\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 391}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=391}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0391}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.704, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (6.977,6.454) -- (6.541,6.506) -- (6.104,6.548) -- (5.666,6.579) -- (5.227,6.6) -- (4.788,6.611) -- (4.349,6.611) -- (3.91,6.601) -- (3.471,6.581) -- (3.033,6.551) -- (2.596,6.51) -- (2.16,6.459) -- (1.725,6.398) -- (1.292,6.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.214,6.24) -- (7.013,6.092) -- (6.809,5.95) -- (6.601,5.812) -- (6.39,5.679) -- (6.177,5.551) -- (5.96,5.429) -- (5.74,5.311) -- (5.518,5.198) -- (5.293,5.091) -- (5.065,4.989) -- (4.836,4.893) -- (4.604,4.802) -- (4.37,4.716);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.295,6.124) -- (7.185,5.853) -- (7.081,5.58) -- (6.984,5.304) -- (6.894,5.026) -- (6.81,4.746) -- (6.733,4.464) -- (6.662,4.18) -- (6.598,3.895) -- (6.541,3.608) -- (6.49,3.32) -- (6.446,3.031) -- (6.409,2.741) -- (6.379,2.45);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.55,6.282) -- (7.686,6.17) -- (7.819,6.054) -- (7.949,5.935) -- (8.077,5.813) -- (8.202,5.688) -- (8.324,5.56) -- (8.443,5.429) -- (8.559,5.295) -- (8.671,5.159) -- (8.781,5.02) -- (8.887,4.879) -- (8.989,4.735) -- (9.089,4.589) -- (9.208,4.325) -- (9.333,4.063) -- (9.464,3.805) -- (9.602,3.549) -- (9.746,3.297) -- (9.895,3.048) -- (10.051,2.803) -- (10.212,2.562) -- (10.378,2.324) -- (10.55,2.09) -- (10.728,1.861) -- (10.911,1.636) -- (11.099,1.415) -- (11.292,1.199);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,6.326) -- (1.493,6.178) -- (1.697,6.035) -- (1.904,5.897) -- (2.115,5.764) -- (2.329,5.636) -- (2.545,5.512) -- (2.765,5.394) -- (2.987,5.281) -- (3.212,5.174) -- (3.439,5.071) -- (3.669,4.974) -- (3.901,4.883) -- (4.134,4.797) -- (4.37,4.716);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,6.326) -- (1.374,5.995) -- (1.449,5.662) -- (1.515,5.327) -- (1.573,4.99) -- (1.624,4.652) -- (1.666,4.313) -- (1.701,3.973) -- (1.728,3.633) -- (1.746,3.292) -- (1.757,2.95) -- (1.759,2.609) -- (1.754,2.267) -- (1.74,1.926) -- (1.719,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (4.37,4.716) -- (4.488,4.534) -- (4.61,4.354) -- (4.736,4.177) -- (4.866,4.003) -- (5.001,3.832) -- (5.139,3.665) -- (5.281,3.5) -- (5.427,3.34) -- (5.577,3.182) -- (5.731,3.028) -- (5.888,2.878) -- (6.048,2.732) -- (6.212,2.589) -- (6.379,2.45);
\draw[line width=0.5pt] (4.37,4.716) -- (4.217,4.465) -- (4.057,4.218) -- (3.892,3.975) -- (3.72,3.735) -- (3.544,3.5) -- (3.361,3.268) -- (3.174,3.041) -- (2.981,2.819) -- (2.782,2.601) -- (2.579,2.388) -- (2.371,2.18) -- (2.158,1.976) -- (1.941,1.778) -- (1.719,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (6.379,2.45) -- (6.714,2.308) -- (7.052,2.174) -- (7.393,2.047) -- (7.737,1.929) -- (8.083,1.818) -- (8.433,1.716) -- (8.784,1.622) -- (9.138,1.536) -- (9.493,1.459) -- (9.851,1.39) -- (10.209,1.329) -- (10.569,1.277) -- (10.93,1.234) -- (11.292,1.199);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.571,6.392) -- (7.55,6.472) -- (7.491,6.53) -- (7.411,6.552) -- (7.331,6.53) -- (7.272,6.472) -- (7.251,6.392) -- (7.272,6.312) -- (7.331,6.253) -- (7.411,6.232) -- (7.491,6.253) -- (7.55,6.312) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.452,6.326) -- (1.431,6.406) -- (1.372,6.465) -- (1.292,6.486) -- (1.212,6.465) -- (1.154,6.406) -- (1.132,6.326) -- (1.154,6.246) -- (1.212,6.188) -- (1.292,6.166) -- (1.372,6.188) -- (1.431,6.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.53,4.716) -- (4.509,4.796) -- (4.45,4.855) -- (4.37,4.876) -- (4.29,4.855) -- (4.232,4.796) -- (4.21,4.716) -- (4.232,4.636) -- (4.29,4.578) -- (4.37,4.556) -- (4.45,4.578) -- (4.509,4.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.539,2.45) -- (6.518,2.53) -- (6.459,2.589) -- (6.379,2.61) -- (6.299,2.589) -- (6.241,2.53) -- (6.219,2.45) -- (6.241,2.37) -- (6.299,2.312) -- (6.379,2.29) -- (6.459,2.312) -- (6.518,2.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.879,1.585) -- (1.857,1.665) -- (1.799,1.724) -- (1.719,1.745) -- (1.639,1.724) -- (1.58,1.665) -- (1.559,1.585) -- (1.58,1.505) -- (1.639,1.447) -- (1.719,1.425) -- (1.799,1.447) -- (1.857,1.505) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.452,1.199) -- (11.431,1.279) -- (11.372,1.338) -- (11.292,1.359) -- (11.212,1.338) -- (11.154,1.279) -- (11.132,1.199) -- (11.154,1.119) -- (11.212,1.06) -- (11.292,1.039) -- (11.372,1.06) -- (11.431,1.119) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.692,6.291) -- (4.647,6.461) -- (4.522,6.586) -- (4.352,6.631) -- (4.182,6.586) -- (4.058,6.461) -- (4.012,6.291) -- (4.058,6.121) -- (4.182,5.997) -- (4.352,5.951) -- (4.522,5.997) -- (4.647,6.121) -- cycle;
\node at (4.352,6.291) {\scalebox{1.42}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.454,5.148) -- (6.409,5.318) -- (6.284,5.443) -- (6.114,5.488) -- (5.944,5.443) -- (5.82,5.318) -- (5.774,5.148) -- (5.82,4.978) -- (5.944,4.854) -- (6.114,4.808) -- (6.284,4.854) -- (6.409,4.978) -- cycle;
\node at (6.114,5.148) {\scalebox{1.42}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.382,4.383) -- (7.337,4.553) -- (7.212,4.677) -- (7.042,4.723) -- (6.872,4.677) -- (6.748,4.553) -- (6.702,4.383) -- (6.748,4.213) -- (6.872,4.088) -- (7.042,4.043) -- (7.212,4.088) -- (7.337,4.213) -- cycle;
\node at (7.042,4.383) {\scalebox{1.42}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.711,4.74) -- (9.666,4.91) -- (9.541,5.034) -- (9.371,5.08) -- (9.201,5.034) -- (9.077,4.91) -- (9.031,4.74) -- (9.077,4.57) -- (9.201,4.445) -- (9.371,4.4) -- (9.541,4.445) -- (9.666,4.57) -- cycle;
\node at (9.371,4.74) {\scalebox{1.42}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.253,5.678) -- (3.208,5.848) -- (3.083,5.972) -- (2.913,6.018) -- (2.743,5.972) -- (2.619,5.848) -- (2.573,5.678) -- (2.619,5.508) -- (2.743,5.383) -- (2.913,5.338) -- (3.083,5.383) -- (3.208,5.508) -- cycle;
\node at (2.913,5.678) {\scalebox{1.42}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.36,4.002) -- (2.314,4.172) -- (2.19,4.296) -- (2.02,4.342) -- (1.85,4.296) -- (1.725,4.172) -- (1.68,4.002) -- (1.725,3.832) -- (1.85,3.708) -- (2.02,3.662) -- (2.19,3.708) -- (2.314,3.832) -- cycle;
\node at (2.02,4.002) {\scalebox{1.42}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.861,3.713) -- (5.815,3.883) -- (5.691,4.007) -- (5.521,4.053) -- (5.351,4.007) -- (5.226,3.883) -- (5.181,3.713) -- (5.226,3.543) -- (5.351,3.418) -- (5.521,3.373) -- (5.691,3.418) -- (5.815,3.543) -- cycle;
\node at (5.521,3.713) {\scalebox{1.42}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.758,2.835) -- (3.712,3.005) -- (3.588,3.129) -- (3.418,3.175) -- (3.248,3.129) -- (3.123,3.005) -- (3.078,2.835) -- (3.123,2.665) -- (3.248,2.54) -- (3.418,2.495) -- (3.588,2.54) -- (3.712,2.665) -- cycle;
\node at (3.418,2.835) {\scalebox{1.42}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.203,1.932) -- (9.158,2.102) -- (9.033,2.227) -- (8.863,2.272) -- (8.693,2.227) -- (8.569,2.102) -- (8.523,1.932) -- (8.569,1.762) -- (8.693,1.638) -- (8.863,1.592) -- (9.033,1.638) -- (9.158,1.762) -- cycle;
\node at (8.863,1.932) {\scalebox{1.42}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.992,6.026) -- (1.592,6.026) -- (1.592,6.626) -- (0.992,6.626) -- cycle;
\node at (1.292,6.326) {\scalebox{1.42}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.35,1.819) -- (2.95,1.819) -- (2.95,2.419) -- (2.35,2.419) -- cycle;
\node at (2.65,2.119) {\scalebox{1.42}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,3.565) -- (5.993,3.565) -- (5.993,4.165) -- (5.393,4.165) -- cycle;
\node at (5.693,3.865) {\scalebox{1.42}{\small c}};
\node at (7.788,6.884) {\scalebox{1.42}{\small A}};
\node at (0.765,6.652) {\scalebox{1.42}{\small B}};
\node at (3.91,5.131) {\scalebox{1.42}{\small C}};
\node at (6.745,1.95) {\scalebox{1.42}{\small D}};
\node at (1.185,1.269) {\scalebox{1.42}{\small E}};
\node at (11.86,0.95) {\scalebox{1.42}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.592,5.442) -- (12.592,6.542);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,6.157) -- (12.592,6.542) -- (12.823,6.157);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,5.992) -- (12.895,5.992);
\node at (12.592,6.927) {\scalebox{1.42}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑥ rue Verte & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑧ boulevard du Parc & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ avenue de la Gare & ⑨ venelle du Chat & Ⓓ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑤ rue du Four &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6299, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (6.977,6.454) -- (6.541,6.506) -- (6.104,6.548) -- (5.666,6.579) -- (5.227,6.6) -- (4.788,6.611) -- (4.349,6.611) -- (3.91,6.601) -- (3.471,6.581) -- (3.033,6.551) -- (2.596,6.51) -- (2.16,6.459) -- (1.725,6.398) -- (1.292,6.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.214,6.24) -- (7.013,6.092) -- (6.809,5.95) -- (6.601,5.812) -- (6.39,5.679) -- (6.177,5.551) -- (5.96,5.429) -- (5.74,5.311) -- (5.518,5.198) -- (5.293,5.091) -- (5.065,4.989) -- (4.836,4.893) -- (4.604,4.802) -- (4.37,4.716);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.295,6.124) -- (7.185,5.853) -- (7.081,5.58) -- (6.984,5.304) -- (6.894,5.026) -- (6.81,4.746) -- (6.733,4.464) -- (6.662,4.18) -- (6.598,3.895) -- (6.541,3.608) -- (6.49,3.32) -- (6.446,3.031) -- (6.409,2.741) -- (6.379,2.45);
\draw[line width=0.5pt] (7.411,6.392) -- (7.55,6.282) -- (7.686,6.17) -- (7.819,6.054) -- (7.949,5.935) -- (8.077,5.813) -- (8.202,5.688) -- (8.324,5.56) -- (8.443,5.429) -- (8.559,5.295) -- (8.671,5.159) -- (8.781,5.02) -- (8.887,4.879) -- (8.989,4.735) -- (9.089,4.589) -- (9.208,4.325) -- (9.333,4.063) -- (9.464,3.805) -- (9.602,3.549) -- (9.746,3.297) -- (9.895,3.048) -- (10.051,2.803) -- (10.212,2.562) -- (10.378,2.324) -- (10.55,2.09) -- (10.728,1.861) -- (10.911,1.636) -- (11.099,1.415) -- (11.292,1.199);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,6.326) -- (1.493,6.178) -- (1.697,6.035) -- (1.904,5.897) -- (2.115,5.764) -- (2.329,5.636) -- (2.545,5.512) -- (2.765,5.394) -- (2.987,5.281) -- (3.212,5.174) -- (3.439,5.071) -- (3.669,4.974) -- (3.901,4.883) -- (4.134,4.797) -- (4.37,4.716);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,6.326) -- (1.374,5.995) -- (1.449,5.662) -- (1.515,5.327) -- (1.573,4.99) -- (1.624,4.652) -- (1.666,4.313) -- (1.701,3.973) -- (1.728,3.633) -- (1.746,3.292) -- (1.757,2.95) -- (1.759,2.609) -- (1.754,2.267) -- (1.74,1.926) -- (1.719,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (4.37,4.716) -- (4.488,4.534) -- (4.61,4.354) -- (4.736,4.177) -- (4.866,4.003) -- (5.001,3.832) -- (5.139,3.665) -- (5.281,3.5) -- (5.427,3.34) -- (5.577,3.182) -- (5.731,3.028) -- (5.888,2.878) -- (6.048,2.732) -- (6.212,2.589) -- (6.379,2.45);
\draw[line width=0.5pt] (4.37,4.716) -- (4.217,4.465) -- (4.057,4.218) -- (3.892,3.975) -- (3.72,3.735) -- (3.544,3.5) -- (3.361,3.268) -- (3.174,3.041) -- (2.981,2.819) -- (2.782,2.601) -- (2.579,2.388) -- (2.371,2.18) -- (2.158,1.976) -- (1.941,1.778) -- (1.719,1.585);
\draw[line width=0.5pt] (6.379,2.45) -- (6.714,2.308) -- (7.052,2.174) -- (7.393,2.047) -- (7.737,1.929) -- (8.083,1.818) -- (8.433,1.716) -- (8.784,1.622) -- (9.138,1.536) -- (9.493,1.459) -- (9.851,1.39) -- (10.209,1.329) -- (10.569,1.277) -- (10.93,1.234) -- (11.292,1.199);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.571,6.392) -- (7.55,6.472) -- (7.491,6.53) -- (7.411,6.552) -- (7.331,6.53) -- (7.272,6.472) -- (7.251,6.392) -- (7.272,6.312) -- (7.331,6.253) -- (7.411,6.232) -- (7.491,6.253) -- (7.55,6.312) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.452,6.326) -- (1.431,6.406) -- (1.372,6.465) -- (1.292,6.486) -- (1.212,6.465) -- (1.154,6.406) -- (1.132,6.326) -- (1.154,6.246) -- (1.212,6.188) -- (1.292,6.166) -- (1.372,6.188) -- (1.431,6.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.53,4.716) -- (4.509,4.796) -- (4.45,4.855) -- (4.37,4.876) -- (4.29,4.855) -- (4.232,4.796) -- (4.21,4.716) -- (4.232,4.636) -- (4.29,4.578) -- (4.37,4.556) -- (4.45,4.578) -- (4.509,4.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.539,2.45) -- (6.518,2.53) -- (6.459,2.589) -- (6.379,2.61) -- (6.299,2.589) -- (6.241,2.53) -- (6.219,2.45) -- (6.241,2.37) -- (6.299,2.312) -- (6.379,2.29) -- (6.459,2.312) -- (6.518,2.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.879,1.585) -- (1.857,1.665) -- (1.799,1.724) -- (1.719,1.745) -- (1.639,1.724) -- (1.58,1.665) -- (1.559,1.585) -- (1.58,1.505) -- (1.639,1.447) -- (1.719,1.425) -- (1.799,1.447) -- (1.857,1.505) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.452,1.199) -- (11.431,1.279) -- (11.372,1.338) -- (11.292,1.359) -- (11.212,1.338) -- (11.154,1.279) -- (11.132,1.199) -- (11.154,1.119) -- (11.212,1.06) -- (11.292,1.039) -- (11.372,1.06) -- (11.431,1.119) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.692,6.291) -- (4.647,6.461) -- (4.522,6.586) -- (4.352,6.631) -- (4.182,6.586) -- (4.058,6.461) -- (4.012,6.291) -- (4.058,6.121) -- (4.182,5.997) -- (4.352,5.951) -- (4.522,5.997) -- (4.647,6.121) -- cycle;
\node at (4.352,6.291) {\scalebox{1.588}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.454,5.148) -- (6.409,5.318) -- (6.284,5.443) -- (6.114,5.488) -- (5.944,5.443) -- (5.82,5.318) -- (5.774,5.148) -- (5.82,4.978) -- (5.944,4.854) -- (6.114,4.808) -- (6.284,4.854) -- (6.409,4.978) -- cycle;
\node at (6.114,5.148) {\scalebox{1.588}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.382,4.383) -- (7.337,4.553) -- (7.212,4.677) -- (7.042,4.723) -- (6.872,4.677) -- (6.748,4.553) -- (6.702,4.383) -- (6.748,4.213) -- (6.872,4.088) -- (7.042,4.043) -- (7.212,4.088) -- (7.337,4.213) -- cycle;
\node at (7.042,4.383) {\scalebox{1.588}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.711,4.74) -- (9.666,4.91) -- (9.541,5.034) -- (9.371,5.08) -- (9.201,5.034) -- (9.077,4.91) -- (9.031,4.74) -- (9.077,4.57) -- (9.201,4.445) -- (9.371,4.4) -- (9.541,4.445) -- (9.666,4.57) -- cycle;
\node at (9.371,4.74) {\scalebox{1.588}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.253,5.678) -- (3.208,5.848) -- (3.083,5.972) -- (2.913,6.018) -- (2.743,5.972) -- (2.619,5.848) -- (2.573,5.678) -- (2.619,5.508) -- (2.743,5.383) -- (2.913,5.338) -- (3.083,5.383) -- (3.208,5.508) -- cycle;
\node at (2.913,5.678) {\scalebox{1.588}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.36,4.002) -- (2.314,4.172) -- (2.19,4.296) -- (2.02,4.342) -- (1.85,4.296) -- (1.725,4.172) -- (1.68,4.002) -- (1.725,3.832) -- (1.85,3.708) -- (2.02,3.662) -- (2.19,3.708) -- (2.314,3.832) -- cycle;
\node at (2.02,4.002) {\scalebox{1.588}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.861,3.713) -- (5.815,3.883) -- (5.691,4.007) -- (5.521,4.053) -- (5.351,4.007) -- (5.226,3.883) -- (5.181,3.713) -- (5.226,3.543) -- (5.351,3.418) -- (5.521,3.373) -- (5.691,3.418) -- (5.815,3.543) -- cycle;
\node at (5.521,3.713) {\scalebox{1.588}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.758,2.835) -- (3.712,3.005) -- (3.588,3.129) -- (3.418,3.175) -- (3.248,3.129) -- (3.123,3.005) -- (3.078,2.835) -- (3.123,2.665) -- (3.248,2.54) -- (3.418,2.495) -- (3.588,2.54) -- (3.712,2.665) -- cycle;
\node at (3.418,2.835) {\scalebox{1.588}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.203,1.932) -- (9.158,2.102) -- (9.033,2.227) -- (8.863,2.272) -- (8.693,2.227) -- (8.569,2.102) -- (8.523,1.932) -- (8.569,1.762) -- (8.693,1.638) -- (8.863,1.592) -- (9.033,1.638) -- (9.158,1.762) -- cycle;
\node at (8.863,1.932) {\scalebox{1.588}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.992,6.026) -- (1.592,6.026) -- (1.592,6.626) -- (0.992,6.626) -- cycle;
\node at (1.292,6.326) {\scalebox{1.588}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.35,1.819) -- (2.95,1.819) -- (2.95,2.419) -- (2.35,2.419) -- cycle;
\node at (2.65,2.119) {\scalebox{1.588}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,3.565) -- (5.993,3.565) -- (5.993,4.165) -- (5.393,4.165) -- cycle;
\node at (5.693,3.865) {\scalebox{1.588}{\small c}};
\node at (7.788,6.884) {\scalebox{1.588}{\small A}};
\node at (0.765,6.652) {\scalebox{1.588}{\small B}};
\node at (3.91,5.131) {\scalebox{1.588}{\small C}};
\node at (6.745,1.95) {\scalebox{1.588}{\small D}};
\node at (1.185,1.269) {\scalebox{1.588}{\small E}};
\node at (11.86,0.95) {\scalebox{1.588}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.592,5.442) -- (12.592,6.542);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,6.157) -- (12.592,6.542) -- (12.823,6.157);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,5.992) -- (12.895,5.992);
\node at (12.592,6.927) {\scalebox{1.588}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Neuve ①} vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ④}, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
