\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 45}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=45}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0045}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7035, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.064,9.486) -- (10.816,9.497) -- (10.569,9.502) -- (10.321,9.501) -- (10.073,9.494) -- (9.826,9.481) -- (9.579,9.463) -- (9.332,9.439) -- (9.086,9.409) -- (8.841,9.373) -- (8.597,9.332) -- (8.353,9.284) -- (8.111,9.231) -- (7.871,9.173) -- (7.632,9.108);
\draw[line width=0.5pt] (11.064,9.486) -- (11.102,9.162) -- (11.132,8.838) -- (11.155,8.512) -- (11.17,8.186) -- (11.177,7.86) -- (11.177,7.533) -- (11.169,7.207) -- (11.153,6.881) -- (11.13,6.555) -- (11.099,6.23) -- (11.061,5.906) -- (11.015,5.583) -- (10.961,5.262) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.573,8.901) -- (7.52,8.693) -- (7.472,8.483) -- (7.429,8.273) -- (7.39,8.061) -- (7.357,7.848) -- (7.328,7.635) -- (7.305,7.421) -- (7.287,7.206) -- (7.273,6.991) -- (7.265,6.776) -- (7.262,6.561) -- (7.264,6.346) -- (7.271,6.131);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.471,8.785) -- (7.302,8.466) -- (7.126,8.151) -- (6.942,7.839) -- (6.751,7.533) -- (6.553,7.23) -- (6.348,6.933) -- (6.136,6.64) -- (5.917,6.353) -- (5.692,6.07) -- (5.46,5.793) -- (5.221,5.522) -- (4.977,5.257) -- (4.726,4.997);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.818,8.777) -- (8.011,8.451) -- (8.213,8.129) -- (8.422,7.811) -- (8.639,7.499) -- (8.863,7.192) -- (9.094,6.89) -- (9.332,6.594) -- (9.577,6.303) -- (9.828,6.018) -- (10.087,5.74) -- (10.351,5.467) -- (10.622,5.201) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (7.271,6.131) -- (7.541,6.087) -- (7.81,6.036) -- (8.078,5.978) -- (8.344,5.915) -- (8.609,5.845) -- (8.873,5.768) -- (9.134,5.686) -- (9.394,5.598) -- (9.651,5.503) -- (9.906,5.403) -- (10.158,5.296) -- (10.408,5.184) -- (10.655,5.066) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,5.518) -- (1.653,5.445) -- (1.883,5.378) -- (2.114,5.315) -- (2.347,5.259) -- (2.582,5.208) -- (2.817,5.162) -- (3.054,5.122) -- (3.291,5.087) -- (3.529,5.058) -- (3.768,5.034) -- (4.007,5.017) -- (4.246,5.004) -- (4.486,4.998) -- (4.726,4.997);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,5.518) -- (1.452,5.282) -- (1.474,5.044) -- (1.491,4.806) -- (1.501,4.568) -- (1.507,4.33) -- (1.506,4.091) -- (1.5,3.853) -- (1.488,3.614) -- (1.471,3.377) -- (1.448,3.139) -- (1.42,2.902) -- (1.386,2.666) -- (1.347,2.431) -- (1.302,2.197);
\draw[line width=0.5pt] (4.726,4.997) -- (4.452,4.836) -- (4.183,4.669) -- (3.917,4.495) -- (3.656,4.315) -- (3.399,4.129) -- (3.146,3.937) -- (2.898,3.738) -- (2.655,3.535) -- (2.416,3.325) -- (2.183,3.11) -- (1.954,2.89) -- (1.731,2.664) -- (1.514,2.433) -- (1.302,2.197);
\draw[line width=0.5pt] (4.726,4.997) -- (4.923,4.853) -- (5.117,4.704) -- (5.307,4.551) -- (5.493,4.393) -- (5.676,4.231) -- (5.855,4.064) -- (6.03,3.894) -- (6.201,3.719) -- (6.368,3.541) -- (6.531,3.358) -- (6.689,3.172) -- (6.843,2.982) -- (6.992,2.789) -- (7.136,2.592) -- (7.418,2.46) -- (7.703,2.335) -- (7.991,2.216) -- (8.282,2.105) -- (8.575,2.0) -- (8.871,1.902) -- (9.169,1.812) -- (9.469,1.728) -- (9.771,1.651) -- (10.074,1.581) -- (10.379,1.519) -- (10.686,1.464) -- (10.993,1.416) -- (11.302,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (10.899,4.942) -- (10.889,4.684) -- (10.885,4.427) -- (10.886,4.17) -- (10.894,3.912) -- (10.908,3.655) -- (10.928,3.398) -- (10.953,3.142) -- (10.985,2.886) -- (11.023,2.631) -- (11.067,2.377) -- (11.117,2.125) -- (11.172,1.873) -- (11.234,1.623) -- (11.302,1.375);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.224,9.486) -- (11.202,9.566) -- (11.144,9.625) -- (11.064,9.646) -- (10.984,9.625) -- (10.925,9.566) -- (10.904,9.486) -- (10.925,9.406) -- (10.984,9.347) -- (11.064,9.326) -- (11.144,9.347) -- (11.202,9.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.792,9.108) -- (7.77,9.188) -- (7.712,9.247) -- (7.632,9.268) -- (7.552,9.247) -- (7.493,9.188) -- (7.472,9.108) -- (7.493,9.028) -- (7.552,8.97) -- (7.632,8.948) -- (7.712,8.97) -- (7.77,9.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.431,6.131) -- (7.409,6.211) -- (7.351,6.27) -- (7.271,6.291) -- (7.191,6.27) -- (7.132,6.211) -- (7.111,6.131) -- (7.132,6.051) -- (7.191,5.993) -- (7.271,5.971) -- (7.351,5.993) -- (7.409,6.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.585,5.518) -- (1.563,5.598) -- (1.505,5.657) -- (1.425,5.678) -- (1.345,5.657) -- (1.286,5.598) -- (1.265,5.518) -- (1.286,5.438) -- (1.345,5.38) -- (1.425,5.358) -- (1.505,5.38) -- (1.563,5.438) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.886,4.997) -- (4.864,5.077) -- (4.806,5.136) -- (4.726,5.157) -- (4.646,5.136) -- (4.587,5.077) -- (4.566,4.997) -- (4.587,4.917) -- (4.646,4.859) -- (4.726,4.837) -- (4.806,4.859) -- (4.864,4.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.059,4.942) -- (11.038,5.022) -- (10.979,5.08) -- (10.899,5.102) -- (10.819,5.08) -- (10.761,5.022) -- (10.739,4.942) -- (10.761,4.862) -- (10.819,4.803) -- (10.899,4.782) -- (10.979,4.803) -- (11.038,4.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.462,2.197) -- (1.44,2.277) -- (1.382,2.336) -- (1.302,2.357) -- (1.222,2.336) -- (1.163,2.277) -- (1.142,2.197) -- (1.163,2.117) -- (1.222,2.059) -- (1.302,2.037) -- (1.382,2.059) -- (1.44,2.117) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.462,1.375) -- (11.44,1.455) -- (11.382,1.514) -- (11.302,1.535) -- (11.222,1.514) -- (11.163,1.455) -- (11.142,1.375) -- (11.163,1.295) -- (11.222,1.236) -- (11.302,1.215) -- (11.382,1.236) -- (11.44,1.295) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.707,9.121) -- (9.662,9.291) -- (9.537,9.415) -- (9.367,9.461) -- (9.197,9.415) -- (9.073,9.291) -- (9.027,9.121) -- (9.073,8.951) -- (9.197,8.826) -- (9.367,8.781) -- (9.537,8.826) -- (9.662,8.951) -- cycle;
\node at (9.367,9.121) {\scalebox{1.421}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.829,7.195) -- (11.783,7.365) -- (11.659,7.49) -- (11.489,7.535) -- (11.319,7.49) -- (11.194,7.365) -- (11.149,7.195) -- (11.194,7.025) -- (11.319,6.901) -- (11.489,6.855) -- (11.659,6.901) -- (11.783,7.025) -- cycle;
\node at (11.489,7.195) {\scalebox{1.421}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.986,7.596) -- (7.941,7.766) -- (7.816,7.891) -- (7.646,7.936) -- (7.476,7.891) -- (7.352,7.766) -- (7.306,7.596) -- (7.352,7.426) -- (7.476,7.302) -- (7.646,7.256) -- (7.816,7.302) -- (7.941,7.426) -- cycle;
\node at (7.646,7.596) {\scalebox{1.421}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.95,6.748) -- (6.904,6.918) -- (6.78,7.043) -- (6.61,7.088) -- (6.44,7.043) -- (6.315,6.918) -- (6.27,6.748) -- (6.315,6.578) -- (6.44,6.454) -- (6.61,6.408) -- (6.78,6.454) -- (6.904,6.578) -- cycle;
\node at (6.61,6.748) {\scalebox{1.421}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.685,7.088) -- (9.64,7.258) -- (9.515,7.382) -- (9.345,7.428) -- (9.175,7.382) -- (9.051,7.258) -- (9.005,7.088) -- (9.051,6.918) -- (9.175,6.793) -- (9.345,6.748) -- (9.515,6.793) -- (9.64,6.918) -- cycle;
\node at (9.345,7.088) {\scalebox{1.421}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.574,5.99) -- (9.528,6.16) -- (9.404,6.285) -- (9.234,6.33) -- (9.064,6.285) -- (8.939,6.16) -- (8.894,5.99) -- (8.939,5.82) -- (9.064,5.696) -- (9.234,5.65) -- (9.404,5.696) -- (9.528,5.82) -- cycle;
\node at (9.234,5.99) {\scalebox{1.421}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.444,5.438) -- (3.398,5.608) -- (3.274,5.732) -- (3.104,5.778) -- (2.934,5.732) -- (2.809,5.608) -- (2.764,5.438) -- (2.809,5.268) -- (2.934,5.143) -- (3.104,5.098) -- (3.274,5.143) -- (3.398,5.268) -- cycle;
\node at (3.104,5.438) {\scalebox{1.421}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.16,3.841) -- (2.114,4.011) -- (1.99,4.135) -- (1.82,4.181) -- (1.65,4.135) -- (1.525,4.011) -- (1.48,3.841) -- (1.525,3.671) -- (1.65,3.546) -- (1.82,3.501) -- (1.99,3.546) -- (2.114,3.671) -- cycle;
\node at (1.82,3.841) {\scalebox{1.421}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.441,3.491) -- (3.395,3.661) -- (3.271,3.785) -- (3.101,3.831) -- (2.931,3.785) -- (2.806,3.661) -- (2.761,3.491) -- (2.806,3.321) -- (2.931,3.196) -- (3.101,3.151) -- (3.271,3.196) -- (3.395,3.321) -- cycle;
\node at (3.101,3.491) {\scalebox{1.421}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.672,2.845) -- (7.626,3.015) -- (7.502,3.14) -- (7.332,3.185) -- (7.162,3.14) -- (7.037,3.015) -- (6.992,2.845) -- (7.037,2.675) -- (7.162,2.551) -- (7.332,2.505) -- (7.502,2.551) -- (7.626,2.675) -- cycle;
\node at (7.332,2.845) {\scalebox{1.421}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.611,3.178) -- (11.566,3.348) -- (11.441,3.472) -- (11.271,3.518) -- (11.101,3.472) -- (10.977,3.348) -- (10.931,3.178) -- (10.977,3.008) -- (11.101,2.883) -- (11.271,2.838) -- (11.441,2.883) -- (11.566,3.008) -- cycle;
\node at (11.271,3.178) {\scalebox{1.421}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.332,8.808) -- (7.932,8.808) -- (7.932,9.408) -- (7.332,9.408) -- cycle;
\node at (7.632,9.108) {\scalebox{1.421}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.134,7.551) -- (10.734,7.551) -- (10.734,8.151) -- (10.134,8.151) -- cycle;
\node at (10.434,7.851) {\scalebox{1.421}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.731,9.488) -- (10.331,9.488) -- (10.331,10.088) -- (9.731,10.088) -- cycle;
\node at (10.031,9.788) {\scalebox{1.421}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.741,5.421) -- (2.341,5.421) -- (2.341,6.021) -- (1.741,6.021) -- cycle;
\node at (2.041,5.721) {\scalebox{1.421}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.35,7.406) -- (6.95,7.406) -- (6.95,8.006) -- (6.35,8.006) -- cycle;
\node at (6.65,7.706) {\scalebox{1.421}{\small e}};
\node at (11.507,9.919) {\scalebox{1.421}{\small A}};
\node at (7.745,9.718) {\scalebox{1.421}{\small B}};
\node at (7.54,6.69) {\scalebox{1.421}{\small C}};
\node at (0.805,5.524) {\scalebox{1.421}{\small D}};
\node at (4.119,4.868) {\scalebox{1.421}{\small E}};
\node at (11.514,4.859) {\scalebox{1.421}{\small F}};
\node at (0.765,1.887) {\scalebox{1.421}{\small G}};
\node at (11.753,0.95) {\scalebox{1.421}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.602,8.536) -- (12.602,9.636);
\draw[line width=0.5pt] (12.371,9.251) -- (12.602,9.636) -- (12.833,9.251);
\draw[line width=0.5pt] (12.299,9.086) -- (12.904,9.086);
\node at (12.602,10.021) {\scalebox{1.421}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑧ rue Haute & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑨ rue Basse & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue Verte & ⑩ rue Neuve & Ⓓ Coin du Lavoir & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ rue des Lilas & ⑪ sentier des Prés & Ⓔ Carrefour du Moulin & \textbf{e} le marché couvert \\ \hline
⑥ chemin des Vignes &  & Ⓕ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6294, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.064,9.486) -- (10.816,9.497) -- (10.569,9.502) -- (10.321,9.501) -- (10.073,9.494) -- (9.826,9.481) -- (9.579,9.463) -- (9.332,9.439) -- (9.086,9.409) -- (8.841,9.373) -- (8.597,9.332) -- (8.353,9.284) -- (8.111,9.231) -- (7.871,9.173) -- (7.632,9.108);
\draw[line width=0.5pt] (11.064,9.486) -- (11.102,9.162) -- (11.132,8.838) -- (11.155,8.512) -- (11.17,8.186) -- (11.177,7.86) -- (11.177,7.533) -- (11.169,7.207) -- (11.153,6.881) -- (11.13,6.555) -- (11.099,6.23) -- (11.061,5.906) -- (11.015,5.583) -- (10.961,5.262) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.573,8.901) -- (7.52,8.693) -- (7.472,8.483) -- (7.429,8.273) -- (7.39,8.061) -- (7.357,7.848) -- (7.328,7.635) -- (7.305,7.421) -- (7.287,7.206) -- (7.273,6.991) -- (7.265,6.776) -- (7.262,6.561) -- (7.264,6.346) -- (7.271,6.131);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.471,8.785) -- (7.302,8.466) -- (7.126,8.151) -- (6.942,7.839) -- (6.751,7.533) -- (6.553,7.23) -- (6.348,6.933) -- (6.136,6.64) -- (5.917,6.353) -- (5.692,6.07) -- (5.46,5.793) -- (5.221,5.522) -- (4.977,5.257) -- (4.726,4.997);
\draw[line width=0.5pt] (7.632,9.108) -- (7.818,8.777) -- (8.011,8.451) -- (8.213,8.129) -- (8.422,7.811) -- (8.639,7.499) -- (8.863,7.192) -- (9.094,6.89) -- (9.332,6.594) -- (9.577,6.303) -- (9.828,6.018) -- (10.087,5.74) -- (10.351,5.467) -- (10.622,5.201) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (7.271,6.131) -- (7.541,6.087) -- (7.81,6.036) -- (8.078,5.978) -- (8.344,5.915) -- (8.609,5.845) -- (8.873,5.768) -- (9.134,5.686) -- (9.394,5.598) -- (9.651,5.503) -- (9.906,5.403) -- (10.158,5.296) -- (10.408,5.184) -- (10.655,5.066) -- (10.899,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,5.518) -- (1.653,5.445) -- (1.883,5.378) -- (2.114,5.315) -- (2.347,5.259) -- (2.582,5.208) -- (2.817,5.162) -- (3.054,5.122) -- (3.291,5.087) -- (3.529,5.058) -- (3.768,5.034) -- (4.007,5.017) -- (4.246,5.004) -- (4.486,4.998) -- (4.726,4.997);
\draw[line width=0.5pt] (1.425,5.518) -- (1.452,5.282) -- (1.474,5.044) -- (1.491,4.806) -- (1.501,4.568) -- (1.507,4.33) -- (1.506,4.091) -- (1.5,3.853) -- (1.488,3.614) -- (1.471,3.377) -- (1.448,3.139) -- (1.42,2.902) -- (1.386,2.666) -- (1.347,2.431) -- (1.302,2.197);
\draw[line width=0.5pt] (4.726,4.997) -- (4.452,4.836) -- (4.183,4.669) -- (3.917,4.495) -- (3.656,4.315) -- (3.399,4.129) -- (3.146,3.937) -- (2.898,3.738) -- (2.655,3.535) -- (2.416,3.325) -- (2.183,3.11) -- (1.954,2.89) -- (1.731,2.664) -- (1.514,2.433) -- (1.302,2.197);
\draw[line width=0.5pt] (4.726,4.997) -- (4.923,4.853) -- (5.117,4.704) -- (5.307,4.551) -- (5.493,4.393) -- (5.676,4.231) -- (5.855,4.064) -- (6.03,3.894) -- (6.201,3.719) -- (6.368,3.541) -- (6.531,3.358) -- (6.689,3.172) -- (6.843,2.982) -- (6.992,2.789) -- (7.136,2.592) -- (7.418,2.46) -- (7.703,2.335) -- (7.991,2.216) -- (8.282,2.105) -- (8.575,2.0) -- (8.871,1.902) -- (9.169,1.812) -- (9.469,1.728) -- (9.771,1.651) -- (10.074,1.581) -- (10.379,1.519) -- (10.686,1.464) -- (10.993,1.416) -- (11.302,1.375);
\draw[line width=0.5pt] (10.899,4.942) -- (10.889,4.684) -- (10.885,4.427) -- (10.886,4.17) -- (10.894,3.912) -- (10.908,3.655) -- (10.928,3.398) -- (10.953,3.142) -- (10.985,2.886) -- (11.023,2.631) -- (11.067,2.377) -- (11.117,2.125) -- (11.172,1.873) -- (11.234,1.623) -- (11.302,1.375);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.224,9.486) -- (11.202,9.566) -- (11.144,9.625) -- (11.064,9.646) -- (10.984,9.625) -- (10.925,9.566) -- (10.904,9.486) -- (10.925,9.406) -- (10.984,9.347) -- (11.064,9.326) -- (11.144,9.347) -- (11.202,9.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.792,9.108) -- (7.77,9.188) -- (7.712,9.247) -- (7.632,9.268) -- (7.552,9.247) -- (7.493,9.188) -- (7.472,9.108) -- (7.493,9.028) -- (7.552,8.97) -- (7.632,8.948) -- (7.712,8.97) -- (7.77,9.028) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.431,6.131) -- (7.409,6.211) -- (7.351,6.27) -- (7.271,6.291) -- (7.191,6.27) -- (7.132,6.211) -- (7.111,6.131) -- (7.132,6.051) -- (7.191,5.993) -- (7.271,5.971) -- (7.351,5.993) -- (7.409,6.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.585,5.518) -- (1.563,5.598) -- (1.505,5.657) -- (1.425,5.678) -- (1.345,5.657) -- (1.286,5.598) -- (1.265,5.518) -- (1.286,5.438) -- (1.345,5.38) -- (1.425,5.358) -- (1.505,5.38) -- (1.563,5.438) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.886,4.997) -- (4.864,5.077) -- (4.806,5.136) -- (4.726,5.157) -- (4.646,5.136) -- (4.587,5.077) -- (4.566,4.997) -- (4.587,4.917) -- (4.646,4.859) -- (4.726,4.837) -- (4.806,4.859) -- (4.864,4.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.059,4.942) -- (11.038,5.022) -- (10.979,5.08) -- (10.899,5.102) -- (10.819,5.08) -- (10.761,5.022) -- (10.739,4.942) -- (10.761,4.862) -- (10.819,4.803) -- (10.899,4.782) -- (10.979,4.803) -- (11.038,4.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.462,2.197) -- (1.44,2.277) -- (1.382,2.336) -- (1.302,2.357) -- (1.222,2.336) -- (1.163,2.277) -- (1.142,2.197) -- (1.163,2.117) -- (1.222,2.059) -- (1.302,2.037) -- (1.382,2.059) -- (1.44,2.117) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.462,1.375) -- (11.44,1.455) -- (11.382,1.514) -- (11.302,1.535) -- (11.222,1.514) -- (11.163,1.455) -- (11.142,1.375) -- (11.163,1.295) -- (11.222,1.236) -- (11.302,1.215) -- (11.382,1.236) -- (11.44,1.295) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.707,9.121) -- (9.662,9.291) -- (9.537,9.415) -- (9.367,9.461) -- (9.197,9.415) -- (9.073,9.291) -- (9.027,9.121) -- (9.073,8.951) -- (9.197,8.826) -- (9.367,8.781) -- (9.537,8.826) -- (9.662,8.951) -- cycle;
\node at (9.367,9.121) {\scalebox{1.589}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.829,7.195) -- (11.783,7.365) -- (11.659,7.49) -- (11.489,7.535) -- (11.319,7.49) -- (11.194,7.365) -- (11.149,7.195) -- (11.194,7.025) -- (11.319,6.901) -- (11.489,6.855) -- (11.659,6.901) -- (11.783,7.025) -- cycle;
\node at (11.489,7.195) {\scalebox{1.589}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.986,7.596) -- (7.941,7.766) -- (7.816,7.891) -- (7.646,7.936) -- (7.476,7.891) -- (7.352,7.766) -- (7.306,7.596) -- (7.352,7.426) -- (7.476,7.302) -- (7.646,7.256) -- (7.816,7.302) -- (7.941,7.426) -- cycle;
\node at (7.646,7.596) {\scalebox{1.589}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.95,6.748) -- (6.904,6.918) -- (6.78,7.043) -- (6.61,7.088) -- (6.44,7.043) -- (6.315,6.918) -- (6.27,6.748) -- (6.315,6.578) -- (6.44,6.454) -- (6.61,6.408) -- (6.78,6.454) -- (6.904,6.578) -- cycle;
\node at (6.61,6.748) {\scalebox{1.589}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.685,7.088) -- (9.64,7.258) -- (9.515,7.382) -- (9.345,7.428) -- (9.175,7.382) -- (9.051,7.258) -- (9.005,7.088) -- (9.051,6.918) -- (9.175,6.793) -- (9.345,6.748) -- (9.515,6.793) -- (9.64,6.918) -- cycle;
\node at (9.345,7.088) {\scalebox{1.589}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.574,5.99) -- (9.528,6.16) -- (9.404,6.285) -- (9.234,6.33) -- (9.064,6.285) -- (8.939,6.16) -- (8.894,5.99) -- (8.939,5.82) -- (9.064,5.696) -- (9.234,5.65) -- (9.404,5.696) -- (9.528,5.82) -- cycle;
\node at (9.234,5.99) {\scalebox{1.589}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.444,5.438) -- (3.398,5.608) -- (3.274,5.732) -- (3.104,5.778) -- (2.934,5.732) -- (2.809,5.608) -- (2.764,5.438) -- (2.809,5.268) -- (2.934,5.143) -- (3.104,5.098) -- (3.274,5.143) -- (3.398,5.268) -- cycle;
\node at (3.104,5.438) {\scalebox{1.589}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.16,3.841) -- (2.114,4.011) -- (1.99,4.135) -- (1.82,4.181) -- (1.65,4.135) -- (1.525,4.011) -- (1.48,3.841) -- (1.525,3.671) -- (1.65,3.546) -- (1.82,3.501) -- (1.99,3.546) -- (2.114,3.671) -- cycle;
\node at (1.82,3.841) {\scalebox{1.589}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.441,3.491) -- (3.395,3.661) -- (3.271,3.785) -- (3.101,3.831) -- (2.931,3.785) -- (2.806,3.661) -- (2.761,3.491) -- (2.806,3.321) -- (2.931,3.196) -- (3.101,3.151) -- (3.271,3.196) -- (3.395,3.321) -- cycle;
\node at (3.101,3.491) {\scalebox{1.589}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.672,2.845) -- (7.626,3.015) -- (7.502,3.14) -- (7.332,3.185) -- (7.162,3.14) -- (7.037,3.015) -- (6.992,2.845) -- (7.037,2.675) -- (7.162,2.551) -- (7.332,2.505) -- (7.502,2.551) -- (7.626,2.675) -- cycle;
\node at (7.332,2.845) {\scalebox{1.589}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.611,3.178) -- (11.566,3.348) -- (11.441,3.472) -- (11.271,3.518) -- (11.101,3.472) -- (10.977,3.348) -- (10.931,3.178) -- (10.977,3.008) -- (11.101,2.883) -- (11.271,2.838) -- (11.441,2.883) -- (11.566,3.008) -- cycle;
\node at (11.271,3.178) {\scalebox{1.589}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.332,8.808) -- (7.932,8.808) -- (7.932,9.408) -- (7.332,9.408) -- cycle;
\node at (7.632,9.108) {\scalebox{1.589}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.134,7.551) -- (10.734,7.551) -- (10.734,8.151) -- (10.134,8.151) -- cycle;
\node at (10.434,7.851) {\scalebox{1.589}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.731,9.488) -- (10.331,9.488) -- (10.331,10.088) -- (9.731,10.088) -- cycle;
\node at (10.031,9.788) {\scalebox{1.589}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.741,5.421) -- (2.341,5.421) -- (2.341,6.021) -- (1.741,6.021) -- cycle;
\node at (2.041,5.721) {\scalebox{1.589}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.35,7.406) -- (6.95,7.406) -- (6.95,8.006) -- (6.35,8.006) -- cycle;
\node at (6.65,7.706) {\scalebox{1.589}{\small e}};
\node at (11.507,9.919) {\scalebox{1.589}{\small A}};
\node at (7.745,9.718) {\scalebox{1.589}{\small B}};
\node at (7.54,6.69) {\scalebox{1.589}{\small C}};
\node at (0.805,5.524) {\scalebox{1.589}{\small D}};
\node at (4.119,4.868) {\scalebox{1.589}{\small E}};
\node at (11.514,4.859) {\scalebox{1.589}{\small F}};
\node at (0.765,1.887) {\scalebox{1.589}{\small G}};
\node at (11.753,0.95) {\scalebox{1.589}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.602,8.536) -- (12.602,9.636);
\draw[line width=0.5pt] (12.371,9.251) -- (12.602,9.636) -- (12.833,9.251);
\draw[line width=0.5pt] (12.299,9.086) -- (12.904,9.086);
\node at (12.602,10.021) {\scalebox{1.589}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue du Puits ①} vers l'est et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ③}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑪}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Verte ④}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
