\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 40}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=40}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0040}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7045, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.953,10.987) -- (10.521,10.724) -- (10.095,10.451) -- (9.675,10.168) -- (9.263,9.875) -- (8.857,9.572) -- (8.458,9.259) -- (8.067,8.938) -- (7.683,8.607) -- (7.307,8.267) -- (6.939,7.919) -- (6.58,7.562) -- (6.229,7.197) -- (5.888,6.824) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (10.953,10.987) -- (10.941,10.654) -- (10.92,10.321) -- (10.892,9.988) -- (10.855,9.657) -- (10.811,9.326) -- (10.759,8.996) -- (10.7,8.667) -- (10.632,8.34) -- (10.557,8.015) -- (10.475,7.691) -- (10.385,7.37) -- (10.287,7.05) -- (10.182,6.734) -- (10.069,6.42) -- (10.11,6.113) -- (10.157,5.807) -- (10.213,5.502) -- (10.275,5.198) -- (10.344,4.896) -- (10.421,4.595) -- (10.504,4.297) -- (10.595,4.0) -- (10.692,3.706) -- (10.797,3.414) -- (10.908,3.124) -- (11.026,2.838) -- (11.151,2.554) -- (11.282,2.273);
\draw[line width=0.5pt] (7.289,9.999) -- (6.86,10.039) -- (6.429,10.069) -- (5.998,10.088) -- (5.566,10.097) -- (5.134,10.097) -- (4.702,10.086) -- (4.271,10.064) -- (3.84,10.033) -- (3.41,9.992) -- (2.981,9.94) -- (2.553,9.879) -- (2.127,9.807) -- (1.704,9.726) -- (1.282,9.634);
\draw[line width=0.5pt] (7.289,9.999) -- (7.205,9.728) -- (7.115,9.459) -- (7.018,9.192) -- (6.915,8.928) -- (6.806,8.665) -- (6.69,8.406) -- (6.569,8.149) -- (6.441,7.895) -- (6.308,7.645) -- (6.169,7.397) -- (6.024,7.153) -- (5.873,6.912) -- (5.717,6.675) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (1.282,9.634) -- (1.55,9.361) -- (1.824,9.095) -- (2.105,8.835) -- (2.391,8.581) -- (2.684,8.335) -- (2.983,8.095) -- (3.287,7.862) -- (3.596,7.637) -- (3.911,7.418) -- (4.23,7.208) -- (4.555,7.005) -- (4.884,6.809) -- (5.217,6.622) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.337,6.376) -- (5.117,6.315) -- (4.896,6.259) -- (4.674,6.209) -- (4.45,6.163) -- (4.226,6.123) -- (4.0,6.088) -- (3.774,6.059) -- (3.547,6.034) -- (3.32,6.016) -- (3.092,6.002) -- (2.865,5.994) -- (2.637,5.991) -- (2.409,5.994);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.915,6.084) -- (6.284,5.735) -- (6.661,5.394) -- (7.046,5.062) -- (7.438,4.739) -- (7.839,4.426) -- (8.246,4.122) -- (8.661,3.827) -- (9.082,3.543) -- (9.51,3.268) -- (9.944,3.004) -- (10.384,2.75) -- (10.83,2.506) -- (11.282,2.273);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.317,6.042) -- (5.069,5.647) -- (4.813,5.258) -- (4.547,4.875) -- (4.272,4.499) -- (3.988,4.129) -- (3.696,3.765) -- (3.395,3.409) -- (3.086,3.06) -- (2.769,2.718) -- (2.444,2.384) -- (2.112,2.057) -- (1.771,1.739) -- (1.424,1.429);
\draw[line width=0.5pt] (2.409,5.994) -- (2.289,5.681) -- (2.177,5.365) -- (2.072,5.047) -- (1.975,4.727) -- (1.885,4.404) -- (1.803,4.079) -- (1.728,3.752) -- (1.661,3.423) -- (1.602,3.093) -- (1.551,2.762) -- (1.507,2.43) -- (1.471,2.097) -- (1.444,1.763) -- (1.424,1.429);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.113,10.987) -- (11.092,11.067) -- (11.033,11.126) -- (10.953,11.147) -- (10.873,11.126) -- (10.815,11.067) -- (10.793,10.987) -- (10.815,10.907) -- (10.873,10.849) -- (10.953,10.827) -- (11.033,10.849) -- (11.092,10.907) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.449,9.999) -- (7.428,10.079) -- (7.369,10.138) -- (7.289,10.159) -- (7.209,10.138) -- (7.151,10.079) -- (7.129,9.999) -- (7.151,9.919) -- (7.209,9.86) -- (7.289,9.839) -- (7.369,9.86) -- (7.428,9.919) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.442,9.634) -- (1.42,9.714) -- (1.362,9.773) -- (1.282,9.794) -- (1.202,9.773) -- (1.143,9.714) -- (1.122,9.634) -- (1.143,9.554) -- (1.202,9.496) -- (1.282,9.474) -- (1.362,9.496) -- (1.42,9.554) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.715,6.442) -- (5.693,6.522) -- (5.635,6.581) -- (5.555,6.602) -- (5.475,6.581) -- (5.416,6.522) -- (5.395,6.442) -- (5.416,6.362) -- (5.475,6.304) -- (5.555,6.282) -- (5.635,6.304) -- (5.693,6.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.569,5.994) -- (2.547,6.074) -- (2.489,6.132) -- (2.409,6.154) -- (2.329,6.132) -- (2.27,6.074) -- (2.249,5.994) -- (2.27,5.914) -- (2.329,5.855) -- (2.409,5.834) -- (2.489,5.855) -- (2.547,5.914) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.442,2.273) -- (11.42,2.353) -- (11.362,2.412) -- (11.282,2.433) -- (11.202,2.412) -- (11.143,2.353) -- (11.122,2.273) -- (11.143,2.193) -- (11.202,2.135) -- (11.282,2.113) -- (11.362,2.135) -- (11.42,2.193) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.584,1.429) -- (1.562,1.509) -- (1.504,1.567) -- (1.424,1.589) -- (1.344,1.567) -- (1.285,1.509) -- (1.264,1.429) -- (1.285,1.349) -- (1.344,1.29) -- (1.424,1.269) -- (1.504,1.29) -- (1.562,1.349) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,8.693) -- (8.567,8.863) -- (8.443,8.987) -- (8.273,9.033) -- (8.103,8.987) -- (7.978,8.863) -- (7.933,8.693) -- (7.978,8.523) -- (8.103,8.398) -- (8.273,8.353) -- (8.443,8.398) -- (8.567,8.523) -- cycle;
\node at (8.273,8.693) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.727,6.383) -- (10.681,6.553) -- (10.557,6.677) -- (10.387,6.723) -- (10.217,6.677) -- (10.092,6.553) -- (10.047,6.383) -- (10.092,6.213) -- (10.217,6.089) -- (10.387,6.043) -- (10.557,6.089) -- (10.681,6.213) -- cycle;
\node at (10.387,6.383) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.63,9.745) -- (4.584,9.915) -- (4.46,10.04) -- (4.29,10.085) -- (4.12,10.04) -- (3.996,9.915) -- (3.95,9.745) -- (3.996,9.575) -- (4.12,9.451) -- (4.29,9.405) -- (4.46,9.451) -- (4.584,9.575) -- cycle;
\node at (4.29,9.745) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.196,8.009) -- (7.151,8.179) -- (7.026,8.303) -- (6.856,8.349) -- (6.686,8.303) -- (6.562,8.179) -- (6.516,8.009) -- (6.562,7.839) -- (6.686,7.714) -- (6.856,7.669) -- (7.026,7.714) -- (7.151,7.839) -- cycle;
\node at (6.856,8.009) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.818,8.118) -- (3.773,8.288) -- (3.648,8.413) -- (3.478,8.458) -- (3.308,8.413) -- (3.184,8.288) -- (3.138,8.118) -- (3.184,7.948) -- (3.308,7.824) -- (3.478,7.778) -- (3.648,7.824) -- (3.773,7.948) -- cycle;
\node at (3.478,8.118) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.386,5.771) -- (4.34,5.941) -- (4.216,6.066) -- (4.046,6.111) -- (3.876,6.066) -- (3.751,5.941) -- (3.706,5.771) -- (3.751,5.601) -- (3.876,5.477) -- (4.046,5.431) -- (4.216,5.477) -- (4.34,5.601) -- cycle;
\node at (4.046,5.771) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.775,4.38) -- (8.729,4.55) -- (8.605,4.675) -- (8.435,4.72) -- (8.265,4.675) -- (8.14,4.55) -- (8.095,4.38) -- (8.14,4.21) -- (8.265,4.086) -- (8.435,4.04) -- (8.605,4.086) -- (8.729,4.21) -- cycle;
\node at (8.435,4.38) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.283,3.562) -- (4.237,3.732) -- (4.113,3.856) -- (3.943,3.902) -- (3.773,3.856) -- (3.649,3.732) -- (3.603,3.562) -- (3.649,3.392) -- (3.773,3.267) -- (3.943,3.222) -- (4.113,3.267) -- (4.237,3.392) -- cycle;
\node at (3.943,3.562) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.381,3.684) -- (2.335,3.854) -- (2.211,3.979) -- (2.041,4.024) -- (1.871,3.979) -- (1.746,3.854) -- (1.701,3.684) -- (1.746,3.514) -- (1.871,3.39) -- (2.041,3.344) -- (2.211,3.39) -- (2.335,3.514) -- cycle;
\node at (2.041,3.684) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.255,6.142) -- (5.855,6.142) -- (5.855,6.742) -- (5.255,6.742) -- cycle;
\node at (5.555,6.442) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.506,10.197) -- (4.106,10.197) -- (4.106,10.797) -- (3.506,10.797) -- cycle;
\node at (3.806,10.497) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.763,7.608) -- (7.363,7.608) -- (7.363,8.208) -- (6.763,8.208) -- cycle;
\node at (7.063,7.908) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.028,8.839) -- (9.628,8.839) -- (9.628,9.439) -- (9.028,9.439) -- cycle;
\node at (9.328,9.139) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\node at (11.431,11.382) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (7.551,10.561) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (0.765,9.977) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (5.171,5.956) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (1.802,5.869) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.767,1.887) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (1.03,0.95) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.582,10.037) -- (12.582,11.137);
\draw[line width=0.5pt] (12.351,10.752) -- (12.582,11.137) -- (12.813,10.752);
\draw[line width=0.5pt] (12.279,10.587) -- (12.884,10.587);
\node at (12.582,11.522) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑥ chemin des Vignes & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑦ rue de la Poste & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑧ chemin Creux & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑨ rue de la Mairie & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ passage du Marché &  & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6304, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.953,10.987) -- (10.521,10.724) -- (10.095,10.451) -- (9.675,10.168) -- (9.263,9.875) -- (8.857,9.572) -- (8.458,9.259) -- (8.067,8.938) -- (7.683,8.607) -- (7.307,8.267) -- (6.939,7.919) -- (6.58,7.562) -- (6.229,7.197) -- (5.888,6.824) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (10.953,10.987) -- (10.941,10.654) -- (10.92,10.321) -- (10.892,9.988) -- (10.855,9.657) -- (10.811,9.326) -- (10.759,8.996) -- (10.7,8.667) -- (10.632,8.34) -- (10.557,8.015) -- (10.475,7.691) -- (10.385,7.37) -- (10.287,7.05) -- (10.182,6.734) -- (10.069,6.42) -- (10.11,6.113) -- (10.157,5.807) -- (10.213,5.502) -- (10.275,5.198) -- (10.344,4.896) -- (10.421,4.595) -- (10.504,4.297) -- (10.595,4.0) -- (10.692,3.706) -- (10.797,3.414) -- (10.908,3.124) -- (11.026,2.838) -- (11.151,2.554) -- (11.282,2.273);
\draw[line width=0.5pt] (7.289,9.999) -- (6.86,10.039) -- (6.429,10.069) -- (5.998,10.088) -- (5.566,10.097) -- (5.134,10.097) -- (4.702,10.086) -- (4.271,10.064) -- (3.84,10.033) -- (3.41,9.992) -- (2.981,9.94) -- (2.553,9.879) -- (2.127,9.807) -- (1.704,9.726) -- (1.282,9.634);
\draw[line width=0.5pt] (7.289,9.999) -- (7.205,9.728) -- (7.115,9.459) -- (7.018,9.192) -- (6.915,8.928) -- (6.806,8.665) -- (6.69,8.406) -- (6.569,8.149) -- (6.441,7.895) -- (6.308,7.645) -- (6.169,7.397) -- (6.024,7.153) -- (5.873,6.912) -- (5.717,6.675) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (1.282,9.634) -- (1.55,9.361) -- (1.824,9.095) -- (2.105,8.835) -- (2.391,8.581) -- (2.684,8.335) -- (2.983,8.095) -- (3.287,7.862) -- (3.596,7.637) -- (3.911,7.418) -- (4.23,7.208) -- (4.555,7.005) -- (4.884,6.809) -- (5.217,6.622) -- (5.555,6.442);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.337,6.376) -- (5.117,6.315) -- (4.896,6.259) -- (4.674,6.209) -- (4.45,6.163) -- (4.226,6.123) -- (4.0,6.088) -- (3.774,6.059) -- (3.547,6.034) -- (3.32,6.016) -- (3.092,6.002) -- (2.865,5.994) -- (2.637,5.991) -- (2.409,5.994);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.915,6.084) -- (6.284,5.735) -- (6.661,5.394) -- (7.046,5.062) -- (7.438,4.739) -- (7.839,4.426) -- (8.246,4.122) -- (8.661,3.827) -- (9.082,3.543) -- (9.51,3.268) -- (9.944,3.004) -- (10.384,2.75) -- (10.83,2.506) -- (11.282,2.273);
\draw[line width=0.5pt] (5.555,6.442) -- (5.317,6.042) -- (5.069,5.647) -- (4.813,5.258) -- (4.547,4.875) -- (4.272,4.499) -- (3.988,4.129) -- (3.696,3.765) -- (3.395,3.409) -- (3.086,3.06) -- (2.769,2.718) -- (2.444,2.384) -- (2.112,2.057) -- (1.771,1.739) -- (1.424,1.429);
\draw[line width=0.5pt] (2.409,5.994) -- (2.289,5.681) -- (2.177,5.365) -- (2.072,5.047) -- (1.975,4.727) -- (1.885,4.404) -- (1.803,4.079) -- (1.728,3.752) -- (1.661,3.423) -- (1.602,3.093) -- (1.551,2.762) -- (1.507,2.43) -- (1.471,2.097) -- (1.444,1.763) -- (1.424,1.429);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.113,10.987) -- (11.092,11.067) -- (11.033,11.126) -- (10.953,11.147) -- (10.873,11.126) -- (10.815,11.067) -- (10.793,10.987) -- (10.815,10.907) -- (10.873,10.849) -- (10.953,10.827) -- (11.033,10.849) -- (11.092,10.907) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.449,9.999) -- (7.428,10.079) -- (7.369,10.138) -- (7.289,10.159) -- (7.209,10.138) -- (7.151,10.079) -- (7.129,9.999) -- (7.151,9.919) -- (7.209,9.86) -- (7.289,9.839) -- (7.369,9.86) -- (7.428,9.919) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.442,9.634) -- (1.42,9.714) -- (1.362,9.773) -- (1.282,9.794) -- (1.202,9.773) -- (1.143,9.714) -- (1.122,9.634) -- (1.143,9.554) -- (1.202,9.496) -- (1.282,9.474) -- (1.362,9.496) -- (1.42,9.554) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.715,6.442) -- (5.693,6.522) -- (5.635,6.581) -- (5.555,6.602) -- (5.475,6.581) -- (5.416,6.522) -- (5.395,6.442) -- (5.416,6.362) -- (5.475,6.304) -- (5.555,6.282) -- (5.635,6.304) -- (5.693,6.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.569,5.994) -- (2.547,6.074) -- (2.489,6.132) -- (2.409,6.154) -- (2.329,6.132) -- (2.27,6.074) -- (2.249,5.994) -- (2.27,5.914) -- (2.329,5.855) -- (2.409,5.834) -- (2.489,5.855) -- (2.547,5.914) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.442,2.273) -- (11.42,2.353) -- (11.362,2.412) -- (11.282,2.433) -- (11.202,2.412) -- (11.143,2.353) -- (11.122,2.273) -- (11.143,2.193) -- (11.202,2.135) -- (11.282,2.113) -- (11.362,2.135) -- (11.42,2.193) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.584,1.429) -- (1.562,1.509) -- (1.504,1.567) -- (1.424,1.589) -- (1.344,1.567) -- (1.285,1.509) -- (1.264,1.429) -- (1.285,1.349) -- (1.344,1.29) -- (1.424,1.269) -- (1.504,1.29) -- (1.562,1.349) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.613,8.693) -- (8.567,8.863) -- (8.443,8.987) -- (8.273,9.033) -- (8.103,8.987) -- (7.978,8.863) -- (7.933,8.693) -- (7.978,8.523) -- (8.103,8.398) -- (8.273,8.353) -- (8.443,8.398) -- (8.567,8.523) -- cycle;
\node at (8.273,8.693) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.727,6.383) -- (10.681,6.553) -- (10.557,6.677) -- (10.387,6.723) -- (10.217,6.677) -- (10.092,6.553) -- (10.047,6.383) -- (10.092,6.213) -- (10.217,6.089) -- (10.387,6.043) -- (10.557,6.089) -- (10.681,6.213) -- cycle;
\node at (10.387,6.383) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.63,9.745) -- (4.584,9.915) -- (4.46,10.04) -- (4.29,10.085) -- (4.12,10.04) -- (3.996,9.915) -- (3.95,9.745) -- (3.996,9.575) -- (4.12,9.451) -- (4.29,9.405) -- (4.46,9.451) -- (4.584,9.575) -- cycle;
\node at (4.29,9.745) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.196,8.009) -- (7.151,8.179) -- (7.026,8.303) -- (6.856,8.349) -- (6.686,8.303) -- (6.562,8.179) -- (6.516,8.009) -- (6.562,7.839) -- (6.686,7.714) -- (6.856,7.669) -- (7.026,7.714) -- (7.151,7.839) -- cycle;
\node at (6.856,8.009) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.818,8.118) -- (3.773,8.288) -- (3.648,8.413) -- (3.478,8.458) -- (3.308,8.413) -- (3.184,8.288) -- (3.138,8.118) -- (3.184,7.948) -- (3.308,7.824) -- (3.478,7.778) -- (3.648,7.824) -- (3.773,7.948) -- cycle;
\node at (3.478,8.118) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.386,5.771) -- (4.34,5.941) -- (4.216,6.066) -- (4.046,6.111) -- (3.876,6.066) -- (3.751,5.941) -- (3.706,5.771) -- (3.751,5.601) -- (3.876,5.477) -- (4.046,5.431) -- (4.216,5.477) -- (4.34,5.601) -- cycle;
\node at (4.046,5.771) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.775,4.38) -- (8.729,4.55) -- (8.605,4.675) -- (8.435,4.72) -- (8.265,4.675) -- (8.14,4.55) -- (8.095,4.38) -- (8.14,4.21) -- (8.265,4.086) -- (8.435,4.04) -- (8.605,4.086) -- (8.729,4.21) -- cycle;
\node at (8.435,4.38) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.283,3.562) -- (4.237,3.732) -- (4.113,3.856) -- (3.943,3.902) -- (3.773,3.856) -- (3.649,3.732) -- (3.603,3.562) -- (3.649,3.392) -- (3.773,3.267) -- (3.943,3.222) -- (4.113,3.267) -- (4.237,3.392) -- cycle;
\node at (3.943,3.562) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.381,3.684) -- (2.335,3.854) -- (2.211,3.979) -- (2.041,4.024) -- (1.871,3.979) -- (1.746,3.854) -- (1.701,3.684) -- (1.746,3.514) -- (1.871,3.39) -- (2.041,3.344) -- (2.211,3.39) -- (2.335,3.514) -- cycle;
\node at (2.041,3.684) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.255,6.142) -- (5.855,6.142) -- (5.855,6.742) -- (5.255,6.742) -- cycle;
\node at (5.555,6.442) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.506,10.197) -- (4.106,10.197) -- (4.106,10.797) -- (3.506,10.797) -- cycle;
\node at (3.806,10.497) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.763,7.608) -- (7.363,7.608) -- (7.363,8.208) -- (6.763,8.208) -- cycle;
\node at (7.063,7.908) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.028,8.839) -- (9.628,8.839) -- (9.628,9.439) -- (9.028,9.439) -- cycle;
\node at (9.328,9.139) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\node at (11.431,11.382) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (7.551,10.561) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (0.765,9.977) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (5.171,5.956) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (1.802,5.869) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.767,1.887) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (1.03,0.95) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.582,10.037) -- (12.582,11.137);
\draw[line width=0.5pt] (12.351,10.752) -- (12.582,11.137) -- (12.813,10.752);
\draw[line width=0.5pt] (12.279,10.587) -- (12.884,10.587);
\node at (12.582,11.522) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(D)}, prend la \textbf{venelle du Chat ①} vers le nord-est et atteint Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ④}, vers le nord-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ③}, vers l'ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
