\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 4}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=4}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0004}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7067, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.577,10.235) -- (1.916,10.126) -- (2.257,10.025) -- (2.601,9.932) -- (2.947,9.847) -- (3.295,9.77) -- (3.645,9.701) -- (3.996,9.64) -- (4.349,9.588) -- (4.702,9.544) -- (5.057,9.508) -- (5.412,9.481) -- (5.768,9.462) -- (6.123,9.452) -- (6.406,9.496) -- (6.691,9.532) -- (6.976,9.562) -- (7.261,9.586) -- (7.548,9.602) -- (7.834,9.612) -- (8.121,9.616) -- (8.408,9.612) -- (8.694,9.602) -- (8.98,9.585) -- (9.266,9.561) -- (9.551,9.531) -- (9.835,9.493) -- (10.118,9.45);
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.666,10.159) -- (2.086,9.955) -- (2.501,9.741) -- (2.912,9.517) -- (3.317,9.283) -- (3.717,9.04) -- (4.11,8.788) -- (4.498,8.527) -- (4.88,8.256) -- (5.255,7.977) -- (5.623,7.689) -- (5.984,7.392) -- (6.338,7.087) -- (6.685,6.774);
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.238,10.04) -- (1.242,9.728) -- (1.254,9.415) -- (1.273,9.103) -- (1.3,8.792) -- (1.334,8.481) -- (1.375,8.17) -- (1.424,7.861) -- (1.479,7.554) -- (1.542,7.247) -- (1.612,6.942) -- (1.69,6.64) -- (1.774,6.339) -- (1.865,6.04);
\draw[line width=0.5pt] (10.118,9.45) -- (10.228,9.269) -- (10.333,9.086) -- (10.433,8.9) -- (10.53,8.712) -- (10.622,8.521) -- (10.709,8.329) -- (10.792,8.134) -- (10.87,7.938) -- (10.944,7.74) -- (11.013,7.54) -- (11.077,7.339) -- (11.136,7.136) -- (11.191,6.932) -- (11.241,6.726);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (7.007,6.721) -- (7.331,6.675) -- (7.656,6.638) -- (7.981,6.607) -- (8.307,6.585) -- (8.634,6.57) -- (8.961,6.562) -- (9.288,6.563) -- (9.615,6.571) -- (9.941,6.587) -- (10.267,6.61) -- (10.593,6.641) -- (10.917,6.68) -- (11.241,6.726);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.352,6.669) -- (6.016,6.573) -- (5.677,6.484) -- (5.337,6.403) -- (4.995,6.33) -- (4.651,6.265) -- (4.306,6.208) -- (3.959,6.16) -- (3.611,6.119) -- (3.263,6.087) -- (2.914,6.063) -- (2.565,6.047) -- (2.215,6.039) -- (1.865,6.04);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.898,6.412) -- (7.12,6.054) -- (7.351,5.702) -- (7.589,5.356) -- (7.836,5.015) -- (8.091,4.68) -- (8.354,4.35) -- (8.624,4.028) -- (8.902,3.711) -- (9.187,3.401) -- (9.479,3.099) -- (9.778,2.803) -- (10.084,2.514) -- (10.397,2.233);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.438,6.348) -- (6.181,5.928) -- (5.913,5.514) -- (5.636,5.106) -- (5.35,4.705) -- (5.054,4.31) -- (4.749,3.923) -- (4.435,3.543) -- (4.112,3.17) -- (3.78,2.805) -- (3.44,2.448) -- (3.092,2.1) -- (2.735,1.759) -- (2.371,1.428);
\draw[line width=0.5pt] (11.241,6.726) -- (11.132,6.417) -- (11.03,6.105) -- (10.936,5.791) -- (10.849,5.475) -- (10.77,5.156) -- (10.698,4.836) -- (10.633,4.514) -- (10.577,4.191) -- (10.527,3.867) -- (10.486,3.541) -- (10.452,3.215) -- (10.426,2.888) -- (10.408,2.561) -- (10.397,2.233);
\draw[line width=0.5pt] (1.865,6.04) -- (1.952,5.719) -- (2.03,5.395) -- (2.101,5.07) -- (2.165,4.743) -- (2.22,4.415) -- (2.268,4.085) -- (2.309,3.755) -- (2.341,3.423) -- (2.366,3.091) -- (2.382,2.758) -- (2.391,2.426) -- (2.393,2.093) -- (2.386,1.76) -- (2.371,1.428);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.401,10.353) -- (1.379,10.433) -- (1.321,10.491) -- (1.241,10.513) -- (1.161,10.491) -- (1.102,10.433) -- (1.081,10.353) -- (1.102,10.273) -- (1.161,10.214) -- (1.241,10.193) -- (1.321,10.214) -- (1.379,10.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.278,9.45) -- (10.257,9.53) -- (10.198,9.588) -- (10.118,9.61) -- (10.038,9.588) -- (9.98,9.53) -- (9.958,9.45) -- (9.98,9.37) -- (10.038,9.311) -- (10.118,9.29) -- (10.198,9.311) -- (10.257,9.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,6.774) -- (6.824,6.854) -- (6.765,6.913) -- (6.685,6.934) -- (6.605,6.913) -- (6.546,6.854) -- (6.525,6.774) -- (6.546,6.694) -- (6.605,6.636) -- (6.685,6.614) -- (6.765,6.636) -- (6.824,6.694) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.401,6.726) -- (11.379,6.806) -- (11.321,6.865) -- (11.241,6.886) -- (11.161,6.865) -- (11.102,6.806) -- (11.081,6.726) -- (11.102,6.646) -- (11.161,6.588) -- (11.241,6.566) -- (11.321,6.588) -- (11.379,6.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.025,6.04) -- (2.004,6.12) -- (1.945,6.178) -- (1.865,6.2) -- (1.785,6.178) -- (1.727,6.12) -- (1.705,6.04) -- (1.727,5.96) -- (1.785,5.901) -- (1.865,5.88) -- (1.945,5.901) -- (2.004,5.96) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.557,2.233) -- (10.536,2.313) -- (10.477,2.371) -- (10.397,2.393) -- (10.317,2.371) -- (10.258,2.313) -- (10.237,2.233) -- (10.258,2.153) -- (10.317,2.094) -- (10.397,2.073) -- (10.477,2.094) -- (10.536,2.153) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.531,1.428) -- (2.51,1.508) -- (2.451,1.566) -- (2.371,1.588) -- (2.291,1.566) -- (2.233,1.508) -- (2.211,1.428) -- (2.233,1.348) -- (2.291,1.289) -- (2.371,1.268) -- (2.451,1.289) -- (2.51,1.348) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.447,9.772) -- (6.401,9.942) -- (6.277,10.066) -- (6.107,10.112) -- (5.937,10.066) -- (5.812,9.942) -- (5.767,9.772) -- (5.812,9.602) -- (5.937,9.477) -- (6.107,9.432) -- (6.277,9.477) -- (6.401,9.602) -- cycle;
\node at (6.107,9.772) {\scalebox{1.415}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.626,9.055) -- (4.581,9.225) -- (4.456,9.35) -- (4.286,9.395) -- (4.116,9.35) -- (3.992,9.225) -- (3.946,9.055) -- (3.992,8.885) -- (4.116,8.761) -- (4.286,8.715) -- (4.456,8.761) -- (4.581,8.885) -- cycle;
\node at (4.286,9.055) {\scalebox{1.415}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.032,8.216) -- (1.986,8.386) -- (1.862,8.511) -- (1.692,8.556) -- (1.522,8.511) -- (1.397,8.386) -- (1.352,8.216) -- (1.397,8.046) -- (1.522,7.922) -- (1.692,7.876) -- (1.862,7.922) -- (1.986,8.046) -- cycle;
\node at (1.692,8.216) {\scalebox{1.415}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.428,8.256) -- (11.382,8.426) -- (11.258,8.551) -- (11.088,8.596) -- (10.918,8.551) -- (10.793,8.426) -- (10.748,8.256) -- (10.793,8.086) -- (10.918,7.962) -- (11.088,7.916) -- (11.258,7.962) -- (11.382,8.086) -- cycle;
\node at (11.088,8.256) {\scalebox{1.415}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.304,6.882) -- (9.259,7.052) -- (9.134,7.177) -- (8.964,7.222) -- (8.794,7.177) -- (8.67,7.052) -- (8.624,6.882) -- (8.67,6.712) -- (8.794,6.588) -- (8.964,6.542) -- (9.134,6.588) -- (9.259,6.712) -- cycle;
\node at (8.964,6.882) {\scalebox{1.415}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.694,5.892) -- (4.648,6.062) -- (4.524,6.186) -- (4.354,6.232) -- (4.184,6.186) -- (4.059,6.062) -- (4.014,5.892) -- (4.059,5.722) -- (4.184,5.597) -- (4.354,5.552) -- (4.524,5.597) -- (4.648,5.722) -- cycle;
\node at (4.354,5.892) {\scalebox{1.415}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.941,4.553) -- (8.896,4.723) -- (8.771,4.847) -- (8.601,4.893) -- (8.431,4.847) -- (8.307,4.723) -- (8.261,4.553) -- (8.307,4.383) -- (8.431,4.259) -- (8.601,4.213) -- (8.771,4.259) -- (8.896,4.383) -- cycle;
\node at (8.601,4.553) {\scalebox{1.415}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.338,3.722) -- (5.292,3.892) -- (5.168,4.017) -- (4.998,4.062) -- (4.828,4.017) -- (4.703,3.892) -- (4.658,3.722) -- (4.703,3.552) -- (4.828,3.428) -- (4.998,3.382) -- (5.168,3.428) -- (5.292,3.552) -- cycle;
\node at (4.998,3.722) {\scalebox{1.415}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.288,4.455) -- (11.242,4.625) -- (11.118,4.75) -- (10.948,4.795) -- (10.778,4.75) -- (10.653,4.625) -- (10.608,4.455) -- (10.653,4.285) -- (10.778,4.161) -- (10.948,4.115) -- (11.118,4.161) -- (11.242,4.285) -- cycle;
\node at (10.948,4.455) {\scalebox{1.415}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.967,3.789) -- (2.921,3.959) -- (2.797,4.084) -- (2.627,4.129) -- (2.457,4.084) -- (2.332,3.959) -- (2.287,3.789) -- (2.332,3.619) -- (2.457,3.495) -- (2.627,3.449) -- (2.797,3.495) -- (2.921,3.619) -- cycle;
\node at (2.627,3.789) {\scalebox{1.415}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.565,5.74) -- (2.165,5.74) -- (2.165,6.34) -- (1.565,6.34) -- cycle;
\node at (1.865,6.04) {\scalebox{1.415}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.629,8.428) -- (1.229,8.428) -- (1.229,9.028) -- (0.629,9.028) -- cycle;
\node at (0.929,8.728) {\scalebox{1.415}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.646,2.895) -- (2.246,2.895) -- (2.246,3.495) -- (1.646,3.495) -- cycle;
\node at (1.946,3.195) {\scalebox{1.415}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.702,7.185) -- (10.302,7.185) -- (10.302,7.785) -- (9.702,7.785) -- cycle;
\node at (10.002,7.485) {\scalebox{1.415}{\small d}};
\node at (0.765,10.75) {\scalebox{1.415}{\small A}};
\node at (10.588,9.854) {\scalebox{1.415}{\small B}};
\node at (7.023,7.294) {\scalebox{1.415}{\small C}};
\node at (11.856,6.799) {\scalebox{1.415}{\small D}};
\node at (1.246,6.025) {\scalebox{1.415}{\small E}};
\node at (10.847,1.806) {\scalebox{1.415}{\small F}};
\node at (1.976,0.95) {\scalebox{1.415}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.541,9.403) -- (12.541,10.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.31,10.118) -- (12.541,10.503) -- (12.772,10.118);
\draw[line width=0.5pt] (12.238,9.953) -- (12.843,9.953);
\node at (12.541,10.888) {\scalebox{1.415}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Poste & ⑥ avenue de la Gare & Ⓐ Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑦ rue du Stade & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue du Moulin & ⑧ rue Pasteur & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ boulevard du Parc & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue Basse & ⑩ venelle du Chat & Ⓔ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6323, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.577,10.235) -- (1.916,10.126) -- (2.257,10.025) -- (2.601,9.932) -- (2.947,9.847) -- (3.295,9.77) -- (3.645,9.701) -- (3.996,9.64) -- (4.349,9.588) -- (4.702,9.544) -- (5.057,9.508) -- (5.412,9.481) -- (5.768,9.462) -- (6.123,9.452) -- (6.406,9.496) -- (6.691,9.532) -- (6.976,9.562) -- (7.261,9.586) -- (7.548,9.602) -- (7.834,9.612) -- (8.121,9.616) -- (8.408,9.612) -- (8.694,9.602) -- (8.98,9.585) -- (9.266,9.561) -- (9.551,9.531) -- (9.835,9.493) -- (10.118,9.45);
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.666,10.159) -- (2.086,9.955) -- (2.501,9.741) -- (2.912,9.517) -- (3.317,9.283) -- (3.717,9.04) -- (4.11,8.788) -- (4.498,8.527) -- (4.88,8.256) -- (5.255,7.977) -- (5.623,7.689) -- (5.984,7.392) -- (6.338,7.087) -- (6.685,6.774);
\draw[line width=0.5pt] (1.241,10.353) -- (1.238,10.04) -- (1.242,9.728) -- (1.254,9.415) -- (1.273,9.103) -- (1.3,8.792) -- (1.334,8.481) -- (1.375,8.17) -- (1.424,7.861) -- (1.479,7.554) -- (1.542,7.247) -- (1.612,6.942) -- (1.69,6.64) -- (1.774,6.339) -- (1.865,6.04);
\draw[line width=0.5pt] (10.118,9.45) -- (10.228,9.269) -- (10.333,9.086) -- (10.433,8.9) -- (10.53,8.712) -- (10.622,8.521) -- (10.709,8.329) -- (10.792,8.134) -- (10.87,7.938) -- (10.944,7.74) -- (11.013,7.54) -- (11.077,7.339) -- (11.136,7.136) -- (11.191,6.932) -- (11.241,6.726);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (7.007,6.721) -- (7.331,6.675) -- (7.656,6.638) -- (7.981,6.607) -- (8.307,6.585) -- (8.634,6.57) -- (8.961,6.562) -- (9.288,6.563) -- (9.615,6.571) -- (9.941,6.587) -- (10.267,6.61) -- (10.593,6.641) -- (10.917,6.68) -- (11.241,6.726);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.352,6.669) -- (6.016,6.573) -- (5.677,6.484) -- (5.337,6.403) -- (4.995,6.33) -- (4.651,6.265) -- (4.306,6.208) -- (3.959,6.16) -- (3.611,6.119) -- (3.263,6.087) -- (2.914,6.063) -- (2.565,6.047) -- (2.215,6.039) -- (1.865,6.04);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.898,6.412) -- (7.12,6.054) -- (7.351,5.702) -- (7.589,5.356) -- (7.836,5.015) -- (8.091,4.68) -- (8.354,4.35) -- (8.624,4.028) -- (8.902,3.711) -- (9.187,3.401) -- (9.479,3.099) -- (9.778,2.803) -- (10.084,2.514) -- (10.397,2.233);
\draw[line width=0.5pt] (6.685,6.774) -- (6.438,6.348) -- (6.181,5.928) -- (5.913,5.514) -- (5.636,5.106) -- (5.35,4.705) -- (5.054,4.31) -- (4.749,3.923) -- (4.435,3.543) -- (4.112,3.17) -- (3.78,2.805) -- (3.44,2.448) -- (3.092,2.1) -- (2.735,1.759) -- (2.371,1.428);
\draw[line width=0.5pt] (11.241,6.726) -- (11.132,6.417) -- (11.03,6.105) -- (10.936,5.791) -- (10.849,5.475) -- (10.77,5.156) -- (10.698,4.836) -- (10.633,4.514) -- (10.577,4.191) -- (10.527,3.867) -- (10.486,3.541) -- (10.452,3.215) -- (10.426,2.888) -- (10.408,2.561) -- (10.397,2.233);
\draw[line width=0.5pt] (1.865,6.04) -- (1.952,5.719) -- (2.03,5.395) -- (2.101,5.07) -- (2.165,4.743) -- (2.22,4.415) -- (2.268,4.085) -- (2.309,3.755) -- (2.341,3.423) -- (2.366,3.091) -- (2.382,2.758) -- (2.391,2.426) -- (2.393,2.093) -- (2.386,1.76) -- (2.371,1.428);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.401,10.353) -- (1.379,10.433) -- (1.321,10.491) -- (1.241,10.513) -- (1.161,10.491) -- (1.102,10.433) -- (1.081,10.353) -- (1.102,10.273) -- (1.161,10.214) -- (1.241,10.193) -- (1.321,10.214) -- (1.379,10.273) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.278,9.45) -- (10.257,9.53) -- (10.198,9.588) -- (10.118,9.61) -- (10.038,9.588) -- (9.98,9.53) -- (9.958,9.45) -- (9.98,9.37) -- (10.038,9.311) -- (10.118,9.29) -- (10.198,9.311) -- (10.257,9.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,6.774) -- (6.824,6.854) -- (6.765,6.913) -- (6.685,6.934) -- (6.605,6.913) -- (6.546,6.854) -- (6.525,6.774) -- (6.546,6.694) -- (6.605,6.636) -- (6.685,6.614) -- (6.765,6.636) -- (6.824,6.694) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.401,6.726) -- (11.379,6.806) -- (11.321,6.865) -- (11.241,6.886) -- (11.161,6.865) -- (11.102,6.806) -- (11.081,6.726) -- (11.102,6.646) -- (11.161,6.588) -- (11.241,6.566) -- (11.321,6.588) -- (11.379,6.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.025,6.04) -- (2.004,6.12) -- (1.945,6.178) -- (1.865,6.2) -- (1.785,6.178) -- (1.727,6.12) -- (1.705,6.04) -- (1.727,5.96) -- (1.785,5.901) -- (1.865,5.88) -- (1.945,5.901) -- (2.004,5.96) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.557,2.233) -- (10.536,2.313) -- (10.477,2.371) -- (10.397,2.393) -- (10.317,2.371) -- (10.258,2.313) -- (10.237,2.233) -- (10.258,2.153) -- (10.317,2.094) -- (10.397,2.073) -- (10.477,2.094) -- (10.536,2.153) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.531,1.428) -- (2.51,1.508) -- (2.451,1.566) -- (2.371,1.588) -- (2.291,1.566) -- (2.233,1.508) -- (2.211,1.428) -- (2.233,1.348) -- (2.291,1.289) -- (2.371,1.268) -- (2.451,1.289) -- (2.51,1.348) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.447,9.772) -- (6.401,9.942) -- (6.277,10.066) -- (6.107,10.112) -- (5.937,10.066) -- (5.812,9.942) -- (5.767,9.772) -- (5.812,9.602) -- (5.937,9.477) -- (6.107,9.432) -- (6.277,9.477) -- (6.401,9.602) -- cycle;
\node at (6.107,9.772) {\scalebox{1.582}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.626,9.055) -- (4.581,9.225) -- (4.456,9.35) -- (4.286,9.395) -- (4.116,9.35) -- (3.992,9.225) -- (3.946,9.055) -- (3.992,8.885) -- (4.116,8.761) -- (4.286,8.715) -- (4.456,8.761) -- (4.581,8.885) -- cycle;
\node at (4.286,9.055) {\scalebox{1.582}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.032,8.216) -- (1.986,8.386) -- (1.862,8.511) -- (1.692,8.556) -- (1.522,8.511) -- (1.397,8.386) -- (1.352,8.216) -- (1.397,8.046) -- (1.522,7.922) -- (1.692,7.876) -- (1.862,7.922) -- (1.986,8.046) -- cycle;
\node at (1.692,8.216) {\scalebox{1.582}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.428,8.256) -- (11.382,8.426) -- (11.258,8.551) -- (11.088,8.596) -- (10.918,8.551) -- (10.793,8.426) -- (10.748,8.256) -- (10.793,8.086) -- (10.918,7.962) -- (11.088,7.916) -- (11.258,7.962) -- (11.382,8.086) -- cycle;
\node at (11.088,8.256) {\scalebox{1.582}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.304,6.882) -- (9.259,7.052) -- (9.134,7.177) -- (8.964,7.222) -- (8.794,7.177) -- (8.67,7.052) -- (8.624,6.882) -- (8.67,6.712) -- (8.794,6.588) -- (8.964,6.542) -- (9.134,6.588) -- (9.259,6.712) -- cycle;
\node at (8.964,6.882) {\scalebox{1.582}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.694,5.892) -- (4.648,6.062) -- (4.524,6.186) -- (4.354,6.232) -- (4.184,6.186) -- (4.059,6.062) -- (4.014,5.892) -- (4.059,5.722) -- (4.184,5.597) -- (4.354,5.552) -- (4.524,5.597) -- (4.648,5.722) -- cycle;
\node at (4.354,5.892) {\scalebox{1.582}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.941,4.553) -- (8.896,4.723) -- (8.771,4.847) -- (8.601,4.893) -- (8.431,4.847) -- (8.307,4.723) -- (8.261,4.553) -- (8.307,4.383) -- (8.431,4.259) -- (8.601,4.213) -- (8.771,4.259) -- (8.896,4.383) -- cycle;
\node at (8.601,4.553) {\scalebox{1.582}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.338,3.722) -- (5.292,3.892) -- (5.168,4.017) -- (4.998,4.062) -- (4.828,4.017) -- (4.703,3.892) -- (4.658,3.722) -- (4.703,3.552) -- (4.828,3.428) -- (4.998,3.382) -- (5.168,3.428) -- (5.292,3.552) -- cycle;
\node at (4.998,3.722) {\scalebox{1.582}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.288,4.455) -- (11.242,4.625) -- (11.118,4.75) -- (10.948,4.795) -- (10.778,4.75) -- (10.653,4.625) -- (10.608,4.455) -- (10.653,4.285) -- (10.778,4.161) -- (10.948,4.115) -- (11.118,4.161) -- (11.242,4.285) -- cycle;
\node at (10.948,4.455) {\scalebox{1.582}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.967,3.789) -- (2.921,3.959) -- (2.797,4.084) -- (2.627,4.129) -- (2.457,4.084) -- (2.332,3.959) -- (2.287,3.789) -- (2.332,3.619) -- (2.457,3.495) -- (2.627,3.449) -- (2.797,3.495) -- (2.921,3.619) -- cycle;
\node at (2.627,3.789) {\scalebox{1.582}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.565,5.74) -- (2.165,5.74) -- (2.165,6.34) -- (1.565,6.34) -- cycle;
\node at (1.865,6.04) {\scalebox{1.582}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.629,8.428) -- (1.229,8.428) -- (1.229,9.028) -- (0.629,9.028) -- cycle;
\node at (0.929,8.728) {\scalebox{1.582}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.646,2.895) -- (2.246,2.895) -- (2.246,3.495) -- (1.646,3.495) -- cycle;
\node at (1.946,3.195) {\scalebox{1.582}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.702,7.185) -- (10.302,7.185) -- (10.302,7.785) -- (9.702,7.785) -- cycle;
\node at (10.002,7.485) {\scalebox{1.582}{\small d}};
\node at (0.765,10.75) {\scalebox{1.582}{\small A}};
\node at (10.588,9.854) {\scalebox{1.582}{\small B}};
\node at (7.023,7.294) {\scalebox{1.582}{\small C}};
\node at (11.856,6.799) {\scalebox{1.582}{\small D}};
\node at (1.246,6.025) {\scalebox{1.582}{\small E}};
\node at (10.847,1.806) {\scalebox{1.582}{\small F}};
\node at (1.976,0.95) {\scalebox{1.582}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.541,9.403) -- (12.541,10.503);
\draw[line width=0.5pt] (12.31,10.118) -- (12.541,10.503) -- (12.772,10.118);
\draw[line width=0.5pt] (12.238,9.953) -- (12.843,9.953);
\node at (12.541,10.888) {\scalebox{1.582}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 5 & 3 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
