\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 43}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=43}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0043}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6993, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.827,10.112) -- (6.22,10.047) -- (6.614,9.991) -- (7.01,9.944) -- (7.407,9.907) -- (7.805,9.88) -- (8.204,9.861) -- (8.602,9.852) -- (9.001,9.853) -- (9.4,9.863) -- (9.798,9.882) -- (10.196,9.91) -- (10.593,9.948) -- (10.988,9.995) -- (11.383,10.052);
\draw[line width=0.5pt] (5.827,10.112) -- (5.888,9.922) -- (5.944,9.732) -- (5.997,9.54) -- (6.044,9.347) -- (6.087,9.153) -- (6.125,8.957) -- (6.159,8.761) -- (6.188,8.564) -- (6.213,8.367) -- (6.233,8.169) -- (6.248,7.971) -- (6.259,7.772) -- (6.265,7.573) -- (6.266,7.375);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.052) -- (11.262,9.767) -- (11.148,9.48) -- (11.041,9.19) -- (10.941,8.898) -- (10.847,8.603) -- (10.761,8.307) -- (10.681,8.008) -- (10.609,7.707) -- (10.544,7.405) -- (10.485,7.101) -- (10.434,6.797) -- (10.39,6.491) -- (10.354,6.184) -- (10.325,5.877);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (5.928,7.268) -- (5.588,7.169) -- (5.245,7.079) -- (4.9,6.996) -- (4.553,6.922) -- (4.205,6.856) -- (3.855,6.798) -- (3.504,6.748) -- (3.152,6.707) -- (2.799,6.673) -- (2.445,6.649) -- (2.091,6.632) -- (1.737,6.624) -- (1.383,6.624);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (6.537,7.224) -- (6.812,7.08) -- (7.09,6.942) -- (7.371,6.811) -- (7.656,6.687) -- (7.943,6.569) -- (8.233,6.458) -- (8.526,6.354) -- (8.821,6.257) -- (9.118,6.167) -- (9.417,6.083) -- (9.718,6.007) -- (10.021,5.938) -- (10.325,5.877);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (6.601,7.02) -- (6.927,6.658) -- (7.245,6.288) -- (7.553,5.91) -- (7.854,5.525) -- (8.144,5.134) -- (8.426,4.735) -- (8.698,4.33) -- (8.961,3.919) -- (9.214,3.502) -- (9.457,3.079) -- (9.69,2.65) -- (9.913,2.216) -- (10.125,1.777);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (5.871,7.0) -- (5.484,6.617) -- (5.107,6.224) -- (4.739,5.822) -- (4.38,5.412) -- (4.032,4.993) -- (3.693,4.567) -- (3.364,4.132) -- (3.045,3.69) -- (2.737,3.241) -- (2.44,2.784) -- (2.154,2.321) -- (1.878,1.851) -- (1.614,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.624) -- (1.457,6.255) -- (1.522,5.884) -- (1.578,5.511) -- (1.625,5.137) -- (1.664,4.762) -- (1.694,4.386) -- (1.715,4.009) -- (1.727,3.632) -- (1.731,3.255) -- (1.725,2.878) -- (1.711,2.501) -- (1.687,2.125) -- (1.655,1.75) -- (1.614,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (10.325,5.877) -- (10.266,5.588) -- (10.213,5.299) -- (10.168,5.008) -- (10.13,4.716) -- (10.098,4.423) -- (10.073,4.129) -- (10.056,3.835) -- (10.045,3.541) -- (10.041,3.246) -- (10.044,2.952) -- (10.054,2.657) -- (10.07,2.364) -- (10.094,2.07) -- (10.125,1.777);
\draw[line width=0.5pt] (10.125,1.777) -- (9.803,1.775) -- (9.481,1.781) -- (9.159,1.794) -- (8.838,1.814) -- (8.517,1.843) -- (8.196,1.878) -- (7.877,1.922) -- (7.559,1.973) -- (7.242,2.031) -- (6.926,2.096) -- (6.612,2.169) -- (6.3,2.25) -- (5.991,2.337) -- (5.683,2.432) -- (5.383,2.402) -- (5.084,2.365) -- (4.786,2.32) -- (4.489,2.268) -- (4.193,2.21) -- (3.898,2.144) -- (3.605,2.072) -- (3.314,1.992) -- (3.025,1.906) -- (2.738,1.813) -- (2.453,1.714) -- (2.171,1.608) -- (1.891,1.495) -- (1.614,1.375);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.987,10.112) -- (5.965,10.192) -- (5.907,10.25) -- (5.827,10.272) -- (5.747,10.25) -- (5.688,10.192) -- (5.667,10.112) -- (5.688,10.032) -- (5.747,9.973) -- (5.827,9.952) -- (5.907,9.973) -- (5.965,10.032) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,10.052) -- (11.521,10.132) -- (11.463,10.19) -- (11.383,10.212) -- (11.303,10.19) -- (11.244,10.132) -- (11.223,10.052) -- (11.244,9.972) -- (11.303,9.913) -- (11.383,9.892) -- (11.463,9.913) -- (11.521,9.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.426,7.375) -- (6.404,7.455) -- (6.346,7.513) -- (6.266,7.535) -- (6.186,7.513) -- (6.127,7.455) -- (6.106,7.375) -- (6.127,7.295) -- (6.186,7.236) -- (6.266,7.215) -- (6.346,7.236) -- (6.404,7.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.624) -- (1.521,6.704) -- (1.463,6.763) -- (1.383,6.784) -- (1.303,6.763) -- (1.244,6.704) -- (1.223,6.624) -- (1.244,6.544) -- (1.303,6.486) -- (1.383,6.464) -- (1.463,6.486) -- (1.521,6.544) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.485,5.877) -- (10.463,5.957) -- (10.405,6.015) -- (10.325,6.037) -- (10.245,6.015) -- (10.186,5.957) -- (10.165,5.877) -- (10.186,5.797) -- (10.245,5.738) -- (10.325,5.717) -- (10.405,5.738) -- (10.463,5.797) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.285,1.777) -- (10.263,1.857) -- (10.205,1.916) -- (10.125,1.937) -- (10.045,1.916) -- (9.986,1.857) -- (9.965,1.777) -- (9.986,1.697) -- (10.045,1.639) -- (10.125,1.617) -- (10.205,1.639) -- (10.263,1.697) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.774,1.375) -- (1.753,1.455) -- (1.694,1.514) -- (1.614,1.535) -- (1.534,1.514) -- (1.476,1.455) -- (1.454,1.375) -- (1.476,1.295) -- (1.534,1.237) -- (1.614,1.215) -- (1.694,1.237) -- (1.753,1.295) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.946,10.172) -- (8.9,10.342) -- (8.776,10.467) -- (8.606,10.512) -- (8.436,10.467) -- (8.311,10.342) -- (8.266,10.172) -- (8.311,10.002) -- (8.436,9.878) -- (8.606,9.832) -- (8.776,9.878) -- (8.9,10.002) -- cycle;
\node at (8.606,10.172) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.815,8.812) -- (6.77,8.982) -- (6.645,9.106) -- (6.475,9.152) -- (6.305,9.106) -- (6.181,8.982) -- (6.135,8.812) -- (6.181,8.642) -- (6.305,8.517) -- (6.475,8.472) -- (6.645,8.517) -- (6.77,8.642) -- cycle;
\node at (6.475,8.812) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.332,7.929) -- (11.286,8.099) -- (11.162,8.224) -- (10.992,8.269) -- (10.822,8.224) -- (10.697,8.099) -- (10.652,7.929) -- (10.697,7.759) -- (10.822,7.635) -- (10.992,7.589) -- (11.162,7.635) -- (11.286,7.759) -- cycle;
\node at (10.992,7.929) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.244,6.482) -- (4.198,6.652) -- (4.074,6.776) -- (3.904,6.822) -- (3.734,6.776) -- (3.609,6.652) -- (3.564,6.482) -- (3.609,6.312) -- (3.734,6.187) -- (3.904,6.142) -- (4.074,6.187) -- (4.198,6.312) -- cycle;
\node at (3.904,6.482) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.684,6.758) -- (8.639,6.928) -- (8.514,7.053) -- (8.344,7.098) -- (8.174,7.053) -- (8.05,6.928) -- (8.004,6.758) -- (8.05,6.588) -- (8.174,6.464) -- (8.344,6.418) -- (8.514,6.464) -- (8.639,6.588) -- cycle;
\node at (8.344,6.758) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.03,4.917) -- (8.984,5.087) -- (8.86,5.211) -- (8.69,5.257) -- (8.52,5.211) -- (8.395,5.087) -- (8.35,4.917) -- (8.395,4.747) -- (8.52,4.622) -- (8.69,4.577) -- (8.86,4.622) -- (8.984,4.747) -- cycle;
\node at (8.69,4.917) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,4.371) -- (4.24,4.541) -- (4.115,4.665) -- (3.945,4.711) -- (3.775,4.665) -- (3.651,4.541) -- (3.605,4.371) -- (3.651,4.201) -- (3.775,4.076) -- (3.945,4.031) -- (4.115,4.076) -- (4.24,4.201) -- cycle;
\node at (3.945,4.371) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.375,4.023) -- (2.329,4.193) -- (2.205,4.318) -- (2.035,4.363) -- (1.865,4.318) -- (1.74,4.193) -- (1.695,4.023) -- (1.74,3.853) -- (1.865,3.729) -- (2.035,3.683) -- (2.205,3.729) -- (2.329,3.853) -- cycle;
\node at (2.035,4.023) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.715,3.82) -- (10.67,3.99) -- (10.545,4.114) -- (10.375,4.16) -- (10.205,4.114) -- (10.081,3.99) -- (10.035,3.82) -- (10.081,3.65) -- (10.205,3.525) -- (10.375,3.48) -- (10.545,3.525) -- (10.67,3.65) -- cycle;
\node at (10.375,3.82) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.989,2.114) -- (5.944,2.284) -- (5.819,2.409) -- (5.649,2.454) -- (5.479,2.409) -- (5.355,2.284) -- (5.309,2.114) -- (5.355,1.944) -- (5.479,1.82) -- (5.649,1.774) -- (5.819,1.82) -- (5.944,1.944) -- cycle;
\node at (5.649,2.114) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.825,1.477) -- (10.425,1.477) -- (10.425,2.077) -- (9.825,2.077) -- cycle;
\node at (10.125,1.777) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.973,3.256) -- (1.573,3.256) -- (1.573,3.856) -- (0.973,3.856) -- cycle;
\node at (1.273,3.556) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.557,4.243) -- (10.157,4.243) -- (10.157,4.843) -- (9.557,4.843) -- cycle;
\node at (9.857,4.543) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.76,11.105) -- (9.36,11.105) -- (9.36,11.705) -- (8.76,11.705) -- cycle;
\node at (9.06,11.405) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (5.692,10.717) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (11.86,10.447) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (6.054,7.957) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,6.677) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (10.943,5.827) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (10.506,1.288) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (1.163,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,9.162) -- (12.683,10.262);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,9.877) -- (12.683,10.262) -- (12.914,9.877);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,9.712) -- (12.985,9.712);
\node at (12.683,10.647) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑥ chemin de Ronde & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue du Four & ⑧ rue des Jardins & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ passage du Marché & ⑨ rue de la Poste & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑩ rue Haute & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6257, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.827,10.112) -- (6.22,10.047) -- (6.614,9.991) -- (7.01,9.944) -- (7.407,9.907) -- (7.805,9.88) -- (8.204,9.861) -- (8.602,9.852) -- (9.001,9.853) -- (9.4,9.863) -- (9.798,9.882) -- (10.196,9.91) -- (10.593,9.948) -- (10.988,9.995) -- (11.383,10.052);
\draw[line width=0.5pt] (5.827,10.112) -- (5.888,9.922) -- (5.944,9.732) -- (5.997,9.54) -- (6.044,9.347) -- (6.087,9.153) -- (6.125,8.957) -- (6.159,8.761) -- (6.188,8.564) -- (6.213,8.367) -- (6.233,8.169) -- (6.248,7.971) -- (6.259,7.772) -- (6.265,7.573) -- (6.266,7.375);
\draw[line width=0.5pt] (11.383,10.052) -- (11.262,9.767) -- (11.148,9.48) -- (11.041,9.19) -- (10.941,8.898) -- (10.847,8.603) -- (10.761,8.307) -- (10.681,8.008) -- (10.609,7.707) -- (10.544,7.405) -- (10.485,7.101) -- (10.434,6.797) -- (10.39,6.491) -- (10.354,6.184) -- (10.325,5.877);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (5.928,7.268) -- (5.588,7.169) -- (5.245,7.079) -- (4.9,6.996) -- (4.553,6.922) -- (4.205,6.856) -- (3.855,6.798) -- (3.504,6.748) -- (3.152,6.707) -- (2.799,6.673) -- (2.445,6.649) -- (2.091,6.632) -- (1.737,6.624) -- (1.383,6.624);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (6.537,7.224) -- (6.812,7.08) -- (7.09,6.942) -- (7.371,6.811) -- (7.656,6.687) -- (7.943,6.569) -- (8.233,6.458) -- (8.526,6.354) -- (8.821,6.257) -- (9.118,6.167) -- (9.417,6.083) -- (9.718,6.007) -- (10.021,5.938) -- (10.325,5.877);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (6.601,7.02) -- (6.927,6.658) -- (7.245,6.288) -- (7.553,5.91) -- (7.854,5.525) -- (8.144,5.134) -- (8.426,4.735) -- (8.698,4.33) -- (8.961,3.919) -- (9.214,3.502) -- (9.457,3.079) -- (9.69,2.65) -- (9.913,2.216) -- (10.125,1.777);
\draw[line width=0.5pt] (6.266,7.375) -- (5.871,7.0) -- (5.484,6.617) -- (5.107,6.224) -- (4.739,5.822) -- (4.38,5.412) -- (4.032,4.993) -- (3.693,4.567) -- (3.364,4.132) -- (3.045,3.69) -- (2.737,3.241) -- (2.44,2.784) -- (2.154,2.321) -- (1.878,1.851) -- (1.614,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (1.383,6.624) -- (1.457,6.255) -- (1.522,5.884) -- (1.578,5.511) -- (1.625,5.137) -- (1.664,4.762) -- (1.694,4.386) -- (1.715,4.009) -- (1.727,3.632) -- (1.731,3.255) -- (1.725,2.878) -- (1.711,2.501) -- (1.687,2.125) -- (1.655,1.75) -- (1.614,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (10.325,5.877) -- (10.266,5.588) -- (10.213,5.299) -- (10.168,5.008) -- (10.13,4.716) -- (10.098,4.423) -- (10.073,4.129) -- (10.056,3.835) -- (10.045,3.541) -- (10.041,3.246) -- (10.044,2.952) -- (10.054,2.657) -- (10.07,2.364) -- (10.094,2.07) -- (10.125,1.777);
\draw[line width=0.5pt] (10.125,1.777) -- (9.803,1.775) -- (9.481,1.781) -- (9.159,1.794) -- (8.838,1.814) -- (8.517,1.843) -- (8.196,1.878) -- (7.877,1.922) -- (7.559,1.973) -- (7.242,2.031) -- (6.926,2.096) -- (6.612,2.169) -- (6.3,2.25) -- (5.991,2.337) -- (5.683,2.432) -- (5.383,2.402) -- (5.084,2.365) -- (4.786,2.32) -- (4.489,2.268) -- (4.193,2.21) -- (3.898,2.144) -- (3.605,2.072) -- (3.314,1.992) -- (3.025,1.906) -- (2.738,1.813) -- (2.453,1.714) -- (2.171,1.608) -- (1.891,1.495) -- (1.614,1.375);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.987,10.112) -- (5.965,10.192) -- (5.907,10.25) -- (5.827,10.272) -- (5.747,10.25) -- (5.688,10.192) -- (5.667,10.112) -- (5.688,10.032) -- (5.747,9.973) -- (5.827,9.952) -- (5.907,9.973) -- (5.965,10.032) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.543,10.052) -- (11.521,10.132) -- (11.463,10.19) -- (11.383,10.212) -- (11.303,10.19) -- (11.244,10.132) -- (11.223,10.052) -- (11.244,9.972) -- (11.303,9.913) -- (11.383,9.892) -- (11.463,9.913) -- (11.521,9.972) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.426,7.375) -- (6.404,7.455) -- (6.346,7.513) -- (6.266,7.535) -- (6.186,7.513) -- (6.127,7.455) -- (6.106,7.375) -- (6.127,7.295) -- (6.186,7.236) -- (6.266,7.215) -- (6.346,7.236) -- (6.404,7.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.543,6.624) -- (1.521,6.704) -- (1.463,6.763) -- (1.383,6.784) -- (1.303,6.763) -- (1.244,6.704) -- (1.223,6.624) -- (1.244,6.544) -- (1.303,6.486) -- (1.383,6.464) -- (1.463,6.486) -- (1.521,6.544) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.485,5.877) -- (10.463,5.957) -- (10.405,6.015) -- (10.325,6.037) -- (10.245,6.015) -- (10.186,5.957) -- (10.165,5.877) -- (10.186,5.797) -- (10.245,5.738) -- (10.325,5.717) -- (10.405,5.738) -- (10.463,5.797) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.285,1.777) -- (10.263,1.857) -- (10.205,1.916) -- (10.125,1.937) -- (10.045,1.916) -- (9.986,1.857) -- (9.965,1.777) -- (9.986,1.697) -- (10.045,1.639) -- (10.125,1.617) -- (10.205,1.639) -- (10.263,1.697) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.774,1.375) -- (1.753,1.455) -- (1.694,1.514) -- (1.614,1.535) -- (1.534,1.514) -- (1.476,1.455) -- (1.454,1.375) -- (1.476,1.295) -- (1.534,1.237) -- (1.614,1.215) -- (1.694,1.237) -- (1.753,1.295) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.946,10.172) -- (8.9,10.342) -- (8.776,10.467) -- (8.606,10.512) -- (8.436,10.467) -- (8.311,10.342) -- (8.266,10.172) -- (8.311,10.002) -- (8.436,9.878) -- (8.606,9.832) -- (8.776,9.878) -- (8.9,10.002) -- cycle;
\node at (8.606,10.172) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.815,8.812) -- (6.77,8.982) -- (6.645,9.106) -- (6.475,9.152) -- (6.305,9.106) -- (6.181,8.982) -- (6.135,8.812) -- (6.181,8.642) -- (6.305,8.517) -- (6.475,8.472) -- (6.645,8.517) -- (6.77,8.642) -- cycle;
\node at (6.475,8.812) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.332,7.929) -- (11.286,8.099) -- (11.162,8.224) -- (10.992,8.269) -- (10.822,8.224) -- (10.697,8.099) -- (10.652,7.929) -- (10.697,7.759) -- (10.822,7.635) -- (10.992,7.589) -- (11.162,7.635) -- (11.286,7.759) -- cycle;
\node at (10.992,7.929) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.244,6.482) -- (4.198,6.652) -- (4.074,6.776) -- (3.904,6.822) -- (3.734,6.776) -- (3.609,6.652) -- (3.564,6.482) -- (3.609,6.312) -- (3.734,6.187) -- (3.904,6.142) -- (4.074,6.187) -- (4.198,6.312) -- cycle;
\node at (3.904,6.482) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.684,6.758) -- (8.639,6.928) -- (8.514,7.053) -- (8.344,7.098) -- (8.174,7.053) -- (8.05,6.928) -- (8.004,6.758) -- (8.05,6.588) -- (8.174,6.464) -- (8.344,6.418) -- (8.514,6.464) -- (8.639,6.588) -- cycle;
\node at (8.344,6.758) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.03,4.917) -- (8.984,5.087) -- (8.86,5.211) -- (8.69,5.257) -- (8.52,5.211) -- (8.395,5.087) -- (8.35,4.917) -- (8.395,4.747) -- (8.52,4.622) -- (8.69,4.577) -- (8.86,4.622) -- (8.984,4.747) -- cycle;
\node at (8.69,4.917) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.285,4.371) -- (4.24,4.541) -- (4.115,4.665) -- (3.945,4.711) -- (3.775,4.665) -- (3.651,4.541) -- (3.605,4.371) -- (3.651,4.201) -- (3.775,4.076) -- (3.945,4.031) -- (4.115,4.076) -- (4.24,4.201) -- cycle;
\node at (3.945,4.371) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.375,4.023) -- (2.329,4.193) -- (2.205,4.318) -- (2.035,4.363) -- (1.865,4.318) -- (1.74,4.193) -- (1.695,4.023) -- (1.74,3.853) -- (1.865,3.729) -- (2.035,3.683) -- (2.205,3.729) -- (2.329,3.853) -- cycle;
\node at (2.035,4.023) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.715,3.82) -- (10.67,3.99) -- (10.545,4.114) -- (10.375,4.16) -- (10.205,4.114) -- (10.081,3.99) -- (10.035,3.82) -- (10.081,3.65) -- (10.205,3.525) -- (10.375,3.48) -- (10.545,3.525) -- (10.67,3.65) -- cycle;
\node at (10.375,3.82) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.989,2.114) -- (5.944,2.284) -- (5.819,2.409) -- (5.649,2.454) -- (5.479,2.409) -- (5.355,2.284) -- (5.309,2.114) -- (5.355,1.944) -- (5.479,1.82) -- (5.649,1.774) -- (5.819,1.82) -- (5.944,1.944) -- cycle;
\node at (5.649,2.114) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.825,1.477) -- (10.425,1.477) -- (10.425,2.077) -- (9.825,2.077) -- cycle;
\node at (10.125,1.777) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (0.973,3.256) -- (1.573,3.256) -- (1.573,3.856) -- (0.973,3.856) -- cycle;
\node at (1.273,3.556) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.557,4.243) -- (10.157,4.243) -- (10.157,4.843) -- (9.557,4.843) -- cycle;
\node at (9.857,4.543) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.76,11.105) -- (9.36,11.105) -- (9.36,11.705) -- (8.76,11.705) -- cycle;
\node at (9.06,11.405) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (5.692,10.717) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (11.86,10.447) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (6.054,7.957) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,6.677) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (10.943,5.827) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (10.506,1.288) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (1.163,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.683,9.162) -- (12.683,10.262);
\draw[line width=0.5pt] (12.452,9.877) -- (12.683,10.262) -- (12.914,9.877);
\draw[line width=0.5pt] (12.38,9.712) -- (12.985,9.712);
\node at (12.683,10.647) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 5 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (C, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
