\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 386}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=386}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0386}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.687, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.821,9.405) -- (6.583,9.414) -- (6.345,9.416) -- (6.107,9.413) -- (5.869,9.404) -- (5.631,9.389) -- (5.393,9.369) -- (5.156,9.344) -- (4.919,9.313) -- (4.684,9.276) -- (4.449,9.234) -- (4.216,9.186) -- (3.983,9.133) -- (3.752,9.074) -- (3.523,9.01) -- (3.399,9.002) -- (3.275,8.996) -- (3.15,8.994) -- (3.026,8.994) -- (2.901,8.997) -- (2.777,9.004) -- (2.653,9.013) -- (2.529,9.025) -- (2.406,9.04) -- (2.282,9.058) -- (2.16,9.078) -- (2.038,9.102) -- (1.916,9.129) -- (1.795,9.158);
\draw[line width=0.5pt] (6.821,9.405) -- (6.993,9.196) -- (7.16,8.982) -- (7.321,8.764) -- (7.478,8.542) -- (7.629,8.316) -- (7.775,8.088) -- (7.915,7.855) -- (8.05,7.62) -- (8.179,7.381) -- (8.303,7.14) -- (8.421,6.895) -- (8.533,6.648) -- (8.64,6.399) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (9.216,9.379) -- (9.147,9.155) -- (9.084,8.93) -- (9.025,8.703) -- (8.972,8.474) -- (8.924,8.245) -- (8.882,8.014) -- (8.845,7.783) -- (8.813,7.55) -- (8.787,7.317) -- (8.767,7.084) -- (8.752,6.85) -- (8.742,6.615) -- (8.738,6.381) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (3.62,2.059) -- (3.484,1.985) -- (3.347,1.914) -- (3.207,1.846) -- (3.066,1.782) -- (2.924,1.72) -- (2.78,1.663) -- (2.635,1.608) -- (2.488,1.557) -- (2.341,1.51) -- (2.192,1.466) -- (2.042,1.425) -- (1.892,1.388) -- (1.741,1.355) -- (1.589,1.325);
\draw[line width=0.5pt] (8.992,1.873) -- (9.155,1.843) -- (9.319,1.817) -- (9.484,1.795) -- (9.649,1.777) -- (9.814,1.763) -- (9.98,1.753) -- (10.145,1.747) -- (10.311,1.744) -- (10.477,1.746) -- (10.643,1.751) -- (10.809,1.76) -- (10.974,1.773) -- (11.139,1.79) -- (11.304,1.811);
\draw[line width=0.5pt] (1.795,9.158) -- (1.977,9.022) -- (2.155,8.881) -- (2.329,8.736) -- (2.501,8.587) -- (2.668,8.434) -- (2.832,8.276) -- (2.993,8.116) -- (3.149,7.951) -- (3.302,7.783) -- (3.451,7.611) -- (3.595,7.436) -- (3.736,7.257) -- (3.872,7.076) -- (4.003,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (4.142,6.841) -- (4.283,6.794) -- (4.425,6.751) -- (4.567,6.711) -- (4.711,6.674) -- (4.855,6.641) -- (5.0,6.611) -- (5.146,6.585) -- (5.292,6.562) -- (5.439,6.542) -- (5.587,6.526) -- (5.734,6.513) -- (5.882,6.504) -- (6.03,6.498) -- (6.226,6.503) -- (6.422,6.503) -- (6.618,6.499) -- (6.814,6.49) -- (7.009,6.476) -- (7.205,6.457) -- (7.399,6.434) -- (7.594,6.407) -- (7.787,6.375) -- (7.98,6.338) -- (8.172,6.297) -- (8.362,6.251) -- (8.552,6.201) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (4.217,6.741) -- (4.427,6.585) -- (4.634,6.424) -- (4.837,6.259) -- (5.036,6.089) -- (5.231,5.914) -- (5.422,5.735) -- (5.608,5.551) -- (5.79,5.363) -- (5.968,5.171) -- (6.141,4.974) -- (6.309,4.774) -- (6.473,4.57) -- (6.631,4.362);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (3.975,6.71) -- (3.951,6.528) -- (3.932,6.346) -- (3.916,6.163) -- (3.905,5.98) -- (3.899,5.797) -- (3.896,5.614) -- (3.898,5.43) -- (3.905,5.247) -- (3.915,5.064) -- (3.93,4.881) -- (3.949,4.699) -- (3.973,4.517) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.61,5.997) -- (8.477,5.851) -- (8.34,5.707) -- (8.199,5.567) -- (8.056,5.431) -- (7.909,5.297) -- (7.759,5.167) -- (7.607,5.041) -- (7.451,4.918) -- (7.292,4.799) -- (7.131,4.684) -- (6.967,4.572) -- (6.8,4.465) -- (6.631,4.362);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.744,6.007) -- (8.751,5.867) -- (8.761,5.727) -- (8.775,5.588) -- (8.792,5.448) -- (8.812,5.31) -- (8.835,5.171) -- (8.862,5.034) -- (8.892,4.897) -- (8.925,4.76) -- (8.962,4.625) -- (9.001,4.491) -- (9.044,4.357) -- (9.089,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.965,6.03) -- (9.187,5.907) -- (9.406,5.78) -- (9.622,5.647) -- (9.835,5.509) -- (10.044,5.366) -- (10.251,5.218) -- (10.453,5.066) -- (10.652,4.908) -- (10.848,4.746) -- (11.039,4.58) -- (11.226,4.409) -- (11.41,4.234) -- (11.589,4.054);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.917,4.266) -- (2.023,4.079) -- (2.134,3.894) -- (2.249,3.712) -- (2.368,3.533) -- (2.492,3.357) -- (2.619,3.183) -- (2.751,3.012) -- (2.886,2.845) -- (3.026,2.681) -- (3.169,2.52) -- (3.316,2.363) -- (3.466,2.209) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.834,4.232) -- (1.847,4.007) -- (1.854,3.782) -- (1.856,3.557) -- (1.853,3.331) -- (1.845,3.106) -- (1.831,2.881) -- (1.812,2.657) -- (1.788,2.433) -- (1.759,2.209) -- (1.724,1.987) -- (1.684,1.765) -- (1.639,1.545) -- (1.589,1.325);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.969,4.423) -- (2.123,4.395) -- (2.278,4.37) -- (2.434,4.348) -- (2.59,4.33) -- (2.746,4.316) -- (2.903,4.306) -- (3.06,4.299) -- (3.217,4.296) -- (3.374,4.297) -- (3.531,4.301) -- (3.688,4.309) -- (3.844,4.321) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (6.631,4.362) -- (6.443,4.165) -- (6.25,3.974) -- (6.053,3.787) -- (5.851,3.604) -- (5.645,3.427) -- (5.435,3.254) -- (5.221,3.086) -- (5.003,2.923) -- (4.781,2.766) -- (4.556,2.613) -- (4.327,2.466) -- (4.094,2.325) -- (3.859,2.189) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (6.631,4.362) -- (6.445,4.389) -- (6.257,4.411) -- (6.07,4.429) -- (5.881,4.443) -- (5.693,4.452) -- (5.504,4.457) -- (5.315,4.457) -- (5.126,4.453) -- (4.937,4.445) -- (4.749,4.432) -- (4.561,4.415) -- (4.374,4.393) -- (4.187,4.367) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (4.001,4.336) -- (3.998,4.171) -- (3.993,4.005) -- (3.983,3.84) -- (3.969,3.675) -- (3.951,3.51) -- (3.93,3.346) -- (3.904,3.182) -- (3.875,3.019) -- (3.842,2.856) -- (3.805,2.695) -- (3.765,2.534) -- (3.72,2.375) -- (3.672,2.216) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (9.089,4.225) -- (9.265,4.185) -- (9.441,4.15) -- (9.618,4.119) -- (9.796,4.092) -- (9.974,4.069) -- (10.153,4.051) -- (10.332,4.037) -- (10.511,4.026) -- (10.691,4.021) -- (10.871,4.019) -- (11.051,4.021) -- (11.23,4.028) -- (11.41,4.039) -- (11.589,4.054);
\draw[line width=0.5pt] (11.589,4.054) -- (11.428,3.871) -- (11.264,3.692) -- (11.095,3.517) -- (10.922,3.346) -- (10.746,3.178) -- (10.565,3.015) -- (10.38,2.856) -- (10.192,2.702) -- (10.0,2.552) -- (9.805,2.407) -- (9.607,2.266) -- (9.405,2.13) -- (9.2,1.999) -- (8.992,1.873);
\draw[line width=0.5pt] (11.589,4.054) -- (11.544,3.899) -- (11.503,3.742) -- (11.465,3.584) -- (11.432,3.425) -- (11.402,3.266) -- (11.376,3.105) -- (11.353,2.945) -- (11.335,2.783) -- (11.32,2.622) -- (11.309,2.46) -- (11.302,2.298) -- (11.299,2.135) -- (11.299,1.973) -- (11.304,1.811);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.981,9.405) -- (6.96,9.485) -- (6.901,9.544) -- (6.821,9.565) -- (6.741,9.544) -- (6.683,9.485) -- (6.661,9.405) -- (6.683,9.325) -- (6.741,9.267) -- (6.821,9.245) -- (6.901,9.267) -- (6.96,9.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.376,9.379) -- (9.355,9.459) -- (9.296,9.518) -- (9.216,9.539) -- (9.136,9.518) -- (9.078,9.459) -- (9.056,9.379) -- (9.078,9.299) -- (9.136,9.241) -- (9.216,9.219) -- (9.296,9.241) -- (9.355,9.299) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.955,9.158) -- (1.934,9.238) -- (1.875,9.297) -- (1.795,9.318) -- (1.715,9.297) -- (1.657,9.238) -- (1.635,9.158) -- (1.657,9.078) -- (1.715,9.019) -- (1.795,8.998) -- (1.875,9.019) -- (1.934,9.078) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.163,6.891) -- (4.142,6.971) -- (4.083,7.03) -- (4.003,7.051) -- (3.923,7.03) -- (3.865,6.971) -- (3.843,6.891) -- (3.865,6.811) -- (3.923,6.752) -- (4.003,6.731) -- (4.083,6.752) -- (4.142,6.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.9,6.147) -- (8.879,6.227) -- (8.82,6.285) -- (8.74,6.307) -- (8.66,6.285) -- (8.601,6.227) -- (8.58,6.147) -- (8.601,6.067) -- (8.66,6.008) -- (8.74,5.987) -- (8.82,6.008) -- (8.879,6.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.976,4.456) -- (1.954,4.536) -- (1.896,4.594) -- (1.816,4.616) -- (1.736,4.594) -- (1.677,4.536) -- (1.656,4.456) -- (1.677,4.376) -- (1.736,4.317) -- (1.816,4.296) -- (1.896,4.317) -- (1.954,4.376) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.791,4.362) -- (6.77,4.442) -- (6.711,4.5) -- (6.631,4.522) -- (6.551,4.5) -- (6.493,4.442) -- (6.471,4.362) -- (6.493,4.282) -- (6.551,4.223) -- (6.631,4.202) -- (6.711,4.223) -- (6.77,4.282) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.161,4.336) -- (4.139,4.416) -- (4.081,4.475) -- (4.001,4.496) -- (3.921,4.475) -- (3.862,4.416) -- (3.841,4.336) -- (3.862,4.256) -- (3.921,4.198) -- (4.001,4.176) -- (4.081,4.198) -- (4.139,4.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.249,4.225) -- (9.228,4.305) -- (9.169,4.363) -- (9.089,4.385) -- (9.009,4.363) -- (8.951,4.305) -- (8.929,4.225) -- (8.951,4.145) -- (9.009,4.086) -- (9.089,4.065) -- (9.169,4.086) -- (9.228,4.145) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.749,4.054) -- (11.727,4.134) -- (11.669,4.193) -- (11.589,4.214) -- (11.509,4.193) -- (11.45,4.134) -- (11.429,4.054) -- (11.45,3.974) -- (11.509,3.916) -- (11.589,3.894) -- (11.669,3.916) -- (11.727,3.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.78,2.059) -- (3.759,2.139) -- (3.7,2.197) -- (3.62,2.219) -- (3.54,2.197) -- (3.482,2.139) -- (3.46,2.059) -- (3.482,1.979) -- (3.54,1.92) -- (3.62,1.899) -- (3.7,1.92) -- (3.759,1.979) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.152,1.873) -- (9.131,1.953) -- (9.072,2.011) -- (8.992,2.033) -- (8.912,2.011) -- (8.854,1.953) -- (8.832,1.873) -- (8.854,1.793) -- (8.912,1.734) -- (8.992,1.713) -- (9.072,1.734) -- (9.131,1.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.464,1.811) -- (11.442,1.891) -- (11.384,1.95) -- (11.304,1.971) -- (11.224,1.95) -- (11.165,1.891) -- (11.144,1.811) -- (11.165,1.731) -- (11.224,1.673) -- (11.304,1.651) -- (11.384,1.673) -- (11.442,1.731) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,1.325) -- (1.727,1.405) -- (1.669,1.464) -- (1.589,1.485) -- (1.509,1.464) -- (1.45,1.405) -- (1.429,1.325) -- (1.45,1.245) -- (1.509,1.187) -- (1.589,1.165) -- (1.669,1.187) -- (1.727,1.245) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.927,8.697) -- (3.882,8.867) -- (3.757,8.991) -- (3.587,9.037) -- (3.417,8.991) -- (3.293,8.867) -- (3.247,8.697) -- (3.293,8.527) -- (3.417,8.402) -- (3.587,8.357) -- (3.757,8.402) -- (3.882,8.527) -- cycle;
\node at (3.587,8.697) {\scalebox{1.456}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.531,8.018) -- (8.485,8.188) -- (8.361,8.312) -- (8.191,8.358) -- (8.021,8.312) -- (7.896,8.188) -- (7.851,8.018) -- (7.896,7.848) -- (8.021,7.723) -- (8.191,7.678) -- (8.361,7.723) -- (8.485,7.848) -- cycle;
\node at (8.191,8.018) {\scalebox{1.456}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.501,7.736) -- (9.456,7.906) -- (9.331,8.03) -- (9.161,8.076) -- (8.991,8.03) -- (8.867,7.906) -- (8.821,7.736) -- (8.867,7.566) -- (8.991,7.441) -- (9.161,7.396) -- (9.331,7.441) -- (9.456,7.566) -- cycle;
\node at (9.161,7.736) {\scalebox{1.456}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.083,1.307) -- (3.038,1.477) -- (2.913,1.602) -- (2.743,1.647) -- (2.573,1.602) -- (2.449,1.477) -- (2.403,1.307) -- (2.449,1.137) -- (2.573,1.013) -- (2.743,0.967) -- (2.913,1.013) -- (3.038,1.137) -- cycle;
\node at (2.743,1.307) {\scalebox{1.456}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.494,2.066) -- (10.448,2.236) -- (10.324,2.361) -- (10.154,2.406) -- (9.984,2.361) -- (9.859,2.236) -- (9.814,2.066) -- (9.859,1.896) -- (9.984,1.772) -- (10.154,1.726) -- (10.324,1.772) -- (10.448,1.896) -- cycle;
\node at (10.154,2.066) {\scalebox{1.456}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.104,7.892) -- (3.058,8.062) -- (2.934,8.187) -- (2.764,8.232) -- (2.594,8.187) -- (2.469,8.062) -- (2.424,7.892) -- (2.469,7.722) -- (2.594,7.598) -- (2.764,7.552) -- (2.934,7.598) -- (3.058,7.722) -- cycle;
\node at (2.764,7.892) {\scalebox{1.456}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.371,6.818) -- (6.325,6.988) -- (6.201,7.113) -- (6.031,7.158) -- (5.861,7.113) -- (5.736,6.988) -- (5.691,6.818) -- (5.736,6.648) -- (5.861,6.524) -- (6.031,6.478) -- (6.201,6.524) -- (6.325,6.648) -- cycle;
\node at (6.031,6.818) {\scalebox{1.456}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.984,5.965) -- (5.938,6.135) -- (5.814,6.26) -- (5.644,6.305) -- (5.474,6.26) -- (5.349,6.135) -- (5.304,5.965) -- (5.349,5.795) -- (5.474,5.671) -- (5.644,5.625) -- (5.814,5.671) -- (5.938,5.795) -- cycle;
\node at (5.644,5.965) {\scalebox{1.456}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.556,5.613) -- (4.511,5.783) -- (4.386,5.908) -- (4.216,5.953) -- (4.046,5.908) -- (3.922,5.783) -- (3.876,5.613) -- (3.922,5.443) -- (4.046,5.319) -- (4.216,5.273) -- (4.386,5.319) -- (4.511,5.443) -- cycle;
\node at (4.216,5.613) {\scalebox{1.456}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.306,4.923) -- (8.261,5.093) -- (8.136,5.217) -- (7.966,5.263) -- (7.796,5.217) -- (7.672,5.093) -- (7.626,4.923) -- (7.672,4.753) -- (7.796,4.629) -- (7.966,4.583) -- (8.136,4.629) -- (8.261,4.753) -- cycle;
\node at (7.966,4.923) {\scalebox{1.456}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.49,5.229) -- (9.445,5.399) -- (9.32,5.523) -- (9.15,5.569) -- (8.98,5.523) -- (8.856,5.399) -- (8.81,5.229) -- (8.856,5.059) -- (8.98,4.934) -- (9.15,4.889) -- (9.32,4.934) -- (9.445,5.059) -- cycle;
\node at (9.15,5.229) {\scalebox{1.456}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.78,5.476) -- (10.734,5.646) -- (10.61,5.77) -- (10.44,5.816) -- (10.27,5.77) -- (10.146,5.646) -- (10.1,5.476) -- (10.146,5.306) -- (10.27,5.182) -- (10.44,5.136) -- (10.61,5.182) -- (10.734,5.306) -- cycle;
\node at (10.44,5.476) {\scalebox{1.456}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.215,3.375) -- (3.169,3.545) -- (3.045,3.67) -- (2.875,3.715) -- (2.705,3.67) -- (2.58,3.545) -- (2.535,3.375) -- (2.58,3.205) -- (2.705,3.081) -- (2.875,3.035) -- (3.045,3.081) -- (3.169,3.205) -- cycle;
\node at (2.875,3.375) {\scalebox{1.456}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.49,2.858) -- (2.445,3.028) -- (2.32,3.153) -- (2.15,3.198) -- (1.98,3.153) -- (1.856,3.028) -- (1.81,2.858) -- (1.856,2.688) -- (1.98,2.564) -- (2.15,2.518) -- (2.32,2.564) -- (2.445,2.688) -- cycle;
\node at (2.15,2.858) {\scalebox{1.456}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.261,4.625) -- (3.215,4.795) -- (3.091,4.92) -- (2.921,4.965) -- (2.751,4.92) -- (2.626,4.795) -- (2.581,4.625) -- (2.626,4.455) -- (2.751,4.331) -- (2.921,4.285) -- (3.091,4.331) -- (3.215,4.455) -- cycle;
\node at (2.921,4.625) {\scalebox{1.456}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.755,2.832) -- (5.71,3.002) -- (5.585,3.126) -- (5.415,3.172) -- (5.245,3.126) -- (5.121,3.002) -- (5.075,2.832) -- (5.121,2.662) -- (5.245,2.537) -- (5.415,2.492) -- (5.585,2.537) -- (5.71,2.662) -- cycle;
\node at (5.415,2.832) {\scalebox{1.456}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.658,4.137) -- (5.612,4.307) -- (5.488,4.432) -- (5.318,4.477) -- (5.148,4.432) -- (5.024,4.307) -- (4.978,4.137) -- (5.024,3.967) -- (5.148,3.843) -- (5.318,3.797) -- (5.488,3.843) -- (5.612,3.967) -- cycle;
\node at (5.318,4.137) {\scalebox{1.456}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.56,3.129) -- (4.514,3.299) -- (4.39,3.424) -- (4.22,3.469) -- (4.05,3.424) -- (3.926,3.299) -- (3.88,3.129) -- (3.926,2.959) -- (4.05,2.835) -- (4.22,2.789) -- (4.39,2.835) -- (4.514,2.959) -- cycle;
\node at (4.22,3.129) {\scalebox{1.456}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.694,4.356) -- (10.648,4.526) -- (10.524,4.65) -- (10.354,4.696) -- (10.184,4.65) -- (10.059,4.526) -- (10.014,4.356) -- (10.059,4.186) -- (10.184,4.061) -- (10.354,4.016) -- (10.524,4.061) -- (10.648,4.186) -- cycle;
\node at (10.354,4.356) {\scalebox{1.456}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.515,3.101) -- (10.469,3.271) -- (10.345,3.396) -- (10.175,3.441) -- (10.005,3.396) -- (9.88,3.271) -- (9.835,3.101) -- (9.88,2.931) -- (10.005,2.807) -- (10.175,2.761) -- (10.345,2.807) -- (10.469,2.931) -- cycle;
\node at (10.175,3.101) {\scalebox{1.456}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.011,2.904) -- (11.965,3.074) -- (11.841,3.199) -- (11.671,3.244) -- (11.501,3.199) -- (11.376,3.074) -- (11.331,2.904) -- (11.376,2.734) -- (11.501,2.61) -- (11.671,2.564) -- (11.841,2.61) -- (11.965,2.734) -- cycle;
\node at (11.671,2.904) {\scalebox{1.456}{\small 21}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.703,6.591) -- (4.303,6.591) -- (4.303,7.191) -- (3.703,7.191) -- cycle;
\node at (4.003,6.891) {\scalebox{1.456}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.903,8.142) -- (10.503,8.142) -- (10.503,8.742) -- (9.903,8.742) -- cycle;
\node at (10.203,8.442) {\scalebox{1.456}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.361,5.542) -- (11.961,5.542) -- (11.961,6.142) -- (11.361,6.142) -- cycle;
\node at (11.661,5.842) {\scalebox{1.456}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.628,2.187) -- (13.228,2.187) -- (13.228,2.787) -- (12.628,2.787) -- cycle;
\node at (12.928,2.487) {\scalebox{1.456}{\small d}};
\node at (6.884,10.022) {\scalebox{1.456}{\small S0}};
\node at (9.552,9.9) {\scalebox{1.456}{\small S1}};
\node at (1.338,9.577) {\scalebox{1.456}{\small S2}};
\node at (3.522,7.282) {\scalebox{1.456}{\small S3}};
\node at (9.295,6.424) {\scalebox{1.456}{\small S4}};
\node at (1.199,4.387) {\scalebox{1.456}{\small S5}};
\node at (6.877,3.792) {\scalebox{1.456}{\small S6}};
\node at (3.401,4.178) {\scalebox{1.456}{\small S7}};
\node at (9.688,4.062) {\scalebox{1.456}{\small S8}};
\node at (12.199,3.948) {\scalebox{1.456}{\small S9}};
\node at (3.194,1.609) {\scalebox{1.456}{\small S10}};
\node at (9.393,1.4) {\scalebox{1.456}{\small S11}};
\node at (11.826,1.477) {\scalebox{1.456}{\small S12}};
\node at (1.095,0.95) {\scalebox{1.456}{\small S13}};
\draw[line width=0.5pt] (12.889,8.455) -- (12.889,9.555);
\draw[line width=0.5pt] (12.658,9.17) -- (12.889,9.555) -- (13.12,9.17);
\draw[line width=0.5pt] (12.586,9.005) -- (13.191,9.005);
\node at (12.889,9.94) {\scalebox{1.456}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑫ passage du Marché & S0 Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Haute & ⑬ boulevard du Parc & S1 Placette des Ormes & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ impasse des Cerisiers & ⑭ rue de la Mairie & S2 Place Sainte-Croix & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ allée des Peupliers & ⑮ rue du Pont & S3 Carrefour de la Mairie & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ sentier des Prés & ⑯ rue Neuve & S4 Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑥ rue Verte & ⑰ chemin de Ronde & S5 Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑦ rue du Moulin & ⑱ chemin Creux & S6 Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑧ rue du Stade & ⑲ rue du Four & S7 Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑨ rue des Jardins & ⑳ allée des Tilleuls & S8 Place de la Fontaine &  \\ \hline
⑩ venelle du Chat & 21 rue du Puits & S9 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑪ chemin du Lavoir &  & S10 Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & S11 Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & S12 Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & S13 Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6147, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.821,9.405) -- (6.583,9.414) -- (6.345,9.416) -- (6.107,9.413) -- (5.869,9.404) -- (5.631,9.389) -- (5.393,9.369) -- (5.156,9.344) -- (4.919,9.313) -- (4.684,9.276) -- (4.449,9.234) -- (4.216,9.186) -- (3.983,9.133) -- (3.752,9.074) -- (3.523,9.01) -- (3.399,9.002) -- (3.275,8.996) -- (3.15,8.994) -- (3.026,8.994) -- (2.901,8.997) -- (2.777,9.004) -- (2.653,9.013) -- (2.529,9.025) -- (2.406,9.04) -- (2.282,9.058) -- (2.16,9.078) -- (2.038,9.102) -- (1.916,9.129) -- (1.795,9.158);
\draw[line width=0.5pt] (6.821,9.405) -- (6.993,9.196) -- (7.16,8.982) -- (7.321,8.764) -- (7.478,8.542) -- (7.629,8.316) -- (7.775,8.088) -- (7.915,7.855) -- (8.05,7.62) -- (8.179,7.381) -- (8.303,7.14) -- (8.421,6.895) -- (8.533,6.648) -- (8.64,6.399) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (9.216,9.379) -- (9.147,9.155) -- (9.084,8.93) -- (9.025,8.703) -- (8.972,8.474) -- (8.924,8.245) -- (8.882,8.014) -- (8.845,7.783) -- (8.813,7.55) -- (8.787,7.317) -- (8.767,7.084) -- (8.752,6.85) -- (8.742,6.615) -- (8.738,6.381) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (3.62,2.059) -- (3.484,1.985) -- (3.347,1.914) -- (3.207,1.846) -- (3.066,1.782) -- (2.924,1.72) -- (2.78,1.663) -- (2.635,1.608) -- (2.488,1.557) -- (2.341,1.51) -- (2.192,1.466) -- (2.042,1.425) -- (1.892,1.388) -- (1.741,1.355) -- (1.589,1.325);
\draw[line width=0.5pt] (8.992,1.873) -- (9.155,1.843) -- (9.319,1.817) -- (9.484,1.795) -- (9.649,1.777) -- (9.814,1.763) -- (9.98,1.753) -- (10.145,1.747) -- (10.311,1.744) -- (10.477,1.746) -- (10.643,1.751) -- (10.809,1.76) -- (10.974,1.773) -- (11.139,1.79) -- (11.304,1.811);
\draw[line width=0.5pt] (1.795,9.158) -- (1.977,9.022) -- (2.155,8.881) -- (2.329,8.736) -- (2.501,8.587) -- (2.668,8.434) -- (2.832,8.276) -- (2.993,8.116) -- (3.149,7.951) -- (3.302,7.783) -- (3.451,7.611) -- (3.595,7.436) -- (3.736,7.257) -- (3.872,7.076) -- (4.003,6.891);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (4.142,6.841) -- (4.283,6.794) -- (4.425,6.751) -- (4.567,6.711) -- (4.711,6.674) -- (4.855,6.641) -- (5.0,6.611) -- (5.146,6.585) -- (5.292,6.562) -- (5.439,6.542) -- (5.587,6.526) -- (5.734,6.513) -- (5.882,6.504) -- (6.03,6.498) -- (6.226,6.503) -- (6.422,6.503) -- (6.618,6.499) -- (6.814,6.49) -- (7.009,6.476) -- (7.205,6.457) -- (7.399,6.434) -- (7.594,6.407) -- (7.787,6.375) -- (7.98,6.338) -- (8.172,6.297) -- (8.362,6.251) -- (8.552,6.201) -- (8.74,6.147);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (4.217,6.741) -- (4.427,6.585) -- (4.634,6.424) -- (4.837,6.259) -- (5.036,6.089) -- (5.231,5.914) -- (5.422,5.735) -- (5.608,5.551) -- (5.79,5.363) -- (5.968,5.171) -- (6.141,4.974) -- (6.309,4.774) -- (6.473,4.57) -- (6.631,4.362);
\draw[line width=0.5pt] (4.003,6.891) -- (3.975,6.71) -- (3.951,6.528) -- (3.932,6.346) -- (3.916,6.163) -- (3.905,5.98) -- (3.899,5.797) -- (3.896,5.614) -- (3.898,5.43) -- (3.905,5.247) -- (3.915,5.064) -- (3.93,4.881) -- (3.949,4.699) -- (3.973,4.517) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.61,5.997) -- (8.477,5.851) -- (8.34,5.707) -- (8.199,5.567) -- (8.056,5.431) -- (7.909,5.297) -- (7.759,5.167) -- (7.607,5.041) -- (7.451,4.918) -- (7.292,4.799) -- (7.131,4.684) -- (6.967,4.572) -- (6.8,4.465) -- (6.631,4.362);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.744,6.007) -- (8.751,5.867) -- (8.761,5.727) -- (8.775,5.588) -- (8.792,5.448) -- (8.812,5.31) -- (8.835,5.171) -- (8.862,5.034) -- (8.892,4.897) -- (8.925,4.76) -- (8.962,4.625) -- (9.001,4.491) -- (9.044,4.357) -- (9.089,4.225);
\draw[line width=0.5pt] (8.74,6.147) -- (8.965,6.03) -- (9.187,5.907) -- (9.406,5.78) -- (9.622,5.647) -- (9.835,5.509) -- (10.044,5.366) -- (10.251,5.218) -- (10.453,5.066) -- (10.652,4.908) -- (10.848,4.746) -- (11.039,4.58) -- (11.226,4.409) -- (11.41,4.234) -- (11.589,4.054);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.917,4.266) -- (2.023,4.079) -- (2.134,3.894) -- (2.249,3.712) -- (2.368,3.533) -- (2.492,3.357) -- (2.619,3.183) -- (2.751,3.012) -- (2.886,2.845) -- (3.026,2.681) -- (3.169,2.52) -- (3.316,2.363) -- (3.466,2.209) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.834,4.232) -- (1.847,4.007) -- (1.854,3.782) -- (1.856,3.557) -- (1.853,3.331) -- (1.845,3.106) -- (1.831,2.881) -- (1.812,2.657) -- (1.788,2.433) -- (1.759,2.209) -- (1.724,1.987) -- (1.684,1.765) -- (1.639,1.545) -- (1.589,1.325);
\draw[line width=0.5pt] (1.816,4.456) -- (1.969,4.423) -- (2.123,4.395) -- (2.278,4.37) -- (2.434,4.348) -- (2.59,4.33) -- (2.746,4.316) -- (2.903,4.306) -- (3.06,4.299) -- (3.217,4.296) -- (3.374,4.297) -- (3.531,4.301) -- (3.688,4.309) -- (3.844,4.321) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (6.631,4.362) -- (6.443,4.165) -- (6.25,3.974) -- (6.053,3.787) -- (5.851,3.604) -- (5.645,3.427) -- (5.435,3.254) -- (5.221,3.086) -- (5.003,2.923) -- (4.781,2.766) -- (4.556,2.613) -- (4.327,2.466) -- (4.094,2.325) -- (3.859,2.189) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (6.631,4.362) -- (6.445,4.389) -- (6.257,4.411) -- (6.07,4.429) -- (5.881,4.443) -- (5.693,4.452) -- (5.504,4.457) -- (5.315,4.457) -- (5.126,4.453) -- (4.937,4.445) -- (4.749,4.432) -- (4.561,4.415) -- (4.374,4.393) -- (4.187,4.367) -- (4.001,4.336);
\draw[line width=0.5pt] (4.001,4.336) -- (3.998,4.171) -- (3.993,4.005) -- (3.983,3.84) -- (3.969,3.675) -- (3.951,3.51) -- (3.93,3.346) -- (3.904,3.182) -- (3.875,3.019) -- (3.842,2.856) -- (3.805,2.695) -- (3.765,2.534) -- (3.72,2.375) -- (3.672,2.216) -- (3.62,2.059);
\draw[line width=0.5pt] (9.089,4.225) -- (9.265,4.185) -- (9.441,4.15) -- (9.618,4.119) -- (9.796,4.092) -- (9.974,4.069) -- (10.153,4.051) -- (10.332,4.037) -- (10.511,4.026) -- (10.691,4.021) -- (10.871,4.019) -- (11.051,4.021) -- (11.23,4.028) -- (11.41,4.039) -- (11.589,4.054);
\draw[line width=0.5pt] (11.589,4.054) -- (11.428,3.871) -- (11.264,3.692) -- (11.095,3.517) -- (10.922,3.346) -- (10.746,3.178) -- (10.565,3.015) -- (10.38,2.856) -- (10.192,2.702) -- (10.0,2.552) -- (9.805,2.407) -- (9.607,2.266) -- (9.405,2.13) -- (9.2,1.999) -- (8.992,1.873);
\draw[line width=0.5pt] (11.589,4.054) -- (11.544,3.899) -- (11.503,3.742) -- (11.465,3.584) -- (11.432,3.425) -- (11.402,3.266) -- (11.376,3.105) -- (11.353,2.945) -- (11.335,2.783) -- (11.32,2.622) -- (11.309,2.46) -- (11.302,2.298) -- (11.299,2.135) -- (11.299,1.973) -- (11.304,1.811);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.981,9.405) -- (6.96,9.485) -- (6.901,9.544) -- (6.821,9.565) -- (6.741,9.544) -- (6.683,9.485) -- (6.661,9.405) -- (6.683,9.325) -- (6.741,9.267) -- (6.821,9.245) -- (6.901,9.267) -- (6.96,9.325) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.376,9.379) -- (9.355,9.459) -- (9.296,9.518) -- (9.216,9.539) -- (9.136,9.518) -- (9.078,9.459) -- (9.056,9.379) -- (9.078,9.299) -- (9.136,9.241) -- (9.216,9.219) -- (9.296,9.241) -- (9.355,9.299) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.955,9.158) -- (1.934,9.238) -- (1.875,9.297) -- (1.795,9.318) -- (1.715,9.297) -- (1.657,9.238) -- (1.635,9.158) -- (1.657,9.078) -- (1.715,9.019) -- (1.795,8.998) -- (1.875,9.019) -- (1.934,9.078) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.163,6.891) -- (4.142,6.971) -- (4.083,7.03) -- (4.003,7.051) -- (3.923,7.03) -- (3.865,6.971) -- (3.843,6.891) -- (3.865,6.811) -- (3.923,6.752) -- (4.003,6.731) -- (4.083,6.752) -- (4.142,6.811) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.9,6.147) -- (8.879,6.227) -- (8.82,6.285) -- (8.74,6.307) -- (8.66,6.285) -- (8.601,6.227) -- (8.58,6.147) -- (8.601,6.067) -- (8.66,6.008) -- (8.74,5.987) -- (8.82,6.008) -- (8.879,6.067) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.976,4.456) -- (1.954,4.536) -- (1.896,4.594) -- (1.816,4.616) -- (1.736,4.594) -- (1.677,4.536) -- (1.656,4.456) -- (1.677,4.376) -- (1.736,4.317) -- (1.816,4.296) -- (1.896,4.317) -- (1.954,4.376) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.791,4.362) -- (6.77,4.442) -- (6.711,4.5) -- (6.631,4.522) -- (6.551,4.5) -- (6.493,4.442) -- (6.471,4.362) -- (6.493,4.282) -- (6.551,4.223) -- (6.631,4.202) -- (6.711,4.223) -- (6.77,4.282) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.161,4.336) -- (4.139,4.416) -- (4.081,4.475) -- (4.001,4.496) -- (3.921,4.475) -- (3.862,4.416) -- (3.841,4.336) -- (3.862,4.256) -- (3.921,4.198) -- (4.001,4.176) -- (4.081,4.198) -- (4.139,4.256) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.249,4.225) -- (9.228,4.305) -- (9.169,4.363) -- (9.089,4.385) -- (9.009,4.363) -- (8.951,4.305) -- (8.929,4.225) -- (8.951,4.145) -- (9.009,4.086) -- (9.089,4.065) -- (9.169,4.086) -- (9.228,4.145) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.749,4.054) -- (11.727,4.134) -- (11.669,4.193) -- (11.589,4.214) -- (11.509,4.193) -- (11.45,4.134) -- (11.429,4.054) -- (11.45,3.974) -- (11.509,3.916) -- (11.589,3.894) -- (11.669,3.916) -- (11.727,3.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.78,2.059) -- (3.759,2.139) -- (3.7,2.197) -- (3.62,2.219) -- (3.54,2.197) -- (3.482,2.139) -- (3.46,2.059) -- (3.482,1.979) -- (3.54,1.92) -- (3.62,1.899) -- (3.7,1.92) -- (3.759,1.979) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.152,1.873) -- (9.131,1.953) -- (9.072,2.011) -- (8.992,2.033) -- (8.912,2.011) -- (8.854,1.953) -- (8.832,1.873) -- (8.854,1.793) -- (8.912,1.734) -- (8.992,1.713) -- (9.072,1.734) -- (9.131,1.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.464,1.811) -- (11.442,1.891) -- (11.384,1.95) -- (11.304,1.971) -- (11.224,1.95) -- (11.165,1.891) -- (11.144,1.811) -- (11.165,1.731) -- (11.224,1.673) -- (11.304,1.651) -- (11.384,1.673) -- (11.442,1.731) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,1.325) -- (1.727,1.405) -- (1.669,1.464) -- (1.589,1.485) -- (1.509,1.464) -- (1.45,1.405) -- (1.429,1.325) -- (1.45,1.245) -- (1.509,1.187) -- (1.589,1.165) -- (1.669,1.187) -- (1.727,1.245) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.927,8.697) -- (3.882,8.867) -- (3.757,8.991) -- (3.587,9.037) -- (3.417,8.991) -- (3.293,8.867) -- (3.247,8.697) -- (3.293,8.527) -- (3.417,8.402) -- (3.587,8.357) -- (3.757,8.402) -- (3.882,8.527) -- cycle;
\node at (3.587,8.697) {\scalebox{1.627}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.531,8.018) -- (8.485,8.188) -- (8.361,8.312) -- (8.191,8.358) -- (8.021,8.312) -- (7.896,8.188) -- (7.851,8.018) -- (7.896,7.848) -- (8.021,7.723) -- (8.191,7.678) -- (8.361,7.723) -- (8.485,7.848) -- cycle;
\node at (8.191,8.018) {\scalebox{1.627}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.501,7.736) -- (9.456,7.906) -- (9.331,8.03) -- (9.161,8.076) -- (8.991,8.03) -- (8.867,7.906) -- (8.821,7.736) -- (8.867,7.566) -- (8.991,7.441) -- (9.161,7.396) -- (9.331,7.441) -- (9.456,7.566) -- cycle;
\node at (9.161,7.736) {\scalebox{1.627}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.083,1.307) -- (3.038,1.477) -- (2.913,1.602) -- (2.743,1.647) -- (2.573,1.602) -- (2.449,1.477) -- (2.403,1.307) -- (2.449,1.137) -- (2.573,1.013) -- (2.743,0.967) -- (2.913,1.013) -- (3.038,1.137) -- cycle;
\node at (2.743,1.307) {\scalebox{1.627}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.494,2.066) -- (10.448,2.236) -- (10.324,2.361) -- (10.154,2.406) -- (9.984,2.361) -- (9.859,2.236) -- (9.814,2.066) -- (9.859,1.896) -- (9.984,1.772) -- (10.154,1.726) -- (10.324,1.772) -- (10.448,1.896) -- cycle;
\node at (10.154,2.066) {\scalebox{1.627}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.104,7.892) -- (3.058,8.062) -- (2.934,8.187) -- (2.764,8.232) -- (2.594,8.187) -- (2.469,8.062) -- (2.424,7.892) -- (2.469,7.722) -- (2.594,7.598) -- (2.764,7.552) -- (2.934,7.598) -- (3.058,7.722) -- cycle;
\node at (2.764,7.892) {\scalebox{1.627}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.371,6.818) -- (6.325,6.988) -- (6.201,7.113) -- (6.031,7.158) -- (5.861,7.113) -- (5.736,6.988) -- (5.691,6.818) -- (5.736,6.648) -- (5.861,6.524) -- (6.031,6.478) -- (6.201,6.524) -- (6.325,6.648) -- cycle;
\node at (6.031,6.818) {\scalebox{1.627}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.984,5.965) -- (5.938,6.135) -- (5.814,6.26) -- (5.644,6.305) -- (5.474,6.26) -- (5.349,6.135) -- (5.304,5.965) -- (5.349,5.795) -- (5.474,5.671) -- (5.644,5.625) -- (5.814,5.671) -- (5.938,5.795) -- cycle;
\node at (5.644,5.965) {\scalebox{1.627}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.556,5.613) -- (4.511,5.783) -- (4.386,5.908) -- (4.216,5.953) -- (4.046,5.908) -- (3.922,5.783) -- (3.876,5.613) -- (3.922,5.443) -- (4.046,5.319) -- (4.216,5.273) -- (4.386,5.319) -- (4.511,5.443) -- cycle;
\node at (4.216,5.613) {\scalebox{1.627}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.306,4.923) -- (8.261,5.093) -- (8.136,5.217) -- (7.966,5.263) -- (7.796,5.217) -- (7.672,5.093) -- (7.626,4.923) -- (7.672,4.753) -- (7.796,4.629) -- (7.966,4.583) -- (8.136,4.629) -- (8.261,4.753) -- cycle;
\node at (7.966,4.923) {\scalebox{1.627}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.49,5.229) -- (9.445,5.399) -- (9.32,5.523) -- (9.15,5.569) -- (8.98,5.523) -- (8.856,5.399) -- (8.81,5.229) -- (8.856,5.059) -- (8.98,4.934) -- (9.15,4.889) -- (9.32,4.934) -- (9.445,5.059) -- cycle;
\node at (9.15,5.229) {\scalebox{1.627}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.78,5.476) -- (10.734,5.646) -- (10.61,5.77) -- (10.44,5.816) -- (10.27,5.77) -- (10.146,5.646) -- (10.1,5.476) -- (10.146,5.306) -- (10.27,5.182) -- (10.44,5.136) -- (10.61,5.182) -- (10.734,5.306) -- cycle;
\node at (10.44,5.476) {\scalebox{1.627}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.215,3.375) -- (3.169,3.545) -- (3.045,3.67) -- (2.875,3.715) -- (2.705,3.67) -- (2.58,3.545) -- (2.535,3.375) -- (2.58,3.205) -- (2.705,3.081) -- (2.875,3.035) -- (3.045,3.081) -- (3.169,3.205) -- cycle;
\node at (2.875,3.375) {\scalebox{1.627}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.49,2.858) -- (2.445,3.028) -- (2.32,3.153) -- (2.15,3.198) -- (1.98,3.153) -- (1.856,3.028) -- (1.81,2.858) -- (1.856,2.688) -- (1.98,2.564) -- (2.15,2.518) -- (2.32,2.564) -- (2.445,2.688) -- cycle;
\node at (2.15,2.858) {\scalebox{1.627}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.261,4.625) -- (3.215,4.795) -- (3.091,4.92) -- (2.921,4.965) -- (2.751,4.92) -- (2.626,4.795) -- (2.581,4.625) -- (2.626,4.455) -- (2.751,4.331) -- (2.921,4.285) -- (3.091,4.331) -- (3.215,4.455) -- cycle;
\node at (2.921,4.625) {\scalebox{1.627}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.755,2.832) -- (5.71,3.002) -- (5.585,3.126) -- (5.415,3.172) -- (5.245,3.126) -- (5.121,3.002) -- (5.075,2.832) -- (5.121,2.662) -- (5.245,2.537) -- (5.415,2.492) -- (5.585,2.537) -- (5.71,2.662) -- cycle;
\node at (5.415,2.832) {\scalebox{1.627}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.658,4.137) -- (5.612,4.307) -- (5.488,4.432) -- (5.318,4.477) -- (5.148,4.432) -- (5.024,4.307) -- (4.978,4.137) -- (5.024,3.967) -- (5.148,3.843) -- (5.318,3.797) -- (5.488,3.843) -- (5.612,3.967) -- cycle;
\node at (5.318,4.137) {\scalebox{1.627}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.56,3.129) -- (4.514,3.299) -- (4.39,3.424) -- (4.22,3.469) -- (4.05,3.424) -- (3.926,3.299) -- (3.88,3.129) -- (3.926,2.959) -- (4.05,2.835) -- (4.22,2.789) -- (4.39,2.835) -- (4.514,2.959) -- cycle;
\node at (4.22,3.129) {\scalebox{1.627}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.694,4.356) -- (10.648,4.526) -- (10.524,4.65) -- (10.354,4.696) -- (10.184,4.65) -- (10.059,4.526) -- (10.014,4.356) -- (10.059,4.186) -- (10.184,4.061) -- (10.354,4.016) -- (10.524,4.061) -- (10.648,4.186) -- cycle;
\node at (10.354,4.356) {\scalebox{1.627}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.515,3.101) -- (10.469,3.271) -- (10.345,3.396) -- (10.175,3.441) -- (10.005,3.396) -- (9.88,3.271) -- (9.835,3.101) -- (9.88,2.931) -- (10.005,2.807) -- (10.175,2.761) -- (10.345,2.807) -- (10.469,2.931) -- cycle;
\node at (10.175,3.101) {\scalebox{1.627}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.011,2.904) -- (11.965,3.074) -- (11.841,3.199) -- (11.671,3.244) -- (11.501,3.199) -- (11.376,3.074) -- (11.331,2.904) -- (11.376,2.734) -- (11.501,2.61) -- (11.671,2.564) -- (11.841,2.61) -- (11.965,2.734) -- cycle;
\node at (11.671,2.904) {\scalebox{1.627}{\small 21}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.703,6.591) -- (4.303,6.591) -- (4.303,7.191) -- (3.703,7.191) -- cycle;
\node at (4.003,6.891) {\scalebox{1.627}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.903,8.142) -- (10.503,8.142) -- (10.503,8.742) -- (9.903,8.742) -- cycle;
\node at (10.203,8.442) {\scalebox{1.627}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.361,5.542) -- (11.961,5.542) -- (11.961,6.142) -- (11.361,6.142) -- cycle;
\node at (11.661,5.842) {\scalebox{1.627}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.628,2.187) -- (13.228,2.187) -- (13.228,2.787) -- (12.628,2.787) -- cycle;
\node at (12.928,2.487) {\scalebox{1.627}{\small d}};
\node at (6.884,10.022) {\scalebox{1.627}{\small S0}};
\node at (9.552,9.9) {\scalebox{1.627}{\small S1}};
\node at (1.338,9.577) {\scalebox{1.627}{\small S2}};
\node at (3.522,7.282) {\scalebox{1.627}{\small S3}};
\node at (9.295,6.424) {\scalebox{1.627}{\small S4}};
\node at (1.199,4.387) {\scalebox{1.627}{\small S5}};
\node at (6.877,3.792) {\scalebox{1.627}{\small S6}};
\node at (3.401,4.178) {\scalebox{1.627}{\small S7}};
\node at (9.688,4.062) {\scalebox{1.627}{\small S8}};
\node at (12.199,3.948) {\scalebox{1.627}{\small S9}};
\node at (3.194,1.609) {\scalebox{1.627}{\small S10}};
\node at (9.393,1.4) {\scalebox{1.627}{\small S11}};
\node at (11.826,1.477) {\scalebox{1.627}{\small S12}};
\node at (1.095,0.95) {\scalebox{1.627}{\small S13}};
\draw[line width=0.5pt] (12.889,8.455) -- (12.889,9.555);
\draw[line width=0.5pt] (12.658,9.17) -- (12.889,9.555) -- (13.12,9.17);
\draw[line width=0.5pt] (12.586,9.005) -- (13.191,9.005);
\node at (12.889,9.94) {\scalebox{1.627}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S13 \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 4 & 6 & 3 & 4 & 4 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 \(\times\) 21, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S1}, \textbf{S5} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S3}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S1} et \textbf{S5} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{S3}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{S1} à \textbf{S5}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de S1 :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Placette des Ormes \textbf{(S1)}, prend l'\textbf{impasse des Cerisiers ③} vers le sud et atteint Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S4)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(S2)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S3)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Moulin ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑪}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑲}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑳}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits 21}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑫}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑮}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑬}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑯}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑰}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑱}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ④}, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(S13)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑭}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(S5)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
