\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 390}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=390}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0390}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.702, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.331,9.178) -- (10.971,9.133) -- (10.612,9.08) -- (10.254,9.018) -- (9.898,8.947) -- (9.543,8.869) -- (9.19,8.781) -- (8.84,8.686) -- (8.492,8.582) -- (8.146,8.47) -- (7.803,8.351) -- (7.463,8.223) -- (7.126,8.087) -- (6.793,7.943) -- (6.463,7.792);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,9.178) -- (11.249,8.821) -- (11.158,8.465) -- (11.059,8.111) -- (10.951,7.76) -- (10.835,7.411) -- (10.711,7.065) -- (10.579,6.722) -- (10.438,6.382) -- (10.29,6.045) -- (10.134,5.712) -- (9.971,5.383) -- (9.799,5.058) -- (9.62,4.738) -- (9.434,4.421) -- (9.276,4.233) -- (9.123,4.04) -- (8.975,3.844) -- (8.831,3.645) -- (8.692,3.442) -- (8.557,3.236) -- (8.428,3.026) -- (8.303,2.814) -- (8.184,2.599) -- (8.07,2.381) -- (7.96,2.161) -- (7.856,1.938) -- (7.758,1.713) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.092,7.803) -- (5.722,7.806) -- (5.351,7.8) -- (4.98,7.786) -- (4.61,7.763) -- (4.24,7.731) -- (3.871,7.69) -- (3.503,7.64) -- (3.137,7.583) -- (2.772,7.516) -- (2.408,7.441) -- (2.047,7.357) -- (1.688,7.265) -- (1.331,7.165);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.336,7.509) -- (6.202,7.229) -- (6.061,6.952) -- (5.914,6.678) -- (5.76,6.408) -- (5.601,6.142) -- (5.435,5.879) -- (5.262,5.621) -- (5.084,5.366) -- (4.9,5.116) -- (4.71,4.87) -- (4.515,4.629) -- (4.313,4.393) -- (4.107,4.161);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.479,7.332) -- (6.506,6.872) -- (6.544,6.413) -- (6.593,5.955) -- (6.652,5.498) -- (6.723,5.043) -- (6.803,4.589) -- (6.895,4.137) -- (6.997,3.688) -- (7.11,3.241) -- (7.233,2.797) -- (7.366,2.357) -- (7.51,1.919) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (1.331,7.165) -- (1.561,6.982) -- (1.786,6.794) -- (2.007,6.601) -- (2.223,6.403) -- (2.434,6.199) -- (2.641,5.991) -- (2.843,5.777) -- (3.04,5.559) -- (3.231,5.337) -- (3.417,5.11) -- (3.598,4.879) -- (3.773,4.644) -- (3.943,4.404) -- (4.107,4.161);
\draw[line width=0.5pt] (4.107,4.161) -- (3.908,4.055) -- (3.711,3.944) -- (3.517,3.829) -- (3.326,3.709) -- (3.138,3.584) -- (2.952,3.456) -- (2.77,3.322) -- (2.591,3.185) -- (2.415,3.043) -- (2.243,2.898) -- (2.074,2.748) -- (1.908,2.594) -- (1.747,2.437) -- (1.589,2.276);
\draw[line width=0.5pt] (4.107,4.161) -- (4.388,4.01) -- (4.666,3.853) -- (4.94,3.689) -- (5.21,3.519) -- (5.476,3.342) -- (5.738,3.159) -- (5.996,2.97) -- (6.249,2.775) -- (6.498,2.574) -- (6.741,2.367) -- (6.98,2.155) -- (7.213,1.937) -- (7.442,1.714) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (1.589,2.276) -- (2.011,2.153) -- (2.436,2.041) -- (2.863,1.938) -- (3.293,1.846) -- (3.725,1.764) -- (4.159,1.692) -- (4.594,1.63) -- (5.031,1.578) -- (5.469,1.537) -- (5.907,1.506) -- (6.346,1.485) -- (6.786,1.475) -- (7.225,1.475) -- (7.664,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.491,9.178) -- (11.47,9.258) -- (11.411,9.317) -- (11.331,9.338) -- (11.251,9.317) -- (11.193,9.258) -- (11.171,9.178) -- (11.193,9.098) -- (11.251,9.04) -- (11.331,9.018) -- (11.411,9.04) -- (11.47,9.098) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,7.792) -- (6.601,7.872) -- (6.543,7.93) -- (6.463,7.952) -- (6.383,7.93) -- (6.324,7.872) -- (6.303,7.792) -- (6.324,7.712) -- (6.383,7.653) -- (6.463,7.632) -- (6.543,7.653) -- (6.601,7.712) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.491,7.165) -- (1.47,7.245) -- (1.411,7.303) -- (1.331,7.325) -- (1.251,7.303) -- (1.193,7.245) -- (1.171,7.165) -- (1.193,7.085) -- (1.251,7.026) -- (1.331,7.005) -- (1.411,7.026) -- (1.47,7.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.267,4.161) -- (4.245,4.241) -- (4.187,4.3) -- (4.107,4.321) -- (4.027,4.3) -- (3.968,4.241) -- (3.947,4.161) -- (3.968,4.081) -- (4.027,4.023) -- (4.107,4.001) -- (4.187,4.023) -- (4.245,4.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,2.276) -- (1.728,2.356) -- (1.669,2.414) -- (1.589,2.436) -- (1.509,2.414) -- (1.45,2.356) -- (1.429,2.276) -- (1.45,2.196) -- (1.509,2.137) -- (1.589,2.116) -- (1.669,2.137) -- (1.728,2.196) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.824,1.486) -- (7.803,1.566) -- (7.744,1.624) -- (7.664,1.646) -- (7.584,1.624) -- (7.526,1.566) -- (7.504,1.486) -- (7.526,1.406) -- (7.584,1.347) -- (7.664,1.326) -- (7.744,1.347) -- (7.803,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.267,8.378) -- (9.222,8.548) -- (9.097,8.673) -- (8.927,8.718) -- (8.757,8.673) -- (8.633,8.548) -- (8.587,8.378) -- (8.633,8.208) -- (8.757,8.084) -- (8.927,8.038) -- (9.097,8.084) -- (9.222,8.208) -- cycle;
\node at (8.927,8.378) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.038,4.241) -- (9.993,4.411) -- (9.868,4.536) -- (9.698,4.581) -- (9.528,4.536) -- (9.404,4.411) -- (9.358,4.241) -- (9.404,4.071) -- (9.528,3.947) -- (9.698,3.901) -- (9.868,3.947) -- (9.993,4.071) -- cycle;
\node at (9.698,4.241) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.25,7.372) -- (4.204,7.542) -- (4.08,7.667) -- (3.91,7.712) -- (3.74,7.667) -- (3.616,7.542) -- (3.57,7.372) -- (3.616,7.202) -- (3.74,7.078) -- (3.91,7.032) -- (4.08,7.078) -- (4.204,7.202) -- cycle;
\node at (3.91,7.372) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.043,5.705) -- (5.997,5.875) -- (5.873,5.999) -- (5.703,6.045) -- (5.533,5.999) -- (5.408,5.875) -- (5.363,5.705) -- (5.408,5.535) -- (5.533,5.411) -- (5.703,5.365) -- (5.873,5.411) -- (5.997,5.535) -- cycle;
\node at (5.703,5.705) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.458,4.649) -- (7.412,4.819) -- (7.288,4.943) -- (7.118,4.989) -- (6.948,4.943) -- (6.823,4.819) -- (6.778,4.649) -- (6.823,4.479) -- (6.948,4.354) -- (7.118,4.309) -- (7.288,4.354) -- (7.412,4.479) -- cycle;
\node at (7.118,4.649) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.418,5.995) -- (3.372,6.165) -- (3.248,6.289) -- (3.078,6.335) -- (2.908,6.289) -- (2.783,6.165) -- (2.738,5.995) -- (2.783,5.825) -- (2.908,5.7) -- (3.078,5.655) -- (3.248,5.7) -- (3.372,5.825) -- cycle;
\node at (3.078,5.995) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.302,3.066) -- (3.256,3.236) -- (3.132,3.361) -- (2.962,3.406) -- (2.792,3.361) -- (2.667,3.236) -- (2.622,3.066) -- (2.667,2.896) -- (2.792,2.772) -- (2.962,2.726) -- (3.132,2.772) -- (3.256,2.896) -- cycle;
\node at (2.962,3.066) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.528,3.226) -- (6.483,3.396) -- (6.358,3.52) -- (6.188,3.566) -- (6.018,3.52) -- (5.894,3.396) -- (5.848,3.226) -- (5.894,3.056) -- (6.018,2.931) -- (6.188,2.886) -- (6.358,2.931) -- (6.483,3.056) -- cycle;
\node at (6.188,3.226) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.975,1.947) -- (4.93,2.117) -- (4.805,2.242) -- (4.635,2.287) -- (4.465,2.242) -- (4.341,2.117) -- (4.295,1.947) -- (4.341,1.777) -- (4.465,1.653) -- (4.635,1.607) -- (4.805,1.653) -- (4.93,1.777) -- cycle;
\node at (4.635,1.947) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.163,7.492) -- (6.763,7.492) -- (6.763,8.092) -- (6.163,8.092) -- cycle;
\node at (6.463,7.792) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.046,1.781) -- (2.646,1.781) -- (2.646,2.381) -- (2.046,2.381) -- cycle;
\node at (2.346,2.081) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.555,8.537) -- (10.155,8.537) -- (10.155,9.137) -- (9.555,9.137) -- cycle;
\node at (9.855,8.837) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.583,5.765) -- (7.183,5.765) -- (7.183,6.365) -- (6.583,6.365) -- cycle;
\node at (6.883,6.065) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\node at (11.851,9.516) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (6.707,8.362) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (0.765,7.417) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (3.647,3.745) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (1.105,1.888) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (7.977,0.95) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.631,8.228) -- (12.631,9.328);
\draw[line width=0.5pt] (12.4,8.943) -- (12.631,9.328) -- (12.862,8.943);
\draw[line width=0.5pt] (12.329,8.778) -- (12.934,8.778);
\node at (12.631,9.713) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① boulevard du Parc & ⑥ allée des Tilleuls & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑦ rue des Jardins & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ rue de l'Église & ⑧ rue des Lilas & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue Basse & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ rue de la Mairie &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6281, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.331,9.178) -- (10.971,9.133) -- (10.612,9.08) -- (10.254,9.018) -- (9.898,8.947) -- (9.543,8.869) -- (9.19,8.781) -- (8.84,8.686) -- (8.492,8.582) -- (8.146,8.47) -- (7.803,8.351) -- (7.463,8.223) -- (7.126,8.087) -- (6.793,7.943) -- (6.463,7.792);
\draw[line width=0.5pt] (11.331,9.178) -- (11.249,8.821) -- (11.158,8.465) -- (11.059,8.111) -- (10.951,7.76) -- (10.835,7.411) -- (10.711,7.065) -- (10.579,6.722) -- (10.438,6.382) -- (10.29,6.045) -- (10.134,5.712) -- (9.971,5.383) -- (9.799,5.058) -- (9.62,4.738) -- (9.434,4.421) -- (9.276,4.233) -- (9.123,4.04) -- (8.975,3.844) -- (8.831,3.645) -- (8.692,3.442) -- (8.557,3.236) -- (8.428,3.026) -- (8.303,2.814) -- (8.184,2.599) -- (8.07,2.381) -- (7.96,2.161) -- (7.856,1.938) -- (7.758,1.713) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.092,7.803) -- (5.722,7.806) -- (5.351,7.8) -- (4.98,7.786) -- (4.61,7.763) -- (4.24,7.731) -- (3.871,7.69) -- (3.503,7.64) -- (3.137,7.583) -- (2.772,7.516) -- (2.408,7.441) -- (2.047,7.357) -- (1.688,7.265) -- (1.331,7.165);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.336,7.509) -- (6.202,7.229) -- (6.061,6.952) -- (5.914,6.678) -- (5.76,6.408) -- (5.601,6.142) -- (5.435,5.879) -- (5.262,5.621) -- (5.084,5.366) -- (4.9,5.116) -- (4.71,4.87) -- (4.515,4.629) -- (4.313,4.393) -- (4.107,4.161);
\draw[line width=0.5pt] (6.463,7.792) -- (6.479,7.332) -- (6.506,6.872) -- (6.544,6.413) -- (6.593,5.955) -- (6.652,5.498) -- (6.723,5.043) -- (6.803,4.589) -- (6.895,4.137) -- (6.997,3.688) -- (7.11,3.241) -- (7.233,2.797) -- (7.366,2.357) -- (7.51,1.919) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (1.331,7.165) -- (1.561,6.982) -- (1.786,6.794) -- (2.007,6.601) -- (2.223,6.403) -- (2.434,6.199) -- (2.641,5.991) -- (2.843,5.777) -- (3.04,5.559) -- (3.231,5.337) -- (3.417,5.11) -- (3.598,4.879) -- (3.773,4.644) -- (3.943,4.404) -- (4.107,4.161);
\draw[line width=0.5pt] (4.107,4.161) -- (3.908,4.055) -- (3.711,3.944) -- (3.517,3.829) -- (3.326,3.709) -- (3.138,3.584) -- (2.952,3.456) -- (2.77,3.322) -- (2.591,3.185) -- (2.415,3.043) -- (2.243,2.898) -- (2.074,2.748) -- (1.908,2.594) -- (1.747,2.437) -- (1.589,2.276);
\draw[line width=0.5pt] (4.107,4.161) -- (4.388,4.01) -- (4.666,3.853) -- (4.94,3.689) -- (5.21,3.519) -- (5.476,3.342) -- (5.738,3.159) -- (5.996,2.97) -- (6.249,2.775) -- (6.498,2.574) -- (6.741,2.367) -- (6.98,2.155) -- (7.213,1.937) -- (7.442,1.714) -- (7.664,1.486);
\draw[line width=0.5pt] (1.589,2.276) -- (2.011,2.153) -- (2.436,2.041) -- (2.863,1.938) -- (3.293,1.846) -- (3.725,1.764) -- (4.159,1.692) -- (4.594,1.63) -- (5.031,1.578) -- (5.469,1.537) -- (5.907,1.506) -- (6.346,1.485) -- (6.786,1.475) -- (7.225,1.475) -- (7.664,1.486);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.491,9.178) -- (11.47,9.258) -- (11.411,9.317) -- (11.331,9.338) -- (11.251,9.317) -- (11.193,9.258) -- (11.171,9.178) -- (11.193,9.098) -- (11.251,9.04) -- (11.331,9.018) -- (11.411,9.04) -- (11.47,9.098) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,7.792) -- (6.601,7.872) -- (6.543,7.93) -- (6.463,7.952) -- (6.383,7.93) -- (6.324,7.872) -- (6.303,7.792) -- (6.324,7.712) -- (6.383,7.653) -- (6.463,7.632) -- (6.543,7.653) -- (6.601,7.712) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.491,7.165) -- (1.47,7.245) -- (1.411,7.303) -- (1.331,7.325) -- (1.251,7.303) -- (1.193,7.245) -- (1.171,7.165) -- (1.193,7.085) -- (1.251,7.026) -- (1.331,7.005) -- (1.411,7.026) -- (1.47,7.085) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.267,4.161) -- (4.245,4.241) -- (4.187,4.3) -- (4.107,4.321) -- (4.027,4.3) -- (3.968,4.241) -- (3.947,4.161) -- (3.968,4.081) -- (4.027,4.023) -- (4.107,4.001) -- (4.187,4.023) -- (4.245,4.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.749,2.276) -- (1.728,2.356) -- (1.669,2.414) -- (1.589,2.436) -- (1.509,2.414) -- (1.45,2.356) -- (1.429,2.276) -- (1.45,2.196) -- (1.509,2.137) -- (1.589,2.116) -- (1.669,2.137) -- (1.728,2.196) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.824,1.486) -- (7.803,1.566) -- (7.744,1.624) -- (7.664,1.646) -- (7.584,1.624) -- (7.526,1.566) -- (7.504,1.486) -- (7.526,1.406) -- (7.584,1.347) -- (7.664,1.326) -- (7.744,1.347) -- (7.803,1.406) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.267,8.378) -- (9.222,8.548) -- (9.097,8.673) -- (8.927,8.718) -- (8.757,8.673) -- (8.633,8.548) -- (8.587,8.378) -- (8.633,8.208) -- (8.757,8.084) -- (8.927,8.038) -- (9.097,8.084) -- (9.222,8.208) -- cycle;
\node at (8.927,8.378) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.038,4.241) -- (9.993,4.411) -- (9.868,4.536) -- (9.698,4.581) -- (9.528,4.536) -- (9.404,4.411) -- (9.358,4.241) -- (9.404,4.071) -- (9.528,3.947) -- (9.698,3.901) -- (9.868,3.947) -- (9.993,4.071) -- cycle;
\node at (9.698,4.241) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.25,7.372) -- (4.204,7.542) -- (4.08,7.667) -- (3.91,7.712) -- (3.74,7.667) -- (3.616,7.542) -- (3.57,7.372) -- (3.616,7.202) -- (3.74,7.078) -- (3.91,7.032) -- (4.08,7.078) -- (4.204,7.202) -- cycle;
\node at (3.91,7.372) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.043,5.705) -- (5.997,5.875) -- (5.873,5.999) -- (5.703,6.045) -- (5.533,5.999) -- (5.408,5.875) -- (5.363,5.705) -- (5.408,5.535) -- (5.533,5.411) -- (5.703,5.365) -- (5.873,5.411) -- (5.997,5.535) -- cycle;
\node at (5.703,5.705) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.458,4.649) -- (7.412,4.819) -- (7.288,4.943) -- (7.118,4.989) -- (6.948,4.943) -- (6.823,4.819) -- (6.778,4.649) -- (6.823,4.479) -- (6.948,4.354) -- (7.118,4.309) -- (7.288,4.354) -- (7.412,4.479) -- cycle;
\node at (7.118,4.649) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.418,5.995) -- (3.372,6.165) -- (3.248,6.289) -- (3.078,6.335) -- (2.908,6.289) -- (2.783,6.165) -- (2.738,5.995) -- (2.783,5.825) -- (2.908,5.7) -- (3.078,5.655) -- (3.248,5.7) -- (3.372,5.825) -- cycle;
\node at (3.078,5.995) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.302,3.066) -- (3.256,3.236) -- (3.132,3.361) -- (2.962,3.406) -- (2.792,3.361) -- (2.667,3.236) -- (2.622,3.066) -- (2.667,2.896) -- (2.792,2.772) -- (2.962,2.726) -- (3.132,2.772) -- (3.256,2.896) -- cycle;
\node at (2.962,3.066) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.528,3.226) -- (6.483,3.396) -- (6.358,3.52) -- (6.188,3.566) -- (6.018,3.52) -- (5.894,3.396) -- (5.848,3.226) -- (5.894,3.056) -- (6.018,2.931) -- (6.188,2.886) -- (6.358,2.931) -- (6.483,3.056) -- cycle;
\node at (6.188,3.226) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.975,1.947) -- (4.93,2.117) -- (4.805,2.242) -- (4.635,2.287) -- (4.465,2.242) -- (4.341,2.117) -- (4.295,1.947) -- (4.341,1.777) -- (4.465,1.653) -- (4.635,1.607) -- (4.805,1.653) -- (4.93,1.777) -- cycle;
\node at (4.635,1.947) {\scalebox{1.592}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.163,7.492) -- (6.763,7.492) -- (6.763,8.092) -- (6.163,8.092) -- cycle;
\node at (6.463,7.792) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.046,1.781) -- (2.646,1.781) -- (2.646,2.381) -- (2.046,2.381) -- cycle;
\node at (2.346,2.081) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.555,8.537) -- (10.155,8.537) -- (10.155,9.137) -- (9.555,9.137) -- cycle;
\node at (9.855,8.837) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (6.583,5.765) -- (7.183,5.765) -- (7.183,6.365) -- (6.583,6.365) -- cycle;
\node at (6.883,6.065) {\scalebox{1.592}{\small d}};
\node at (11.851,9.516) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (6.707,8.362) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (0.765,7.417) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (3.647,3.745) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (1.105,1.888) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (7.977,0.95) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.631,8.228) -- (12.631,9.328);
\draw[line width=0.5pt] (12.4,8.943) -- (12.631,9.328) -- (12.862,8.943);
\draw[line width=0.5pt] (12.329,8.778) -- (12.934,8.778);
\node at (12.631,9.713) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Moulin \textbf{(B)}, prend le \textbf{boulevard du Parc ①} vers l'est et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ④}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
