\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 41}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=41}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0041}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.705, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (10.885,11.054) -- (10.498,11.067) -- (10.109,11.07) -- (9.721,11.065) -- (9.333,11.05) -- (8.945,11.027) -- (8.558,10.994) -- (8.172,10.952) -- (7.787,10.901) -- (7.404,10.841) -- (7.022,10.772) -- (6.641,10.694) -- (6.263,10.607) -- (5.887,10.512);
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (10.974,10.687) -- (10.668,10.349) -- (10.354,10.018) -- (10.032,9.695) -- (9.702,9.38) -- (9.365,9.072) -- (9.02,8.772) -- (8.669,8.481) -- (8.311,8.197) -- (7.947,7.923) -- (7.576,7.657) -- (7.199,7.399) -- (6.817,7.151) -- (6.428,6.913);
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (11.127,10.723) -- (10.99,10.411) -- (10.859,10.095) -- (10.736,9.776) -- (10.621,9.455) -- (10.513,9.131) -- (10.413,8.804) -- (10.32,8.475) -- (10.235,8.144) -- (10.158,7.811) -- (10.089,7.477) -- (10.028,7.141) -- (9.974,6.804) -- (9.929,6.465);
\draw[line width=0.5pt] (5.887,10.512) -- (5.965,10.263) -- (6.037,10.012) -- (6.103,9.759) -- (6.163,9.505) -- (6.216,9.249) -- (6.264,8.992) -- (6.306,8.734) -- (6.342,8.476) -- (6.372,8.216) -- (6.395,7.956) -- (6.413,7.695) -- (6.424,7.434) -- (6.429,7.173) -- (6.428,6.913);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.672,6.843) -- (6.916,6.778) -- (7.163,6.72) -- (7.41,6.667) -- (7.659,6.621) -- (7.909,6.58) -- (8.16,6.545) -- (8.412,6.515) -- (8.664,6.492) -- (8.917,6.475) -- (9.17,6.464) -- (9.423,6.458) -- (9.676,6.459) -- (9.929,6.465);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.088,6.741) -- (5.744,6.578) -- (5.395,6.423) -- (5.043,6.276) -- (4.688,6.137) -- (4.329,6.007) -- (3.968,5.885) -- (3.604,5.771) -- (3.237,5.667) -- (2.868,5.571) -- (2.496,5.483) -- (2.123,5.405) -- (1.748,5.335) -- (1.372,5.274);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.638,6.557) -- (6.855,6.206) -- (7.081,5.86) -- (7.316,5.52) -- (7.558,5.185) -- (7.808,4.856) -- (8.066,4.533) -- (8.331,4.216) -- (8.603,3.905) -- (8.883,3.601) -- (9.17,3.303) -- (9.464,3.013) -- (9.764,2.73) -- (10.071,2.453);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.119,6.496) -- (5.799,6.087) -- (5.47,5.685) -- (5.131,5.291) -- (4.783,4.905) -- (4.426,4.528) -- (4.06,4.159) -- (3.686,3.798) -- (3.303,3.446) -- (2.912,3.104) -- (2.514,2.771) -- (2.107,2.447) -- (1.694,2.134) -- (1.273,1.83);
\draw[line width=0.5pt] (10.071,2.453) -- (9.744,2.417) -- (9.418,2.374) -- (9.093,2.322) -- (8.769,2.263) -- (8.447,2.196) -- (8.126,2.122) -- (7.808,2.04) -- (7.491,1.951) -- (7.176,1.854) -- (6.864,1.75) -- (6.554,1.639) -- (6.247,1.521) -- (5.943,1.395) -- (5.643,1.262) -- (5.327,1.254) -- (5.011,1.254) -- (4.695,1.262) -- (4.379,1.277) -- (4.063,1.299) -- (3.748,1.329) -- (3.434,1.366) -- (3.121,1.41) -- (2.809,1.462) -- (2.498,1.521) -- (2.189,1.587) -- (1.882,1.661) -- (1.576,1.742) -- (1.273,1.83);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.433,11.032) -- (11.411,11.112) -- (11.353,11.17) -- (11.273,11.192) -- (11.193,11.17) -- (11.134,11.112) -- (11.113,11.032) -- (11.134,10.952) -- (11.193,10.893) -- (11.273,10.872) -- (11.353,10.893) -- (11.411,10.952) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.047,10.512) -- (6.026,10.592) -- (5.967,10.65) -- (5.887,10.672) -- (5.807,10.65) -- (5.749,10.592) -- (5.727,10.512) -- (5.749,10.432) -- (5.807,10.373) -- (5.887,10.352) -- (5.967,10.373) -- (6.026,10.432) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.588,6.913) -- (6.567,6.993) -- (6.508,7.051) -- (6.428,7.073) -- (6.348,7.051) -- (6.29,6.993) -- (6.268,6.913) -- (6.29,6.833) -- (6.348,6.774) -- (6.428,6.753) -- (6.508,6.774) -- (6.567,6.833) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,6.465) -- (10.068,6.545) -- (10.009,6.604) -- (9.929,6.625) -- (9.849,6.604) -- (9.791,6.545) -- (9.769,6.465) -- (9.791,6.385) -- (9.849,6.327) -- (9.929,6.305) -- (10.009,6.327) -- (10.068,6.385) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.532,5.274) -- (1.511,5.354) -- (1.452,5.413) -- (1.372,5.434) -- (1.292,5.413) -- (1.234,5.354) -- (1.212,5.274) -- (1.234,5.194) -- (1.292,5.136) -- (1.372,5.114) -- (1.452,5.136) -- (1.511,5.194) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.231,2.453) -- (10.209,2.533) -- (10.151,2.592) -- (10.071,2.613) -- (9.991,2.592) -- (9.932,2.533) -- (9.911,2.453) -- (9.932,2.373) -- (9.991,2.315) -- (10.071,2.293) -- (10.151,2.315) -- (10.209,2.373) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.433,1.83) -- (1.411,1.91) -- (1.353,1.968) -- (1.273,1.99) -- (1.193,1.968) -- (1.134,1.91) -- (1.113,1.83) -- (1.134,1.75) -- (1.193,1.691) -- (1.273,1.67) -- (1.353,1.691) -- (1.411,1.75) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.929,10.675) -- (8.884,10.845) -- (8.759,10.97) -- (8.589,11.015) -- (8.419,10.97) -- (8.295,10.845) -- (8.249,10.675) -- (8.295,10.505) -- (8.419,10.381) -- (8.589,10.335) -- (8.759,10.381) -- (8.884,10.505) -- cycle;
\node at (8.589,10.675) {\scalebox{1.418}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.568,8.529) -- (9.522,8.699) -- (9.398,8.823) -- (9.228,8.869) -- (9.058,8.823) -- (8.933,8.699) -- (8.888,8.529) -- (8.933,8.359) -- (9.058,8.234) -- (9.228,8.189) -- (9.398,8.234) -- (9.522,8.359) -- cycle;
\node at (9.228,8.529) {\scalebox{1.418}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.06,8.714) -- (11.014,8.884) -- (10.89,9.008) -- (10.72,9.054) -- (10.55,9.008) -- (10.425,8.884) -- (10.38,8.714) -- (10.425,8.544) -- (10.55,8.419) -- (10.72,8.374) -- (10.89,8.419) -- (11.014,8.544) -- cycle;
\node at (10.72,8.714) {\scalebox{1.418}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.963,8.782) -- (6.917,8.952) -- (6.793,9.076) -- (6.623,9.122) -- (6.453,9.076) -- (6.328,8.952) -- (6.283,8.782) -- (6.328,8.612) -- (6.453,8.488) -- (6.623,8.442) -- (6.793,8.488) -- (6.917,8.612) -- cycle;
\node at (6.623,8.782) {\scalebox{1.418}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.541,6.862) -- (8.495,7.032) -- (8.371,7.156) -- (8.201,7.202) -- (8.031,7.156) -- (7.906,7.032) -- (7.861,6.862) -- (7.906,6.692) -- (8.031,6.568) -- (8.201,6.522) -- (8.371,6.568) -- (8.495,6.692) -- cycle;
\node at (8.201,6.862) {\scalebox{1.418}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.407,5.58) -- (4.361,5.75) -- (4.237,5.875) -- (4.067,5.92) -- (3.897,5.875) -- (3.772,5.75) -- (3.727,5.58) -- (3.772,5.41) -- (3.897,5.286) -- (4.067,5.24) -- (4.237,5.286) -- (4.361,5.41) -- cycle;
\node at (4.067,5.58) {\scalebox{1.418}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.653,4.735) -- (8.608,4.905) -- (8.483,5.03) -- (8.313,5.075) -- (8.143,5.03) -- (8.019,4.905) -- (7.973,4.735) -- (8.019,4.565) -- (8.143,4.441) -- (8.313,4.395) -- (8.483,4.441) -- (8.608,4.565) -- cycle;
\node at (8.313,4.735) {\scalebox{1.418}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.625,3.931) -- (4.579,4.101) -- (4.455,4.225) -- (4.285,4.271) -- (4.115,4.225) -- (3.99,4.101) -- (3.945,3.931) -- (3.99,3.761) -- (4.115,3.636) -- (4.285,3.591) -- (4.455,3.636) -- (4.579,3.761) -- cycle;
\node at (4.285,3.931) {\scalebox{1.418}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.054,0.95) -- (6.008,1.12) -- (5.884,1.244) -- (5.714,1.29) -- (5.544,1.244) -- (5.419,1.12) -- (5.374,0.95) -- (5.419,0.78) -- (5.544,0.656) -- (5.714,0.61) -- (5.884,0.656) -- (6.008,0.78) -- cycle;
\node at (5.714,0.95) {\scalebox{1.418}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.072,4.974) -- (1.672,4.974) -- (1.672,5.574) -- (1.072,5.574) -- cycle;
\node at (1.372,5.274) {\scalebox{1.418}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.442,2.622) -- (4.042,2.622) -- (4.042,3.222) -- (3.442,3.222) -- cycle;
\node at (3.742,2.922) {\scalebox{1.418}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.817,4.651) -- (3.417,4.651) -- (3.417,5.251) -- (2.817,5.251) -- cycle;
\node at (3.117,4.951) {\scalebox{1.418}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.059,3.904) -- (9.659,3.904) -- (9.659,4.504) -- (9.059,4.504) -- cycle;
\node at (9.359,4.204) {\scalebox{1.418}{\small d}};
\node at (11.711,11.471) {\scalebox{1.418}{\small A}};
\node at (5.782,11.123) {\scalebox{1.418}{\small B}};
\node at (6.242,7.504) {\scalebox{1.418}{\small C}};
\node at (10.549,6.486) {\scalebox{1.418}{\small D}};
\node at (0.765,5.149) {\scalebox{1.418}{\small E}};
\node at (10.483,1.99) {\scalebox{1.418}{\small F}};
\node at (0.8,1.429) {\scalebox{1.418}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.573,10.082) -- (12.573,11.182);
\draw[line width=0.5pt] (12.342,10.797) -- (12.573,11.182) -- (12.804,10.797);
\draw[line width=0.5pt] (12.27,10.632) -- (12.875,10.632);
\node at (12.573,11.567) {\scalebox{1.418}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑥ impasse des Roses & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Haute & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ chemin des Vignes & ⑧ rue Basse & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑨ rue de l'Église & Ⓓ Place aux Herbes & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ chemin de Ronde &  & Ⓔ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6308, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (10.885,11.054) -- (10.498,11.067) -- (10.109,11.07) -- (9.721,11.065) -- (9.333,11.05) -- (8.945,11.027) -- (8.558,10.994) -- (8.172,10.952) -- (7.787,10.901) -- (7.404,10.841) -- (7.022,10.772) -- (6.641,10.694) -- (6.263,10.607) -- (5.887,10.512);
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (10.974,10.687) -- (10.668,10.349) -- (10.354,10.018) -- (10.032,9.695) -- (9.702,9.38) -- (9.365,9.072) -- (9.02,8.772) -- (8.669,8.481) -- (8.311,8.197) -- (7.947,7.923) -- (7.576,7.657) -- (7.199,7.399) -- (6.817,7.151) -- (6.428,6.913);
\draw[line width=0.5pt] (11.273,11.032) -- (11.127,10.723) -- (10.99,10.411) -- (10.859,10.095) -- (10.736,9.776) -- (10.621,9.455) -- (10.513,9.131) -- (10.413,8.804) -- (10.32,8.475) -- (10.235,8.144) -- (10.158,7.811) -- (10.089,7.477) -- (10.028,7.141) -- (9.974,6.804) -- (9.929,6.465);
\draw[line width=0.5pt] (5.887,10.512) -- (5.965,10.263) -- (6.037,10.012) -- (6.103,9.759) -- (6.163,9.505) -- (6.216,9.249) -- (6.264,8.992) -- (6.306,8.734) -- (6.342,8.476) -- (6.372,8.216) -- (6.395,7.956) -- (6.413,7.695) -- (6.424,7.434) -- (6.429,7.173) -- (6.428,6.913);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.672,6.843) -- (6.916,6.778) -- (7.163,6.72) -- (7.41,6.667) -- (7.659,6.621) -- (7.909,6.58) -- (8.16,6.545) -- (8.412,6.515) -- (8.664,6.492) -- (8.917,6.475) -- (9.17,6.464) -- (9.423,6.458) -- (9.676,6.459) -- (9.929,6.465);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.088,6.741) -- (5.744,6.578) -- (5.395,6.423) -- (5.043,6.276) -- (4.688,6.137) -- (4.329,6.007) -- (3.968,5.885) -- (3.604,5.771) -- (3.237,5.667) -- (2.868,5.571) -- (2.496,5.483) -- (2.123,5.405) -- (1.748,5.335) -- (1.372,5.274);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.638,6.557) -- (6.855,6.206) -- (7.081,5.86) -- (7.316,5.52) -- (7.558,5.185) -- (7.808,4.856) -- (8.066,4.533) -- (8.331,4.216) -- (8.603,3.905) -- (8.883,3.601) -- (9.17,3.303) -- (9.464,3.013) -- (9.764,2.73) -- (10.071,2.453);
\draw[line width=0.5pt] (6.428,6.913) -- (6.119,6.496) -- (5.799,6.087) -- (5.47,5.685) -- (5.131,5.291) -- (4.783,4.905) -- (4.426,4.528) -- (4.06,4.159) -- (3.686,3.798) -- (3.303,3.446) -- (2.912,3.104) -- (2.514,2.771) -- (2.107,2.447) -- (1.694,2.134) -- (1.273,1.83);
\draw[line width=0.5pt] (10.071,2.453) -- (9.744,2.417) -- (9.418,2.374) -- (9.093,2.322) -- (8.769,2.263) -- (8.447,2.196) -- (8.126,2.122) -- (7.808,2.04) -- (7.491,1.951) -- (7.176,1.854) -- (6.864,1.75) -- (6.554,1.639) -- (6.247,1.521) -- (5.943,1.395) -- (5.643,1.262) -- (5.327,1.254) -- (5.011,1.254) -- (4.695,1.262) -- (4.379,1.277) -- (4.063,1.299) -- (3.748,1.329) -- (3.434,1.366) -- (3.121,1.41) -- (2.809,1.462) -- (2.498,1.521) -- (2.189,1.587) -- (1.882,1.661) -- (1.576,1.742) -- (1.273,1.83);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.433,11.032) -- (11.411,11.112) -- (11.353,11.17) -- (11.273,11.192) -- (11.193,11.17) -- (11.134,11.112) -- (11.113,11.032) -- (11.134,10.952) -- (11.193,10.893) -- (11.273,10.872) -- (11.353,10.893) -- (11.411,10.952) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.047,10.512) -- (6.026,10.592) -- (5.967,10.65) -- (5.887,10.672) -- (5.807,10.65) -- (5.749,10.592) -- (5.727,10.512) -- (5.749,10.432) -- (5.807,10.373) -- (5.887,10.352) -- (5.967,10.373) -- (6.026,10.432) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.588,6.913) -- (6.567,6.993) -- (6.508,7.051) -- (6.428,7.073) -- (6.348,7.051) -- (6.29,6.993) -- (6.268,6.913) -- (6.29,6.833) -- (6.348,6.774) -- (6.428,6.753) -- (6.508,6.774) -- (6.567,6.833) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,6.465) -- (10.068,6.545) -- (10.009,6.604) -- (9.929,6.625) -- (9.849,6.604) -- (9.791,6.545) -- (9.769,6.465) -- (9.791,6.385) -- (9.849,6.327) -- (9.929,6.305) -- (10.009,6.327) -- (10.068,6.385) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.532,5.274) -- (1.511,5.354) -- (1.452,5.413) -- (1.372,5.434) -- (1.292,5.413) -- (1.234,5.354) -- (1.212,5.274) -- (1.234,5.194) -- (1.292,5.136) -- (1.372,5.114) -- (1.452,5.136) -- (1.511,5.194) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.231,2.453) -- (10.209,2.533) -- (10.151,2.592) -- (10.071,2.613) -- (9.991,2.592) -- (9.932,2.533) -- (9.911,2.453) -- (9.932,2.373) -- (9.991,2.315) -- (10.071,2.293) -- (10.151,2.315) -- (10.209,2.373) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.433,1.83) -- (1.411,1.91) -- (1.353,1.968) -- (1.273,1.99) -- (1.193,1.968) -- (1.134,1.91) -- (1.113,1.83) -- (1.134,1.75) -- (1.193,1.691) -- (1.273,1.67) -- (1.353,1.691) -- (1.411,1.75) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.929,10.675) -- (8.884,10.845) -- (8.759,10.97) -- (8.589,11.015) -- (8.419,10.97) -- (8.295,10.845) -- (8.249,10.675) -- (8.295,10.505) -- (8.419,10.381) -- (8.589,10.335) -- (8.759,10.381) -- (8.884,10.505) -- cycle;
\node at (8.589,10.675) {\scalebox{1.585}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.568,8.529) -- (9.522,8.699) -- (9.398,8.823) -- (9.228,8.869) -- (9.058,8.823) -- (8.933,8.699) -- (8.888,8.529) -- (8.933,8.359) -- (9.058,8.234) -- (9.228,8.189) -- (9.398,8.234) -- (9.522,8.359) -- cycle;
\node at (9.228,8.529) {\scalebox{1.585}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.06,8.714) -- (11.014,8.884) -- (10.89,9.008) -- (10.72,9.054) -- (10.55,9.008) -- (10.425,8.884) -- (10.38,8.714) -- (10.425,8.544) -- (10.55,8.419) -- (10.72,8.374) -- (10.89,8.419) -- (11.014,8.544) -- cycle;
\node at (10.72,8.714) {\scalebox{1.585}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.963,8.782) -- (6.917,8.952) -- (6.793,9.076) -- (6.623,9.122) -- (6.453,9.076) -- (6.328,8.952) -- (6.283,8.782) -- (6.328,8.612) -- (6.453,8.488) -- (6.623,8.442) -- (6.793,8.488) -- (6.917,8.612) -- cycle;
\node at (6.623,8.782) {\scalebox{1.585}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.541,6.862) -- (8.495,7.032) -- (8.371,7.156) -- (8.201,7.202) -- (8.031,7.156) -- (7.906,7.032) -- (7.861,6.862) -- (7.906,6.692) -- (8.031,6.568) -- (8.201,6.522) -- (8.371,6.568) -- (8.495,6.692) -- cycle;
\node at (8.201,6.862) {\scalebox{1.585}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.407,5.58) -- (4.361,5.75) -- (4.237,5.875) -- (4.067,5.92) -- (3.897,5.875) -- (3.772,5.75) -- (3.727,5.58) -- (3.772,5.41) -- (3.897,5.286) -- (4.067,5.24) -- (4.237,5.286) -- (4.361,5.41) -- cycle;
\node at (4.067,5.58) {\scalebox{1.585}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.653,4.735) -- (8.608,4.905) -- (8.483,5.03) -- (8.313,5.075) -- (8.143,5.03) -- (8.019,4.905) -- (7.973,4.735) -- (8.019,4.565) -- (8.143,4.441) -- (8.313,4.395) -- (8.483,4.441) -- (8.608,4.565) -- cycle;
\node at (8.313,4.735) {\scalebox{1.585}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.625,3.931) -- (4.579,4.101) -- (4.455,4.225) -- (4.285,4.271) -- (4.115,4.225) -- (3.99,4.101) -- (3.945,3.931) -- (3.99,3.761) -- (4.115,3.636) -- (4.285,3.591) -- (4.455,3.636) -- (4.579,3.761) -- cycle;
\node at (4.285,3.931) {\scalebox{1.585}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.054,0.95) -- (6.008,1.12) -- (5.884,1.244) -- (5.714,1.29) -- (5.544,1.244) -- (5.419,1.12) -- (5.374,0.95) -- (5.419,0.78) -- (5.544,0.656) -- (5.714,0.61) -- (5.884,0.656) -- (6.008,0.78) -- cycle;
\node at (5.714,0.95) {\scalebox{1.585}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.072,4.974) -- (1.672,4.974) -- (1.672,5.574) -- (1.072,5.574) -- cycle;
\node at (1.372,5.274) {\scalebox{1.585}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.442,2.622) -- (4.042,2.622) -- (4.042,3.222) -- (3.442,3.222) -- cycle;
\node at (3.742,2.922) {\scalebox{1.585}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.817,4.651) -- (3.417,4.651) -- (3.417,5.251) -- (2.817,5.251) -- cycle;
\node at (3.117,4.951) {\scalebox{1.585}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.059,3.904) -- (9.659,3.904) -- (9.659,4.504) -- (9.059,4.504) -- cycle;
\node at (9.359,4.204) {\scalebox{1.585}{\small d}};
\node at (11.711,11.471) {\scalebox{1.585}{\small A}};
\node at (5.782,11.123) {\scalebox{1.585}{\small B}};
\node at (6.242,7.504) {\scalebox{1.585}{\small C}};
\node at (10.549,6.486) {\scalebox{1.585}{\small D}};
\node at (0.765,5.149) {\scalebox{1.585}{\small E}};
\node at (10.483,1.99) {\scalebox{1.585}{\small F}};
\node at (0.8,1.429) {\scalebox{1.585}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.573,10.082) -- (12.573,11.182);
\draw[line width=0.5pt] (12.342,10.797) -- (12.573,11.182) -- (12.804,10.797);
\draw[line width=0.5pt] (12.27,10.632) -- (12.875,10.632);
\node at (12.573,11.567) {\scalebox{1.585}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 6 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{E}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Coin du Lavoir \textbf{(E)}, prend l'\textbf{impasse des Roses ⑥} vers l'est et atteint Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Haute ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ③}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
