\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 394}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=394}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0394}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7006, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.469,6.531) -- (5.144,6.501) -- (4.82,6.463) -- (4.497,6.418) -- (4.175,6.365) -- (3.854,6.305) -- (3.535,6.237) -- (3.217,6.161) -- (2.902,6.078) -- (2.588,5.988) -- (2.277,5.891) -- (1.968,5.786) -- (1.662,5.674) -- (1.358,5.554);
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.716,6.386) -- (5.633,6.22) -- (5.547,6.057) -- (5.457,5.896) -- (5.363,5.736) -- (5.266,5.579) -- (5.165,5.425) -- (5.06,5.272) -- (4.951,5.123) -- (4.84,4.976) -- (4.724,4.831) -- (4.606,4.689) -- (4.484,4.551) -- (4.359,4.415);
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.844,6.181) -- (5.903,5.81) -- (5.97,5.441) -- (6.047,5.073) -- (6.132,4.707) -- (6.225,4.343) -- (6.327,3.981) -- (6.438,3.622) -- (6.557,3.265) -- (6.684,2.912) -- (6.819,2.561) -- (6.963,2.214) -- (7.115,1.871) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,6.033) -- (11.222,5.913) -- (11.083,5.797) -- (10.941,5.684) -- (10.796,5.574) -- (10.649,5.468) -- (10.499,5.365) -- (10.347,5.265) -- (10.192,5.17) -- (10.036,5.078) -- (9.877,4.989) -- (9.716,4.905) -- (9.554,4.824) -- (9.389,4.747) -- (9.223,4.674) -- (9.051,4.473) -- (8.883,4.267) -- (8.72,4.058) -- (8.562,3.844) -- (8.41,3.627) -- (8.262,3.407) -- (8.119,3.183) -- (7.982,2.956) -- (7.85,2.725) -- (7.724,2.492) -- (7.603,2.256) -- (7.488,2.017) -- (7.379,1.775) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,5.554) -- (1.558,5.441) -- (1.761,5.332) -- (1.967,5.228) -- (2.175,5.129) -- (2.385,5.034) -- (2.597,4.945) -- (2.811,4.861) -- (3.028,4.782) -- (3.246,4.707) -- (3.466,4.638) -- (3.687,4.575) -- (3.91,4.516) -- (4.134,4.463) -- (4.359,4.415);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,5.554) -- (1.477,5.301) -- (1.589,5.045) -- (1.695,4.786) -- (1.796,4.524) -- (1.89,4.26) -- (1.978,3.994) -- (2.059,3.726) -- (2.135,3.457) -- (2.204,3.185) -- (2.266,2.912) -- (2.322,2.638) -- (2.372,2.362) -- (2.415,2.086) -- (2.451,1.808);
\draw[line width=0.5pt] (4.359,4.415) -- (4.195,4.251) -- (4.035,4.083) -- (3.879,3.912) -- (3.728,3.737) -- (3.58,3.558) -- (3.437,3.376) -- (3.298,3.19) -- (3.163,3.002) -- (3.033,2.81) -- (2.907,2.615) -- (2.786,2.417) -- (2.669,2.217) -- (2.558,2.014) -- (2.451,1.808);
\draw[line width=0.5pt] (4.359,4.415) -- (4.597,4.242) -- (4.831,4.064) -- (5.061,3.881) -- (5.286,3.692) -- (5.508,3.497) -- (5.724,3.298) -- (5.936,3.093) -- (6.143,2.884) -- (6.345,2.67) -- (6.541,2.451) -- (6.733,2.227) -- (6.919,1.999) -- (7.1,1.767) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (2.451,1.808) -- (2.79,1.736) -- (3.131,1.672) -- (3.473,1.615) -- (3.816,1.567) -- (4.16,1.527) -- (4.506,1.495) -- (4.852,1.471) -- (5.198,1.455) -- (5.545,1.447) -- (5.892,1.448) -- (6.238,1.456) -- (6.584,1.473) -- (6.93,1.498) -- (7.275,1.531);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,6.553) -- (5.932,6.633) -- (5.874,6.692) -- (5.794,6.713) -- (5.714,6.692) -- (5.655,6.633) -- (5.634,6.553) -- (5.655,6.473) -- (5.714,6.414) -- (5.794,6.393) -- (5.874,6.414) -- (5.932,6.473) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,6.033) -- (11.497,6.113) -- (11.438,6.172) -- (11.358,6.193) -- (11.278,6.172) -- (11.22,6.113) -- (11.198,6.033) -- (11.22,5.953) -- (11.278,5.895) -- (11.358,5.873) -- (11.438,5.895) -- (11.497,5.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.518,5.554) -- (1.497,5.634) -- (1.438,5.693) -- (1.358,5.714) -- (1.278,5.693) -- (1.22,5.634) -- (1.198,5.554) -- (1.22,5.474) -- (1.278,5.416) -- (1.358,5.394) -- (1.438,5.416) -- (1.497,5.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.519,4.415) -- (4.497,4.495) -- (4.439,4.553) -- (4.359,4.575) -- (4.279,4.553) -- (4.22,4.495) -- (4.199,4.415) -- (4.22,4.335) -- (4.279,4.276) -- (4.359,4.255) -- (4.439,4.276) -- (4.497,4.335) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.611,1.808) -- (2.59,1.888) -- (2.531,1.947) -- (2.451,1.968) -- (2.371,1.947) -- (2.313,1.888) -- (2.291,1.808) -- (2.313,1.728) -- (2.371,1.67) -- (2.451,1.648) -- (2.531,1.67) -- (2.59,1.728) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.435,1.531) -- (7.413,1.611) -- (7.355,1.67) -- (7.275,1.691) -- (7.195,1.67) -- (7.136,1.611) -- (7.115,1.531) -- (7.136,1.451) -- (7.195,1.392) -- (7.275,1.371) -- (7.355,1.392) -- (7.413,1.451) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.945,5.924) -- (3.9,6.094) -- (3.775,6.219) -- (3.605,6.264) -- (3.435,6.219) -- (3.311,6.094) -- (3.265,5.924) -- (3.311,5.754) -- (3.435,5.63) -- (3.605,5.584) -- (3.775,5.63) -- (3.9,5.754) -- cycle;
\node at (3.605,5.924) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.77,5.246) -- (5.725,5.416) -- (5.6,5.541) -- (5.43,5.586) -- (5.26,5.541) -- (5.136,5.416) -- (5.09,5.246) -- (5.136,5.076) -- (5.26,4.952) -- (5.43,4.906) -- (5.6,4.952) -- (5.725,5.076) -- cycle;
\node at (5.43,5.246) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.974,4.071) -- (6.929,4.241) -- (6.804,4.366) -- (6.634,4.411) -- (6.464,4.366) -- (6.34,4.241) -- (6.294,4.071) -- (6.34,3.901) -- (6.464,3.777) -- (6.634,3.731) -- (6.804,3.777) -- (6.929,3.901) -- cycle;
\node at (6.634,4.071) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.765,4.425) -- (9.719,4.595) -- (9.595,4.72) -- (9.425,4.765) -- (9.255,4.72) -- (9.13,4.595) -- (9.085,4.425) -- (9.13,4.255) -- (9.255,4.131) -- (9.425,4.085) -- (9.595,4.131) -- (9.719,4.255) -- cycle;
\node at (9.425,4.425) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.265,5.16) -- (3.22,5.33) -- (3.095,5.454) -- (2.925,5.5) -- (2.755,5.454) -- (2.631,5.33) -- (2.585,5.16) -- (2.631,4.99) -- (2.755,4.865) -- (2.925,4.82) -- (3.095,4.865) -- (3.22,4.99) -- cycle;
\node at (2.925,5.16) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.706,3.816) -- (2.661,3.986) -- (2.536,4.111) -- (2.366,4.156) -- (2.196,4.111) -- (2.072,3.986) -- (2.026,3.816) -- (2.072,3.646) -- (2.196,3.522) -- (2.366,3.476) -- (2.536,3.522) -- (2.661,3.646) -- cycle;
\node at (2.366,3.816) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.896,3.001) -- (3.85,3.171) -- (3.726,3.296) -- (3.556,3.341) -- (3.386,3.296) -- (3.261,3.171) -- (3.216,3.001) -- (3.261,2.831) -- (3.386,2.707) -- (3.556,2.661) -- (3.726,2.707) -- (3.85,2.831) -- cycle;
\node at (3.556,3.001) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.501,3.321) -- (6.455,3.491) -- (6.331,3.615) -- (6.161,3.661) -- (5.991,3.615) -- (5.866,3.491) -- (5.821,3.321) -- (5.866,3.151) -- (5.991,3.026) -- (6.161,2.981) -- (6.331,3.026) -- (6.455,3.151) -- cycle;
\node at (6.161,3.321) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.21,1.79) -- (5.164,1.96) -- (5.04,2.085) -- (4.87,2.13) -- (4.7,2.085) -- (4.576,1.96) -- (4.53,1.79) -- (4.576,1.62) -- (4.7,1.496) -- (4.87,1.45) -- (5.04,1.496) -- (5.164,1.62) -- cycle;
\node at (4.87,1.79) {\scalebox{1.427}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.494,6.253) -- (6.094,6.253) -- (6.094,6.853) -- (5.494,6.853) -- cycle;
\node at (5.794,6.553) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.321,4.818) -- (5.921,4.818) -- (5.921,5.418) -- (5.321,5.418) -- cycle;
\node at (5.621,5.118) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.699,5.515) -- (2.299,5.515) -- (2.299,6.115) -- (1.699,6.115) -- cycle;
\node at (1.999,5.815) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.488,6.076) -- (3.088,6.076) -- (3.088,6.676) -- (2.488,6.676) -- cycle;
\node at (2.788,6.376) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.327,0.65) -- (4.927,0.65) -- (4.927,1.25) -- (4.327,1.25) -- cycle;
\node at (4.627,0.95) {\scalebox{1.427}{\small e}};
\node at (5.893,7.165) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (11.954,6.206) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (0.765,5.735) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (3.741,4.472) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (1.977,1.409) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (7.617,1.014) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.658,5.603) -- (12.658,6.703);
\draw[line width=0.5pt] (12.427,6.318) -- (12.658,6.703) -- (12.889,6.318);
\draw[line width=0.5pt] (12.356,6.153) -- (12.961,6.153);
\node at (12.658,7.088) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑥ passage du Marché & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Mairie & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ impasse du Vieux-Four & ⑨ venelle du Chat & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ avenue de la Gare &  & Ⓔ Rond-point des Vaches & \textbf{e} l'église \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6268, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.469,6.531) -- (5.144,6.501) -- (4.82,6.463) -- (4.497,6.418) -- (4.175,6.365) -- (3.854,6.305) -- (3.535,6.237) -- (3.217,6.161) -- (2.902,6.078) -- (2.588,5.988) -- (2.277,5.891) -- (1.968,5.786) -- (1.662,5.674) -- (1.358,5.554);
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.716,6.386) -- (5.633,6.22) -- (5.547,6.057) -- (5.457,5.896) -- (5.363,5.736) -- (5.266,5.579) -- (5.165,5.425) -- (5.06,5.272) -- (4.951,5.123) -- (4.84,4.976) -- (4.724,4.831) -- (4.606,4.689) -- (4.484,4.551) -- (4.359,4.415);
\draw[line width=0.5pt] (5.794,6.553) -- (5.844,6.181) -- (5.903,5.81) -- (5.97,5.441) -- (6.047,5.073) -- (6.132,4.707) -- (6.225,4.343) -- (6.327,3.981) -- (6.438,3.622) -- (6.557,3.265) -- (6.684,2.912) -- (6.819,2.561) -- (6.963,2.214) -- (7.115,1.871) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (11.358,6.033) -- (11.222,5.913) -- (11.083,5.797) -- (10.941,5.684) -- (10.796,5.574) -- (10.649,5.468) -- (10.499,5.365) -- (10.347,5.265) -- (10.192,5.17) -- (10.036,5.078) -- (9.877,4.989) -- (9.716,4.905) -- (9.554,4.824) -- (9.389,4.747) -- (9.223,4.674) -- (9.051,4.473) -- (8.883,4.267) -- (8.72,4.058) -- (8.562,3.844) -- (8.41,3.627) -- (8.262,3.407) -- (8.119,3.183) -- (7.982,2.956) -- (7.85,2.725) -- (7.724,2.492) -- (7.603,2.256) -- (7.488,2.017) -- (7.379,1.775) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,5.554) -- (1.558,5.441) -- (1.761,5.332) -- (1.967,5.228) -- (2.175,5.129) -- (2.385,5.034) -- (2.597,4.945) -- (2.811,4.861) -- (3.028,4.782) -- (3.246,4.707) -- (3.466,4.638) -- (3.687,4.575) -- (3.91,4.516) -- (4.134,4.463) -- (4.359,4.415);
\draw[line width=0.5pt] (1.358,5.554) -- (1.477,5.301) -- (1.589,5.045) -- (1.695,4.786) -- (1.796,4.524) -- (1.89,4.26) -- (1.978,3.994) -- (2.059,3.726) -- (2.135,3.457) -- (2.204,3.185) -- (2.266,2.912) -- (2.322,2.638) -- (2.372,2.362) -- (2.415,2.086) -- (2.451,1.808);
\draw[line width=0.5pt] (4.359,4.415) -- (4.195,4.251) -- (4.035,4.083) -- (3.879,3.912) -- (3.728,3.737) -- (3.58,3.558) -- (3.437,3.376) -- (3.298,3.19) -- (3.163,3.002) -- (3.033,2.81) -- (2.907,2.615) -- (2.786,2.417) -- (2.669,2.217) -- (2.558,2.014) -- (2.451,1.808);
\draw[line width=0.5pt] (4.359,4.415) -- (4.597,4.242) -- (4.831,4.064) -- (5.061,3.881) -- (5.286,3.692) -- (5.508,3.497) -- (5.724,3.298) -- (5.936,3.093) -- (6.143,2.884) -- (6.345,2.67) -- (6.541,2.451) -- (6.733,2.227) -- (6.919,1.999) -- (7.1,1.767) -- (7.275,1.531);
\draw[line width=0.5pt] (2.451,1.808) -- (2.79,1.736) -- (3.131,1.672) -- (3.473,1.615) -- (3.816,1.567) -- (4.16,1.527) -- (4.506,1.495) -- (4.852,1.471) -- (5.198,1.455) -- (5.545,1.447) -- (5.892,1.448) -- (6.238,1.456) -- (6.584,1.473) -- (6.93,1.498) -- (7.275,1.531);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.954,6.553) -- (5.932,6.633) -- (5.874,6.692) -- (5.794,6.713) -- (5.714,6.692) -- (5.655,6.633) -- (5.634,6.553) -- (5.655,6.473) -- (5.714,6.414) -- (5.794,6.393) -- (5.874,6.414) -- (5.932,6.473) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.518,6.033) -- (11.497,6.113) -- (11.438,6.172) -- (11.358,6.193) -- (11.278,6.172) -- (11.22,6.113) -- (11.198,6.033) -- (11.22,5.953) -- (11.278,5.895) -- (11.358,5.873) -- (11.438,5.895) -- (11.497,5.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.518,5.554) -- (1.497,5.634) -- (1.438,5.693) -- (1.358,5.714) -- (1.278,5.693) -- (1.22,5.634) -- (1.198,5.554) -- (1.22,5.474) -- (1.278,5.416) -- (1.358,5.394) -- (1.438,5.416) -- (1.497,5.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.519,4.415) -- (4.497,4.495) -- (4.439,4.553) -- (4.359,4.575) -- (4.279,4.553) -- (4.22,4.495) -- (4.199,4.415) -- (4.22,4.335) -- (4.279,4.276) -- (4.359,4.255) -- (4.439,4.276) -- (4.497,4.335) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.611,1.808) -- (2.59,1.888) -- (2.531,1.947) -- (2.451,1.968) -- (2.371,1.947) -- (2.313,1.888) -- (2.291,1.808) -- (2.313,1.728) -- (2.371,1.67) -- (2.451,1.648) -- (2.531,1.67) -- (2.59,1.728) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.435,1.531) -- (7.413,1.611) -- (7.355,1.67) -- (7.275,1.691) -- (7.195,1.67) -- (7.136,1.611) -- (7.115,1.531) -- (7.136,1.451) -- (7.195,1.392) -- (7.275,1.371) -- (7.355,1.392) -- (7.413,1.451) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.945,5.924) -- (3.9,6.094) -- (3.775,6.219) -- (3.605,6.264) -- (3.435,6.219) -- (3.311,6.094) -- (3.265,5.924) -- (3.311,5.754) -- (3.435,5.63) -- (3.605,5.584) -- (3.775,5.63) -- (3.9,5.754) -- cycle;
\node at (3.605,5.924) {\scalebox{1.595}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.77,5.246) -- (5.725,5.416) -- (5.6,5.541) -- (5.43,5.586) -- (5.26,5.541) -- (5.136,5.416) -- (5.09,5.246) -- (5.136,5.076) -- (5.26,4.952) -- (5.43,4.906) -- (5.6,4.952) -- (5.725,5.076) -- cycle;
\node at (5.43,5.246) {\scalebox{1.595}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.974,4.071) -- (6.929,4.241) -- (6.804,4.366) -- (6.634,4.411) -- (6.464,4.366) -- (6.34,4.241) -- (6.294,4.071) -- (6.34,3.901) -- (6.464,3.777) -- (6.634,3.731) -- (6.804,3.777) -- (6.929,3.901) -- cycle;
\node at (6.634,4.071) {\scalebox{1.595}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.765,4.425) -- (9.719,4.595) -- (9.595,4.72) -- (9.425,4.765) -- (9.255,4.72) -- (9.13,4.595) -- (9.085,4.425) -- (9.13,4.255) -- (9.255,4.131) -- (9.425,4.085) -- (9.595,4.131) -- (9.719,4.255) -- cycle;
\node at (9.425,4.425) {\scalebox{1.595}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.265,5.16) -- (3.22,5.33) -- (3.095,5.454) -- (2.925,5.5) -- (2.755,5.454) -- (2.631,5.33) -- (2.585,5.16) -- (2.631,4.99) -- (2.755,4.865) -- (2.925,4.82) -- (3.095,4.865) -- (3.22,4.99) -- cycle;
\node at (2.925,5.16) {\scalebox{1.595}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.706,3.816) -- (2.661,3.986) -- (2.536,4.111) -- (2.366,4.156) -- (2.196,4.111) -- (2.072,3.986) -- (2.026,3.816) -- (2.072,3.646) -- (2.196,3.522) -- (2.366,3.476) -- (2.536,3.522) -- (2.661,3.646) -- cycle;
\node at (2.366,3.816) {\scalebox{1.595}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.896,3.001) -- (3.85,3.171) -- (3.726,3.296) -- (3.556,3.341) -- (3.386,3.296) -- (3.261,3.171) -- (3.216,3.001) -- (3.261,2.831) -- (3.386,2.707) -- (3.556,2.661) -- (3.726,2.707) -- (3.85,2.831) -- cycle;
\node at (3.556,3.001) {\scalebox{1.595}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.501,3.321) -- (6.455,3.491) -- (6.331,3.615) -- (6.161,3.661) -- (5.991,3.615) -- (5.866,3.491) -- (5.821,3.321) -- (5.866,3.151) -- (5.991,3.026) -- (6.161,2.981) -- (6.331,3.026) -- (6.455,3.151) -- cycle;
\node at (6.161,3.321) {\scalebox{1.595}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.21,1.79) -- (5.164,1.96) -- (5.04,2.085) -- (4.87,2.13) -- (4.7,2.085) -- (4.576,1.96) -- (4.53,1.79) -- (4.576,1.62) -- (4.7,1.496) -- (4.87,1.45) -- (5.04,1.496) -- (5.164,1.62) -- cycle;
\node at (4.87,1.79) {\scalebox{1.595}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.494,6.253) -- (6.094,6.253) -- (6.094,6.853) -- (5.494,6.853) -- cycle;
\node at (5.794,6.553) {\scalebox{1.595}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.321,4.818) -- (5.921,4.818) -- (5.921,5.418) -- (5.321,5.418) -- cycle;
\node at (5.621,5.118) {\scalebox{1.595}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.699,5.515) -- (2.299,5.515) -- (2.299,6.115) -- (1.699,6.115) -- cycle;
\node at (1.999,5.815) {\scalebox{1.595}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.488,6.076) -- (3.088,6.076) -- (3.088,6.676) -- (2.488,6.676) -- cycle;
\node at (2.788,6.376) {\scalebox{1.595}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.327,0.65) -- (4.927,0.65) -- (4.927,1.25) -- (4.327,1.25) -- cycle;
\node at (4.627,0.95) {\scalebox{1.595}{\small e}};
\node at (5.893,7.165) {\scalebox{1.595}{\small A}};
\node at (11.954,6.206) {\scalebox{1.595}{\small B}};
\node at (0.765,5.735) {\scalebox{1.595}{\small C}};
\node at (3.741,4.472) {\scalebox{1.595}{\small D}};
\node at (1.977,1.409) {\scalebox{1.595}{\small E}};
\node at (7.617,1.014) {\scalebox{1.595}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.658,5.603) -- (12.658,6.703);
\draw[line width=0.5pt] (12.427,6.318) -- (12.658,6.703) -- (12.889,6.318);
\draw[line width=0.5pt] (12.356,6.153) -- (12.961,6.153);
\node at (12.658,7.088) {\scalebox{1.595}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 1 & 3 & 4 & 3 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
