ①} vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑨}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑫}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑪}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
