\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 393}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=393}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0393}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7019, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.514,8.061) -- (2.789,8.021) -- (3.065,7.987) -- (3.341,7.959) -- (3.619,7.938) -- (3.896,7.924) -- (4.174,7.916) -- (4.452,7.914) -- (4.73,7.919) -- (5.008,7.931) -- (5.286,7.949) -- (5.563,7.974) -- (5.839,8.005) -- (6.114,8.043);
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.312,7.916) -- (2.38,7.722) -- (2.443,7.527) -- (2.501,7.33) -- (2.555,7.132) -- (2.604,6.932) -- (2.648,6.732) -- (2.688,6.53) -- (2.723,6.328) -- (2.753,6.125) -- (2.778,5.921) -- (2.799,5.717) -- (2.814,5.512) -- (2.825,5.307);
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.124,7.784) -- (2.016,7.458) -- (1.916,7.129) -- (1.823,6.797) -- (1.738,6.464) -- (1.661,6.128) -- (1.592,5.791) -- (1.531,5.452) -- (1.478,5.112) -- (1.433,4.771) -- (1.396,4.429) -- (1.367,4.086) -- (1.346,3.743) -- (1.333,3.399);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,8.043) -- (6.375,7.838) -- (6.632,7.627) -- (6.884,7.409) -- (7.13,7.186) -- (7.371,6.957) -- (7.607,6.723) -- (7.837,6.483) -- (8.061,6.237) -- (8.28,5.987) -- (8.493,5.731) -- (8.699,5.471) -- (8.9,5.205) -- (9.093,4.935) -- (9.281,4.661) -- (9.405,4.5) -- (9.533,4.342) -- (9.664,4.187) -- (9.8,4.035) -- (9.938,3.887) -- (10.081,3.741) -- (10.226,3.599) -- (10.375,3.461) -- (10.527,3.326) -- (10.683,3.194) -- (10.841,3.067) -- (11.002,2.943) -- (11.166,2.823) -- (11.333,2.707);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,8.043) -- (6.016,7.636) -- (5.928,7.228) -- (5.849,6.817) -- (5.78,6.405) -- (5.721,5.99) -- (5.671,5.575) -- (5.632,5.159) -- (5.602,4.741) -- (5.581,4.323) -- (5.571,3.905) -- (5.57,3.487) -- (5.58,3.069) -- (5.599,2.651) -- (5.628,2.234);
\draw[line width=0.5pt] (2.825,5.307) -- (2.74,5.156) -- (2.652,5.006) -- (2.56,4.859) -- (2.464,4.714) -- (2.365,4.571) -- (2.263,4.43) -- (2.158,4.292) -- (2.049,4.156) -- (1.937,4.023) -- (1.822,3.893) -- (1.704,3.765) -- (1.583,3.64) -- (1.46,3.518) -- (1.333,3.399);
\draw[line width=0.5pt] (2.825,5.307) -- (2.99,5.059) -- (3.161,4.814) -- (3.338,4.574) -- (3.52,4.338) -- (3.708,4.106) -- (3.901,3.878) -- (4.1,3.655) -- (4.304,3.437) -- (4.513,3.224) -- (4.726,3.015) -- (4.945,2.812) -- (5.168,2.614) -- (5.396,2.421) -- (5.628,2.234);
\draw[line width=0.5pt] (11.333,2.707) -- (10.934,2.611) -- (10.533,2.524) -- (10.129,2.447) -- (9.724,2.38) -- (9.317,2.322) -- (8.909,2.274) -- (8.5,2.235) -- (8.09,2.206) -- (7.68,2.187) -- (7.269,2.177) -- (6.858,2.177) -- (6.448,2.186) -- (6.038,2.205) -- (5.628,2.234);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.4,8.108) -- (2.379,8.188) -- (2.32,8.247) -- (2.24,8.268) -- (2.16,8.247) -- (2.101,8.188) -- (2.08,8.108) -- (2.101,8.028) -- (2.16,7.97) -- (2.24,7.948) -- (2.32,7.97) -- (2.379,8.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.274,8.043) -- (6.253,8.123) -- (6.194,8.181) -- (6.114,8.203) -- (6.034,8.181) -- (5.975,8.123) -- (5.954,8.043) -- (5.975,7.963) -- (6.034,7.904) -- (6.114,7.883) -- (6.194,7.904) -- (6.253,7.963) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.985,5.307) -- (2.964,5.387) -- (2.905,5.446) -- (2.825,5.467) -- (2.745,5.446) -- (2.687,5.387) -- (2.665,5.307) -- (2.687,5.227) -- (2.745,5.169) -- (2.825,5.147) -- (2.905,5.169) -- (2.964,5.227) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.493,3.399) -- (1.472,3.479) -- (1.413,3.538) -- (1.333,3.559) -- (1.253,3.538) -- (1.194,3.479) -- (1.173,3.399) -- (1.194,3.319) -- (1.253,3.261) -- (1.333,3.239) -- (1.413,3.261) -- (1.472,3.319) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.493,2.707) -- (11.472,2.787) -- (11.413,2.845) -- (11.333,2.867) -- (11.253,2.845) -- (11.194,2.787) -- (11.173,2.707) -- (11.194,2.627) -- (11.253,2.568) -- (11.333,2.547) -- (11.413,2.568) -- (11.472,2.627) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.788,2.234) -- (5.767,2.314) -- (5.708,2.373) -- (5.628,2.394) -- (5.548,2.373) -- (5.49,2.314) -- (5.468,2.234) -- (5.49,2.154) -- (5.548,2.096) -- (5.628,2.074) -- (5.708,2.096) -- (5.767,2.154) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.52,8.236) -- (4.474,8.406) -- (4.35,8.53) -- (4.18,8.576) -- (4.01,8.53) -- (3.885,8.406) -- (3.84,8.236) -- (3.885,8.066) -- (4.01,7.941) -- (4.18,7.896) -- (4.35,7.941) -- (4.474,8.066) -- cycle;
\node at (4.18,8.236) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.301,6.797) -- (3.256,6.967) -- (3.131,7.092) -- (2.961,7.137) -- (2.791,7.092) -- (2.667,6.967) -- (2.621,6.797) -- (2.667,6.627) -- (2.791,6.503) -- (2.961,6.457) -- (3.131,6.503) -- (3.256,6.627) -- cycle;
\node at (2.961,6.797) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.246,5.731) -- (2.201,5.901) -- (2.076,6.025) -- (1.906,6.071) -- (1.736,6.025) -- (1.612,5.901) -- (1.566,5.731) -- (1.612,5.561) -- (1.736,5.436) -- (1.906,5.391) -- (2.076,5.436) -- (2.201,5.561) -- cycle;
\node at (1.906,5.731) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.881,4.847) -- (9.836,5.017) -- (9.711,5.142) -- (9.541,5.187) -- (9.371,5.142) -- (9.247,5.017) -- (9.201,4.847) -- (9.247,4.677) -- (9.371,4.553) -- (9.541,4.507) -- (9.711,4.553) -- (9.836,4.677) -- cycle;
\node at (9.541,4.847) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.29,5.132) -- (6.245,5.302) -- (6.12,5.426) -- (5.95,5.472) -- (5.78,5.426) -- (5.656,5.302) -- (5.61,5.132) -- (5.656,4.962) -- (5.78,4.837) -- (5.95,4.792) -- (6.12,4.837) -- (6.245,4.962) -- cycle;
\node at (5.95,5.132) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.75,4.095) -- (2.704,4.265) -- (2.58,4.389) -- (2.41,4.435) -- (2.24,4.389) -- (2.115,4.265) -- (2.07,4.095) -- (2.115,3.925) -- (2.24,3.8) -- (2.41,3.755) -- (2.58,3.8) -- (2.704,3.925) -- cycle;
\node at (2.41,4.095) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.676,3.871) -- (4.631,4.041) -- (4.506,4.165) -- (4.336,4.211) -- (4.166,4.165) -- (4.042,4.041) -- (3.996,3.871) -- (4.042,3.701) -- (4.166,3.576) -- (4.336,3.531) -- (4.506,3.576) -- (4.631,3.701) -- cycle;
\node at (4.336,3.871) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.866,1.916) -- (8.821,2.086) -- (8.696,2.211) -- (8.526,2.256) -- (8.356,2.211) -- (8.232,2.086) -- (8.186,1.916) -- (8.232,1.746) -- (8.356,1.622) -- (8.526,1.576) -- (8.696,1.622) -- (8.821,1.746) -- cycle;
\node at (8.526,1.916) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,7.743) -- (6.414,7.743) -- (6.414,8.343) -- (5.814,8.343) -- cycle;
\node at (6.114,8.043) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.062,0.65) -- (9.662,0.65) -- (9.662,1.25) -- (9.062,1.25) -- cycle;
\node at (9.362,0.95) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.659,9.242) -- (4.259,9.242) -- (4.259,9.842) -- (3.659,9.842) -- cycle;
\node at (3.959,9.542) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.77,2.716) -- (4.37,2.716) -- (4.37,3.316) -- (3.77,3.316) -- cycle;
\node at (4.07,3.016) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.767,5.663) -- (1.367,5.663) -- (1.367,6.263) -- (0.767,6.263) -- cycle;
\node at (1.067,5.963) {\scalebox{1.425}{\small e}};
\node at (1.838,8.58) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (6.34,8.62) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (2.213,5.407) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (0.765,3.151) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (11.918,2.501) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (5.785,1.635) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.633,7.158) -- (12.633,8.258);
\draw[line width=0.5pt] (12.402,7.873) -- (12.633,8.258) -- (12.864,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (12.33,7.708) -- (12.935,7.708);
\node at (12.633,8.643) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① avenue de la Gare & ⑤ rue de l'Église & Ⓐ Rond-point de la Gare & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Mairie & ⑥ rue Haute & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ quai aux Fleurs & ⑦ chemin des Vignes & Ⓒ Carrefour du Moulin & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ chemin Creux & ⑧ allée des Peupliers & Ⓓ Placette des Ormes & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
 &  & Ⓔ Place de la Fontaine & \textbf{e} le marché couvert \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.628, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.514,8.061) -- (2.789,8.021) -- (3.065,7.987) -- (3.341,7.959) -- (3.619,7.938) -- (3.896,7.924) -- (4.174,7.916) -- (4.452,7.914) -- (4.73,7.919) -- (5.008,7.931) -- (5.286,7.949) -- (5.563,7.974) -- (5.839,8.005) -- (6.114,8.043);
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.312,7.916) -- (2.38,7.722) -- (2.443,7.527) -- (2.501,7.33) -- (2.555,7.132) -- (2.604,6.932) -- (2.648,6.732) -- (2.688,6.53) -- (2.723,6.328) -- (2.753,6.125) -- (2.778,5.921) -- (2.799,5.717) -- (2.814,5.512) -- (2.825,5.307);
\draw[line width=0.5pt] (2.24,8.108) -- (2.124,7.784) -- (2.016,7.458) -- (1.916,7.129) -- (1.823,6.797) -- (1.738,6.464) -- (1.661,6.128) -- (1.592,5.791) -- (1.531,5.452) -- (1.478,5.112) -- (1.433,4.771) -- (1.396,4.429) -- (1.367,4.086) -- (1.346,3.743) -- (1.333,3.399);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,8.043) -- (6.375,7.838) -- (6.632,7.627) -- (6.884,7.409) -- (7.13,7.186) -- (7.371,6.957) -- (7.607,6.723) -- (7.837,6.483) -- (8.061,6.237) -- (8.28,5.987) -- (8.493,5.731) -- (8.699,5.471) -- (8.9,5.205) -- (9.093,4.935) -- (9.281,4.661) -- (9.405,4.5) -- (9.533,4.342) -- (9.664,4.187) -- (9.8,4.035) -- (9.938,3.887) -- (10.081,3.741) -- (10.226,3.599) -- (10.375,3.461) -- (10.527,3.326) -- (10.683,3.194) -- (10.841,3.067) -- (11.002,2.943) -- (11.166,2.823) -- (11.333,2.707);
\draw[line width=0.5pt] (6.114,8.043) -- (6.016,7.636) -- (5.928,7.228) -- (5.849,6.817) -- (5.78,6.405) -- (5.721,5.99) -- (5.671,5.575) -- (5.632,5.159) -- (5.602,4.741) -- (5.581,4.323) -- (5.571,3.905) -- (5.57,3.487) -- (5.58,3.069) -- (5.599,2.651) -- (5.628,2.234);
\draw[line width=0.5pt] (2.825,5.307) -- (2.74,5.156) -- (2.652,5.006) -- (2.56,4.859) -- (2.464,4.714) -- (2.365,4.571) -- (2.263,4.43) -- (2.158,4.292) -- (2.049,4.156) -- (1.937,4.023) -- (1.822,3.893) -- (1.704,3.765) -- (1.583,3.64) -- (1.46,3.518) -- (1.333,3.399);
\draw[line width=0.5pt] (2.825,5.307) -- (2.99,5.059) -- (3.161,4.814) -- (3.338,4.574) -- (3.52,4.338) -- (3.708,4.106) -- (3.901,3.878) -- (4.1,3.655) -- (4.304,3.437) -- (4.513,3.224) -- (4.726,3.015) -- (4.945,2.812) -- (5.168,2.614) -- (5.396,2.421) -- (5.628,2.234);
\draw[line width=0.5pt] (11.333,2.707) -- (10.934,2.611) -- (10.533,2.524) -- (10.129,2.447) -- (9.724,2.38) -- (9.317,2.322) -- (8.909,2.274) -- (8.5,2.235) -- (8.09,2.206) -- (7.68,2.187) -- (7.269,2.177) -- (6.858,2.177) -- (6.448,2.186) -- (6.038,2.205) -- (5.628,2.234);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.4,8.108) -- (2.379,8.188) -- (2.32,8.247) -- (2.24,8.268) -- (2.16,8.247) -- (2.101,8.188) -- (2.08,8.108) -- (2.101,8.028) -- (2.16,7.97) -- (2.24,7.948) -- (2.32,7.97) -- (2.379,8.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.274,8.043) -- (6.253,8.123) -- (6.194,8.181) -- (6.114,8.203) -- (6.034,8.181) -- (5.975,8.123) -- (5.954,8.043) -- (5.975,7.963) -- (6.034,7.904) -- (6.114,7.883) -- (6.194,7.904) -- (6.253,7.963) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.985,5.307) -- (2.964,5.387) -- (2.905,5.446) -- (2.825,5.467) -- (2.745,5.446) -- (2.687,5.387) -- (2.665,5.307) -- (2.687,5.227) -- (2.745,5.169) -- (2.825,5.147) -- (2.905,5.169) -- (2.964,5.227) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.493,3.399) -- (1.472,3.479) -- (1.413,3.538) -- (1.333,3.559) -- (1.253,3.538) -- (1.194,3.479) -- (1.173,3.399) -- (1.194,3.319) -- (1.253,3.261) -- (1.333,3.239) -- (1.413,3.261) -- (1.472,3.319) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.493,2.707) -- (11.472,2.787) -- (11.413,2.845) -- (11.333,2.867) -- (11.253,2.845) -- (11.194,2.787) -- (11.173,2.707) -- (11.194,2.627) -- (11.253,2.568) -- (11.333,2.547) -- (11.413,2.568) -- (11.472,2.627) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.788,2.234) -- (5.767,2.314) -- (5.708,2.373) -- (5.628,2.394) -- (5.548,2.373) -- (5.49,2.314) -- (5.468,2.234) -- (5.49,2.154) -- (5.548,2.096) -- (5.628,2.074) -- (5.708,2.096) -- (5.767,2.154) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.52,8.236) -- (4.474,8.406) -- (4.35,8.53) -- (4.18,8.576) -- (4.01,8.53) -- (3.885,8.406) -- (3.84,8.236) -- (3.885,8.066) -- (4.01,7.941) -- (4.18,7.896) -- (4.35,7.941) -- (4.474,8.066) -- cycle;
\node at (4.18,8.236) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.301,6.797) -- (3.256,6.967) -- (3.131,7.092) -- (2.961,7.137) -- (2.791,7.092) -- (2.667,6.967) -- (2.621,6.797) -- (2.667,6.627) -- (2.791,6.503) -- (2.961,6.457) -- (3.131,6.503) -- (3.256,6.627) -- cycle;
\node at (2.961,6.797) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.246,5.731) -- (2.201,5.901) -- (2.076,6.025) -- (1.906,6.071) -- (1.736,6.025) -- (1.612,5.901) -- (1.566,5.731) -- (1.612,5.561) -- (1.736,5.436) -- (1.906,5.391) -- (2.076,5.436) -- (2.201,5.561) -- cycle;
\node at (1.906,5.731) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.881,4.847) -- (9.836,5.017) -- (9.711,5.142) -- (9.541,5.187) -- (9.371,5.142) -- (9.247,5.017) -- (9.201,4.847) -- (9.247,4.677) -- (9.371,4.553) -- (9.541,4.507) -- (9.711,4.553) -- (9.836,4.677) -- cycle;
\node at (9.541,4.847) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.29,5.132) -- (6.245,5.302) -- (6.12,5.426) -- (5.95,5.472) -- (5.78,5.426) -- (5.656,5.302) -- (5.61,5.132) -- (5.656,4.962) -- (5.78,4.837) -- (5.95,4.792) -- (6.12,4.837) -- (6.245,4.962) -- cycle;
\node at (5.95,5.132) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.75,4.095) -- (2.704,4.265) -- (2.58,4.389) -- (2.41,4.435) -- (2.24,4.389) -- (2.115,4.265) -- (2.07,4.095) -- (2.115,3.925) -- (2.24,3.8) -- (2.41,3.755) -- (2.58,3.8) -- (2.704,3.925) -- cycle;
\node at (2.41,4.095) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.676,3.871) -- (4.631,4.041) -- (4.506,4.165) -- (4.336,4.211) -- (4.166,4.165) -- (4.042,4.041) -- (3.996,3.871) -- (4.042,3.701) -- (4.166,3.576) -- (4.336,3.531) -- (4.506,3.576) -- (4.631,3.701) -- cycle;
\node at (4.336,3.871) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.866,1.916) -- (8.821,2.086) -- (8.696,2.211) -- (8.526,2.256) -- (8.356,2.211) -- (8.232,2.086) -- (8.186,1.916) -- (8.232,1.746) -- (8.356,1.622) -- (8.526,1.576) -- (8.696,1.622) -- (8.821,1.746) -- cycle;
\node at (8.526,1.916) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,7.743) -- (6.414,7.743) -- (6.414,8.343) -- (5.814,8.343) -- cycle;
\node at (6.114,8.043) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.062,0.65) -- (9.662,0.65) -- (9.662,1.25) -- (9.062,1.25) -- cycle;
\node at (9.362,0.95) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.659,9.242) -- (4.259,9.242) -- (4.259,9.842) -- (3.659,9.842) -- cycle;
\node at (3.959,9.542) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.77,2.716) -- (4.37,2.716) -- (4.37,3.316) -- (3.77,3.316) -- cycle;
\node at (4.07,3.016) {\scalebox{1.592}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.767,5.663) -- (1.367,5.663) -- (1.367,6.263) -- (0.767,6.263) -- cycle;
\node at (1.067,5.963) {\scalebox{1.592}{\small e}};
\node at (1.838,8.58) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (6.34,8.62) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (2.213,5.407) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (0.765,3.151) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (11.918,2.501) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (5.785,1.635) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.633,7.158) -- (12.633,8.258);
\draw[line width=0.5pt] (12.402,7.873) -- (12.633,8.258) -- (12.864,7.873);
\draw[line width=0.5pt] (12.33,7.708) -- (12.935,7.708);
\node at (12.633,8.643) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
