\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 42}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=42}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0042}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7077, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.458,10.681) -- (1.789,10.34) -- (2.127,10.007) -- (2.474,9.681) -- (2.828,9.364) -- (3.19,9.055) -- (3.559,8.755) -- (3.935,8.464) -- (4.317,8.181) -- (4.706,7.907) -- (5.102,7.643) -- (5.503,7.388) -- (5.91,7.143) -- (6.323,6.907) -- (6.741,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (1.458,10.681) -- (1.593,10.319) -- (1.719,9.954) -- (1.837,9.586) -- (1.946,9.215) -- (2.046,8.841) -- (2.138,8.465) -- (2.22,8.087) -- (2.294,7.707) -- (2.359,7.326) -- (2.414,6.943) -- (2.461,6.559) -- (2.499,6.175) -- (2.527,5.789) -- (2.547,5.403);
\draw[line width=0.5pt] (10.082,9.88) -- (9.81,9.69) -- (9.543,9.493) -- (9.28,9.29) -- (9.022,9.081) -- (8.77,8.866) -- (8.522,8.645) -- (8.28,8.418) -- (8.042,8.186) -- (7.811,7.948) -- (7.585,7.705) -- (7.365,7.457) -- (7.151,7.203) -- (6.943,6.945) -- (6.741,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (10.082,9.88) -- (10.205,9.618) -- (10.322,9.354) -- (10.432,9.087) -- (10.537,8.817) -- (10.635,8.545) -- (10.726,8.27) -- (10.811,7.994) -- (10.89,7.715) -- (10.962,7.435) -- (11.027,7.153) -- (11.086,6.87) -- (11.138,6.585) -- (11.184,6.3) -- (11.222,6.013);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (7.051,6.585) -- (7.364,6.496) -- (7.679,6.415) -- (7.995,6.34) -- (8.313,6.274) -- (8.633,6.214) -- (8.954,6.163) -- (9.276,6.118) -- (9.599,6.082) -- (9.923,6.053) -- (10.248,6.031) -- (10.572,6.018) -- (10.897,6.012) -- (11.222,6.013);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.458,6.545) -- (6.172,6.415) -- (5.882,6.292) -- (5.59,6.176) -- (5.294,6.067) -- (4.997,5.965) -- (4.697,5.869) -- (4.395,5.781) -- (4.091,5.7) -- (3.785,5.626) -- (3.477,5.559) -- (3.168,5.5) -- (2.858,5.448) -- (2.547,5.403);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.996,6.325) -- (7.26,5.974) -- (7.532,5.629) -- (7.812,5.291) -- (8.101,4.96) -- (8.396,4.635) -- (8.7,4.317) -- (9.01,4.007) -- (9.328,3.704) -- (9.653,3.408) -- (9.985,3.121) -- (10.323,2.841) -- (10.668,2.569) -- (11.019,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.408,6.245) -- (6.065,5.816) -- (5.711,5.395) -- (5.348,4.983) -- (4.975,4.579) -- (4.592,4.184) -- (4.201,3.798) -- (3.8,3.421) -- (3.391,3.054) -- (2.973,2.696) -- (2.547,2.349) -- (2.113,2.012) -- (1.671,1.685) -- (1.222,1.369);
\draw[line width=0.5pt] (11.222,6.013) -- (11.167,5.753) -- (11.118,5.491) -- (11.076,5.228) -- (11.039,4.964) -- (11.009,4.699) -- (10.985,4.434) -- (10.968,4.168) -- (10.956,3.902) -- (10.951,3.635) -- (10.952,3.369) -- (10.96,3.103) -- (10.973,2.837) -- (10.993,2.571) -- (11.019,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (11.019,2.306) -- (10.714,2.276) -- (10.407,2.253) -- (10.101,2.237) -- (9.794,2.228) -- (9.486,2.227) -- (9.179,2.233) -- (8.872,2.246) -- (8.565,2.266) -- (8.259,2.294) -- (7.954,2.329) -- (7.649,2.371) -- (7.346,2.42) -- (7.044,2.476) -- (6.744,2.539) -- (6.34,2.517) -- (5.936,2.484) -- (5.533,2.443) -- (5.131,2.392) -- (4.731,2.331) -- (4.332,2.261) -- (3.935,2.182) -- (3.539,2.093) -- (3.146,1.995) -- (2.755,1.888) -- (2.367,1.772) -- (1.982,1.647) -- (1.601,1.512) -- (1.222,1.369);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.618,10.681) -- (1.597,10.761) -- (1.538,10.82) -- (1.458,10.841) -- (1.378,10.82) -- (1.32,10.761) -- (1.298,10.681) -- (1.32,10.601) -- (1.378,10.543) -- (1.458,10.521) -- (1.538,10.543) -- (1.597,10.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.242,9.88) -- (10.22,9.96) -- (10.162,10.018) -- (10.082,10.04) -- (10.002,10.018) -- (9.943,9.96) -- (9.922,9.88) -- (9.943,9.8) -- (10.002,9.741) -- (10.082,9.72) -- (10.162,9.741) -- (10.22,9.8) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.901,6.682) -- (6.88,6.762) -- (6.821,6.82) -- (6.741,6.842) -- (6.661,6.82) -- (6.603,6.762) -- (6.581,6.682) -- (6.603,6.602) -- (6.661,6.543) -- (6.741,6.522) -- (6.821,6.543) -- (6.88,6.602) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.382,6.013) -- (11.361,6.093) -- (11.302,6.152) -- (11.222,6.173) -- (11.142,6.152) -- (11.084,6.093) -- (11.062,6.013) -- (11.084,5.933) -- (11.142,5.875) -- (11.222,5.853) -- (11.302,5.875) -- (11.361,5.933) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.707,5.403) -- (2.685,5.483) -- (2.627,5.542) -- (2.547,5.563) -- (2.467,5.542) -- (2.408,5.483) -- (2.387,5.403) -- (2.408,5.323) -- (2.467,5.265) -- (2.547,5.243) -- (2.627,5.265) -- (2.685,5.323) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.179,2.306) -- (11.158,2.386) -- (11.099,2.445) -- (11.019,2.466) -- (10.939,2.445) -- (10.881,2.386) -- (10.859,2.306) -- (10.881,2.226) -- (10.939,2.168) -- (11.019,2.146) -- (11.099,2.168) -- (11.158,2.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.382,1.369) -- (1.361,1.449) -- (1.302,1.507) -- (1.222,1.529) -- (1.142,1.507) -- (1.084,1.449) -- (1.062,1.369) -- (1.084,1.289) -- (1.142,1.23) -- (1.222,1.209) -- (1.302,1.23) -- (1.361,1.289) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.468,8.719) -- (4.422,8.889) -- (4.298,9.013) -- (4.128,9.059) -- (3.958,9.013) -- (3.833,8.889) -- (3.788,8.719) -- (3.833,8.549) -- (3.958,8.424) -- (4.128,8.379) -- (4.298,8.424) -- (4.422,8.549) -- cycle;
\node at (4.128,8.719) {\scalebox{1.413}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.874,8.152) -- (2.828,8.322) -- (2.704,8.446) -- (2.534,8.492) -- (2.364,8.446) -- (2.239,8.322) -- (2.194,8.152) -- (2.239,7.982) -- (2.364,7.857) -- (2.534,7.812) -- (2.704,7.857) -- (2.828,7.982) -- cycle;
\node at (2.534,8.152) {\scalebox{1.413}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.841,8.187) -- (8.795,8.357) -- (8.671,8.482) -- (8.501,8.527) -- (8.331,8.482) -- (8.206,8.357) -- (8.161,8.187) -- (8.206,8.017) -- (8.331,7.893) -- (8.501,7.847) -- (8.671,7.893) -- (8.795,8.017) -- cycle;
\node at (8.501,8.187) {\scalebox{1.413}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.458,8.084) -- (11.413,8.254) -- (11.288,8.378) -- (11.118,8.424) -- (10.948,8.378) -- (10.824,8.254) -- (10.778,8.084) -- (10.824,7.914) -- (10.948,7.79) -- (11.118,7.744) -- (11.288,7.79) -- (11.413,7.914) -- cycle;
\node at (11.118,8.084) {\scalebox{1.413}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.341,6.479) -- (9.296,6.649) -- (9.171,6.774) -- (9.001,6.819) -- (8.831,6.774) -- (8.707,6.649) -- (8.661,6.479) -- (8.707,6.309) -- (8.831,6.185) -- (9.001,6.139) -- (9.171,6.185) -- (9.296,6.309) -- cycle;
\node at (9.001,6.479) {\scalebox{1.413}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.13,5.563) -- (5.085,5.733) -- (4.96,5.858) -- (4.79,5.903) -- (4.62,5.858) -- (4.496,5.733) -- (4.45,5.563) -- (4.496,5.393) -- (4.62,5.269) -- (4.79,5.223) -- (4.96,5.269) -- (5.085,5.393) -- cycle;
\node at (4.79,5.563) {\scalebox{1.413}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.269,4.541) -- (9.223,4.711) -- (9.099,4.836) -- (8.929,4.881) -- (8.759,4.836) -- (8.634,4.711) -- (8.589,4.541) -- (8.634,4.371) -- (8.759,4.247) -- (8.929,4.201) -- (9.099,4.247) -- (9.223,4.371) -- cycle;
\node at (8.929,4.541) {\scalebox{1.413}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.763,3.567) -- (4.717,3.737) -- (4.593,3.862) -- (4.423,3.907) -- (4.253,3.862) -- (4.128,3.737) -- (4.083,3.567) -- (4.128,3.397) -- (4.253,3.273) -- (4.423,3.227) -- (4.593,3.273) -- (4.717,3.397) -- cycle;
\node at (4.423,3.567) {\scalebox{1.413}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.627,4.151) -- (11.582,4.321) -- (11.457,4.445) -- (11.287,4.491) -- (11.117,4.445) -- (10.993,4.321) -- (10.947,4.151) -- (10.993,3.981) -- (11.117,3.856) -- (11.287,3.811) -- (11.457,3.856) -- (11.582,3.981) -- cycle;
\node at (11.287,4.151) {\scalebox{1.413}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.065,2.22) -- (7.02,2.39) -- (6.895,2.514) -- (6.725,2.56) -- (6.555,2.514) -- (6.431,2.39) -- (6.385,2.22) -- (6.431,2.05) -- (6.555,1.925) -- (6.725,1.88) -- (6.895,1.925) -- (7.02,2.05) -- cycle;
\node at (6.725,2.22) {\scalebox{1.413}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.922,5.713) -- (11.522,5.713) -- (11.522,6.313) -- (10.922,6.313) -- cycle;
\node at (11.222,6.013) {\scalebox{1.413}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.804,6.667) -- (10.404,6.667) -- (10.404,7.267) -- (9.804,7.267) -- cycle;
\node at (10.104,6.967) {\scalebox{1.413}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.565,4.568) -- (4.165,4.568) -- (4.165,5.168) -- (3.565,5.168) -- cycle;
\node at (3.865,4.868) {\scalebox{1.413}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,9.494) -- (3.923,9.494) -- (3.923,10.094) -- (3.323,10.094) -- cycle;
\node at (3.623,9.794) {\scalebox{1.413}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.782,3.921) -- (10.382,3.921) -- (10.382,4.521) -- (9.782,4.521) -- cycle;
\node at (10.082,4.221) {\scalebox{1.413}{\small e}};
\node at (1.009,11.109) {\scalebox{1.413}{\small A}};
\node at (10.516,10.322) {\scalebox{1.413}{\small B}};
\node at (7.08,7.201) {\scalebox{1.413}{\small C}};
\node at (11.842,6.009) {\scalebox{1.413}{\small D}};
\node at (1.936,5.299) {\scalebox{1.413}{\small E}};
\node at (11.504,1.92) {\scalebox{1.413}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.413}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.522,9.731) -- (12.522,10.831);
\draw[line width=0.5pt] (12.291,10.446) -- (12.522,10.831) -- (12.753,10.446);
\draw[line width=0.5pt] (12.22,10.281) -- (12.825,10.281);
\node at (12.522,11.216) {\scalebox{1.413}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Four & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue Haute & ⑧ passage du Marché & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ allée des Tilleuls & ⑨ venelle du Chat & Ⓓ Carrefour Saint-Roch & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs & ⑩ rue du Moulin & Ⓔ Place du Vieux-Puits & \textbf{e} le lavoir \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6332, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.458,10.681) -- (1.789,10.34) -- (2.127,10.007) -- (2.474,9.681) -- (2.828,9.364) -- (3.19,9.055) -- (3.559,8.755) -- (3.935,8.464) -- (4.317,8.181) -- (4.706,7.907) -- (5.102,7.643) -- (5.503,7.388) -- (5.91,7.143) -- (6.323,6.907) -- (6.741,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (1.458,10.681) -- (1.593,10.319) -- (1.719,9.954) -- (1.837,9.586) -- (1.946,9.215) -- (2.046,8.841) -- (2.138,8.465) -- (2.22,8.087) -- (2.294,7.707) -- (2.359,7.326) -- (2.414,6.943) -- (2.461,6.559) -- (2.499,6.175) -- (2.527,5.789) -- (2.547,5.403);
\draw[line width=0.5pt] (10.082,9.88) -- (9.81,9.69) -- (9.543,9.493) -- (9.28,9.29) -- (9.022,9.081) -- (8.77,8.866) -- (8.522,8.645) -- (8.28,8.418) -- (8.042,8.186) -- (7.811,7.948) -- (7.585,7.705) -- (7.365,7.457) -- (7.151,7.203) -- (6.943,6.945) -- (6.741,6.682);
\draw[line width=0.5pt] (10.082,9.88) -- (10.205,9.618) -- (10.322,9.354) -- (10.432,9.087) -- (10.537,8.817) -- (10.635,8.545) -- (10.726,8.27) -- (10.811,7.994) -- (10.89,7.715) -- (10.962,7.435) -- (11.027,7.153) -- (11.086,6.87) -- (11.138,6.585) -- (11.184,6.3) -- (11.222,6.013);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (7.051,6.585) -- (7.364,6.496) -- (7.679,6.415) -- (7.995,6.34) -- (8.313,6.274) -- (8.633,6.214) -- (8.954,6.163) -- (9.276,6.118) -- (9.599,6.082) -- (9.923,6.053) -- (10.248,6.031) -- (10.572,6.018) -- (10.897,6.012) -- (11.222,6.013);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.458,6.545) -- (6.172,6.415) -- (5.882,6.292) -- (5.59,6.176) -- (5.294,6.067) -- (4.997,5.965) -- (4.697,5.869) -- (4.395,5.781) -- (4.091,5.7) -- (3.785,5.626) -- (3.477,5.559) -- (3.168,5.5) -- (2.858,5.448) -- (2.547,5.403);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.996,6.325) -- (7.26,5.974) -- (7.532,5.629) -- (7.812,5.291) -- (8.101,4.96) -- (8.396,4.635) -- (8.7,4.317) -- (9.01,4.007) -- (9.328,3.704) -- (9.653,3.408) -- (9.985,3.121) -- (10.323,2.841) -- (10.668,2.569) -- (11.019,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (6.741,6.682) -- (6.408,6.245) -- (6.065,5.816) -- (5.711,5.395) -- (5.348,4.983) -- (4.975,4.579) -- (4.592,4.184) -- (4.201,3.798) -- (3.8,3.421) -- (3.391,3.054) -- (2.973,2.696) -- (2.547,2.349) -- (2.113,2.012) -- (1.671,1.685) -- (1.222,1.369);
\draw[line width=0.5pt] (11.222,6.013) -- (11.167,5.753) -- (11.118,5.491) -- (11.076,5.228) -- (11.039,4.964) -- (11.009,4.699) -- (10.985,4.434) -- (10.968,4.168) -- (10.956,3.902) -- (10.951,3.635) -- (10.952,3.369) -- (10.96,3.103) -- (10.973,2.837) -- (10.993,2.571) -- (11.019,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (11.019,2.306) -- (10.714,2.276) -- (10.407,2.253) -- (10.101,2.237) -- (9.794,2.228) -- (9.486,2.227) -- (9.179,2.233) -- (8.872,2.246) -- (8.565,2.266) -- (8.259,2.294) -- (7.954,2.329) -- (7.649,2.371) -- (7.346,2.42) -- (7.044,2.476) -- (6.744,2.539) -- (6.34,2.517) -- (5.936,2.484) -- (5.533,2.443) -- (5.131,2.392) -- (4.731,2.331) -- (4.332,2.261) -- (3.935,2.182) -- (3.539,2.093) -- (3.146,1.995) -- (2.755,1.888) -- (2.367,1.772) -- (1.982,1.647) -- (1.601,1.512) -- (1.222,1.369);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.618,10.681) -- (1.597,10.761) -- (1.538,10.82) -- (1.458,10.841) -- (1.378,10.82) -- (1.32,10.761) -- (1.298,10.681) -- (1.32,10.601) -- (1.378,10.543) -- (1.458,10.521) -- (1.538,10.543) -- (1.597,10.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.242,9.88) -- (10.22,9.96) -- (10.162,10.018) -- (10.082,10.04) -- (10.002,10.018) -- (9.943,9.96) -- (9.922,9.88) -- (9.943,9.8) -- (10.002,9.741) -- (10.082,9.72) -- (10.162,9.741) -- (10.22,9.8) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.901,6.682) -- (6.88,6.762) -- (6.821,6.82) -- (6.741,6.842) -- (6.661,6.82) -- (6.603,6.762) -- (6.581,6.682) -- (6.603,6.602) -- (6.661,6.543) -- (6.741,6.522) -- (6.821,6.543) -- (6.88,6.602) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.382,6.013) -- (11.361,6.093) -- (11.302,6.152) -- (11.222,6.173) -- (11.142,6.152) -- (11.084,6.093) -- (11.062,6.013) -- (11.084,5.933) -- (11.142,5.875) -- (11.222,5.853) -- (11.302,5.875) -- (11.361,5.933) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.707,5.403) -- (2.685,5.483) -- (2.627,5.542) -- (2.547,5.563) -- (2.467,5.542) -- (2.408,5.483) -- (2.387,5.403) -- (2.408,5.323) -- (2.467,5.265) -- (2.547,5.243) -- (2.627,5.265) -- (2.685,5.323) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.179,2.306) -- (11.158,2.386) -- (11.099,2.445) -- (11.019,2.466) -- (10.939,2.445) -- (10.881,2.386) -- (10.859,2.306) -- (10.881,2.226) -- (10.939,2.168) -- (11.019,2.146) -- (11.099,2.168) -- (11.158,2.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.382,1.369) -- (1.361,1.449) -- (1.302,1.507) -- (1.222,1.529) -- (1.142,1.507) -- (1.084,1.449) -- (1.062,1.369) -- (1.084,1.289) -- (1.142,1.23) -- (1.222,1.209) -- (1.302,1.23) -- (1.361,1.289) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.468,8.719) -- (4.422,8.889) -- (4.298,9.013) -- (4.128,9.059) -- (3.958,9.013) -- (3.833,8.889) -- (3.788,8.719) -- (3.833,8.549) -- (3.958,8.424) -- (4.128,8.379) -- (4.298,8.424) -- (4.422,8.549) -- cycle;
\node at (4.128,8.719) {\scalebox{1.579}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.874,8.152) -- (2.828,8.322) -- (2.704,8.446) -- (2.534,8.492) -- (2.364,8.446) -- (2.239,8.322) -- (2.194,8.152) -- (2.239,7.982) -- (2.364,7.857) -- (2.534,7.812) -- (2.704,7.857) -- (2.828,7.982) -- cycle;
\node at (2.534,8.152) {\scalebox{1.579}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.841,8.187) -- (8.795,8.357) -- (8.671,8.482) -- (8.501,8.527) -- (8.331,8.482) -- (8.206,8.357) -- (8.161,8.187) -- (8.206,8.017) -- (8.331,7.893) -- (8.501,7.847) -- (8.671,7.893) -- (8.795,8.017) -- cycle;
\node at (8.501,8.187) {\scalebox{1.579}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.458,8.084) -- (11.413,8.254) -- (11.288,8.378) -- (11.118,8.424) -- (10.948,8.378) -- (10.824,8.254) -- (10.778,8.084) -- (10.824,7.914) -- (10.948,7.79) -- (11.118,7.744) -- (11.288,7.79) -- (11.413,7.914) -- cycle;
\node at (11.118,8.084) {\scalebox{1.579}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.341,6.479) -- (9.296,6.649) -- (9.171,6.774) -- (9.001,6.819) -- (8.831,6.774) -- (8.707,6.649) -- (8.661,6.479) -- (8.707,6.309) -- (8.831,6.185) -- (9.001,6.139) -- (9.171,6.185) -- (9.296,6.309) -- cycle;
\node at (9.001,6.479) {\scalebox{1.579}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.13,5.563) -- (5.085,5.733) -- (4.96,5.858) -- (4.79,5.903) -- (4.62,5.858) -- (4.496,5.733) -- (4.45,5.563) -- (4.496,5.393) -- (4.62,5.269) -- (4.79,5.223) -- (4.96,5.269) -- (5.085,5.393) -- cycle;
\node at (4.79,5.563) {\scalebox{1.579}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.269,4.541) -- (9.223,4.711) -- (9.099,4.836) -- (8.929,4.881) -- (8.759,4.836) -- (8.634,4.711) -- (8.589,4.541) -- (8.634,4.371) -- (8.759,4.247) -- (8.929,4.201) -- (9.099,4.247) -- (9.223,4.371) -- cycle;
\node at (8.929,4.541) {\scalebox{1.579}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.763,3.567) -- (4.717,3.737) -- (4.593,3.862) -- (4.423,3.907) -- (4.253,3.862) -- (4.128,3.737) -- (4.083,3.567) -- (4.128,3.397) -- (4.253,3.273) -- (4.423,3.227) -- (4.593,3.273) -- (4.717,3.397) -- cycle;
\node at (4.423,3.567) {\scalebox{1.579}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.627,4.151) -- (11.582,4.321) -- (11.457,4.445) -- (11.287,4.491) -- (11.117,4.445) -- (10.993,4.321) -- (10.947,4.151) -- (10.993,3.981) -- (11.117,3.856) -- (11.287,3.811) -- (11.457,3.856) -- (11.582,3.981) -- cycle;
\node at (11.287,4.151) {\scalebox{1.579}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.065,2.22) -- (7.02,2.39) -- (6.895,2.514) -- (6.725,2.56) -- (6.555,2.514) -- (6.431,2.39) -- (6.385,2.22) -- (6.431,2.05) -- (6.555,1.925) -- (6.725,1.88) -- (6.895,1.925) -- (7.02,2.05) -- cycle;
\node at (6.725,2.22) {\scalebox{1.579}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.922,5.713) -- (11.522,5.713) -- (11.522,6.313) -- (10.922,6.313) -- cycle;
\node at (11.222,6.013) {\scalebox{1.579}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.804,6.667) -- (10.404,6.667) -- (10.404,7.267) -- (9.804,7.267) -- cycle;
\node at (10.104,6.967) {\scalebox{1.579}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.565,4.568) -- (4.165,4.568) -- (4.165,5.168) -- (3.565,5.168) -- cycle;
\node at (3.865,4.868) {\scalebox{1.579}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,9.494) -- (3.923,9.494) -- (3.923,10.094) -- (3.323,10.094) -- cycle;
\node at (3.623,9.794) {\scalebox{1.579}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.782,3.921) -- (10.382,3.921) -- (10.382,4.521) -- (9.782,4.521) -- cycle;
\node at (10.082,4.221) {\scalebox{1.579}{\small e}};
\node at (1.009,11.109) {\scalebox{1.579}{\small A}};
\node at (10.516,10.322) {\scalebox{1.579}{\small B}};
\node at (7.08,7.201) {\scalebox{1.579}{\small C}};
\node at (11.842,6.009) {\scalebox{1.579}{\small D}};
\node at (1.936,5.299) {\scalebox{1.579}{\small E}};
\node at (11.504,1.92) {\scalebox{1.579}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.579}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.522,9.731) -- (12.522,10.831);
\draw[line width=0.5pt] (12.291,10.446) -- (12.522,10.831) -- (12.753,10.446);
\draw[line width=0.5pt] (12.22,10.281) -- (12.825,10.281);
\node at (12.522,11.216) {\scalebox{1.579}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 6 & 3 & 2 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en F}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}, prend l'\textbf{allée des Tilleuls ④} vers le nord et atteint Coin du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑤}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
