\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 46}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=46}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0046}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7008, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.367,8.688) -- (7.1,8.72) -- (6.832,8.746) -- (6.563,8.765) -- (6.294,8.779) -- (6.024,8.786) -- (5.755,8.786) -- (5.485,8.78) -- (5.216,8.768) -- (4.947,8.75) -- (4.678,8.725) -- (4.411,8.694) -- (4.144,8.657) -- (3.878,8.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.897,8.634) -- (8.16,8.613) -- (8.422,8.585) -- (8.683,8.552) -- (8.944,8.512) -- (9.204,8.466) -- (9.462,8.414) -- (9.72,8.356) -- (9.975,8.292) -- (10.23,8.222) -- (10.482,8.146) -- (10.733,8.064) -- (10.981,7.977) -- (11.227,7.883);
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.301,8.477) -- (6.973,8.297) -- (6.648,8.109) -- (6.328,7.914) -- (6.013,7.711) -- (5.703,7.501) -- (5.397,7.283) -- (5.097,7.059) -- (4.802,6.827) -- (4.513,6.589) -- (4.229,6.343) -- (3.952,6.092) -- (3.68,5.834) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.878,8.614) -- (3.709,8.523) -- (3.538,8.436) -- (3.365,8.353) -- (3.189,8.274) -- (3.012,8.199) -- (2.833,8.129) -- (2.653,8.063) -- (2.471,8.001) -- (2.288,7.943) -- (2.103,7.89) -- (1.917,7.841) -- (1.73,7.796) -- (1.543,7.756) -- (1.354,7.72);
\draw[line width=0.5pt] (3.878,8.614) -- (3.812,8.403) -- (3.751,8.191) -- (3.695,7.977) -- (3.644,7.762) -- (3.598,7.546) -- (3.557,7.329) -- (3.521,7.111) -- (3.49,6.892) -- (3.465,6.672) -- (3.444,6.452) -- (3.429,6.232) -- (3.419,6.011) -- (3.414,5.79) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,7.883) -- (11.208,7.663) -- (11.184,7.443) -- (11.155,7.224) -- (11.12,7.005) -- (11.081,6.788) -- (11.036,6.571) -- (10.986,6.355) -- (10.931,6.141) -- (10.871,5.928) -- (10.806,5.717) -- (10.736,5.507) -- (10.661,5.299) -- (10.582,5.092) -- (10.497,4.888);
\draw[line width=0.5pt] (1.354,7.72) -- (1.477,7.545) -- (1.603,7.373) -- (1.734,7.204) -- (1.869,7.038) -- (2.007,6.875) -- (2.15,6.716) -- (2.296,6.56) -- (2.445,6.407) -- (2.599,6.258) -- (2.755,6.113) -- (2.915,5.971) -- (3.079,5.833) -- (3.245,5.699) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.415,5.569) -- (3.664,5.619) -- (3.914,5.663) -- (4.165,5.7) -- (4.417,5.732) -- (4.669,5.758) -- (4.922,5.778) -- (5.176,5.792) -- (5.43,5.8) -- (5.684,5.802) -- (5.938,5.798) -- (6.191,5.788) -- (6.445,5.772) -- (6.698,5.751) -- (6.95,5.723) -- (7.192,5.625) -- (7.437,5.533) -- (7.683,5.446) -- (7.932,5.366) -- (8.183,5.291) -- (8.435,5.222) -- (8.689,5.159) -- (8.944,5.102) -- (9.201,5.051) -- (9.459,5.006) -- (9.717,4.968) -- (9.977,4.935) -- (10.237,4.908) -- (10.497,4.888);
\draw[line width=0.5pt] (10.497,4.888) -- (10.254,4.71) -- (10.014,4.526) -- (9.779,4.336) -- (9.548,4.14) -- (9.322,3.94) -- (9.101,3.733) -- (8.884,3.522) -- (8.673,3.306) -- (8.467,3.085) -- (8.266,2.859) -- (8.07,2.629) -- (7.88,2.394) -- (7.695,2.154) -- (7.517,1.911);
\draw[line width=0.5pt] (10.497,4.888) -- (10.596,4.65) -- (10.689,4.41) -- (10.777,4.167) -- (10.859,3.923) -- (10.935,3.676) -- (11.005,3.428) -- (11.07,3.178) -- (11.128,2.927) -- (11.181,2.674) -- (11.228,2.421) -- (11.268,2.166) -- (11.303,1.911) -- (11.332,1.654) -- (11.354,1.398);
\draw[line width=0.5pt] (7.517,1.911) -- (7.783,1.832) -- (8.051,1.76) -- (8.321,1.695) -- (8.593,1.635) -- (8.865,1.582) -- (9.139,1.536) -- (9.414,1.496) -- (9.69,1.462) -- (9.967,1.435) -- (10.244,1.415) -- (10.521,1.401) -- (10.799,1.393) -- (11.076,1.392) -- (11.354,1.398);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.794,8.649) -- (7.772,8.729) -- (7.714,8.788) -- (7.634,8.809) -- (7.554,8.788) -- (7.495,8.729) -- (7.474,8.649) -- (7.495,8.569) -- (7.554,8.51) -- (7.634,8.489) -- (7.714,8.51) -- (7.772,8.569) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.038,8.614) -- (4.017,8.694) -- (3.958,8.752) -- (3.878,8.774) -- (3.798,8.752) -- (3.74,8.694) -- (3.718,8.614) -- (3.74,8.534) -- (3.798,8.475) -- (3.878,8.454) -- (3.958,8.475) -- (4.017,8.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.387,7.883) -- (11.366,7.963) -- (11.307,8.022) -- (11.227,8.043) -- (11.147,8.022) -- (11.089,7.963) -- (11.067,7.883) -- (11.089,7.803) -- (11.147,7.744) -- (11.227,7.723) -- (11.307,7.744) -- (11.366,7.803) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.514,7.72) -- (1.493,7.8) -- (1.434,7.859) -- (1.354,7.88) -- (1.274,7.859) -- (1.215,7.8) -- (1.194,7.72) -- (1.215,7.64) -- (1.274,7.582) -- (1.354,7.56) -- (1.434,7.582) -- (1.493,7.64) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.575,5.569) -- (3.553,5.649) -- (3.495,5.708) -- (3.415,5.729) -- (3.335,5.708) -- (3.276,5.649) -- (3.255,5.569) -- (3.276,5.489) -- (3.335,5.431) -- (3.415,5.409) -- (3.495,5.431) -- (3.553,5.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.657,4.888) -- (10.636,4.968) -- (10.577,5.027) -- (10.497,5.048) -- (10.417,5.027) -- (10.359,4.968) -- (10.337,4.888) -- (10.359,4.808) -- (10.417,4.75) -- (10.497,4.728) -- (10.577,4.75) -- (10.636,4.808) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.677,1.911) -- (7.655,1.991) -- (7.597,2.049) -- (7.517,2.071) -- (7.437,2.049) -- (7.378,1.991) -- (7.357,1.911) -- (7.378,1.831) -- (7.437,1.772) -- (7.517,1.751) -- (7.597,1.772) -- (7.655,1.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.514,1.398) -- (11.493,1.478) -- (11.434,1.536) -- (11.354,1.558) -- (11.274,1.536) -- (11.215,1.478) -- (11.194,1.398) -- (11.215,1.318) -- (11.274,1.259) -- (11.354,1.238) -- (11.434,1.259) -- (11.493,1.318) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.098,8.466) -- (6.052,8.636) -- (5.928,8.761) -- (5.758,8.806) -- (5.588,8.761) -- (5.463,8.636) -- (5.418,8.466) -- (5.463,8.296) -- (5.588,8.172) -- (5.758,8.126) -- (5.928,8.172) -- (6.052,8.296) -- cycle;
\node at (5.758,8.466) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.869,8.727) -- (9.823,8.897) -- (9.699,9.022) -- (9.529,9.067) -- (9.359,9.022) -- (9.234,8.897) -- (9.189,8.727) -- (9.234,8.557) -- (9.359,8.433) -- (9.529,8.387) -- (9.699,8.433) -- (9.823,8.557) -- cycle;
\node at (9.529,8.727) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.926,7.025) -- (5.88,7.195) -- (5.756,7.319) -- (5.586,7.365) -- (5.416,7.319) -- (5.292,7.195) -- (5.246,7.025) -- (5.292,6.855) -- (5.416,6.73) -- (5.586,6.685) -- (5.756,6.73) -- (5.88,6.855) -- cycle;
\node at (5.586,7.025) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.1,7.761) -- (3.054,7.931) -- (2.93,8.056) -- (2.76,8.101) -- (2.59,8.056) -- (2.465,7.931) -- (2.42,7.761) -- (2.465,7.591) -- (2.59,7.467) -- (2.76,7.421) -- (2.93,7.467) -- (3.054,7.591) -- cycle;
\node at (2.76,7.761) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.177,7.062) -- (4.132,7.232) -- (4.007,7.357) -- (3.837,7.402) -- (3.667,7.357) -- (3.543,7.232) -- (3.497,7.062) -- (3.543,6.892) -- (3.667,6.768) -- (3.837,6.722) -- (4.007,6.768) -- (4.132,6.892) -- cycle;
\node at (3.837,7.062) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.637,6.28) -- (11.591,6.45) -- (11.467,6.574) -- (11.297,6.62) -- (11.127,6.574) -- (11.002,6.45) -- (10.957,6.28) -- (11.002,6.11) -- (11.127,5.985) -- (11.297,5.94) -- (11.467,5.985) -- (11.591,6.11) -- cycle;
\node at (11.297,6.28) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.867,6.781) -- (2.821,6.951) -- (2.697,7.076) -- (2.527,7.121) -- (2.357,7.076) -- (2.232,6.951) -- (2.187,6.781) -- (2.232,6.611) -- (2.357,6.487) -- (2.527,6.441) -- (2.697,6.487) -- (2.821,6.611) -- cycle;
\node at (2.527,6.781) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.369,6.033) -- (7.323,6.203) -- (7.199,6.327) -- (7.029,6.373) -- (6.859,6.327) -- (6.734,6.203) -- (6.689,6.033) -- (6.734,5.863) -- (6.859,5.738) -- (7.029,5.693) -- (7.199,5.738) -- (7.323,5.863) -- cycle;
\node at (7.029,6.033) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.45,3.296) -- (9.405,3.466) -- (9.28,3.59) -- (9.11,3.636) -- (8.94,3.59) -- (8.816,3.466) -- (8.77,3.296) -- (8.816,3.126) -- (8.94,3.001) -- (9.11,2.956) -- (9.28,3.001) -- (9.405,3.126) -- cycle;
\node at (9.11,3.296) {\scalebox{1.427}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.72,3.255) -- (11.675,3.425) -- (11.55,3.549) -- (11.38,3.595) -- (11.21,3.549) -- (11.086,3.425) -- (11.04,3.255) -- (11.086,3.085) -- (11.21,2.96) -- (11.38,2.915) -- (11.55,2.96) -- (11.675,3.085) -- cycle;
\node at (11.38,3.255) {\scalebox{1.427}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.797,1.813) -- (9.751,1.983) -- (9.627,2.107) -- (9.457,2.153) -- (9.287,2.107) -- (9.162,1.983) -- (9.117,1.813) -- (9.162,1.643) -- (9.287,1.519) -- (9.457,1.473) -- (9.627,1.519) -- (9.751,1.643) -- cycle;
\node at (9.457,1.813) {\scalebox{1.427}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.334,8.349) -- (7.934,8.349) -- (7.934,8.949) -- (7.334,8.949) -- cycle;
\node at (7.634,8.649) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.959,9.515) -- (10.559,9.515) -- (10.559,10.115) -- (9.959,10.115) -- cycle;
\node at (10.259,9.815) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.922,8.896) -- (5.522,8.896) -- (5.522,9.496) -- (4.922,9.496) -- cycle;
\node at (5.222,9.196) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.326,6.909) -- (1.926,6.909) -- (1.926,7.509) -- (1.326,7.509) -- cycle;
\node at (1.626,7.209) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.772,0.809) -- (10.372,0.809) -- (10.372,1.409) -- (9.772,1.409) -- cycle;
\node at (10.072,1.109) {\scalebox{1.427}{\small e}};
\node at (7.747,9.259) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (3.409,9.018) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (11.782,8.16) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (0.765,7.914) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (2.796,5.526) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (11.095,4.722) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\node at (7.581,1.294) {\scalebox{1.427}{\small G}};
\node at (11.783,0.95) {\scalebox{1.427}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.654,7.699) -- (12.654,8.799);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,8.414) -- (12.654,8.799) -- (12.885,8.414);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,8.249) -- (12.957,8.249);
\node at (12.654,9.184) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑦ passage du Marché & Ⓐ Rond-point du Stade & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑧ sentier des Prés & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ rue du Pont & ⑨ venelle du Chat & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓓ Place Sainte-Croix & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ rue Verte & ⑪ rue Haute & Ⓔ Rond-point de la Poste & \textbf{e} l'école \\ \hline
⑥ boulevard du Parc &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.627, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.367,8.688) -- (7.1,8.72) -- (6.832,8.746) -- (6.563,8.765) -- (6.294,8.779) -- (6.024,8.786) -- (5.755,8.786) -- (5.485,8.78) -- (5.216,8.768) -- (4.947,8.75) -- (4.678,8.725) -- (4.411,8.694) -- (4.144,8.657) -- (3.878,8.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.897,8.634) -- (8.16,8.613) -- (8.422,8.585) -- (8.683,8.552) -- (8.944,8.512) -- (9.204,8.466) -- (9.462,8.414) -- (9.72,8.356) -- (9.975,8.292) -- (10.23,8.222) -- (10.482,8.146) -- (10.733,8.064) -- (10.981,7.977) -- (11.227,7.883);
\draw[line width=0.5pt] (7.634,8.649) -- (7.301,8.477) -- (6.973,8.297) -- (6.648,8.109) -- (6.328,7.914) -- (6.013,7.711) -- (5.703,7.501) -- (5.397,7.283) -- (5.097,7.059) -- (4.802,6.827) -- (4.513,6.589) -- (4.229,6.343) -- (3.952,6.092) -- (3.68,5.834) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.878,8.614) -- (3.709,8.523) -- (3.538,8.436) -- (3.365,8.353) -- (3.189,8.274) -- (3.012,8.199) -- (2.833,8.129) -- (2.653,8.063) -- (2.471,8.001) -- (2.288,7.943) -- (2.103,7.89) -- (1.917,7.841) -- (1.73,7.796) -- (1.543,7.756) -- (1.354,7.72);
\draw[line width=0.5pt] (3.878,8.614) -- (3.812,8.403) -- (3.751,8.191) -- (3.695,7.977) -- (3.644,7.762) -- (3.598,7.546) -- (3.557,7.329) -- (3.521,7.111) -- (3.49,6.892) -- (3.465,6.672) -- (3.444,6.452) -- (3.429,6.232) -- (3.419,6.011) -- (3.414,5.79) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (11.227,7.883) -- (11.208,7.663) -- (11.184,7.443) -- (11.155,7.224) -- (11.12,7.005) -- (11.081,6.788) -- (11.036,6.571) -- (10.986,6.355) -- (10.931,6.141) -- (10.871,5.928) -- (10.806,5.717) -- (10.736,5.507) -- (10.661,5.299) -- (10.582,5.092) -- (10.497,4.888);
\draw[line width=0.5pt] (1.354,7.72) -- (1.477,7.545) -- (1.603,7.373) -- (1.734,7.204) -- (1.869,7.038) -- (2.007,6.875) -- (2.15,6.716) -- (2.296,6.56) -- (2.445,6.407) -- (2.599,6.258) -- (2.755,6.113) -- (2.915,5.971) -- (3.079,5.833) -- (3.245,5.699) -- (3.415,5.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.415,5.569) -- (3.664,5.619) -- (3.914,5.663) -- (4.165,5.7) -- (4.417,5.732) -- (4.669,5.758) -- (4.922,5.778) -- (5.176,5.792) -- (5.43,5.8) -- (5.684,5.802) -- (5.938,5.798) -- (6.191,5.788) -- (6.445,5.772) -- (6.698,5.751) -- (6.95,5.723) -- (7.192,5.625) -- (7.437,5.533) -- (7.683,5.446) -- (7.932,5.366) -- (8.183,5.291) -- (8.435,5.222) -- (8.689,5.159) -- (8.944,5.102) -- (9.201,5.051) -- (9.459,5.006) -- (9.717,4.968) -- (9.977,4.935) -- (10.237,4.908) -- (10.497,4.888);
\draw[line width=0.5pt] (10.497,4.888) -- (10.254,4.71) -- (10.014,4.526) -- (9.779,4.336) -- (9.548,4.14) -- (9.322,3.94) -- (9.101,3.733) -- (8.884,3.522) -- (8.673,3.306) -- (8.467,3.085) -- (8.266,2.859) -- (8.07,2.629) -- (7.88,2.394) -- (7.695,2.154) -- (7.517,1.911);
\draw[line width=0.5pt] (10.497,4.888) -- (10.596,4.65) -- (10.689,4.41) -- (10.777,4.167) -- (10.859,3.923) -- (10.935,3.676) -- (11.005,3.428) -- (11.07,3.178) -- (11.128,2.927) -- (11.181,2.674) -- (11.228,2.421) -- (11.268,2.166) -- (11.303,1.911) -- (11.332,1.654) -- (11.354,1.398);
\draw[line width=0.5pt] (7.517,1.911) -- (7.783,1.832) -- (8.051,1.76) -- (8.321,1.695) -- (8.593,1.635) -- (8.865,1.582) -- (9.139,1.536) -- (9.414,1.496) -- (9.69,1.462) -- (9.967,1.435) -- (10.244,1.415) -- (10.521,1.401) -- (10.799,1.393) -- (11.076,1.392) -- (11.354,1.398);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.794,8.649) -- (7.772,8.729) -- (7.714,8.788) -- (7.634,8.809) -- (7.554,8.788) -- (7.495,8.729) -- (7.474,8.649) -- (7.495,8.569) -- (7.554,8.51) -- (7.634,8.489) -- (7.714,8.51) -- (7.772,8.569) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.038,8.614) -- (4.017,8.694) -- (3.958,8.752) -- (3.878,8.774) -- (3.798,8.752) -- (3.74,8.694) -- (3.718,8.614) -- (3.74,8.534) -- (3.798,8.475) -- (3.878,8.454) -- (3.958,8.475) -- (4.017,8.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.387,7.883) -- (11.366,7.963) -- (11.307,8.022) -- (11.227,8.043) -- (11.147,8.022) -- (11.089,7.963) -- (11.067,7.883) -- (11.089,7.803) -- (11.147,7.744) -- (11.227,7.723) -- (11.307,7.744) -- (11.366,7.803) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.514,7.72) -- (1.493,7.8) -- (1.434,7.859) -- (1.354,7.88) -- (1.274,7.859) -- (1.215,7.8) -- (1.194,7.72) -- (1.215,7.64) -- (1.274,7.582) -- (1.354,7.56) -- (1.434,7.582) -- (1.493,7.64) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.575,5.569) -- (3.553,5.649) -- (3.495,5.708) -- (3.415,5.729) -- (3.335,5.708) -- (3.276,5.649) -- (3.255,5.569) -- (3.276,5.489) -- (3.335,5.431) -- (3.415,5.409) -- (3.495,5.431) -- (3.553,5.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.657,4.888) -- (10.636,4.968) -- (10.577,5.027) -- (10.497,5.048) -- (10.417,5.027) -- (10.359,4.968) -- (10.337,4.888) -- (10.359,4.808) -- (10.417,4.75) -- (10.497,4.728) -- (10.577,4.75) -- (10.636,4.808) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.677,1.911) -- (7.655,1.991) -- (7.597,2.049) -- (7.517,2.071) -- (7.437,2.049) -- (7.378,1.991) -- (7.357,1.911) -- (7.378,1.831) -- (7.437,1.772) -- (7.517,1.751) -- (7.597,1.772) -- (7.655,1.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.514,1.398) -- (11.493,1.478) -- (11.434,1.536) -- (11.354,1.558) -- (11.274,1.536) -- (11.215,1.478) -- (11.194,1.398) -- (11.215,1.318) -- (11.274,1.259) -- (11.354,1.238) -- (11.434,1.259) -- (11.493,1.318) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.098,8.466) -- (6.052,8.636) -- (5.928,8.761) -- (5.758,8.806) -- (5.588,8.761) -- (5.463,8.636) -- (5.418,8.466) -- (5.463,8.296) -- (5.588,8.172) -- (5.758,8.126) -- (5.928,8.172) -- (6.052,8.296) -- cycle;
\node at (5.758,8.466) {\scalebox{1.595}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.869,8.727) -- (9.823,8.897) -- (9.699,9.022) -- (9.529,9.067) -- (9.359,9.022) -- (9.234,8.897) -- (9.189,8.727) -- (9.234,8.557) -- (9.359,8.433) -- (9.529,8.387) -- (9.699,8.433) -- (9.823,8.557) -- cycle;
\node at (9.529,8.727) {\scalebox{1.595}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.926,7.025) -- (5.88,7.195) -- (5.756,7.319) -- (5.586,7.365) -- (5.416,7.319) -- (5.292,7.195) -- (5.246,7.025) -- (5.292,6.855) -- (5.416,6.73) -- (5.586,6.685) -- (5.756,6.73) -- (5.88,6.855) -- cycle;
\node at (5.586,7.025) {\scalebox{1.595}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.1,7.761) -- (3.054,7.931) -- (2.93,8.056) -- (2.76,8.101) -- (2.59,8.056) -- (2.465,7.931) -- (2.42,7.761) -- (2.465,7.591) -- (2.59,7.467) -- (2.76,7.421) -- (2.93,7.467) -- (3.054,7.591) -- cycle;
\node at (2.76,7.761) {\scalebox{1.595}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.177,7.062) -- (4.132,7.232) -- (4.007,7.357) -- (3.837,7.402) -- (3.667,7.357) -- (3.543,7.232) -- (3.497,7.062) -- (3.543,6.892) -- (3.667,6.768) -- (3.837,6.722) -- (4.007,6.768) -- (4.132,6.892) -- cycle;
\node at (3.837,7.062) {\scalebox{1.595}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.637,6.28) -- (11.591,6.45) -- (11.467,6.574) -- (11.297,6.62) -- (11.127,6.574) -- (11.002,6.45) -- (10.957,6.28) -- (11.002,6.11) -- (11.127,5.985) -- (11.297,5.94) -- (11.467,5.985) -- (11.591,6.11) -- cycle;
\node at (11.297,6.28) {\scalebox{1.595}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.867,6.781) -- (2.821,6.951) -- (2.697,7.076) -- (2.527,7.121) -- (2.357,7.076) -- (2.232,6.951) -- (2.187,6.781) -- (2.232,6.611) -- (2.357,6.487) -- (2.527,6.441) -- (2.697,6.487) -- (2.821,6.611) -- cycle;
\node at (2.527,6.781) {\scalebox{1.595}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.369,6.033) -- (7.323,6.203) -- (7.199,6.327) -- (7.029,6.373) -- (6.859,6.327) -- (6.734,6.203) -- (6.689,6.033) -- (6.734,5.863) -- (6.859,5.738) -- (7.029,5.693) -- (7.199,5.738) -- (7.323,5.863) -- cycle;
\node at (7.029,6.033) {\scalebox{1.595}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.45,3.296) -- (9.405,3.466) -- (9.28,3.59) -- (9.11,3.636) -- (8.94,3.59) -- (8.816,3.466) -- (8.77,3.296) -- (8.816,3.126) -- (8.94,3.001) -- (9.11,2.956) -- (9.28,3.001) -- (9.405,3.126) -- cycle;
\node at (9.11,3.296) {\scalebox{1.595}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.72,3.255) -- (11.675,3.425) -- (11.55,3.549) -- (11.38,3.595) -- (11.21,3.549) -- (11.086,3.425) -- (11.04,3.255) -- (11.086,3.085) -- (11.21,2.96) -- (11.38,2.915) -- (11.55,2.96) -- (11.675,3.085) -- cycle;
\node at (11.38,3.255) {\scalebox{1.595}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.797,1.813) -- (9.751,1.983) -- (9.627,2.107) -- (9.457,2.153) -- (9.287,2.107) -- (9.162,1.983) -- (9.117,1.813) -- (9.162,1.643) -- (9.287,1.519) -- (9.457,1.473) -- (9.627,1.519) -- (9.751,1.643) -- cycle;
\node at (9.457,1.813) {\scalebox{1.595}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.334,8.349) -- (7.934,8.349) -- (7.934,8.949) -- (7.334,8.949) -- cycle;
\node at (7.634,8.649) {\scalebox{1.595}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.959,9.515) -- (10.559,9.515) -- (10.559,10.115) -- (9.959,10.115) -- cycle;
\node at (10.259,9.815) {\scalebox{1.595}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.922,8.896) -- (5.522,8.896) -- (5.522,9.496) -- (4.922,9.496) -- cycle;
\node at (5.222,9.196) {\scalebox{1.595}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.326,6.909) -- (1.926,6.909) -- (1.926,7.509) -- (1.326,7.509) -- cycle;
\node at (1.626,7.209) {\scalebox{1.595}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.772,0.809) -- (10.372,0.809) -- (10.372,1.409) -- (9.772,1.409) -- cycle;
\node at (10.072,1.109) {\scalebox{1.595}{\small e}};
\node at (7.747,9.259) {\scalebox{1.595}{\small A}};
\node at (3.409,9.018) {\scalebox{1.595}{\small B}};
\node at (11.782,8.16) {\scalebox{1.595}{\small C}};
\node at (0.765,7.914) {\scalebox{1.595}{\small D}};
\node at (2.796,5.526) {\scalebox{1.595}{\small E}};
\node at (11.095,4.722) {\scalebox{1.595}{\small F}};
\node at (7.581,1.294) {\scalebox{1.595}{\small G}};
\node at (11.783,0.95) {\scalebox{1.595}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.654,7.699) -- (12.654,8.799);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,8.414) -- (12.654,8.799) -- (12.885,8.414);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,8.249) -- (12.957,8.249);
\node at (12.654,9.184) {\scalebox{1.595}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{B}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{A}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue Pasteur ①} vers l'ouest et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Lilas ④}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ③}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(A)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin Creux ②}, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑪}, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{B} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
