\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 44}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=44}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0044}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.739, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.026,11.56) -- (9.714,11.286) -- (9.409,11.005) -- (9.11,10.717) -- (8.818,10.421) -- (8.533,10.119) -- (8.255,9.81) -- (7.985,9.494) -- (7.721,9.173) -- (7.466,8.845) -- (7.218,8.511) -- (6.979,8.172) -- (6.747,7.827) -- (6.524,7.477) -- (6.309,7.122);
\draw[line width=0.5pt] (10.026,11.56) -- (10.072,11.186) -- (10.108,10.81) -- (10.136,10.433) -- (10.155,10.056) -- (10.165,9.679) -- (10.166,9.301) -- (10.158,8.923) -- (10.142,8.546) -- (10.116,8.169) -- (10.082,7.793) -- (10.039,7.418) -- (9.987,7.044) -- (9.926,6.671) -- (9.857,6.301) -- (9.88,6.075) -- (9.908,5.85) -- (9.941,5.626) -- (9.98,5.403) -- (10.024,5.18) -- (10.074,4.959) -- (10.128,4.739) -- (10.188,4.52) -- (10.253,4.303) -- (10.322,4.087) -- (10.397,3.873) -- (10.477,3.661) -- (10.562,3.451) -- (10.652,3.243);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,9.809) -- (1.736,9.565) -- (2.059,9.329) -- (2.387,9.1) -- (2.721,8.879) -- (3.06,8.666) -- (3.404,8.461) -- (3.753,8.264) -- (4.106,8.075) -- (4.464,7.895) -- (4.826,7.723) -- (5.191,7.559) -- (5.56,7.405) -- (5.933,7.259) -- (6.309,7.122);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,9.809) -- (1.534,9.576) -- (1.643,9.34) -- (1.748,9.101) -- (1.846,8.86) -- (1.939,8.616) -- (2.026,8.371) -- (2.107,8.123) -- (2.183,7.874) -- (2.252,7.622) -- (2.316,7.37) -- (2.374,7.116) -- (2.425,6.86) -- (2.471,6.604) -- (2.51,6.347);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.031,7.109) -- (5.754,7.089) -- (5.477,7.062) -- (5.201,7.029) -- (4.925,6.99) -- (4.651,6.944) -- (4.378,6.891) -- (4.106,6.832) -- (3.835,6.767) -- (3.566,6.696) -- (3.299,6.618) -- (3.034,6.534) -- (2.771,6.443) -- (2.51,6.347);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.659,6.895) -- (7.004,6.659) -- (7.343,6.415) -- (7.677,6.163) -- (8.004,5.904) -- (8.326,5.636) -- (8.641,5.362) -- (8.949,5.08) -- (9.251,4.79) -- (9.546,4.494) -- (9.833,4.191) -- (10.114,3.881) -- (10.387,3.565) -- (10.652,3.243);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (5.908,6.892) -- (5.512,6.653) -- (5.122,6.404) -- (4.738,6.146) -- (4.36,5.879) -- (3.989,5.603) -- (3.624,5.319) -- (3.266,5.026) -- (2.914,4.725) -- (2.57,4.415) -- (2.234,4.098) -- (1.905,3.773) -- (1.583,3.44) -- (1.27,3.1);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.371,6.728) -- (6.423,6.333) -- (6.466,5.936) -- (6.5,5.538) -- (6.524,5.14) -- (6.539,4.741) -- (6.544,4.342) -- (6.54,3.942) -- (6.527,3.543) -- (6.504,3.145) -- (6.472,2.747) -- (6.431,2.35) -- (6.38,1.954) -- (6.32,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (2.51,6.347) -- (2.387,6.13) -- (2.269,5.911) -- (2.156,5.689) -- (2.048,5.464) -- (1.945,5.236) -- (1.848,5.007) -- (1.756,4.775) -- (1.67,4.541) -- (1.589,4.304) -- (1.514,4.067) -- (1.445,3.827) -- (1.381,3.586) -- (1.323,3.344) -- (1.27,3.1);
\draw[line width=0.5pt] (10.652,3.243) -- (10.363,3.076) -- (10.071,2.917) -- (9.775,2.764) -- (9.475,2.618) -- (9.171,2.479) -- (8.865,2.347) -- (8.555,2.223) -- (8.243,2.106) -- (7.928,1.996) -- (7.611,1.894) -- (7.291,1.799) -- (6.969,1.712) -- (6.646,1.632) -- (6.32,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (1.27,3.1) -- (1.611,2.936) -- (1.956,2.779) -- (2.305,2.631) -- (2.657,2.491) -- (3.012,2.36) -- (3.371,2.237) -- (3.732,2.122) -- (4.096,2.016) -- (4.462,1.918) -- (4.83,1.829) -- (5.2,1.748) -- (5.572,1.677) -- (5.946,1.614) -- (6.32,1.56);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.186,11.56) -- (10.165,11.64) -- (10.106,11.699) -- (10.026,11.72) -- (9.946,11.699) -- (9.888,11.64) -- (9.866,11.56) -- (9.888,11.48) -- (9.946,11.422) -- (10.026,11.4) -- (10.106,11.422) -- (10.165,11.48) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.578,9.809) -- (1.557,9.889) -- (1.498,9.948) -- (1.418,9.969) -- (1.338,9.948) -- (1.28,9.889) -- (1.258,9.809) -- (1.28,9.729) -- (1.338,9.671) -- (1.418,9.649) -- (1.498,9.671) -- (1.557,9.729) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.469,7.122) -- (6.448,7.202) -- (6.389,7.261) -- (6.309,7.282) -- (6.229,7.261) -- (6.17,7.202) -- (6.149,7.122) -- (6.17,7.042) -- (6.229,6.984) -- (6.309,6.962) -- (6.389,6.984) -- (6.448,7.042) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.67,6.347) -- (2.649,6.427) -- (2.59,6.485) -- (2.51,6.507) -- (2.43,6.485) -- (2.372,6.427) -- (2.35,6.347) -- (2.372,6.267) -- (2.43,6.208) -- (2.51,6.187) -- (2.59,6.208) -- (2.649,6.267) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.812,3.243) -- (10.79,3.323) -- (10.732,3.382) -- (10.652,3.403) -- (10.572,3.382) -- (10.513,3.323) -- (10.492,3.243) -- (10.513,3.163) -- (10.572,3.104) -- (10.652,3.083) -- (10.732,3.104) -- (10.79,3.163) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.43,3.1) -- (1.409,3.18) -- (1.35,3.239) -- (1.27,3.26) -- (1.19,3.239) -- (1.132,3.18) -- (1.11,3.1) -- (1.132,3.02) -- (1.19,2.962) -- (1.27,2.94) -- (1.35,2.962) -- (1.409,3.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.48,1.56) -- (6.459,1.64) -- (6.4,1.699) -- (6.32,1.72) -- (6.24,1.699) -- (6.182,1.64) -- (6.16,1.56) -- (6.182,1.48) -- (6.24,1.422) -- (6.32,1.4) -- (6.4,1.422) -- (6.459,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.57,9.289) -- (8.524,9.459) -- (8.4,9.583) -- (8.23,9.629) -- (8.06,9.583) -- (7.935,9.459) -- (7.89,9.289) -- (7.935,9.119) -- (8.06,8.995) -- (8.23,8.949) -- (8.4,8.995) -- (8.524,9.119) -- cycle;
\node at (8.23,9.289) {\scalebox{1.353}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.516,6.276) -- (10.47,6.446) -- (10.346,6.57) -- (10.176,6.616) -- (10.006,6.57) -- (9.881,6.446) -- (9.836,6.276) -- (9.881,6.106) -- (10.006,5.981) -- (10.176,5.936) -- (10.346,5.981) -- (10.47,6.106) -- cycle;
\node at (10.176,6.276) {\scalebox{1.353}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.247,8.544) -- (4.201,8.714) -- (4.077,8.839) -- (3.907,8.884) -- (3.737,8.839) -- (3.613,8.714) -- (3.567,8.544) -- (3.613,8.374) -- (3.737,8.25) -- (3.907,8.204) -- (4.077,8.25) -- (4.201,8.374) -- cycle;
\node at (3.907,8.544) {\scalebox{1.353}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.752,8.219) -- (2.707,8.389) -- (2.582,8.514) -- (2.412,8.559) -- (2.242,8.514) -- (2.118,8.389) -- (2.072,8.219) -- (2.118,8.049) -- (2.242,7.925) -- (2.412,7.879) -- (2.582,7.925) -- (2.707,8.049) -- cycle;
\node at (2.412,8.219) {\scalebox{1.353}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.782,6.578) -- (4.736,6.748) -- (4.612,6.872) -- (4.442,6.918) -- (4.272,6.872) -- (4.147,6.748) -- (4.102,6.578) -- (4.147,6.408) -- (4.272,6.283) -- (4.442,6.238) -- (4.612,6.283) -- (4.736,6.408) -- cycle;
\node at (4.442,6.578) {\scalebox{1.353}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.194,5.6) -- (9.148,5.77) -- (9.024,5.895) -- (8.854,5.94) -- (8.684,5.895) -- (8.559,5.77) -- (8.514,5.6) -- (8.559,5.43) -- (8.684,5.306) -- (8.854,5.26) -- (9.024,5.306) -- (9.148,5.43) -- cycle;
\node at (8.854,5.6) {\scalebox{1.353}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.163,5.069) -- (4.118,5.239) -- (3.993,5.363) -- (3.823,5.409) -- (3.653,5.363) -- (3.529,5.239) -- (3.483,5.069) -- (3.529,4.899) -- (3.653,4.774) -- (3.823,4.729) -- (3.993,4.774) -- (4.118,4.899) -- cycle;
\node at (3.823,5.069) {\scalebox{1.353}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.204,4.342) -- (7.159,4.512) -- (7.034,4.637) -- (6.864,4.682) -- (6.694,4.637) -- (6.57,4.512) -- (6.524,4.342) -- (6.57,4.172) -- (6.694,4.048) -- (6.864,4.002) -- (7.034,4.048) -- (7.159,4.172) -- cycle;
\node at (6.864,4.342) {\scalebox{1.353}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.395,4.66) -- (2.35,4.83) -- (2.225,4.955) -- (2.055,5.0) -- (1.885,4.955) -- (1.761,4.83) -- (1.715,4.66) -- (1.761,4.49) -- (1.885,4.366) -- (2.055,4.32) -- (2.225,4.366) -- (2.35,4.49) -- cycle;
\node at (2.055,4.66) {\scalebox{1.353}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.011,1.925) -- (8.966,2.095) -- (8.841,2.219) -- (8.671,2.265) -- (8.501,2.219) -- (8.377,2.095) -- (8.331,1.925) -- (8.377,1.755) -- (8.501,1.63) -- (8.671,1.585) -- (8.841,1.63) -- (8.966,1.755) -- cycle;
\node at (8.671,1.925) {\scalebox{1.353}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.165,2.428) -- (4.12,2.598) -- (3.995,2.722) -- (3.825,2.768) -- (3.655,2.722) -- (3.531,2.598) -- (3.485,2.428) -- (3.531,2.258) -- (3.655,2.133) -- (3.825,2.088) -- (3.995,2.133) -- (4.12,2.258) -- cycle;
\node at (3.825,2.428) {\scalebox{1.353}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.21,6.047) -- (2.81,6.047) -- (2.81,6.647) -- (2.21,6.647) -- cycle;
\node at (2.51,6.347) {\scalebox{1.353}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,1.351) -- (3.728,1.351) -- (3.728,1.951) -- (3.128,1.951) -- cycle;
\node at (3.428,1.651) {\scalebox{1.353}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.119,6.312) -- (3.719,6.312) -- (3.719,6.912) -- (3.119,6.912) -- cycle;
\node at (3.419,6.612) {\scalebox{1.353}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.179,9.405) -- (3.779,9.405) -- (3.779,10.005) -- (3.179,10.005) -- cycle;
\node at (3.479,9.705) {\scalebox{1.353}{\small d}};
\node at (10.422,12.037) {\scalebox{1.353}{\small A}};
\node at (0.959,10.226) {\scalebox{1.353}{\small B}};
\node at (6.695,7.607) {\scalebox{1.353}{\small C}};
\node at (1.892,6.396) {\scalebox{1.353}{\small D}};
\node at (11.194,2.942) {\scalebox{1.353}{\small E}};
\node at (0.765,2.741) {\scalebox{1.353}{\small F}};
\node at (6.43,0.95) {\scalebox{1.353}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.952,10.61) -- (11.952,11.71);
\draw[line width=0.5pt] (11.721,11.325) -- (11.952,11.71) -- (12.183,11.325);
\draw[line width=0.5pt] (11.649,11.16) -- (12.254,11.16);
\node at (11.952,12.095) {\scalebox{1.353}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑦ rue du Pont & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑧ boulevard du Parc & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ rue des Jardins & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue du Puits & ⑩ rue Basse & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue de la Mairie & ⑪ rue du Four & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑥ rue Verte &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6613, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.026,11.56) -- (9.714,11.286) -- (9.409,11.005) -- (9.11,10.717) -- (8.818,10.421) -- (8.533,10.119) -- (8.255,9.81) -- (7.985,9.494) -- (7.721,9.173) -- (7.466,8.845) -- (7.218,8.511) -- (6.979,8.172) -- (6.747,7.827) -- (6.524,7.477) -- (6.309,7.122);
\draw[line width=0.5pt] (10.026,11.56) -- (10.072,11.186) -- (10.108,10.81) -- (10.136,10.433) -- (10.155,10.056) -- (10.165,9.679) -- (10.166,9.301) -- (10.158,8.923) -- (10.142,8.546) -- (10.116,8.169) -- (10.082,7.793) -- (10.039,7.418) -- (9.987,7.044) -- (9.926,6.671) -- (9.857,6.301) -- (9.88,6.075) -- (9.908,5.85) -- (9.941,5.626) -- (9.98,5.403) -- (10.024,5.18) -- (10.074,4.959) -- (10.128,4.739) -- (10.188,4.52) -- (10.253,4.303) -- (10.322,4.087) -- (10.397,3.873) -- (10.477,3.661) -- (10.562,3.451) -- (10.652,3.243);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,9.809) -- (1.736,9.565) -- (2.059,9.329) -- (2.387,9.1) -- (2.721,8.879) -- (3.06,8.666) -- (3.404,8.461) -- (3.753,8.264) -- (4.106,8.075) -- (4.464,7.895) -- (4.826,7.723) -- (5.191,7.559) -- (5.56,7.405) -- (5.933,7.259) -- (6.309,7.122);
\draw[line width=0.5pt] (1.418,9.809) -- (1.534,9.576) -- (1.643,9.34) -- (1.748,9.101) -- (1.846,8.86) -- (1.939,8.616) -- (2.026,8.371) -- (2.107,8.123) -- (2.183,7.874) -- (2.252,7.622) -- (2.316,7.37) -- (2.374,7.116) -- (2.425,6.86) -- (2.471,6.604) -- (2.51,6.347);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.031,7.109) -- (5.754,7.089) -- (5.477,7.062) -- (5.201,7.029) -- (4.925,6.99) -- (4.651,6.944) -- (4.378,6.891) -- (4.106,6.832) -- (3.835,6.767) -- (3.566,6.696) -- (3.299,6.618) -- (3.034,6.534) -- (2.771,6.443) -- (2.51,6.347);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.659,6.895) -- (7.004,6.659) -- (7.343,6.415) -- (7.677,6.163) -- (8.004,5.904) -- (8.326,5.636) -- (8.641,5.362) -- (8.949,5.08) -- (9.251,4.79) -- (9.546,4.494) -- (9.833,4.191) -- (10.114,3.881) -- (10.387,3.565) -- (10.652,3.243);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (5.908,6.892) -- (5.512,6.653) -- (5.122,6.404) -- (4.738,6.146) -- (4.36,5.879) -- (3.989,5.603) -- (3.624,5.319) -- (3.266,5.026) -- (2.914,4.725) -- (2.57,4.415) -- (2.234,4.098) -- (1.905,3.773) -- (1.583,3.44) -- (1.27,3.1);
\draw[line width=0.5pt] (6.309,7.122) -- (6.371,6.728) -- (6.423,6.333) -- (6.466,5.936) -- (6.5,5.538) -- (6.524,5.14) -- (6.539,4.741) -- (6.544,4.342) -- (6.54,3.942) -- (6.527,3.543) -- (6.504,3.145) -- (6.472,2.747) -- (6.431,2.35) -- (6.38,1.954) -- (6.32,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (2.51,6.347) -- (2.387,6.13) -- (2.269,5.911) -- (2.156,5.689) -- (2.048,5.464) -- (1.945,5.236) -- (1.848,5.007) -- (1.756,4.775) -- (1.67,4.541) -- (1.589,4.304) -- (1.514,4.067) -- (1.445,3.827) -- (1.381,3.586) -- (1.323,3.344) -- (1.27,3.1);
\draw[line width=0.5pt] (10.652,3.243) -- (10.363,3.076) -- (10.071,2.917) -- (9.775,2.764) -- (9.475,2.618) -- (9.171,2.479) -- (8.865,2.347) -- (8.555,2.223) -- (8.243,2.106) -- (7.928,1.996) -- (7.611,1.894) -- (7.291,1.799) -- (6.969,1.712) -- (6.646,1.632) -- (6.32,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (1.27,3.1) -- (1.611,2.936) -- (1.956,2.779) -- (2.305,2.631) -- (2.657,2.491) -- (3.012,2.36) -- (3.371,2.237) -- (3.732,2.122) -- (4.096,2.016) -- (4.462,1.918) -- (4.83,1.829) -- (5.2,1.748) -- (5.572,1.677) -- (5.946,1.614) -- (6.32,1.56);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.186,11.56) -- (10.165,11.64) -- (10.106,11.699) -- (10.026,11.72) -- (9.946,11.699) -- (9.888,11.64) -- (9.866,11.56) -- (9.888,11.48) -- (9.946,11.422) -- (10.026,11.4) -- (10.106,11.422) -- (10.165,11.48) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.578,9.809) -- (1.557,9.889) -- (1.498,9.948) -- (1.418,9.969) -- (1.338,9.948) -- (1.28,9.889) -- (1.258,9.809) -- (1.28,9.729) -- (1.338,9.671) -- (1.418,9.649) -- (1.498,9.671) -- (1.557,9.729) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.469,7.122) -- (6.448,7.202) -- (6.389,7.261) -- (6.309,7.282) -- (6.229,7.261) -- (6.17,7.202) -- (6.149,7.122) -- (6.17,7.042) -- (6.229,6.984) -- (6.309,6.962) -- (6.389,6.984) -- (6.448,7.042) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.67,6.347) -- (2.649,6.427) -- (2.59,6.485) -- (2.51,6.507) -- (2.43,6.485) -- (2.372,6.427) -- (2.35,6.347) -- (2.372,6.267) -- (2.43,6.208) -- (2.51,6.187) -- (2.59,6.208) -- (2.649,6.267) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.812,3.243) -- (10.79,3.323) -- (10.732,3.382) -- (10.652,3.403) -- (10.572,3.382) -- (10.513,3.323) -- (10.492,3.243) -- (10.513,3.163) -- (10.572,3.104) -- (10.652,3.083) -- (10.732,3.104) -- (10.79,3.163) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.43,3.1) -- (1.409,3.18) -- (1.35,3.239) -- (1.27,3.26) -- (1.19,3.239) -- (1.132,3.18) -- (1.11,3.1) -- (1.132,3.02) -- (1.19,2.962) -- (1.27,2.94) -- (1.35,2.962) -- (1.409,3.02) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.48,1.56) -- (6.459,1.64) -- (6.4,1.699) -- (6.32,1.72) -- (6.24,1.699) -- (6.182,1.64) -- (6.16,1.56) -- (6.182,1.48) -- (6.24,1.422) -- (6.32,1.4) -- (6.4,1.422) -- (6.459,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.57,9.289) -- (8.524,9.459) -- (8.4,9.583) -- (8.23,9.629) -- (8.06,9.583) -- (7.935,9.459) -- (7.89,9.289) -- (7.935,9.119) -- (8.06,8.995) -- (8.23,8.949) -- (8.4,8.995) -- (8.524,9.119) -- cycle;
\node at (8.23,9.289) {\scalebox{1.512}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.516,6.276) -- (10.47,6.446) -- (10.346,6.57) -- (10.176,6.616) -- (10.006,6.57) -- (9.881,6.446) -- (9.836,6.276) -- (9.881,6.106) -- (10.006,5.981) -- (10.176,5.936) -- (10.346,5.981) -- (10.47,6.106) -- cycle;
\node at (10.176,6.276) {\scalebox{1.512}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.247,8.544) -- (4.201,8.714) -- (4.077,8.839) -- (3.907,8.884) -- (3.737,8.839) -- (3.613,8.714) -- (3.567,8.544) -- (3.613,8.374) -- (3.737,8.25) -- (3.907,8.204) -- (4.077,8.25) -- (4.201,8.374) -- cycle;
\node at (3.907,8.544) {\scalebox{1.512}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.752,8.219) -- (2.707,8.389) -- (2.582,8.514) -- (2.412,8.559) -- (2.242,8.514) -- (2.118,8.389) -- (2.072,8.219) -- (2.118,8.049) -- (2.242,7.925) -- (2.412,7.879) -- (2.582,7.925) -- (2.707,8.049) -- cycle;
\node at (2.412,8.219) {\scalebox{1.512}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.782,6.578) -- (4.736,6.748) -- (4.612,6.872) -- (4.442,6.918) -- (4.272,6.872) -- (4.147,6.748) -- (4.102,6.578) -- (4.147,6.408) -- (4.272,6.283) -- (4.442,6.238) -- (4.612,6.283) -- (4.736,6.408) -- cycle;
\node at (4.442,6.578) {\scalebox{1.512}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.194,5.6) -- (9.148,5.77) -- (9.024,5.895) -- (8.854,5.94) -- (8.684,5.895) -- (8.559,5.77) -- (8.514,5.6) -- (8.559,5.43) -- (8.684,5.306) -- (8.854,5.26) -- (9.024,5.306) -- (9.148,5.43) -- cycle;
\node at (8.854,5.6) {\scalebox{1.512}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.163,5.069) -- (4.118,5.239) -- (3.993,5.363) -- (3.823,5.409) -- (3.653,5.363) -- (3.529,5.239) -- (3.483,5.069) -- (3.529,4.899) -- (3.653,4.774) -- (3.823,4.729) -- (3.993,4.774) -- (4.118,4.899) -- cycle;
\node at (3.823,5.069) {\scalebox{1.512}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.204,4.342) -- (7.159,4.512) -- (7.034,4.637) -- (6.864,4.682) -- (6.694,4.637) -- (6.57,4.512) -- (6.524,4.342) -- (6.57,4.172) -- (6.694,4.048) -- (6.864,4.002) -- (7.034,4.048) -- (7.159,4.172) -- cycle;
\node at (6.864,4.342) {\scalebox{1.512}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.395,4.66) -- (2.35,4.83) -- (2.225,4.955) -- (2.055,5.0) -- (1.885,4.955) -- (1.761,4.83) -- (1.715,4.66) -- (1.761,4.49) -- (1.885,4.366) -- (2.055,4.32) -- (2.225,4.366) -- (2.35,4.49) -- cycle;
\node at (2.055,4.66) {\scalebox{1.512}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.011,1.925) -- (8.966,2.095) -- (8.841,2.219) -- (8.671,2.265) -- (8.501,2.219) -- (8.377,2.095) -- (8.331,1.925) -- (8.377,1.755) -- (8.501,1.63) -- (8.671,1.585) -- (8.841,1.63) -- (8.966,1.755) -- cycle;
\node at (8.671,1.925) {\scalebox{1.512}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.165,2.428) -- (4.12,2.598) -- (3.995,2.722) -- (3.825,2.768) -- (3.655,2.722) -- (3.531,2.598) -- (3.485,2.428) -- (3.531,2.258) -- (3.655,2.133) -- (3.825,2.088) -- (3.995,2.133) -- (4.12,2.258) -- cycle;
\node at (3.825,2.428) {\scalebox{1.512}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.21,6.047) -- (2.81,6.047) -- (2.81,6.647) -- (2.21,6.647) -- cycle;
\node at (2.51,6.347) {\scalebox{1.512}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.128,1.351) -- (3.728,1.351) -- (3.728,1.951) -- (3.128,1.951) -- cycle;
\node at (3.428,1.651) {\scalebox{1.512}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.119,6.312) -- (3.719,6.312) -- (3.719,6.912) -- (3.119,6.912) -- cycle;
\node at (3.419,6.612) {\scalebox{1.512}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.179,9.405) -- (3.779,9.405) -- (3.779,10.005) -- (3.179,10.005) -- cycle;
\node at (3.479,9.705) {\scalebox{1.512}{\small d}};
\node at (10.422,12.037) {\scalebox{1.512}{\small A}};
\node at (0.959,10.226) {\scalebox{1.512}{\small B}};
\node at (6.695,7.607) {\scalebox{1.512}{\small C}};
\node at (1.892,6.396) {\scalebox{1.512}{\small D}};
\node at (11.194,2.942) {\scalebox{1.512}{\small E}};
\node at (0.765,2.741) {\scalebox{1.512}{\small F}};
\node at (6.43,0.95) {\scalebox{1.512}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.952,10.61) -- (11.952,11.71);
\draw[line width=0.5pt] (11.721,11.325) -- (11.952,11.71) -- (12.183,11.325);
\draw[line width=0.5pt] (11.649,11.16) -- (12.254,11.16);
\node at (11.952,12.095) {\scalebox{1.512}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 6 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (D, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
