\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 372}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=372}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0372}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7061, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (3.685,9.997) -- (3.951,9.911) -- (4.22,9.833) -- (4.491,9.76) -- (4.763,9.694) -- (5.037,9.634) -- (5.312,9.581) -- (5.588,9.535) -- (5.866,9.494) -- (6.144,9.461) -- (6.423,9.433) -- (6.702,9.413) -- (6.982,9.399) -- (7.262,9.391) -- (7.542,9.391);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.758,9.418) -- (7.974,9.44) -- (8.192,9.457) -- (8.409,9.468) -- (8.627,9.475) -- (8.844,9.476) -- (9.062,9.473) -- (9.28,9.464) -- (9.497,9.45) -- (9.714,9.431) -- (9.931,9.407) -- (10.146,9.378) -- (10.361,9.344) -- (10.575,9.305);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.774,9.151) -- (8.012,8.916) -- (8.255,8.687) -- (8.504,8.464) -- (8.758,8.246) -- (9.017,8.035) -- (9.281,7.829) -- (9.55,7.63) -- (9.823,7.438) -- (10.101,7.252) -- (10.383,7.072) -- (10.669,6.899) -- (10.959,6.733) -- (11.252,6.574);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.333,9.067) -- (7.116,8.747) -- (6.892,8.433) -- (6.66,8.124) -- (6.421,7.821) -- (6.174,7.523) -- (5.921,7.232) -- (5.661,6.946) -- (5.395,6.666) -- (5.122,6.393) -- (4.843,6.126) -- (4.557,5.866) -- (4.266,5.613) -- (3.969,5.367);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.526,9.185) -- (7.515,8.979) -- (7.508,8.773) -- (7.507,8.567) -- (7.51,8.36) -- (7.518,8.154) -- (7.531,7.948) -- (7.549,7.743) -- (7.572,7.537) -- (7.599,7.333) -- (7.631,7.129) -- (7.668,6.926) -- (7.71,6.724) -- (7.757,6.523) -- (7.766,6.181) -- (7.767,5.837) -- (7.76,5.494) -- (7.745,5.152) -- (7.722,4.809) -- (7.691,4.467) -- (7.652,4.126) -- (7.605,3.786) -- (7.549,3.447) -- (7.486,3.11) -- (7.415,2.774) -- (7.337,2.44) -- (7.25,2.108) -- (7.155,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (10.575,9.305) -- (10.653,9.118) -- (10.726,8.931) -- (10.795,8.741) -- (10.86,8.55) -- (10.92,8.357) -- (10.975,8.163) -- (11.026,7.967) -- (11.073,7.771) -- (11.114,7.573) -- (11.151,7.375) -- (11.184,7.176) -- (11.211,6.976) -- (11.234,6.775) -- (11.252,6.574);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (3.92,5.186) -- (3.876,5.004) -- (3.835,4.822) -- (3.8,4.638) -- (3.768,4.453) -- (3.741,4.268) -- (3.719,4.082) -- (3.7,3.895) -- (3.686,3.708) -- (3.677,3.521) -- (3.672,3.334) -- (3.671,3.147) -- (3.675,2.959) -- (3.683,2.773);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (3.812,5.103) -- (3.65,4.843) -- (3.481,4.587) -- (3.306,4.334) -- (3.125,4.086) -- (2.939,3.842) -- (2.747,3.603) -- (2.549,3.368) -- (2.346,3.138) -- (2.137,2.912) -- (1.924,2.692) -- (1.705,2.477) -- (1.481,2.267) -- (1.252,2.062);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (4.155,5.078) -- (4.348,4.793) -- (4.549,4.513) -- (4.755,4.238) -- (4.969,3.967) -- (5.188,3.702) -- (5.414,3.441) -- (5.646,3.186) -- (5.883,2.937) -- (6.127,2.693) -- (6.376,2.455) -- (6.63,2.223) -- (6.89,1.998) -- (7.155,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (3.683,2.773) -- (3.518,2.696) -- (3.352,2.623) -- (3.184,2.553) -- (3.014,2.488) -- (2.843,2.427) -- (2.671,2.37) -- (2.497,2.317) -- (2.322,2.268) -- (2.146,2.223) -- (1.969,2.183) -- (1.791,2.146) -- (1.612,2.114) -- (1.432,2.086) -- (1.252,2.062);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.845,9.997) -- (3.823,10.077) -- (3.765,10.135) -- (3.685,10.157) -- (3.605,10.135) -- (3.546,10.077) -- (3.525,9.997) -- (3.546,9.917) -- (3.605,9.858) -- (3.685,9.837) -- (3.765,9.858) -- (3.823,9.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.702,9.391) -- (7.681,9.471) -- (7.622,9.529) -- (7.542,9.551) -- (7.462,9.529) -- (7.404,9.471) -- (7.382,9.391) -- (7.404,9.311) -- (7.462,9.252) -- (7.542,9.231) -- (7.622,9.252) -- (7.681,9.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.735,9.305) -- (10.714,9.385) -- (10.655,9.443) -- (10.575,9.465) -- (10.495,9.443) -- (10.437,9.385) -- (10.415,9.305) -- (10.437,9.225) -- (10.495,9.166) -- (10.575,9.145) -- (10.655,9.166) -- (10.714,9.225) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.412,6.574) -- (11.391,6.654) -- (11.332,6.713) -- (11.252,6.734) -- (11.172,6.713) -- (11.114,6.654) -- (11.092,6.574) -- (11.114,6.494) -- (11.172,6.436) -- (11.252,6.414) -- (11.332,6.436) -- (11.391,6.494) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.129,5.367) -- (4.107,5.447) -- (4.049,5.506) -- (3.969,5.527) -- (3.889,5.506) -- (3.83,5.447) -- (3.809,5.367) -- (3.83,5.287) -- (3.889,5.229) -- (3.969,5.207) -- (4.049,5.229) -- (4.107,5.287) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.843,2.773) -- (3.821,2.853) -- (3.763,2.911) -- (3.683,2.933) -- (3.603,2.911) -- (3.544,2.853) -- (3.523,2.773) -- (3.544,2.693) -- (3.603,2.634) -- (3.683,2.613) -- (3.763,2.634) -- (3.821,2.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.412,2.062) -- (1.391,2.142) -- (1.332,2.201) -- (1.252,2.222) -- (1.172,2.201) -- (1.114,2.142) -- (1.092,2.062) -- (1.114,1.982) -- (1.172,1.924) -- (1.252,1.902) -- (1.332,1.924) -- (1.391,1.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.315,1.778) -- (7.294,1.858) -- (7.235,1.917) -- (7.155,1.938) -- (7.075,1.917) -- (7.017,1.858) -- (6.995,1.778) -- (7.017,1.698) -- (7.075,1.64) -- (7.155,1.618) -- (7.235,1.64) -- (7.294,1.698) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.978,9.851) -- (5.933,10.021) -- (5.808,10.145) -- (5.638,10.191) -- (5.468,10.145) -- (5.344,10.021) -- (5.298,9.851) -- (5.344,9.681) -- (5.468,9.556) -- (5.638,9.511) -- (5.808,9.556) -- (5.933,9.681) -- cycle;
\node at (5.638,9.851) {\scalebox{1.416}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.411,9.793) -- (9.366,9.963) -- (9.241,10.087) -- (9.071,10.133) -- (8.901,10.087) -- (8.777,9.963) -- (8.731,9.793) -- (8.777,9.623) -- (8.901,9.498) -- (9.071,9.453) -- (9.241,9.498) -- (9.366,9.623) -- cycle;
\node at (9.071,9.793) {\scalebox{1.416}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.815,8.084) -- (9.769,8.254) -- (9.645,8.379) -- (9.475,8.424) -- (9.305,8.379) -- (9.18,8.254) -- (9.135,8.084) -- (9.18,7.914) -- (9.305,7.79) -- (9.475,7.744) -- (9.645,7.79) -- (9.769,7.914) -- cycle;
\node at (9.475,8.084) {\scalebox{1.416}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.501,7.019) -- (6.455,7.189) -- (6.331,7.313) -- (6.161,7.359) -- (5.991,7.313) -- (5.866,7.189) -- (5.821,7.019) -- (5.866,6.849) -- (5.991,6.725) -- (6.161,6.679) -- (6.331,6.725) -- (6.455,6.849) -- cycle;
\node at (6.161,7.019) {\scalebox{1.416}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.415,6.556) -- (8.37,6.726) -- (8.245,6.851) -- (8.075,6.896) -- (7.905,6.851) -- (7.781,6.726) -- (7.735,6.556) -- (7.781,6.386) -- (7.905,6.262) -- (8.075,6.216) -- (8.245,6.262) -- (8.37,6.386) -- cycle;
\node at (8.075,6.556) {\scalebox{1.416}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.677,8.044) -- (11.631,8.214) -- (11.507,8.339) -- (11.337,8.384) -- (11.167,8.339) -- (11.043,8.214) -- (10.997,8.044) -- (11.043,7.874) -- (11.167,7.75) -- (11.337,7.704) -- (11.507,7.75) -- (11.631,7.874) -- cycle;
\node at (11.337,8.044) {\scalebox{1.416}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.377,4.047) -- (4.331,4.217) -- (4.207,4.341) -- (4.037,4.387) -- (3.867,4.341) -- (3.742,4.217) -- (3.697,4.047) -- (3.742,3.877) -- (3.867,3.752) -- (4.037,3.707) -- (4.207,3.752) -- (4.331,3.877) -- cycle;
\node at (4.037,4.047) {\scalebox{1.416}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.334,3.399) -- (3.288,3.569) -- (3.164,3.694) -- (2.994,3.739) -- (2.824,3.694) -- (2.7,3.569) -- (2.654,3.399) -- (2.7,3.229) -- (2.824,3.105) -- (2.994,3.059) -- (3.164,3.105) -- (3.288,3.229) -- cycle;
\node at (2.994,3.399) {\scalebox{1.416}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.993,3.654) -- (5.948,3.824) -- (5.823,3.948) -- (5.653,3.994) -- (5.483,3.948) -- (5.359,3.824) -- (5.313,3.654) -- (5.359,3.484) -- (5.483,3.359) -- (5.653,3.314) -- (5.823,3.359) -- (5.948,3.484) -- cycle;
\node at (5.653,3.654) {\scalebox{1.416}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.927,2.01) -- (2.881,2.18) -- (2.757,2.304) -- (2.587,2.35) -- (2.417,2.304) -- (2.292,2.18) -- (2.247,2.01) -- (2.292,1.84) -- (2.417,1.716) -- (2.587,1.67) -- (2.757,1.716) -- (2.881,1.84) -- cycle;
\node at (2.587,2.01) {\scalebox{1.416}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.242,9.091) -- (7.842,9.091) -- (7.842,9.691) -- (7.242,9.691) -- cycle;
\node at (7.542,9.391) {\scalebox{1.416}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.872,2.953) -- (3.472,2.953) -- (3.472,3.553) -- (2.872,3.553) -- cycle;
\node at (3.172,3.253) {\scalebox{1.416}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.965,3.721) -- (4.565,3.721) -- (4.565,4.321) -- (3.965,4.321) -- cycle;
\node at (4.265,4.021) {\scalebox{1.416}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.64,0.65) -- (2.24,0.65) -- (2.24,1.25) -- (1.64,1.25) -- cycle;
\node at (1.94,0.95) {\scalebox{1.416}{\small d}};
\node at (3.366,10.528) {\scalebox{1.416}{\small A}};
\node at (7.774,9.966) {\scalebox{1.416}{\small B}};
\node at (11.067,9.682) {\scalebox{1.416}{\small C}};
\node at (11.867,6.655) {\scalebox{1.416}{\small D}};
\node at (3.367,5.218) {\scalebox{1.416}{\small E}};
\node at (3.3,2.285) {\scalebox{1.416}{\small F}};
\node at (0.765,1.679) {\scalebox{1.416}{\small G}};
\node at (7.303,1.176) {\scalebox{1.416}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.552,9.047) -- (12.552,10.147);
\draw[line width=0.5pt] (12.321,9.762) -- (12.552,10.147) -- (12.783,9.762);
\draw[line width=0.5pt] (12.25,9.597) -- (12.855,9.597);
\node at (12.552,10.532) {\scalebox{1.416}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse du Puits & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Rond-point de la Gare & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑧ rue des Lilas & Ⓒ Place de l'Église & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ chemin des Vignes & Ⓓ Place Sainte-Croix & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue du Moulin & ⑩ chemin de Ronde & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6317, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (3.685,9.997) -- (3.951,9.911) -- (4.22,9.833) -- (4.491,9.76) -- (4.763,9.694) -- (5.037,9.634) -- (5.312,9.581) -- (5.588,9.535) -- (5.866,9.494) -- (6.144,9.461) -- (6.423,9.433) -- (6.702,9.413) -- (6.982,9.399) -- (7.262,9.391) -- (7.542,9.391);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.758,9.418) -- (7.974,9.44) -- (8.192,9.457) -- (8.409,9.468) -- (8.627,9.475) -- (8.844,9.476) -- (9.062,9.473) -- (9.28,9.464) -- (9.497,9.45) -- (9.714,9.431) -- (9.931,9.407) -- (10.146,9.378) -- (10.361,9.344) -- (10.575,9.305);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.774,9.151) -- (8.012,8.916) -- (8.255,8.687) -- (8.504,8.464) -- (8.758,8.246) -- (9.017,8.035) -- (9.281,7.829) -- (9.55,7.63) -- (9.823,7.438) -- (10.101,7.252) -- (10.383,7.072) -- (10.669,6.899) -- (10.959,6.733) -- (11.252,6.574);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.333,9.067) -- (7.116,8.747) -- (6.892,8.433) -- (6.66,8.124) -- (6.421,7.821) -- (6.174,7.523) -- (5.921,7.232) -- (5.661,6.946) -- (5.395,6.666) -- (5.122,6.393) -- (4.843,6.126) -- (4.557,5.866) -- (4.266,5.613) -- (3.969,5.367);
\draw[line width=0.5pt] (7.542,9.391) -- (7.526,9.185) -- (7.515,8.979) -- (7.508,8.773) -- (7.507,8.567) -- (7.51,8.36) -- (7.518,8.154) -- (7.531,7.948) -- (7.549,7.743) -- (7.572,7.537) -- (7.599,7.333) -- (7.631,7.129) -- (7.668,6.926) -- (7.71,6.724) -- (7.757,6.523) -- (7.766,6.181) -- (7.767,5.837) -- (7.76,5.494) -- (7.745,5.152) -- (7.722,4.809) -- (7.691,4.467) -- (7.652,4.126) -- (7.605,3.786) -- (7.549,3.447) -- (7.486,3.11) -- (7.415,2.774) -- (7.337,2.44) -- (7.25,2.108) -- (7.155,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (10.575,9.305) -- (10.653,9.118) -- (10.726,8.931) -- (10.795,8.741) -- (10.86,8.55) -- (10.92,8.357) -- (10.975,8.163) -- (11.026,7.967) -- (11.073,7.771) -- (11.114,7.573) -- (11.151,7.375) -- (11.184,7.176) -- (11.211,6.976) -- (11.234,6.775) -- (11.252,6.574);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (3.92,5.186) -- (3.876,5.004) -- (3.835,4.822) -- (3.8,4.638) -- (3.768,4.453) -- (3.741,4.268) -- (3.719,4.082) -- (3.7,3.895) -- (3.686,3.708) -- (3.677,3.521) -- (3.672,3.334) -- (3.671,3.147) -- (3.675,2.959) -- (3.683,2.773);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (3.812,5.103) -- (3.65,4.843) -- (3.481,4.587) -- (3.306,4.334) -- (3.125,4.086) -- (2.939,3.842) -- (2.747,3.603) -- (2.549,3.368) -- (2.346,3.138) -- (2.137,2.912) -- (1.924,2.692) -- (1.705,2.477) -- (1.481,2.267) -- (1.252,2.062);
\draw[line width=0.5pt] (3.969,5.367) -- (4.155,5.078) -- (4.348,4.793) -- (4.549,4.513) -- (4.755,4.238) -- (4.969,3.967) -- (5.188,3.702) -- (5.414,3.441) -- (5.646,3.186) -- (5.883,2.937) -- (6.127,2.693) -- (6.376,2.455) -- (6.63,2.223) -- (6.89,1.998) -- (7.155,1.778);
\draw[line width=0.5pt] (3.683,2.773) -- (3.518,2.696) -- (3.352,2.623) -- (3.184,2.553) -- (3.014,2.488) -- (2.843,2.427) -- (2.671,2.37) -- (2.497,2.317) -- (2.322,2.268) -- (2.146,2.223) -- (1.969,2.183) -- (1.791,2.146) -- (1.612,2.114) -- (1.432,2.086) -- (1.252,2.062);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.845,9.997) -- (3.823,10.077) -- (3.765,10.135) -- (3.685,10.157) -- (3.605,10.135) -- (3.546,10.077) -- (3.525,9.997) -- (3.546,9.917) -- (3.605,9.858) -- (3.685,9.837) -- (3.765,9.858) -- (3.823,9.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.702,9.391) -- (7.681,9.471) -- (7.622,9.529) -- (7.542,9.551) -- (7.462,9.529) -- (7.404,9.471) -- (7.382,9.391) -- (7.404,9.311) -- (7.462,9.252) -- (7.542,9.231) -- (7.622,9.252) -- (7.681,9.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.735,9.305) -- (10.714,9.385) -- (10.655,9.443) -- (10.575,9.465) -- (10.495,9.443) -- (10.437,9.385) -- (10.415,9.305) -- (10.437,9.225) -- (10.495,9.166) -- (10.575,9.145) -- (10.655,9.166) -- (10.714,9.225) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.412,6.574) -- (11.391,6.654) -- (11.332,6.713) -- (11.252,6.734) -- (11.172,6.713) -- (11.114,6.654) -- (11.092,6.574) -- (11.114,6.494) -- (11.172,6.436) -- (11.252,6.414) -- (11.332,6.436) -- (11.391,6.494) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.129,5.367) -- (4.107,5.447) -- (4.049,5.506) -- (3.969,5.527) -- (3.889,5.506) -- (3.83,5.447) -- (3.809,5.367) -- (3.83,5.287) -- (3.889,5.229) -- (3.969,5.207) -- (4.049,5.229) -- (4.107,5.287) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.843,2.773) -- (3.821,2.853) -- (3.763,2.911) -- (3.683,2.933) -- (3.603,2.911) -- (3.544,2.853) -- (3.523,2.773) -- (3.544,2.693) -- (3.603,2.634) -- (3.683,2.613) -- (3.763,2.634) -- (3.821,2.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.412,2.062) -- (1.391,2.142) -- (1.332,2.201) -- (1.252,2.222) -- (1.172,2.201) -- (1.114,2.142) -- (1.092,2.062) -- (1.114,1.982) -- (1.172,1.924) -- (1.252,1.902) -- (1.332,1.924) -- (1.391,1.982) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.315,1.778) -- (7.294,1.858) -- (7.235,1.917) -- (7.155,1.938) -- (7.075,1.917) -- (7.017,1.858) -- (6.995,1.778) -- (7.017,1.698) -- (7.075,1.64) -- (7.155,1.618) -- (7.235,1.64) -- (7.294,1.698) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.978,9.851) -- (5.933,10.021) -- (5.808,10.145) -- (5.638,10.191) -- (5.468,10.145) -- (5.344,10.021) -- (5.298,9.851) -- (5.344,9.681) -- (5.468,9.556) -- (5.638,9.511) -- (5.808,9.556) -- (5.933,9.681) -- cycle;
\node at (5.638,9.851) {\scalebox{1.583}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.411,9.793) -- (9.366,9.963) -- (9.241,10.087) -- (9.071,10.133) -- (8.901,10.087) -- (8.777,9.963) -- (8.731,9.793) -- (8.777,9.623) -- (8.901,9.498) -- (9.071,9.453) -- (9.241,9.498) -- (9.366,9.623) -- cycle;
\node at (9.071,9.793) {\scalebox{1.583}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.815,8.084) -- (9.769,8.254) -- (9.645,8.379) -- (9.475,8.424) -- (9.305,8.379) -- (9.18,8.254) -- (9.135,8.084) -- (9.18,7.914) -- (9.305,7.79) -- (9.475,7.744) -- (9.645,7.79) -- (9.769,7.914) -- cycle;
\node at (9.475,8.084) {\scalebox{1.583}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.501,7.019) -- (6.455,7.189) -- (6.331,7.313) -- (6.161,7.359) -- (5.991,7.313) -- (5.866,7.189) -- (5.821,7.019) -- (5.866,6.849) -- (5.991,6.725) -- (6.161,6.679) -- (6.331,6.725) -- (6.455,6.849) -- cycle;
\node at (6.161,7.019) {\scalebox{1.583}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.415,6.556) -- (8.37,6.726) -- (8.245,6.851) -- (8.075,6.896) -- (7.905,6.851) -- (7.781,6.726) -- (7.735,6.556) -- (7.781,6.386) -- (7.905,6.262) -- (8.075,6.216) -- (8.245,6.262) -- (8.37,6.386) -- cycle;
\node at (8.075,6.556) {\scalebox{1.583}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.677,8.044) -- (11.631,8.214) -- (11.507,8.339) -- (11.337,8.384) -- (11.167,8.339) -- (11.043,8.214) -- (10.997,8.044) -- (11.043,7.874) -- (11.167,7.75) -- (11.337,7.704) -- (11.507,7.75) -- (11.631,7.874) -- cycle;
\node at (11.337,8.044) {\scalebox{1.583}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.377,4.047) -- (4.331,4.217) -- (4.207,4.341) -- (4.037,4.387) -- (3.867,4.341) -- (3.742,4.217) -- (3.697,4.047) -- (3.742,3.877) -- (3.867,3.752) -- (4.037,3.707) -- (4.207,3.752) -- (4.331,3.877) -- cycle;
\node at (4.037,4.047) {\scalebox{1.583}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.334,3.399) -- (3.288,3.569) -- (3.164,3.694) -- (2.994,3.739) -- (2.824,3.694) -- (2.7,3.569) -- (2.654,3.399) -- (2.7,3.229) -- (2.824,3.105) -- (2.994,3.059) -- (3.164,3.105) -- (3.288,3.229) -- cycle;
\node at (2.994,3.399) {\scalebox{1.583}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.993,3.654) -- (5.948,3.824) -- (5.823,3.948) -- (5.653,3.994) -- (5.483,3.948) -- (5.359,3.824) -- (5.313,3.654) -- (5.359,3.484) -- (5.483,3.359) -- (5.653,3.314) -- (5.823,3.359) -- (5.948,3.484) -- cycle;
\node at (5.653,3.654) {\scalebox{1.583}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.927,2.01) -- (2.881,2.18) -- (2.757,2.304) -- (2.587,2.35) -- (2.417,2.304) -- (2.292,2.18) -- (2.247,2.01) -- (2.292,1.84) -- (2.417,1.716) -- (2.587,1.67) -- (2.757,1.716) -- (2.881,1.84) -- cycle;
\node at (2.587,2.01) {\scalebox{1.583}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.242,9.091) -- (7.842,9.091) -- (7.842,9.691) -- (7.242,9.691) -- cycle;
\node at (7.542,9.391) {\scalebox{1.583}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.872,2.953) -- (3.472,2.953) -- (3.472,3.553) -- (2.872,3.553) -- cycle;
\node at (3.172,3.253) {\scalebox{1.583}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.965,3.721) -- (4.565,3.721) -- (4.565,4.321) -- (3.965,4.321) -- cycle;
\node at (4.265,4.021) {\scalebox{1.583}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.64,0.65) -- (2.24,0.65) -- (2.24,1.25) -- (1.64,1.25) -- cycle;
\node at (1.94,0.95) {\scalebox{1.583}{\small d}};
\node at (3.366,10.528) {\scalebox{1.583}{\small A}};
\node at (7.774,9.966) {\scalebox{1.583}{\small B}};
\node at (11.067,9.682) {\scalebox{1.583}{\small C}};
\node at (11.867,6.655) {\scalebox{1.583}{\small D}};
\node at (3.367,5.218) {\scalebox{1.583}{\small E}};
\node at (3.3,2.285) {\scalebox{1.583}{\small F}};
\node at (0.765,1.679) {\scalebox{1.583}{\small G}};
\node at (7.303,1.176) {\scalebox{1.583}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.552,9.047) -- (12.552,10.147);
\draw[line width=0.5pt] (12.321,9.762) -- (12.552,10.147) -- (12.783,9.762);
\draw[line width=0.5pt] (12.25,9.597) -- (12.855,9.597);
\node at (12.552,10.532) {\scalebox{1.583}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 5 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{B}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Verte ②} vers l'est et atteint Place de l'Église \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑨}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑤}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse du Puits ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{B} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
