\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 381}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=381}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0381}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7226, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.48,11.548) -- (7.192,11.34) -- (6.908,11.125) -- (6.63,10.903) -- (6.357,10.675) -- (6.089,10.441) -- (5.827,10.2) -- (5.57,9.953) -- (5.319,9.7) -- (5.075,9.442) -- (4.836,9.177) -- (4.604,8.908) -- (4.378,8.632) -- (4.159,8.352) -- (3.947,8.067);
\draw[line width=0.5pt] (7.48,11.548) -- (7.561,11.294) -- (7.636,11.038) -- (7.705,10.78) -- (7.768,10.521) -- (7.825,10.26) -- (7.876,9.998) -- (7.92,9.734) -- (7.959,9.47) -- (7.991,9.205) -- (8.017,8.939) -- (8.036,8.673) -- (8.05,8.406) -- (8.057,8.14) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (1.83,11.447) -- (1.943,11.184) -- (2.062,10.924) -- (2.188,10.667) -- (2.319,10.413) -- (2.457,10.162) -- (2.6,9.914) -- (2.749,9.669) -- (2.904,9.429) -- (3.064,9.192) -- (3.23,8.958) -- (3.402,8.729) -- (3.578,8.504) -- (3.76,8.283) -- (3.947,8.067);
\draw[line width=0.5pt] (10.944,8.43) -- (10.745,8.359) -- (10.545,8.293) -- (10.344,8.231) -- (10.14,8.174) -- (9.936,8.122) -- (9.73,8.075) -- (9.524,8.033) -- (9.316,7.995) -- (9.107,7.962) -- (8.898,7.935) -- (8.689,7.912) -- (8.478,7.894) -- (8.268,7.881) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (10.944,8.43) -- (10.636,8.198) -- (10.333,7.959) -- (10.036,7.712) -- (9.745,7.459) -- (9.46,7.199) -- (9.182,6.932) -- (8.909,6.658) -- (8.643,6.378) -- (8.384,6.092) -- (8.131,5.8) -- (7.886,5.503) -- (7.647,5.199) -- (7.416,4.89) -- (7.193,4.576);
\draw[line width=0.5pt] (3.947,8.067) -- (4.24,8.098) -- (4.535,8.122) -- (4.829,8.14) -- (5.124,8.15) -- (5.42,8.153) -- (5.715,8.15) -- (6.01,8.139) -- (6.305,8.122) -- (6.599,8.098) -- (6.893,8.067) -- (7.186,8.028) -- (7.478,7.983) -- (7.768,7.932) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (3.947,8.067) -- (3.963,7.803) -- (3.986,7.54) -- (4.015,7.277) -- (4.05,7.015) -- (4.092,6.754) -- (4.139,6.494) -- (4.192,6.235) -- (4.252,5.977) -- (4.318,5.721) -- (4.389,5.466) -- (4.467,5.214) -- (4.55,4.963) -- (4.64,4.714) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.057,7.873) -- (8.032,7.63) -- (8.001,7.387) -- (7.964,7.146) -- (7.922,6.905) -- (7.874,6.665) -- (7.82,6.426) -- (7.761,6.189) -- (7.696,5.953) -- (7.626,5.719) -- (7.55,5.486) -- (7.469,5.255) -- (7.382,5.027) -- (7.29,4.8) -- (7.193,4.576);
\draw[line width=0.5pt] (1.357,5.066) -- (1.59,4.987) -- (1.825,4.913) -- (2.061,4.845) -- (2.299,4.782) -- (2.539,4.725) -- (2.779,4.673) -- (3.021,4.628) -- (3.264,4.588) -- (3.508,4.553) -- (3.753,4.524) -- (3.998,4.502) -- (4.243,4.484) -- (4.489,4.473) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (1.357,5.066) -- (1.633,4.854) -- (1.905,4.634) -- (2.171,4.409) -- (2.431,4.177) -- (2.687,3.939) -- (2.936,3.695) -- (3.18,3.445) -- (3.418,3.19) -- (3.65,2.929) -- (3.875,2.663) -- (4.094,2.392) -- (4.307,2.115) -- (4.513,1.834) -- (4.712,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.193,4.576) -- (7.017,4.595) -- (6.841,4.61) -- (6.665,4.621) -- (6.489,4.628) -- (6.312,4.631) -- (6.136,4.629) -- (5.959,4.623) -- (5.783,4.613) -- (5.607,4.599) -- (5.431,4.581) -- (5.256,4.559) -- (5.082,4.533) -- (4.908,4.502) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.193,4.576) -- (7.454,4.45) -- (7.712,4.318) -- (7.968,4.18) -- (8.22,4.035) -- (8.468,3.885) -- (8.713,3.729) -- (8.955,3.567) -- (9.192,3.4) -- (9.426,3.227) -- (9.655,3.048) -- (9.88,2.865) -- (10.101,2.676) -- (10.317,2.482) -- (10.528,2.283);
\draw[line width=0.5pt] (10.528,2.283) -- (10.344,2.315) -- (10.16,2.342) -- (9.974,2.365) -- (9.789,2.383) -- (9.603,2.397) -- (9.416,2.407) -- (9.23,2.412) -- (9.043,2.413) -- (8.856,2.41) -- (8.67,2.402) -- (8.484,2.39) -- (8.298,2.373) -- (8.112,2.352) -- (7.928,2.327) -- (7.708,2.237) -- (7.487,2.151) -- (7.263,2.071) -- (7.038,1.997) -- (6.811,1.927) -- (6.582,1.863) -- (6.352,1.805) -- (6.121,1.752) -- (5.888,1.704) -- (5.654,1.662) -- (5.42,1.625) -- (5.185,1.594) -- (4.949,1.568) -- (4.712,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.64,11.548) -- (7.619,11.628) -- (7.56,11.687) -- (7.48,11.708) -- (7.4,11.687) -- (7.342,11.628) -- (7.32,11.548) -- (7.342,11.468) -- (7.4,11.409) -- (7.48,11.388) -- (7.56,11.409) -- (7.619,11.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.99,11.447) -- (1.968,11.527) -- (1.91,11.585) -- (1.83,11.607) -- (1.75,11.585) -- (1.691,11.527) -- (1.67,11.447) -- (1.691,11.367) -- (1.75,11.308) -- (1.83,11.287) -- (1.91,11.308) -- (1.968,11.367) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.104,8.43) -- (11.082,8.51) -- (11.024,8.569) -- (10.944,8.59) -- (10.864,8.569) -- (10.805,8.51) -- (10.784,8.43) -- (10.805,8.35) -- (10.864,8.292) -- (10.944,8.27) -- (11.024,8.292) -- (11.082,8.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.107,8.067) -- (4.086,8.147) -- (4.027,8.205) -- (3.947,8.227) -- (3.867,8.205) -- (3.809,8.147) -- (3.787,8.067) -- (3.809,7.987) -- (3.867,7.928) -- (3.947,7.907) -- (4.027,7.928) -- (4.086,7.987) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.217,7.873) -- (8.196,7.953) -- (8.137,8.011) -- (8.057,8.033) -- (7.977,8.011) -- (7.919,7.953) -- (7.897,7.873) -- (7.919,7.793) -- (7.977,7.734) -- (8.057,7.713) -- (8.137,7.734) -- (8.196,7.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.517,5.066) -- (1.496,5.146) -- (1.437,5.205) -- (1.357,5.226) -- (1.277,5.205) -- (1.219,5.146) -- (1.197,5.066) -- (1.219,4.986) -- (1.277,4.928) -- (1.357,4.906) -- (1.437,4.928) -- (1.496,4.986) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.353,4.576) -- (7.331,4.656) -- (7.273,4.715) -- (7.193,4.736) -- (7.113,4.715) -- (7.054,4.656) -- (7.033,4.576) -- (7.054,4.496) -- (7.113,4.438) -- (7.193,4.416) -- (7.273,4.438) -- (7.331,4.496) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.895,4.468) -- (4.873,4.548) -- (4.815,4.606) -- (4.735,4.628) -- (4.655,4.606) -- (4.596,4.548) -- (4.575,4.468) -- (4.596,4.388) -- (4.655,4.329) -- (4.735,4.308) -- (4.815,4.329) -- (4.873,4.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.688,2.283) -- (10.666,2.363) -- (10.608,2.422) -- (10.528,2.443) -- (10.448,2.422) -- (10.389,2.363) -- (10.368,2.283) -- (10.389,2.203) -- (10.448,2.144) -- (10.528,2.123) -- (10.608,2.144) -- (10.666,2.203) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.872,1.548) -- (4.851,1.628) -- (4.792,1.687) -- (4.712,1.708) -- (4.632,1.687) -- (4.574,1.628) -- (4.552,1.548) -- (4.574,1.468) -- (4.632,1.409) -- (4.712,1.388) -- (4.792,1.409) -- (4.851,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.135,9.725) -- (6.089,9.895) -- (5.965,10.02) -- (5.795,10.065) -- (5.625,10.02) -- (5.5,9.895) -- (5.455,9.725) -- (5.5,9.555) -- (5.625,9.431) -- (5.795,9.385) -- (5.965,9.431) -- (6.089,9.555) -- cycle;
\node at (5.795,9.725) {\scalebox{1.384}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.577,9.784) -- (8.531,9.954) -- (8.407,10.078) -- (8.237,10.124) -- (8.067,10.078) -- (7.942,9.954) -- (7.897,9.784) -- (7.942,9.614) -- (8.067,9.489) -- (8.237,9.444) -- (8.407,9.489) -- (8.531,9.614) -- cycle;
\node at (8.237,9.784) {\scalebox{1.384}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.36,9.839) -- (3.315,10.009) -- (3.19,10.134) -- (3.02,10.179) -- (2.85,10.134) -- (2.726,10.009) -- (2.68,9.839) -- (2.726,9.669) -- (2.85,9.545) -- (3.02,9.499) -- (3.19,9.545) -- (3.315,9.669) -- cycle;
\node at (3.02,9.839) {\scalebox{1.384}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.924,7.718) -- (9.879,7.888) -- (9.754,8.013) -- (9.584,8.058) -- (9.414,8.013) -- (9.29,7.888) -- (9.244,7.718) -- (9.29,7.548) -- (9.414,7.424) -- (9.584,7.378) -- (9.754,7.424) -- (9.879,7.548) -- cycle;
\node at (9.584,7.718) {\scalebox{1.384}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.478,6.435) -- (9.433,6.605) -- (9.308,6.729) -- (9.138,6.775) -- (8.968,6.729) -- (8.844,6.605) -- (8.798,6.435) -- (8.844,6.265) -- (8.968,6.14) -- (9.138,6.095) -- (9.308,6.14) -- (9.433,6.265) -- cycle;
\node at (9.138,6.435) {\scalebox{1.384}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.365,8.459) -- (6.32,8.629) -- (6.195,8.753) -- (6.025,8.799) -- (5.855,8.753) -- (5.731,8.629) -- (5.685,8.459) -- (5.731,8.289) -- (5.855,8.165) -- (6.025,8.119) -- (6.195,8.165) -- (6.32,8.289) -- cycle;
\node at (6.025,8.459) {\scalebox{1.384}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.845,6.303) -- (4.799,6.473) -- (4.675,6.598) -- (4.505,6.643) -- (4.335,6.598) -- (4.211,6.473) -- (4.165,6.303) -- (4.211,6.133) -- (4.335,6.009) -- (4.505,5.963) -- (4.675,6.009) -- (4.799,6.133) -- cycle;
\node at (4.505,6.303) {\scalebox{1.384}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.41,6.108) -- (8.365,6.278) -- (8.24,6.402) -- (8.07,6.448) -- (7.9,6.402) -- (7.776,6.278) -- (7.73,6.108) -- (7.776,5.938) -- (7.9,5.813) -- (8.07,5.768) -- (8.24,5.813) -- (8.365,5.938) -- cycle;
\node at (8.07,6.108) {\scalebox{1.384}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.417,4.943) -- (3.372,5.113) -- (3.247,5.237) -- (3.077,5.283) -- (2.907,5.237) -- (2.783,5.113) -- (2.737,4.943) -- (2.783,4.773) -- (2.907,4.648) -- (3.077,4.603) -- (3.247,4.648) -- (3.372,4.773) -- cycle;
\node at (3.077,4.943) {\scalebox{1.384}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.751,3.666) -- (3.706,3.836) -- (3.581,3.961) -- (3.411,4.006) -- (3.241,3.961) -- (3.117,3.836) -- (3.071,3.666) -- (3.117,3.496) -- (3.241,3.372) -- (3.411,3.326) -- (3.581,3.372) -- (3.706,3.496) -- cycle;
\node at (3.411,3.666) {\scalebox{1.384}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.313,4.304) -- (6.268,4.474) -- (6.143,4.598) -- (5.973,4.644) -- (5.803,4.598) -- (5.679,4.474) -- (5.633,4.304) -- (5.679,4.134) -- (5.803,4.009) -- (5.973,3.964) -- (6.143,4.009) -- (6.268,4.134) -- cycle;
\node at (5.973,4.304) {\scalebox{1.384}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.476,3.831) -- (9.431,4.001) -- (9.306,4.125) -- (9.136,4.171) -- (8.966,4.125) -- (8.842,4.001) -- (8.796,3.831) -- (8.842,3.661) -- (8.966,3.536) -- (9.136,3.491) -- (9.306,3.536) -- (9.431,3.661) -- cycle;
\node at (9.136,3.831) {\scalebox{1.384}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.356,2.019) -- (8.31,2.189) -- (8.186,2.314) -- (8.016,2.359) -- (7.846,2.314) -- (7.721,2.189) -- (7.676,2.019) -- (7.721,1.849) -- (7.846,1.725) -- (8.016,1.679) -- (8.186,1.725) -- (8.31,1.849) -- cycle;
\node at (8.016,2.019) {\scalebox{1.384}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.435,4.168) -- (5.035,4.168) -- (5.035,4.768) -- (4.435,4.768) -- cycle;
\node at (4.735,4.468) {\scalebox{1.384}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.654,5.388) -- (10.254,5.388) -- (10.254,5.988) -- (9.654,5.988) -- cycle;
\node at (9.954,5.688) {\scalebox{1.384}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.831,3.04) -- (10.431,3.04) -- (10.431,3.64) -- (9.831,3.64) -- cycle;
\node at (10.131,3.34) {\scalebox{1.384}{\small c}};
\node at (7.647,12.145) {\scalebox{1.384}{\small A}};
\node at (1.424,11.916) {\scalebox{1.384}{\small B}};
\node at (11.521,8.656) {\scalebox{1.384}{\small C}};
\node at (3.444,8.429) {\scalebox{1.384}{\small D}};
\node at (8.57,8.221) {\scalebox{1.384}{\small E}};
\node at (0.765,4.883) {\scalebox{1.384}{\small F}};
\node at (7.5,4.038) {\scalebox{1.384}{\small G}};
\node at (4.396,3.948) {\scalebox{1.384}{\small H}};
\node at (10.976,1.855) {\scalebox{1.384}{\small I}};
\node at (4.548,0.95) {\scalebox{1.384}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.244,10.598) -- (12.244,11.698);
\draw[line width=0.5pt] (12.013,11.313) -- (12.244,11.698) -- (12.475,11.313);
\draw[line width=0.5pt] (11.941,11.148) -- (12.546,11.148);
\node at (12.244,12.083) {\scalebox{1.384}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Lilas & ⑧ rue du Moulin & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑨ rue du Four & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ impasse du Puits & ⑩ chemin des Vignes & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑪ rue Basse & Ⓓ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑤ rue de la Mairie & ⑫ chemin Creux & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ rue de l'Église & ⑬ rue des Écoles & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
⑦ passage du Marché &  & Ⓖ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓙ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6466, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.48,11.548) -- (7.192,11.34) -- (6.908,11.125) -- (6.63,10.903) -- (6.357,10.675) -- (6.089,10.441) -- (5.827,10.2) -- (5.57,9.953) -- (5.319,9.7) -- (5.075,9.442) -- (4.836,9.177) -- (4.604,8.908) -- (4.378,8.632) -- (4.159,8.352) -- (3.947,8.067);
\draw[line width=0.5pt] (7.48,11.548) -- (7.561,11.294) -- (7.636,11.038) -- (7.705,10.78) -- (7.768,10.521) -- (7.825,10.26) -- (7.876,9.998) -- (7.92,9.734) -- (7.959,9.47) -- (7.991,9.205) -- (8.017,8.939) -- (8.036,8.673) -- (8.05,8.406) -- (8.057,8.14) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (1.83,11.447) -- (1.943,11.184) -- (2.062,10.924) -- (2.188,10.667) -- (2.319,10.413) -- (2.457,10.162) -- (2.6,9.914) -- (2.749,9.669) -- (2.904,9.429) -- (3.064,9.192) -- (3.23,8.958) -- (3.402,8.729) -- (3.578,8.504) -- (3.76,8.283) -- (3.947,8.067);
\draw[line width=0.5pt] (10.944,8.43) -- (10.745,8.359) -- (10.545,8.293) -- (10.344,8.231) -- (10.14,8.174) -- (9.936,8.122) -- (9.73,8.075) -- (9.524,8.033) -- (9.316,7.995) -- (9.107,7.962) -- (8.898,7.935) -- (8.689,7.912) -- (8.478,7.894) -- (8.268,7.881) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (10.944,8.43) -- (10.636,8.198) -- (10.333,7.959) -- (10.036,7.712) -- (9.745,7.459) -- (9.46,7.199) -- (9.182,6.932) -- (8.909,6.658) -- (8.643,6.378) -- (8.384,6.092) -- (8.131,5.8) -- (7.886,5.503) -- (7.647,5.199) -- (7.416,4.89) -- (7.193,4.576);
\draw[line width=0.5pt] (3.947,8.067) -- (4.24,8.098) -- (4.535,8.122) -- (4.829,8.14) -- (5.124,8.15) -- (5.42,8.153) -- (5.715,8.15) -- (6.01,8.139) -- (6.305,8.122) -- (6.599,8.098) -- (6.893,8.067) -- (7.186,8.028) -- (7.478,7.983) -- (7.768,7.932) -- (8.057,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (3.947,8.067) -- (3.963,7.803) -- (3.986,7.54) -- (4.015,7.277) -- (4.05,7.015) -- (4.092,6.754) -- (4.139,6.494) -- (4.192,6.235) -- (4.252,5.977) -- (4.318,5.721) -- (4.389,5.466) -- (4.467,5.214) -- (4.55,4.963) -- (4.64,4.714) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.057,7.873) -- (8.032,7.63) -- (8.001,7.387) -- (7.964,7.146) -- (7.922,6.905) -- (7.874,6.665) -- (7.82,6.426) -- (7.761,6.189) -- (7.696,5.953) -- (7.626,5.719) -- (7.55,5.486) -- (7.469,5.255) -- (7.382,5.027) -- (7.29,4.8) -- (7.193,4.576);
\draw[line width=0.5pt] (1.357,5.066) -- (1.59,4.987) -- (1.825,4.913) -- (2.061,4.845) -- (2.299,4.782) -- (2.539,4.725) -- (2.779,4.673) -- (3.021,4.628) -- (3.264,4.588) -- (3.508,4.553) -- (3.753,4.524) -- (3.998,4.502) -- (4.243,4.484) -- (4.489,4.473) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (1.357,5.066) -- (1.633,4.854) -- (1.905,4.634) -- (2.171,4.409) -- (2.431,4.177) -- (2.687,3.939) -- (2.936,3.695) -- (3.18,3.445) -- (3.418,3.19) -- (3.65,2.929) -- (3.875,2.663) -- (4.094,2.392) -- (4.307,2.115) -- (4.513,1.834) -- (4.712,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.193,4.576) -- (7.017,4.595) -- (6.841,4.61) -- (6.665,4.621) -- (6.489,4.628) -- (6.312,4.631) -- (6.136,4.629) -- (5.959,4.623) -- (5.783,4.613) -- (5.607,4.599) -- (5.431,4.581) -- (5.256,4.559) -- (5.082,4.533) -- (4.908,4.502) -- (4.735,4.468);
\draw[line width=0.5pt] (7.193,4.576) -- (7.454,4.45) -- (7.712,4.318) -- (7.968,4.18) -- (8.22,4.035) -- (8.468,3.885) -- (8.713,3.729) -- (8.955,3.567) -- (9.192,3.4) -- (9.426,3.227) -- (9.655,3.048) -- (9.88,2.865) -- (10.101,2.676) -- (10.317,2.482) -- (10.528,2.283);
\draw[line width=0.5pt] (10.528,2.283) -- (10.344,2.315) -- (10.16,2.342) -- (9.974,2.365) -- (9.789,2.383) -- (9.603,2.397) -- (9.416,2.407) -- (9.23,2.412) -- (9.043,2.413) -- (8.856,2.41) -- (8.67,2.402) -- (8.484,2.39) -- (8.298,2.373) -- (8.112,2.352) -- (7.928,2.327) -- (7.708,2.237) -- (7.487,2.151) -- (7.263,2.071) -- (7.038,1.997) -- (6.811,1.927) -- (6.582,1.863) -- (6.352,1.805) -- (6.121,1.752) -- (5.888,1.704) -- (5.654,1.662) -- (5.42,1.625) -- (5.185,1.594) -- (4.949,1.568) -- (4.712,1.548);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.64,11.548) -- (7.619,11.628) -- (7.56,11.687) -- (7.48,11.708) -- (7.4,11.687) -- (7.342,11.628) -- (7.32,11.548) -- (7.342,11.468) -- (7.4,11.409) -- (7.48,11.388) -- (7.56,11.409) -- (7.619,11.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.99,11.447) -- (1.968,11.527) -- (1.91,11.585) -- (1.83,11.607) -- (1.75,11.585) -- (1.691,11.527) -- (1.67,11.447) -- (1.691,11.367) -- (1.75,11.308) -- (1.83,11.287) -- (1.91,11.308) -- (1.968,11.367) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.104,8.43) -- (11.082,8.51) -- (11.024,8.569) -- (10.944,8.59) -- (10.864,8.569) -- (10.805,8.51) -- (10.784,8.43) -- (10.805,8.35) -- (10.864,8.292) -- (10.944,8.27) -- (11.024,8.292) -- (11.082,8.35) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.107,8.067) -- (4.086,8.147) -- (4.027,8.205) -- (3.947,8.227) -- (3.867,8.205) -- (3.809,8.147) -- (3.787,8.067) -- (3.809,7.987) -- (3.867,7.928) -- (3.947,7.907) -- (4.027,7.928) -- (4.086,7.987) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.217,7.873) -- (8.196,7.953) -- (8.137,8.011) -- (8.057,8.033) -- (7.977,8.011) -- (7.919,7.953) -- (7.897,7.873) -- (7.919,7.793) -- (7.977,7.734) -- (8.057,7.713) -- (8.137,7.734) -- (8.196,7.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.517,5.066) -- (1.496,5.146) -- (1.437,5.205) -- (1.357,5.226) -- (1.277,5.205) -- (1.219,5.146) -- (1.197,5.066) -- (1.219,4.986) -- (1.277,4.928) -- (1.357,4.906) -- (1.437,4.928) -- (1.496,4.986) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.353,4.576) -- (7.331,4.656) -- (7.273,4.715) -- (7.193,4.736) -- (7.113,4.715) -- (7.054,4.656) -- (7.033,4.576) -- (7.054,4.496) -- (7.113,4.438) -- (7.193,4.416) -- (7.273,4.438) -- (7.331,4.496) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.895,4.468) -- (4.873,4.548) -- (4.815,4.606) -- (4.735,4.628) -- (4.655,4.606) -- (4.596,4.548) -- (4.575,4.468) -- (4.596,4.388) -- (4.655,4.329) -- (4.735,4.308) -- (4.815,4.329) -- (4.873,4.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.688,2.283) -- (10.666,2.363) -- (10.608,2.422) -- (10.528,2.443) -- (10.448,2.422) -- (10.389,2.363) -- (10.368,2.283) -- (10.389,2.203) -- (10.448,2.144) -- (10.528,2.123) -- (10.608,2.144) -- (10.666,2.203) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.872,1.548) -- (4.851,1.628) -- (4.792,1.687) -- (4.712,1.708) -- (4.632,1.687) -- (4.574,1.628) -- (4.552,1.548) -- (4.574,1.468) -- (4.632,1.409) -- (4.712,1.388) -- (4.792,1.409) -- (4.851,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.135,9.725) -- (6.089,9.895) -- (5.965,10.02) -- (5.795,10.065) -- (5.625,10.02) -- (5.5,9.895) -- (5.455,9.725) -- (5.5,9.555) -- (5.625,9.431) -- (5.795,9.385) -- (5.965,9.431) -- (6.089,9.555) -- cycle;
\node at (5.795,9.725) {\scalebox{1.547}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.577,9.784) -- (8.531,9.954) -- (8.407,10.078) -- (8.237,10.124) -- (8.067,10.078) -- (7.942,9.954) -- (7.897,9.784) -- (7.942,9.614) -- (8.067,9.489) -- (8.237,9.444) -- (8.407,9.489) -- (8.531,9.614) -- cycle;
\node at (8.237,9.784) {\scalebox{1.547}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.36,9.839) -- (3.315,10.009) -- (3.19,10.134) -- (3.02,10.179) -- (2.85,10.134) -- (2.726,10.009) -- (2.68,9.839) -- (2.726,9.669) -- (2.85,9.545) -- (3.02,9.499) -- (3.19,9.545) -- (3.315,9.669) -- cycle;
\node at (3.02,9.839) {\scalebox{1.547}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.924,7.718) -- (9.879,7.888) -- (9.754,8.013) -- (9.584,8.058) -- (9.414,8.013) -- (9.29,7.888) -- (9.244,7.718) -- (9.29,7.548) -- (9.414,7.424) -- (9.584,7.378) -- (9.754,7.424) -- (9.879,7.548) -- cycle;
\node at (9.584,7.718) {\scalebox{1.547}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.478,6.435) -- (9.433,6.605) -- (9.308,6.729) -- (9.138,6.775) -- (8.968,6.729) -- (8.844,6.605) -- (8.798,6.435) -- (8.844,6.265) -- (8.968,6.14) -- (9.138,6.095) -- (9.308,6.14) -- (9.433,6.265) -- cycle;
\node at (9.138,6.435) {\scalebox{1.547}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.365,8.459) -- (6.32,8.629) -- (6.195,8.753) -- (6.025,8.799) -- (5.855,8.753) -- (5.731,8.629) -- (5.685,8.459) -- (5.731,8.289) -- (5.855,8.165) -- (6.025,8.119) -- (6.195,8.165) -- (6.32,8.289) -- cycle;
\node at (6.025,8.459) {\scalebox{1.547}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.845,6.303) -- (4.799,6.473) -- (4.675,6.598) -- (4.505,6.643) -- (4.335,6.598) -- (4.211,6.473) -- (4.165,6.303) -- (4.211,6.133) -- (4.335,6.009) -- (4.505,5.963) -- (4.675,6.009) -- (4.799,6.133) -- cycle;
\node at (4.505,6.303) {\scalebox{1.547}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.41,6.108) -- (8.365,6.278) -- (8.24,6.402) -- (8.07,6.448) -- (7.9,6.402) -- (7.776,6.278) -- (7.73,6.108) -- (7.776,5.938) -- (7.9,5.813) -- (8.07,5.768) -- (8.24,5.813) -- (8.365,5.938) -- cycle;
\node at (8.07,6.108) {\scalebox{1.547}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.417,4.943) -- (3.372,5.113) -- (3.247,5.237) -- (3.077,5.283) -- (2.907,5.237) -- (2.783,5.113) -- (2.737,4.943) -- (2.783,4.773) -- (2.907,4.648) -- (3.077,4.603) -- (3.247,4.648) -- (3.372,4.773) -- cycle;
\node at (3.077,4.943) {\scalebox{1.547}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.751,3.666) -- (3.706,3.836) -- (3.581,3.961) -- (3.411,4.006) -- (3.241,3.961) -- (3.117,3.836) -- (3.071,3.666) -- (3.117,3.496) -- (3.241,3.372) -- (3.411,3.326) -- (3.581,3.372) -- (3.706,3.496) -- cycle;
\node at (3.411,3.666) {\scalebox{1.547}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.313,4.304) -- (6.268,4.474) -- (6.143,4.598) -- (5.973,4.644) -- (5.803,4.598) -- (5.679,4.474) -- (5.633,4.304) -- (5.679,4.134) -- (5.803,4.009) -- (5.973,3.964) -- (6.143,4.009) -- (6.268,4.134) -- cycle;
\node at (5.973,4.304) {\scalebox{1.547}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.476,3.831) -- (9.431,4.001) -- (9.306,4.125) -- (9.136,4.171) -- (8.966,4.125) -- (8.842,4.001) -- (8.796,3.831) -- (8.842,3.661) -- (8.966,3.536) -- (9.136,3.491) -- (9.306,3.536) -- (9.431,3.661) -- cycle;
\node at (9.136,3.831) {\scalebox{1.547}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.356,2.019) -- (8.31,2.189) -- (8.186,2.314) -- (8.016,2.359) -- (7.846,2.314) -- (7.721,2.189) -- (7.676,2.019) -- (7.721,1.849) -- (7.846,1.725) -- (8.016,1.679) -- (8.186,1.725) -- (8.31,1.849) -- cycle;
\node at (8.016,2.019) {\scalebox{1.547}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.435,4.168) -- (5.035,4.168) -- (5.035,4.768) -- (4.435,4.768) -- cycle;
\node at (4.735,4.468) {\scalebox{1.547}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.654,5.388) -- (10.254,5.388) -- (10.254,5.988) -- (9.654,5.988) -- cycle;
\node at (9.954,5.688) {\scalebox{1.547}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.831,3.04) -- (10.431,3.04) -- (10.431,3.64) -- (9.831,3.64) -- cycle;
\node at (10.131,3.34) {\scalebox{1.547}{\small c}};
\node at (7.647,12.145) {\scalebox{1.547}{\small A}};
\node at (1.424,11.916) {\scalebox{1.547}{\small B}};
\node at (11.521,8.656) {\scalebox{1.547}{\small C}};
\node at (3.444,8.429) {\scalebox{1.547}{\small D}};
\node at (8.57,8.221) {\scalebox{1.547}{\small E}};
\node at (0.765,4.883) {\scalebox{1.547}{\small F}};
\node at (7.5,4.038) {\scalebox{1.547}{\small G}};
\node at (4.396,3.948) {\scalebox{1.547}{\small H}};
\node at (10.976,1.855) {\scalebox{1.547}{\small I}};
\node at (4.548,0.95) {\scalebox{1.547}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.244,10.598) -- (12.244,11.698);
\draw[line width=0.5pt] (12.013,11.313) -- (12.244,11.698) -- (12.475,11.313);
\draw[line width=0.5pt] (11.941,11.148) -- (12.546,11.148);
\node at (12.244,12.083) {\scalebox{1.547}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I & \cellcolor{blue!7}\bfseries J \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{H} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{H}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{H}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{H}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(H)}, prend le \textbf{passage du Marché ⑦} vers le nord et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ①}, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Mairie ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(H)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin des Vignes ⑩}, vers le sud-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(J)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑬}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑫}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑧}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{impasse du Puits ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{H} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
