\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 387}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=387}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0387}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6887, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.657,8.425) -- (4.794,8.355) -- (4.931,8.289) -- (5.071,8.225) -- (5.212,8.165) -- (5.354,8.108) -- (5.497,8.055) -- (5.642,8.005) -- (5.788,7.958) -- (5.935,7.915) -- (6.083,7.875) -- (6.232,7.839) -- (6.381,7.806) -- (6.531,7.777) -- (6.682,7.751);
\draw[line width=0.5pt] (4.657,8.425) -- (4.671,8.264) -- (4.68,8.102) -- (4.685,7.941) -- (4.687,7.779) -- (4.685,7.617) -- (4.679,7.455) -- (4.669,7.294) -- (4.656,7.132) -- (4.638,6.971) -- (4.617,6.811) -- (4.593,6.651) -- (4.564,6.491) -- (4.532,6.333) -- (4.496,6.175);
\draw[line width=0.5pt] (1.591,8.284) -- (1.611,8.125) -- (1.636,7.967) -- (1.664,7.808) -- (1.696,7.651) -- (1.731,7.494) -- (1.77,7.338) -- (1.813,7.183) -- (1.86,7.03) -- (1.91,6.877) -- (1.964,6.725) -- (2.021,6.575) -- (2.081,6.427) -- (2.146,6.279) -- (2.213,6.134) -- (2.208,5.912) -- (2.197,5.69) -- (2.181,5.469) -- (2.16,5.247) -- (2.133,5.027) -- (2.102,4.807) -- (2.065,4.588) -- (2.023,4.369) -- (1.976,4.152) -- (1.924,3.936) -- (1.866,3.722) -- (1.804,3.508) -- (1.737,3.297) -- (1.665,3.087);
\draw[line width=0.5pt] (1.591,8.284) -- (1.82,8.167) -- (2.046,8.044) -- (2.269,7.915) -- (2.489,7.781) -- (2.706,7.643) -- (2.92,7.499) -- (3.13,7.35) -- (3.337,7.196) -- (3.54,7.037) -- (3.739,6.874) -- (3.934,6.706) -- (4.126,6.533) -- (4.313,6.356) -- (4.496,6.175);
\draw[line width=0.5pt] (11.591,3.202) -- (11.358,3.115) -- (11.127,3.022) -- (10.898,2.923) -- (10.672,2.82) -- (10.448,2.711) -- (10.226,2.596) -- (10.008,2.477) -- (9.792,2.352) -- (9.579,2.222) -- (9.369,2.088) -- (9.163,1.948) -- (8.96,1.804) -- (8.761,1.655) -- (8.565,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (1.665,3.087) -- (1.855,3.018) -- (2.044,2.944) -- (2.232,2.866) -- (2.417,2.784) -- (2.601,2.697) -- (2.782,2.606) -- (2.961,2.511) -- (3.138,2.411) -- (3.313,2.308) -- (3.485,2.2) -- (3.654,2.088) -- (3.821,1.973) -- (3.985,1.853) -- (4.146,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.479,7.975) -- (11.291,7.858) -- (11.106,7.737) -- (10.923,7.611) -- (10.744,7.481) -- (10.568,7.347) -- (10.395,7.209) -- (10.225,7.066) -- (10.058,6.92) -- (9.895,6.77) -- (9.736,6.616) -- (9.58,6.458) -- (9.428,6.297) -- (9.28,6.132) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,7.751) -- (6.876,7.651) -- (7.067,7.547) -- (7.255,7.438) -- (7.441,7.325) -- (7.625,7.207) -- (7.805,7.085) -- (7.983,6.959) -- (8.158,6.828) -- (8.329,6.694) -- (8.498,6.556) -- (8.663,6.413) -- (8.824,6.267) -- (8.982,6.117) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,7.751) -- (6.674,7.603) -- (6.668,7.455) -- (6.667,7.306) -- (6.669,7.158) -- (6.674,7.009) -- (6.683,6.861) -- (6.695,6.713) -- (6.711,6.565) -- (6.73,6.417) -- (6.753,6.271) -- (6.779,6.124) -- (6.809,5.979) -- (6.842,5.834) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (11.274,6.372) -- (11.332,6.151) -- (11.383,5.928) -- (11.43,5.704) -- (11.471,5.48) -- (11.507,5.254) -- (11.538,5.027) -- (11.563,4.8) -- (11.583,4.572) -- (11.598,4.344) -- (11.607,4.116) -- (11.611,3.887) -- (11.61,3.659) -- (11.603,3.43) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (11.274,6.372) -- (11.119,6.366) -- (10.963,6.357) -- (10.807,6.344) -- (10.652,6.328) -- (10.497,6.307) -- (10.342,6.284) -- (10.189,6.256) -- (10.036,6.225) -- (9.883,6.19) -- (9.732,6.152) -- (9.581,6.11) -- (9.432,6.065) -- (9.284,6.016) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (4.496,6.175) -- (4.67,6.167) -- (4.844,6.155) -- (5.017,6.138) -- (5.191,6.117) -- (5.363,6.093) -- (5.536,6.064) -- (5.707,6.031) -- (5.878,5.994) -- (6.047,5.953) -- (6.216,5.909) -- (6.384,5.86) -- (6.55,5.807) -- (6.715,5.751) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (4.496,6.175) -- (4.453,5.969) -- (4.415,5.761) -- (4.382,5.553) -- (4.354,5.344) -- (4.331,5.134) -- (4.313,4.924) -- (4.3,4.714) -- (4.292,4.503) -- (4.288,4.292) -- (4.29,4.081) -- (4.297,3.87) -- (4.308,3.66) -- (4.325,3.449) -- (4.346,3.24);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (9.341,5.795) -- (9.541,5.621) -- (9.737,5.443) -- (9.929,5.26) -- (10.116,5.072) -- (10.299,4.88) -- (10.478,4.684) -- (10.651,4.484) -- (10.821,4.28) -- (10.985,4.071) -- (11.144,3.86) -- (11.298,3.644) -- (11.447,3.425) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (8.973,5.969) -- (8.81,5.971) -- (8.647,5.968) -- (8.484,5.962) -- (8.321,5.952) -- (8.158,5.938) -- (7.996,5.92) -- (7.834,5.899) -- (7.673,5.873) -- (7.512,5.844) -- (7.353,5.811) -- (7.193,5.775) -- (7.035,5.734) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (8.98,5.781) -- (8.819,5.601) -- (8.654,5.426) -- (8.484,5.254) -- (8.311,5.086) -- (8.134,4.923) -- (7.953,4.763) -- (7.768,4.608) -- (7.579,4.458) -- (7.388,4.311) -- (7.192,4.17) -- (6.994,4.033) -- (6.792,3.9) -- (6.588,3.773);
\draw[line width=0.5pt] (6.878,5.69) -- (6.837,5.558) -- (6.798,5.424) -- (6.763,5.289) -- (6.731,5.154) -- (6.702,5.018) -- (6.677,4.881) -- (6.654,4.744) -- (6.635,4.606) -- (6.619,4.467) -- (6.606,4.329) -- (6.597,4.19) -- (6.59,4.051) -- (6.588,3.912) -- (6.588,3.773);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.762,3.77) -- (6.937,3.763) -- (7.111,3.752) -- (7.285,3.736) -- (7.458,3.717) -- (7.631,3.693) -- (7.804,3.666) -- (7.975,3.634) -- (8.146,3.598) -- (8.316,3.559) -- (8.485,3.515) -- (8.653,3.467) -- (8.82,3.416) -- (8.985,3.36) -- (9.168,3.321) -- (9.352,3.285) -- (9.537,3.254) -- (9.722,3.228) -- (9.908,3.205) -- (10.095,3.187) -- (10.282,3.174) -- (10.469,3.165) -- (10.656,3.16) -- (10.843,3.16) -- (11.031,3.164) -- (11.218,3.172) -- (11.404,3.185) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.392,3.655) -- (6.2,3.532) -- (6.01,3.405) -- (5.823,3.273) -- (5.64,3.137) -- (5.46,2.997) -- (5.283,2.852) -- (5.109,2.704) -- (4.939,2.551) -- (4.773,2.394) -- (4.61,2.234) -- (4.451,2.07) -- (4.296,1.902) -- (4.146,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.753,3.634) -- (6.914,3.49) -- (7.073,3.343) -- (7.227,3.193) -- (7.379,3.038) -- (7.526,2.88) -- (7.67,2.719) -- (7.81,2.554) -- (7.946,2.386) -- (8.078,2.215) -- (8.206,2.041) -- (8.33,1.864) -- (8.45,1.684) -- (8.565,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.423,3.76) -- (6.259,3.743) -- (6.095,3.722) -- (5.931,3.697) -- (5.769,3.668) -- (5.607,3.635) -- (5.445,3.599) -- (5.285,3.559) -- (5.125,3.515) -- (4.967,3.467) -- (4.81,3.416) -- (4.654,3.361) -- (4.499,3.302) -- (4.346,3.24);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.817,8.425) -- (4.796,8.505) -- (4.737,8.564) -- (4.657,8.585) -- (4.577,8.564) -- (4.519,8.505) -- (4.497,8.425) -- (4.519,8.345) -- (4.577,8.287) -- (4.657,8.265) -- (4.737,8.287) -- (4.796,8.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.751,8.284) -- (1.729,8.364) -- (1.671,8.423) -- (1.591,8.444) -- (1.511,8.423) -- (1.452,8.364) -- (1.431,8.284) -- (1.452,8.204) -- (1.511,8.146) -- (1.591,8.124) -- (1.671,8.146) -- (1.729,8.204) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.639,7.975) -- (11.618,8.055) -- (11.559,8.114) -- (11.479,8.135) -- (11.399,8.114) -- (11.34,8.055) -- (11.319,7.975) -- (11.34,7.895) -- (11.399,7.837) -- (11.479,7.815) -- (11.559,7.837) -- (11.618,7.895) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.842,7.751) -- (6.821,7.831) -- (6.762,7.89) -- (6.682,7.911) -- (6.602,7.89) -- (6.544,7.831) -- (6.522,7.751) -- (6.544,7.671) -- (6.602,7.613) -- (6.682,7.591) -- (6.762,7.613) -- (6.821,7.671) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.434,6.372) -- (11.413,6.452) -- (11.354,6.51) -- (11.274,6.532) -- (11.194,6.51) -- (11.136,6.452) -- (11.114,6.372) -- (11.136,6.292) -- (11.194,6.233) -- (11.274,6.212) -- (11.354,6.233) -- (11.413,6.292) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.656,6.175) -- (4.634,6.255) -- (4.576,6.314) -- (4.496,6.335) -- (4.416,6.314) -- (4.357,6.255) -- (4.336,6.175) -- (4.357,6.095) -- (4.416,6.037) -- (4.496,6.015) -- (4.576,6.037) -- (4.634,6.095) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.297,5.964) -- (9.275,6.044) -- (9.217,6.102) -- (9.137,6.124) -- (9.057,6.102) -- (8.998,6.044) -- (8.977,5.964) -- (8.998,5.884) -- (9.057,5.825) -- (9.137,5.804) -- (9.217,5.825) -- (9.275,5.884) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,5.69) -- (7.017,5.77) -- (6.958,5.829) -- (6.878,5.85) -- (6.798,5.829) -- (6.74,5.77) -- (6.718,5.69) -- (6.74,5.61) -- (6.798,5.552) -- (6.878,5.53) -- (6.958,5.552) -- (7.017,5.61) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.748,3.773) -- (6.726,3.853) -- (6.668,3.912) -- (6.588,3.933) -- (6.508,3.912) -- (6.449,3.853) -- (6.428,3.773) -- (6.449,3.693) -- (6.508,3.635) -- (6.588,3.613) -- (6.668,3.635) -- (6.726,3.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.506,3.24) -- (4.485,3.32) -- (4.426,3.378) -- (4.346,3.4) -- (4.266,3.378) -- (4.208,3.32) -- (4.186,3.24) -- (4.208,3.16) -- (4.266,3.101) -- (4.346,3.08) -- (4.426,3.101) -- (4.485,3.16) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.751,3.202) -- (11.729,3.282) -- (11.671,3.341) -- (11.591,3.362) -- (11.511,3.341) -- (11.452,3.282) -- (11.431,3.202) -- (11.452,3.122) -- (11.511,3.064) -- (11.591,3.042) -- (11.671,3.064) -- (11.729,3.122) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.825,3.087) -- (1.803,3.167) -- (1.745,3.225) -- (1.665,3.247) -- (1.585,3.225) -- (1.526,3.167) -- (1.505,3.087) -- (1.526,3.007) -- (1.585,2.948) -- (1.665,2.927) -- (1.745,2.948) -- (1.803,3.007) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.306,1.73) -- (4.284,1.81) -- (4.226,1.869) -- (4.146,1.89) -- (4.066,1.869) -- (4.007,1.81) -- (3.986,1.73) -- (4.007,1.65) -- (4.066,1.592) -- (4.146,1.57) -- (4.226,1.592) -- (4.284,1.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.725,1.501) -- (8.703,1.581) -- (8.645,1.64) -- (8.565,1.661) -- (8.485,1.64) -- (8.426,1.581) -- (8.405,1.501) -- (8.426,1.421) -- (8.485,1.363) -- (8.565,1.341) -- (8.645,1.363) -- (8.703,1.421) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.083,8.308) -- (6.038,8.478) -- (5.913,8.603) -- (5.743,8.648) -- (5.573,8.603) -- (5.449,8.478) -- (5.403,8.308) -- (5.449,8.138) -- (5.573,8.014) -- (5.743,7.968) -- (5.913,8.014) -- (6.038,8.138) -- cycle;
\node at (5.743,8.308) {\scalebox{1.452}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.328,7.271) -- (5.283,7.441) -- (5.158,7.565) -- (4.988,7.611) -- (4.818,7.565) -- (4.694,7.441) -- (4.648,7.271) -- (4.694,7.101) -- (4.818,6.976) -- (4.988,6.931) -- (5.158,6.976) -- (5.283,7.101) -- cycle;
\node at (4.988,7.271) {\scalebox{1.452}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.869,6.187) -- (2.823,6.357) -- (2.699,6.482) -- (2.529,6.527) -- (2.359,6.482) -- (2.234,6.357) -- (2.189,6.187) -- (2.234,6.017) -- (2.359,5.893) -- (2.529,5.847) -- (2.699,5.893) -- (2.823,6.017) -- cycle;
\node at (2.529,6.187) {\scalebox{1.452}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.658,7.609) -- (3.613,7.779) -- (3.488,7.903) -- (3.318,7.949) -- (3.148,7.903) -- (3.024,7.779) -- (2.978,7.609) -- (3.024,7.439) -- (3.148,7.314) -- (3.318,7.269) -- (3.488,7.314) -- (3.613,7.439) -- cycle;
\node at (3.318,7.609) {\scalebox{1.452}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.504,2.198) -- (10.459,2.368) -- (10.334,2.492) -- (10.164,2.538) -- (9.994,2.492) -- (9.87,2.368) -- (9.824,2.198) -- (9.87,2.028) -- (9.994,1.903) -- (10.164,1.858) -- (10.334,1.903) -- (10.459,2.028) -- cycle;
\node at (10.164,2.198) {\scalebox{1.452}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.455,2.792) -- (3.409,2.962) -- (3.285,3.086) -- (3.115,3.132) -- (2.945,3.086) -- (2.82,2.962) -- (2.775,2.792) -- (2.82,2.622) -- (2.945,2.497) -- (3.115,2.452) -- (3.285,2.497) -- (3.409,2.622) -- cycle;
\node at (3.115,2.792) {\scalebox{1.452}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.773,6.823) -- (10.728,6.993) -- (10.603,7.118) -- (10.433,7.163) -- (10.263,7.118) -- (10.139,6.993) -- (10.093,6.823) -- (10.139,6.653) -- (10.263,6.529) -- (10.433,6.483) -- (10.603,6.529) -- (10.728,6.653) -- cycle;
\node at (10.433,6.823) {\scalebox{1.452}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,7.217) -- (8.466,7.387) -- (8.341,7.512) -- (8.171,7.557) -- (8.001,7.512) -- (7.877,7.387) -- (7.831,7.217) -- (7.877,7.047) -- (8.001,6.923) -- (8.171,6.877) -- (8.341,6.923) -- (8.466,7.047) -- cycle;
\node at (8.171,7.217) {\scalebox{1.452}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.354,6.743) -- (7.308,6.913) -- (7.184,7.037) -- (7.014,7.083) -- (6.844,7.037) -- (6.719,6.913) -- (6.674,6.743) -- (6.719,6.573) -- (6.844,6.448) -- (7.014,6.403) -- (7.184,6.448) -- (7.308,6.573) -- cycle;
\node at (7.014,6.743) {\scalebox{1.452}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.222,4.832) -- (12.176,5.002) -- (12.052,5.126) -- (11.882,5.172) -- (11.712,5.126) -- (11.587,5.002) -- (11.542,4.832) -- (11.587,4.662) -- (11.712,4.537) -- (11.882,4.492) -- (12.052,4.537) -- (12.176,4.662) -- cycle;
\node at (11.882,4.832) {\scalebox{1.452}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.589,5.942) -- (10.543,6.112) -- (10.419,6.236) -- (10.249,6.282) -- (10.079,6.236) -- (9.954,6.112) -- (9.909,5.942) -- (9.954,5.772) -- (10.079,5.647) -- (10.249,5.602) -- (10.419,5.647) -- (10.543,5.772) -- cycle;
\node at (10.249,5.942) {\scalebox{1.452}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.111,6.345) -- (6.065,6.515) -- (5.941,6.639) -- (5.771,6.685) -- (5.601,6.639) -- (5.476,6.515) -- (5.431,6.345) -- (5.476,6.175) -- (5.601,6.05) -- (5.771,6.005) -- (5.941,6.05) -- (6.065,6.175) -- cycle;
\node at (5.771,6.345) {\scalebox{1.452}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.959,4.697) -- (4.914,4.867) -- (4.789,4.992) -- (4.619,5.037) -- (4.449,4.992) -- (4.325,4.867) -- (4.279,4.697) -- (4.325,4.527) -- (4.449,4.403) -- (4.619,4.357) -- (4.789,4.403) -- (4.914,4.527) -- cycle;
\node at (4.619,4.697) {\scalebox{1.452}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.057,4.897) -- (11.011,5.067) -- (10.887,5.191) -- (10.717,5.237) -- (10.547,5.191) -- (10.422,5.067) -- (10.377,4.897) -- (10.422,4.727) -- (10.547,4.602) -- (10.717,4.557) -- (10.887,4.602) -- (11.011,4.727) -- cycle;
\node at (10.717,4.897) {\scalebox{1.452}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.375,5.602) -- (8.329,5.772) -- (8.205,5.897) -- (8.035,5.942) -- (7.865,5.897) -- (7.74,5.772) -- (7.695,5.602) -- (7.74,5.432) -- (7.865,5.308) -- (8.035,5.262) -- (8.205,5.308) -- (8.329,5.432) -- cycle;
\node at (8.035,5.602) {\scalebox{1.452}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.501,4.521) -- (8.456,4.691) -- (8.331,4.815) -- (8.161,4.861) -- (7.991,4.815) -- (7.867,4.691) -- (7.821,4.521) -- (7.867,4.351) -- (7.991,4.226) -- (8.161,4.181) -- (8.331,4.226) -- (8.456,4.351) -- cycle;
\node at (8.161,4.521) {\scalebox{1.452}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.31,4.696) -- (7.265,4.866) -- (7.14,4.99) -- (6.97,5.036) -- (6.8,4.99) -- (6.676,4.866) -- (6.63,4.696) -- (6.676,4.526) -- (6.8,4.401) -- (6.97,4.356) -- (7.14,4.401) -- (7.265,4.526) -- cycle;
\node at (6.97,4.696) {\scalebox{1.452}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.41,3.669) -- (9.364,3.839) -- (9.24,3.963) -- (9.07,4.009) -- (8.9,3.963) -- (8.775,3.839) -- (8.73,3.669) -- (8.775,3.499) -- (8.9,3.375) -- (9.07,3.329) -- (9.24,3.375) -- (9.364,3.499) -- cycle;
\node at (9.07,3.669) {\scalebox{1.452}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.828,2.607) -- (5.782,2.777) -- (5.658,2.901) -- (5.488,2.947) -- (5.318,2.901) -- (5.193,2.777) -- (5.148,2.607) -- (5.193,2.437) -- (5.318,2.312) -- (5.488,2.267) -- (5.658,2.312) -- (5.782,2.437) -- cycle;
\node at (5.488,2.607) {\scalebox{1.452}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.251,2.929) -- (8.206,3.099) -- (8.081,3.223) -- (7.911,3.269) -- (7.741,3.223) -- (7.617,3.099) -- (7.571,2.929) -- (7.617,2.759) -- (7.741,2.634) -- (7.911,2.589) -- (8.081,2.634) -- (8.206,2.759) -- cycle;
\node at (7.911,2.929) {\scalebox{1.452}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.711,3.91) -- (5.666,4.08) -- (5.541,4.205) -- (5.371,4.25) -- (5.201,4.205) -- (5.077,4.08) -- (5.031,3.91) -- (5.077,3.74) -- (5.201,3.616) -- (5.371,3.57) -- (5.541,3.616) -- (5.666,3.74) -- cycle;
\node at (5.371,3.91) {\scalebox{1.452}{\small 21}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.291,2.902) -- (11.891,2.902) -- (11.891,3.502) -- (11.291,3.502) -- cycle;
\node at (11.591,3.202) {\scalebox{1.452}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.082,5.562) -- (11.682,5.562) -- (11.682,6.162) -- (11.082,6.162) -- cycle;
\node at (11.382,5.862) {\scalebox{1.452}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.799,0.966) -- (11.399,0.966) -- (11.399,1.566) -- (10.799,1.566) -- cycle;
\node at (11.099,1.266) {\scalebox{1.452}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.011,4.046) -- (8.611,4.046) -- (8.611,4.646) -- (8.011,4.646) -- cycle;
\node at (8.311,4.346) {\scalebox{1.452}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.554,8.051) -- (8.154,8.051) -- (8.154,8.651) -- (7.554,8.651) -- cycle;
\node at (7.854,8.351) {\scalebox{1.452}{\small e}};
\node at (4.33,8.951) {\scalebox{1.452}{\small S0}};
\node at (1.06,8.605) {\scalebox{1.452}{\small S1}};
\node at (12.018,8.282) {\scalebox{1.452}{\small S2}};
\node at (6.69,8.371) {\scalebox{1.452}{\small S3}};
\node at (11.876,6.521) {\scalebox{1.452}{\small S4}};
\node at (3.928,6.425) {\scalebox{1.452}{\small S5}};
\node at (9.731,6.14) {\scalebox{1.452}{\small S6}};
\node at (7.153,6.246) {\scalebox{1.452}{\small S7}};
\node at (6.562,3.154) {\scalebox{1.452}{\small S8}};
\node at (3.877,2.835) {\scalebox{1.452}{\small S9}};
\node at (12.165,2.967) {\scalebox{1.452}{\small S10}};
\node at (1.095,2.842) {\scalebox{1.452}{\small S11}};
\node at (3.785,1.226) {\scalebox{1.452}{\small S12}};
\node at (8.848,0.95) {\scalebox{1.452}{\small S13}};
\draw[line width=0.5pt] (12.891,7.475) -- (12.891,8.575);
\draw[line width=0.5pt] (12.66,8.19) -- (12.891,8.575) -- (13.122,8.19);
\draw[line width=0.5pt] (12.588,8.025) -- (13.193,8.025);
\node at (12.891,8.96) {\scalebox{1.452}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑫ rue de la Mairie & S0 Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑬ boulevard du Parc & S1 Place aux Herbes & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑭ chemin de Ronde & S2 Place du Vieux-Puits & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue Verte & ⑮ allée des Tilleuls & S3 Rond-point du Pont & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑯ rue Neuve & S4 Place Sainte-Croix & \textbf{e} la mairie \\ \hline
⑥ chemin des Vignes & ⑰ rue des Lilas & S5 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑦ impasse des Cerisiers & ⑱ venelle du Chat & S6 Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑧ rue Pasteur & ⑲ rue du Stade & S7 Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑨ rue du Four & ⑳ rue du Moulin & S8 Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑩ rue Haute & 21 allée des Peupliers & S9 Coin du Lavoir &  \\ \hline
⑪ rue des Écoles &  & S10 Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & S11 Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & S12 Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & S13 Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6162, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.657,8.425) -- (4.794,8.355) -- (4.931,8.289) -- (5.071,8.225) -- (5.212,8.165) -- (5.354,8.108) -- (5.497,8.055) -- (5.642,8.005) -- (5.788,7.958) -- (5.935,7.915) -- (6.083,7.875) -- (6.232,7.839) -- (6.381,7.806) -- (6.531,7.777) -- (6.682,7.751);
\draw[line width=0.5pt] (4.657,8.425) -- (4.671,8.264) -- (4.68,8.102) -- (4.685,7.941) -- (4.687,7.779) -- (4.685,7.617) -- (4.679,7.455) -- (4.669,7.294) -- (4.656,7.132) -- (4.638,6.971) -- (4.617,6.811) -- (4.593,6.651) -- (4.564,6.491) -- (4.532,6.333) -- (4.496,6.175);
\draw[line width=0.5pt] (1.591,8.284) -- (1.611,8.125) -- (1.636,7.967) -- (1.664,7.808) -- (1.696,7.651) -- (1.731,7.494) -- (1.77,7.338) -- (1.813,7.183) -- (1.86,7.03) -- (1.91,6.877) -- (1.964,6.725) -- (2.021,6.575) -- (2.081,6.427) -- (2.146,6.279) -- (2.213,6.134) -- (2.208,5.912) -- (2.197,5.69) -- (2.181,5.469) -- (2.16,5.247) -- (2.133,5.027) -- (2.102,4.807) -- (2.065,4.588) -- (2.023,4.369) -- (1.976,4.152) -- (1.924,3.936) -- (1.866,3.722) -- (1.804,3.508) -- (1.737,3.297) -- (1.665,3.087);
\draw[line width=0.5pt] (1.591,8.284) -- (1.82,8.167) -- (2.046,8.044) -- (2.269,7.915) -- (2.489,7.781) -- (2.706,7.643) -- (2.92,7.499) -- (3.13,7.35) -- (3.337,7.196) -- (3.54,7.037) -- (3.739,6.874) -- (3.934,6.706) -- (4.126,6.533) -- (4.313,6.356) -- (4.496,6.175);
\draw[line width=0.5pt] (11.591,3.202) -- (11.358,3.115) -- (11.127,3.022) -- (10.898,2.923) -- (10.672,2.82) -- (10.448,2.711) -- (10.226,2.596) -- (10.008,2.477) -- (9.792,2.352) -- (9.579,2.222) -- (9.369,2.088) -- (9.163,1.948) -- (8.96,1.804) -- (8.761,1.655) -- (8.565,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (1.665,3.087) -- (1.855,3.018) -- (2.044,2.944) -- (2.232,2.866) -- (2.417,2.784) -- (2.601,2.697) -- (2.782,2.606) -- (2.961,2.511) -- (3.138,2.411) -- (3.313,2.308) -- (3.485,2.2) -- (3.654,2.088) -- (3.821,1.973) -- (3.985,1.853) -- (4.146,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.479,7.975) -- (11.291,7.858) -- (11.106,7.737) -- (10.923,7.611) -- (10.744,7.481) -- (10.568,7.347) -- (10.395,7.209) -- (10.225,7.066) -- (10.058,6.92) -- (9.895,6.77) -- (9.736,6.616) -- (9.58,6.458) -- (9.428,6.297) -- (9.28,6.132) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,7.751) -- (6.876,7.651) -- (7.067,7.547) -- (7.255,7.438) -- (7.441,7.325) -- (7.625,7.207) -- (7.805,7.085) -- (7.983,6.959) -- (8.158,6.828) -- (8.329,6.694) -- (8.498,6.556) -- (8.663,6.413) -- (8.824,6.267) -- (8.982,6.117) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (6.682,7.751) -- (6.674,7.603) -- (6.668,7.455) -- (6.667,7.306) -- (6.669,7.158) -- (6.674,7.009) -- (6.683,6.861) -- (6.695,6.713) -- (6.711,6.565) -- (6.73,6.417) -- (6.753,6.271) -- (6.779,6.124) -- (6.809,5.979) -- (6.842,5.834) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (11.274,6.372) -- (11.332,6.151) -- (11.383,5.928) -- (11.43,5.704) -- (11.471,5.48) -- (11.507,5.254) -- (11.538,5.027) -- (11.563,4.8) -- (11.583,4.572) -- (11.598,4.344) -- (11.607,4.116) -- (11.611,3.887) -- (11.61,3.659) -- (11.603,3.43) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (11.274,6.372) -- (11.119,6.366) -- (10.963,6.357) -- (10.807,6.344) -- (10.652,6.328) -- (10.497,6.307) -- (10.342,6.284) -- (10.189,6.256) -- (10.036,6.225) -- (9.883,6.19) -- (9.732,6.152) -- (9.581,6.11) -- (9.432,6.065) -- (9.284,6.016) -- (9.137,5.964);
\draw[line width=0.5pt] (4.496,6.175) -- (4.67,6.167) -- (4.844,6.155) -- (5.017,6.138) -- (5.191,6.117) -- (5.363,6.093) -- (5.536,6.064) -- (5.707,6.031) -- (5.878,5.994) -- (6.047,5.953) -- (6.216,5.909) -- (6.384,5.86) -- (6.55,5.807) -- (6.715,5.751) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (4.496,6.175) -- (4.453,5.969) -- (4.415,5.761) -- (4.382,5.553) -- (4.354,5.344) -- (4.331,5.134) -- (4.313,4.924) -- (4.3,4.714) -- (4.292,4.503) -- (4.288,4.292) -- (4.29,4.081) -- (4.297,3.87) -- (4.308,3.66) -- (4.325,3.449) -- (4.346,3.24);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (9.341,5.795) -- (9.541,5.621) -- (9.737,5.443) -- (9.929,5.26) -- (10.116,5.072) -- (10.299,4.88) -- (10.478,4.684) -- (10.651,4.484) -- (10.821,4.28) -- (10.985,4.071) -- (11.144,3.86) -- (11.298,3.644) -- (11.447,3.425) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (8.973,5.969) -- (8.81,5.971) -- (8.647,5.968) -- (8.484,5.962) -- (8.321,5.952) -- (8.158,5.938) -- (7.996,5.92) -- (7.834,5.899) -- (7.673,5.873) -- (7.512,5.844) -- (7.353,5.811) -- (7.193,5.775) -- (7.035,5.734) -- (6.878,5.69);
\draw[line width=0.5pt] (9.137,5.964) -- (8.98,5.781) -- (8.819,5.601) -- (8.654,5.426) -- (8.484,5.254) -- (8.311,5.086) -- (8.134,4.923) -- (7.953,4.763) -- (7.768,4.608) -- (7.579,4.458) -- (7.388,4.311) -- (7.192,4.17) -- (6.994,4.033) -- (6.792,3.9) -- (6.588,3.773);
\draw[line width=0.5pt] (6.878,5.69) -- (6.837,5.558) -- (6.798,5.424) -- (6.763,5.289) -- (6.731,5.154) -- (6.702,5.018) -- (6.677,4.881) -- (6.654,4.744) -- (6.635,4.606) -- (6.619,4.467) -- (6.606,4.329) -- (6.597,4.19) -- (6.59,4.051) -- (6.588,3.912) -- (6.588,3.773);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.762,3.77) -- (6.937,3.763) -- (7.111,3.752) -- (7.285,3.736) -- (7.458,3.717) -- (7.631,3.693) -- (7.804,3.666) -- (7.975,3.634) -- (8.146,3.598) -- (8.316,3.559) -- (8.485,3.515) -- (8.653,3.467) -- (8.82,3.416) -- (8.985,3.36) -- (9.168,3.321) -- (9.352,3.285) -- (9.537,3.254) -- (9.722,3.228) -- (9.908,3.205) -- (10.095,3.187) -- (10.282,3.174) -- (10.469,3.165) -- (10.656,3.16) -- (10.843,3.16) -- (11.031,3.164) -- (11.218,3.172) -- (11.404,3.185) -- (11.591,3.202);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.392,3.655) -- (6.2,3.532) -- (6.01,3.405) -- (5.823,3.273) -- (5.64,3.137) -- (5.46,2.997) -- (5.283,2.852) -- (5.109,2.704) -- (4.939,2.551) -- (4.773,2.394) -- (4.61,2.234) -- (4.451,2.07) -- (4.296,1.902) -- (4.146,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.753,3.634) -- (6.914,3.49) -- (7.073,3.343) -- (7.227,3.193) -- (7.379,3.038) -- (7.526,2.88) -- (7.67,2.719) -- (7.81,2.554) -- (7.946,2.386) -- (8.078,2.215) -- (8.206,2.041) -- (8.33,1.864) -- (8.45,1.684) -- (8.565,1.501);
\draw[line width=0.5pt] (6.588,3.773) -- (6.423,3.76) -- (6.259,3.743) -- (6.095,3.722) -- (5.931,3.697) -- (5.769,3.668) -- (5.607,3.635) -- (5.445,3.599) -- (5.285,3.559) -- (5.125,3.515) -- (4.967,3.467) -- (4.81,3.416) -- (4.654,3.361) -- (4.499,3.302) -- (4.346,3.24);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.817,8.425) -- (4.796,8.505) -- (4.737,8.564) -- (4.657,8.585) -- (4.577,8.564) -- (4.519,8.505) -- (4.497,8.425) -- (4.519,8.345) -- (4.577,8.287) -- (4.657,8.265) -- (4.737,8.287) -- (4.796,8.345) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.751,8.284) -- (1.729,8.364) -- (1.671,8.423) -- (1.591,8.444) -- (1.511,8.423) -- (1.452,8.364) -- (1.431,8.284) -- (1.452,8.204) -- (1.511,8.146) -- (1.591,8.124) -- (1.671,8.146) -- (1.729,8.204) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.639,7.975) -- (11.618,8.055) -- (11.559,8.114) -- (11.479,8.135) -- (11.399,8.114) -- (11.34,8.055) -- (11.319,7.975) -- (11.34,7.895) -- (11.399,7.837) -- (11.479,7.815) -- (11.559,7.837) -- (11.618,7.895) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.842,7.751) -- (6.821,7.831) -- (6.762,7.89) -- (6.682,7.911) -- (6.602,7.89) -- (6.544,7.831) -- (6.522,7.751) -- (6.544,7.671) -- (6.602,7.613) -- (6.682,7.591) -- (6.762,7.613) -- (6.821,7.671) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.434,6.372) -- (11.413,6.452) -- (11.354,6.51) -- (11.274,6.532) -- (11.194,6.51) -- (11.136,6.452) -- (11.114,6.372) -- (11.136,6.292) -- (11.194,6.233) -- (11.274,6.212) -- (11.354,6.233) -- (11.413,6.292) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.656,6.175) -- (4.634,6.255) -- (4.576,6.314) -- (4.496,6.335) -- (4.416,6.314) -- (4.357,6.255) -- (4.336,6.175) -- (4.357,6.095) -- (4.416,6.037) -- (4.496,6.015) -- (4.576,6.037) -- (4.634,6.095) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.297,5.964) -- (9.275,6.044) -- (9.217,6.102) -- (9.137,6.124) -- (9.057,6.102) -- (8.998,6.044) -- (8.977,5.964) -- (8.998,5.884) -- (9.057,5.825) -- (9.137,5.804) -- (9.217,5.825) -- (9.275,5.884) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,5.69) -- (7.017,5.77) -- (6.958,5.829) -- (6.878,5.85) -- (6.798,5.829) -- (6.74,5.77) -- (6.718,5.69) -- (6.74,5.61) -- (6.798,5.552) -- (6.878,5.53) -- (6.958,5.552) -- (7.017,5.61) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.748,3.773) -- (6.726,3.853) -- (6.668,3.912) -- (6.588,3.933) -- (6.508,3.912) -- (6.449,3.853) -- (6.428,3.773) -- (6.449,3.693) -- (6.508,3.635) -- (6.588,3.613) -- (6.668,3.635) -- (6.726,3.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.506,3.24) -- (4.485,3.32) -- (4.426,3.378) -- (4.346,3.4) -- (4.266,3.378) -- (4.208,3.32) -- (4.186,3.24) -- (4.208,3.16) -- (4.266,3.101) -- (4.346,3.08) -- (4.426,3.101) -- (4.485,3.16) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.751,3.202) -- (11.729,3.282) -- (11.671,3.341) -- (11.591,3.362) -- (11.511,3.341) -- (11.452,3.282) -- (11.431,3.202) -- (11.452,3.122) -- (11.511,3.064) -- (11.591,3.042) -- (11.671,3.064) -- (11.729,3.122) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.825,3.087) -- (1.803,3.167) -- (1.745,3.225) -- (1.665,3.247) -- (1.585,3.225) -- (1.526,3.167) -- (1.505,3.087) -- (1.526,3.007) -- (1.585,2.948) -- (1.665,2.927) -- (1.745,2.948) -- (1.803,3.007) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.306,1.73) -- (4.284,1.81) -- (4.226,1.869) -- (4.146,1.89) -- (4.066,1.869) -- (4.007,1.81) -- (3.986,1.73) -- (4.007,1.65) -- (4.066,1.592) -- (4.146,1.57) -- (4.226,1.592) -- (4.284,1.65) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.725,1.501) -- (8.703,1.581) -- (8.645,1.64) -- (8.565,1.661) -- (8.485,1.64) -- (8.426,1.581) -- (8.405,1.501) -- (8.426,1.421) -- (8.485,1.363) -- (8.565,1.341) -- (8.645,1.363) -- (8.703,1.421) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.083,8.308) -- (6.038,8.478) -- (5.913,8.603) -- (5.743,8.648) -- (5.573,8.603) -- (5.449,8.478) -- (5.403,8.308) -- (5.449,8.138) -- (5.573,8.014) -- (5.743,7.968) -- (5.913,8.014) -- (6.038,8.138) -- cycle;
\node at (5.743,8.308) {\scalebox{1.623}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.328,7.271) -- (5.283,7.441) -- (5.158,7.565) -- (4.988,7.611) -- (4.818,7.565) -- (4.694,7.441) -- (4.648,7.271) -- (4.694,7.101) -- (4.818,6.976) -- (4.988,6.931) -- (5.158,6.976) -- (5.283,7.101) -- cycle;
\node at (4.988,7.271) {\scalebox{1.623}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.869,6.187) -- (2.823,6.357) -- (2.699,6.482) -- (2.529,6.527) -- (2.359,6.482) -- (2.234,6.357) -- (2.189,6.187) -- (2.234,6.017) -- (2.359,5.893) -- (2.529,5.847) -- (2.699,5.893) -- (2.823,6.017) -- cycle;
\node at (2.529,6.187) {\scalebox{1.623}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.658,7.609) -- (3.613,7.779) -- (3.488,7.903) -- (3.318,7.949) -- (3.148,7.903) -- (3.024,7.779) -- (2.978,7.609) -- (3.024,7.439) -- (3.148,7.314) -- (3.318,7.269) -- (3.488,7.314) -- (3.613,7.439) -- cycle;
\node at (3.318,7.609) {\scalebox{1.623}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.504,2.198) -- (10.459,2.368) -- (10.334,2.492) -- (10.164,2.538) -- (9.994,2.492) -- (9.87,2.368) -- (9.824,2.198) -- (9.87,2.028) -- (9.994,1.903) -- (10.164,1.858) -- (10.334,1.903) -- (10.459,2.028) -- cycle;
\node at (10.164,2.198) {\scalebox{1.623}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.455,2.792) -- (3.409,2.962) -- (3.285,3.086) -- (3.115,3.132) -- (2.945,3.086) -- (2.82,2.962) -- (2.775,2.792) -- (2.82,2.622) -- (2.945,2.497) -- (3.115,2.452) -- (3.285,2.497) -- (3.409,2.622) -- cycle;
\node at (3.115,2.792) {\scalebox{1.623}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.773,6.823) -- (10.728,6.993) -- (10.603,7.118) -- (10.433,7.163) -- (10.263,7.118) -- (10.139,6.993) -- (10.093,6.823) -- (10.139,6.653) -- (10.263,6.529) -- (10.433,6.483) -- (10.603,6.529) -- (10.728,6.653) -- cycle;
\node at (10.433,6.823) {\scalebox{1.623}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.511,7.217) -- (8.466,7.387) -- (8.341,7.512) -- (8.171,7.557) -- (8.001,7.512) -- (7.877,7.387) -- (7.831,7.217) -- (7.877,7.047) -- (8.001,6.923) -- (8.171,6.877) -- (8.341,6.923) -- (8.466,7.047) -- cycle;
\node at (8.171,7.217) {\scalebox{1.623}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.354,6.743) -- (7.308,6.913) -- (7.184,7.037) -- (7.014,7.083) -- (6.844,7.037) -- (6.719,6.913) -- (6.674,6.743) -- (6.719,6.573) -- (6.844,6.448) -- (7.014,6.403) -- (7.184,6.448) -- (7.308,6.573) -- cycle;
\node at (7.014,6.743) {\scalebox{1.623}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.222,4.832) -- (12.176,5.002) -- (12.052,5.126) -- (11.882,5.172) -- (11.712,5.126) -- (11.587,5.002) -- (11.542,4.832) -- (11.587,4.662) -- (11.712,4.537) -- (11.882,4.492) -- (12.052,4.537) -- (12.176,4.662) -- cycle;
\node at (11.882,4.832) {\scalebox{1.623}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.589,5.942) -- (10.543,6.112) -- (10.419,6.236) -- (10.249,6.282) -- (10.079,6.236) -- (9.954,6.112) -- (9.909,5.942) -- (9.954,5.772) -- (10.079,5.647) -- (10.249,5.602) -- (10.419,5.647) -- (10.543,5.772) -- cycle;
\node at (10.249,5.942) {\scalebox{1.623}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.111,6.345) -- (6.065,6.515) -- (5.941,6.639) -- (5.771,6.685) -- (5.601,6.639) -- (5.476,6.515) -- (5.431,6.345) -- (5.476,6.175) -- (5.601,6.05) -- (5.771,6.005) -- (5.941,6.05) -- (6.065,6.175) -- cycle;
\node at (5.771,6.345) {\scalebox{1.623}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.959,4.697) -- (4.914,4.867) -- (4.789,4.992) -- (4.619,5.037) -- (4.449,4.992) -- (4.325,4.867) -- (4.279,4.697) -- (4.325,4.527) -- (4.449,4.403) -- (4.619,4.357) -- (4.789,4.403) -- (4.914,4.527) -- cycle;
\node at (4.619,4.697) {\scalebox{1.623}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.057,4.897) -- (11.011,5.067) -- (10.887,5.191) -- (10.717,5.237) -- (10.547,5.191) -- (10.422,5.067) -- (10.377,4.897) -- (10.422,4.727) -- (10.547,4.602) -- (10.717,4.557) -- (10.887,4.602) -- (11.011,4.727) -- cycle;
\node at (10.717,4.897) {\scalebox{1.623}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.375,5.602) -- (8.329,5.772) -- (8.205,5.897) -- (8.035,5.942) -- (7.865,5.897) -- (7.74,5.772) -- (7.695,5.602) -- (7.74,5.432) -- (7.865,5.308) -- (8.035,5.262) -- (8.205,5.308) -- (8.329,5.432) -- cycle;
\node at (8.035,5.602) {\scalebox{1.623}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.501,4.521) -- (8.456,4.691) -- (8.331,4.815) -- (8.161,4.861) -- (7.991,4.815) -- (7.867,4.691) -- (7.821,4.521) -- (7.867,4.351) -- (7.991,4.226) -- (8.161,4.181) -- (8.331,4.226) -- (8.456,4.351) -- cycle;
\node at (8.161,4.521) {\scalebox{1.623}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.31,4.696) -- (7.265,4.866) -- (7.14,4.99) -- (6.97,5.036) -- (6.8,4.99) -- (6.676,4.866) -- (6.63,4.696) -- (6.676,4.526) -- (6.8,4.401) -- (6.97,4.356) -- (7.14,4.401) -- (7.265,4.526) -- cycle;
\node at (6.97,4.696) {\scalebox{1.623}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.41,3.669) -- (9.364,3.839) -- (9.24,3.963) -- (9.07,4.009) -- (8.9,3.963) -- (8.775,3.839) -- (8.73,3.669) -- (8.775,3.499) -- (8.9,3.375) -- (9.07,3.329) -- (9.24,3.375) -- (9.364,3.499) -- cycle;
\node at (9.07,3.669) {\scalebox{1.623}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.828,2.607) -- (5.782,2.777) -- (5.658,2.901) -- (5.488,2.947) -- (5.318,2.901) -- (5.193,2.777) -- (5.148,2.607) -- (5.193,2.437) -- (5.318,2.312) -- (5.488,2.267) -- (5.658,2.312) -- (5.782,2.437) -- cycle;
\node at (5.488,2.607) {\scalebox{1.623}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.251,2.929) -- (8.206,3.099) -- (8.081,3.223) -- (7.911,3.269) -- (7.741,3.223) -- (7.617,3.099) -- (7.571,2.929) -- (7.617,2.759) -- (7.741,2.634) -- (7.911,2.589) -- (8.081,2.634) -- (8.206,2.759) -- cycle;
\node at (7.911,2.929) {\scalebox{1.623}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.711,3.91) -- (5.666,4.08) -- (5.541,4.205) -- (5.371,4.25) -- (5.201,4.205) -- (5.077,4.08) -- (5.031,3.91) -- (5.077,3.74) -- (5.201,3.616) -- (5.371,3.57) -- (5.541,3.616) -- (5.666,3.74) -- cycle;
\node at (5.371,3.91) {\scalebox{1.623}{\small 21}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.291,2.902) -- (11.891,2.902) -- (11.891,3.502) -- (11.291,3.502) -- cycle;
\node at (11.591,3.202) {\scalebox{1.623}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.082,5.562) -- (11.682,5.562) -- (11.682,6.162) -- (11.082,6.162) -- cycle;
\node at (11.382,5.862) {\scalebox{1.623}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.799,0.966) -- (11.399,0.966) -- (11.399,1.566) -- (10.799,1.566) -- cycle;
\node at (11.099,1.266) {\scalebox{1.623}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.011,4.046) -- (8.611,4.046) -- (8.611,4.646) -- (8.011,4.646) -- cycle;
\node at (8.311,4.346) {\scalebox{1.623}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.554,8.051) -- (8.154,8.051) -- (8.154,8.651) -- (7.554,8.651) -- cycle;
\node at (7.854,8.351) {\scalebox{1.623}{\small e}};
\node at (4.33,8.951) {\scalebox{1.623}{\small S0}};
\node at (1.06,8.605) {\scalebox{1.623}{\small S1}};
\node at (12.018,8.282) {\scalebox{1.623}{\small S2}};
\node at (6.69,8.371) {\scalebox{1.623}{\small S3}};
\node at (11.876,6.521) {\scalebox{1.623}{\small S4}};
\node at (3.928,6.425) {\scalebox{1.623}{\small S5}};
\node at (9.731,6.14) {\scalebox{1.623}{\small S6}};
\node at (7.153,6.246) {\scalebox{1.623}{\small S7}};
\node at (6.562,3.154) {\scalebox{1.623}{\small S8}};
\node at (3.877,2.835) {\scalebox{1.623}{\small S9}};
\node at (12.165,2.967) {\scalebox{1.623}{\small S10}};
\node at (1.095,2.842) {\scalebox{1.623}{\small S11}};
\node at (3.785,1.226) {\scalebox{1.623}{\small S12}};
\node at (8.848,0.95) {\scalebox{1.623}{\small S13}};
\draw[line width=0.5pt] (12.891,7.475) -- (12.891,8.575);
\draw[line width=0.5pt] (12.66,8.19) -- (12.891,8.575) -- (13.122,8.19);
\draw[line width=0.5pt] (12.588,8.025) -- (13.193,8.025);
\node at (12.891,8.96) {\scalebox{1.623}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S13 \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 1 & 3 & 2 & 4 & 6 & 4 & 6 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 \(\times\) 21, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S2}, \textbf{S3} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S10}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S2} et \textbf{S3} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{S10}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{S2} à \textbf{S3}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de S2 :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Vieux-Puits \textbf{(S2)}, prend l'\textbf{impasse des Cerisiers ⑦} vers le sud-ouest et atteint Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S3)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S1)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(S12)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑲}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S8)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Neuve ⑯}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S6)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Écoles ⑪}, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑩}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(S13)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑳}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑰}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S5)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑬}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers 21}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S8)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ⑱}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑭}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑮}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑨}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S3)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
