\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 47}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=47}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0047}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6973, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.08,8.537) -- (4.371,8.42) -- (4.664,8.31) -- (4.96,8.207) -- (5.258,8.111) -- (5.559,8.022) -- (5.861,7.94) -- (6.166,7.865) -- (6.472,7.798) -- (6.779,7.737) -- (7.088,7.684) -- (7.398,7.638) -- (7.709,7.599) -- (8.021,7.568) -- (8.333,7.544);
\draw[line width=0.5pt] (4.08,8.537) -- (4.199,8.313) -- (4.313,8.086) -- (4.421,7.856) -- (4.524,7.623) -- (4.621,7.388) -- (4.713,7.151) -- (4.799,6.912) -- (4.88,6.671) -- (4.954,6.428) -- (5.024,6.183) -- (5.087,5.937) -- (5.144,5.69) -- (5.196,5.441) -- (5.242,5.191);
\draw[line width=0.5pt] (11.244,8.42) -- (11.028,8.389) -- (10.813,8.354) -- (10.599,8.314) -- (10.385,8.268) -- (10.173,8.218) -- (9.962,8.162) -- (9.752,8.102) -- (9.544,8.037) -- (9.337,7.966) -- (9.133,7.891) -- (8.93,7.812) -- (8.729,7.727) -- (8.53,7.638) -- (8.333,7.544);
\draw[line width=0.5pt] (11.244,8.42) -- (11.287,8.179) -- (11.323,7.937) -- (11.355,7.694) -- (11.38,7.45) -- (11.4,7.206) -- (11.414,6.961) -- (11.422,6.717) -- (11.425,6.472) -- (11.422,6.227) -- (11.413,5.982) -- (11.398,5.737) -- (11.377,5.493) -- (11.351,5.25) -- (11.319,5.008);
\draw[line width=0.5pt] (8.333,7.544) -- (8.517,7.332) -- (8.706,7.124) -- (8.899,6.92) -- (9.098,6.721) -- (9.301,6.527) -- (9.509,6.337) -- (9.721,6.153) -- (9.938,5.973) -- (10.158,5.799) -- (10.383,5.629) -- (10.612,5.466) -- (10.844,5.307) -- (11.08,5.155) -- (11.319,5.008);
\draw[line width=0.5pt] (8.333,7.544) -- (8.278,7.303) -- (8.217,7.064) -- (8.15,6.826) -- (8.078,6.589) -- (8.0,6.354) -- (7.916,6.121) -- (7.828,5.891) -- (7.733,5.662) -- (7.634,5.435) -- (7.529,5.211) -- (7.419,4.99) -- (7.304,4.771) -- (7.184,4.555) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (5.242,5.191) -- (5.361,5.111) -- (5.482,5.034) -- (5.606,4.959) -- (5.731,4.888) -- (5.857,4.82) -- (5.985,4.754) -- (6.115,4.692) -- (6.246,4.632) -- (6.378,4.576) -- (6.512,4.523) -- (6.647,4.473) -- (6.783,4.426) -- (6.92,4.382) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (5.242,5.191) -- (5.0,4.91) -- (4.753,4.635) -- (4.498,4.366) -- (4.237,4.102) -- (3.971,3.845) -- (3.698,3.594) -- (3.419,3.35) -- (3.135,3.112) -- (2.845,2.881) -- (2.549,2.657) -- (2.249,2.44) -- (1.944,2.23) -- (1.634,2.028) -- (1.319,1.833);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.008) -- (11.01,5.007) -- (10.701,4.999) -- (10.392,4.984) -- (10.083,4.962) -- (9.775,4.932) -- (9.468,4.895) -- (9.161,4.851) -- (8.856,4.799) -- (8.552,4.741) -- (8.249,4.675) -- (7.949,4.603) -- (7.65,4.523) -- (7.353,4.436) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.008) -- (11.314,4.76) -- (11.303,4.513) -- (11.286,4.266) -- (11.263,4.02) -- (11.235,3.774) -- (11.201,3.528) -- (11.161,3.284) -- (11.115,3.041) -- (11.063,2.798) -- (11.006,2.557) -- (10.944,2.318) -- (10.875,2.08) -- (10.801,1.844) -- (10.722,1.61);
\draw[line width=0.5pt] (7.058,4.342) -- (7.056,4.142) -- (7.058,3.941) -- (7.065,3.74) -- (7.076,3.539) -- (7.092,3.339) -- (7.113,3.139) -- (7.139,2.94) -- (7.17,2.741) -- (7.205,2.543) -- (7.244,2.346) -- (7.288,2.151) -- (7.337,1.956) -- (7.391,1.762) -- (7.449,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,1.833) -- (1.593,1.901) -- (1.869,1.963) -- (2.146,2.018) -- (2.425,2.067) -- (2.705,2.109) -- (2.985,2.145) -- (3.267,2.174) -- (3.549,2.196) -- (3.831,2.212) -- (4.114,2.221) -- (4.397,2.224) -- (4.68,2.219) -- (4.962,2.208) -- (5.244,2.191) -- (5.394,2.123) -- (5.545,2.058) -- (5.697,1.997) -- (5.851,1.94) -- (6.007,1.886) -- (6.163,1.836) -- (6.321,1.79) -- (6.48,1.747) -- (6.639,1.708) -- (6.8,1.673) -- (6.961,1.641) -- (7.123,1.614) -- (7.286,1.59) -- (7.449,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.722,1.61) -- (10.489,1.643) -- (10.256,1.67) -- (10.023,1.692) -- (9.788,1.709) -- (9.554,1.719) -- (9.319,1.725) -- (9.084,1.725) -- (8.849,1.719) -- (8.614,1.708) -- (8.38,1.691) -- (8.146,1.669) -- (7.913,1.642) -- (7.68,1.609) -- (7.449,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,8.537) -- (4.219,8.617) -- (4.16,8.676) -- (4.08,8.697) -- (4.0,8.676) -- (3.942,8.617) -- (3.92,8.537) -- (3.942,8.457) -- (4.0,8.399) -- (4.08,8.377) -- (4.16,8.399) -- (4.219,8.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.404,8.42) -- (11.382,8.5) -- (11.324,8.558) -- (11.244,8.58) -- (11.164,8.558) -- (11.105,8.5) -- (11.084,8.42) -- (11.105,8.34) -- (11.164,8.281) -- (11.244,8.26) -- (11.324,8.281) -- (11.382,8.34) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.493,7.544) -- (8.471,7.624) -- (8.413,7.683) -- (8.333,7.704) -- (8.253,7.683) -- (8.194,7.624) -- (8.173,7.544) -- (8.194,7.464) -- (8.253,7.405) -- (8.333,7.384) -- (8.413,7.405) -- (8.471,7.464) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.402,5.191) -- (5.38,5.271) -- (5.322,5.329) -- (5.242,5.351) -- (5.162,5.329) -- (5.103,5.271) -- (5.082,5.191) -- (5.103,5.111) -- (5.162,5.052) -- (5.242,5.031) -- (5.322,5.052) -- (5.38,5.111) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,5.008) -- (11.458,5.088) -- (11.399,5.146) -- (11.319,5.168) -- (11.239,5.146) -- (11.181,5.088) -- (11.159,5.008) -- (11.181,4.928) -- (11.239,4.869) -- (11.319,4.848) -- (11.399,4.869) -- (11.458,4.928) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.218,4.342) -- (7.197,4.422) -- (7.138,4.481) -- (7.058,4.502) -- (6.978,4.481) -- (6.92,4.422) -- (6.898,4.342) -- (6.92,4.262) -- (6.978,4.204) -- (7.058,4.182) -- (7.138,4.204) -- (7.197,4.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,1.833) -- (1.458,1.913) -- (1.399,1.971) -- (1.319,1.993) -- (1.239,1.971) -- (1.181,1.913) -- (1.159,1.833) -- (1.181,1.753) -- (1.239,1.694) -- (1.319,1.673) -- (1.399,1.694) -- (1.458,1.753) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.882,1.61) -- (10.86,1.69) -- (10.802,1.748) -- (10.722,1.77) -- (10.642,1.748) -- (10.583,1.69) -- (10.562,1.61) -- (10.583,1.53) -- (10.642,1.471) -- (10.722,1.45) -- (10.802,1.471) -- (10.86,1.53) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.609,1.57) -- (7.587,1.65) -- (7.529,1.709) -- (7.449,1.73) -- (7.369,1.709) -- (7.31,1.65) -- (7.289,1.57) -- (7.31,1.49) -- (7.369,1.431) -- (7.449,1.41) -- (7.529,1.431) -- (7.587,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.578,8.177) -- (6.533,8.347) -- (6.408,8.471) -- (6.238,8.517) -- (6.068,8.471) -- (5.944,8.347) -- (5.898,8.177) -- (5.944,8.007) -- (6.068,7.882) -- (6.238,7.837) -- (6.408,7.882) -- (6.533,8.007) -- cycle;
\node at (6.238,8.177) {\scalebox{1.434}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.441,7.017) -- (5.396,7.187) -- (5.271,7.311) -- (5.101,7.357) -- (4.931,7.311) -- (4.807,7.187) -- (4.761,7.017) -- (4.807,6.847) -- (4.931,6.722) -- (5.101,6.677) -- (5.271,6.722) -- (5.396,6.847) -- cycle;
\node at (5.101,7.017) {\scalebox{1.434}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.184,7.795) -- (10.139,7.965) -- (10.014,8.09) -- (9.844,8.135) -- (9.674,8.09) -- (9.55,7.965) -- (9.504,7.795) -- (9.55,7.625) -- (9.674,7.501) -- (9.844,7.455) -- (10.014,7.501) -- (10.139,7.625) -- cycle;
\node at (9.844,7.795) {\scalebox{1.434}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.082,6.724) -- (12.037,6.894) -- (11.912,7.018) -- (11.742,7.064) -- (11.572,7.018) -- (11.448,6.894) -- (11.402,6.724) -- (11.448,6.554) -- (11.572,6.429) -- (11.742,6.384) -- (11.912,6.429) -- (12.037,6.554) -- cycle;
\node at (11.742,6.724) {\scalebox{1.434}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.269,6.396) -- (10.223,6.566) -- (10.099,6.691) -- (9.929,6.736) -- (9.759,6.691) -- (9.634,6.566) -- (9.589,6.396) -- (9.634,6.226) -- (9.759,6.102) -- (9.929,6.056) -- (10.099,6.102) -- (10.223,6.226) -- cycle;
\node at (9.929,6.396) {\scalebox{1.434}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.465,5.772) -- (8.419,5.942) -- (8.295,6.067) -- (8.125,6.112) -- (7.955,6.067) -- (7.83,5.942) -- (7.785,5.772) -- (7.83,5.602) -- (7.955,5.478) -- (8.125,5.432) -- (8.295,5.478) -- (8.419,5.602) -- cycle;
\node at (8.125,5.772) {\scalebox{1.434}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.59,4.982) -- (6.545,5.152) -- (6.42,5.276) -- (6.25,5.322) -- (6.08,5.276) -- (5.956,5.152) -- (5.91,4.982) -- (5.956,4.812) -- (6.08,4.687) -- (6.25,4.642) -- (6.42,4.687) -- (6.545,4.812) -- cycle;
\node at (6.25,4.982) {\scalebox{1.434}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.967,3.107) -- (3.921,3.277) -- (3.797,3.401) -- (3.627,3.447) -- (3.457,3.401) -- (3.333,3.277) -- (3.287,3.107) -- (3.333,2.937) -- (3.457,2.812) -- (3.627,2.767) -- (3.797,2.812) -- (3.921,2.937) -- cycle;
\node at (3.627,3.107) {\scalebox{1.434}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.551,4.534) -- (9.505,4.704) -- (9.381,4.829) -- (9.211,4.874) -- (9.041,4.829) -- (8.916,4.704) -- (8.871,4.534) -- (8.916,4.364) -- (9.041,4.24) -- (9.211,4.194) -- (9.381,4.24) -- (9.505,4.364) -- cycle;
\node at (9.211,4.534) {\scalebox{1.434}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.816,3.229) -- (11.77,3.399) -- (11.646,3.523) -- (11.476,3.569) -- (11.306,3.523) -- (11.181,3.399) -- (11.136,3.229) -- (11.181,3.059) -- (11.306,2.934) -- (11.476,2.889) -- (11.646,2.934) -- (11.77,3.059) -- cycle;
\node at (11.476,3.229) {\scalebox{1.434}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.796,2.985) -- (7.75,3.155) -- (7.626,3.279) -- (7.456,3.325) -- (7.286,3.279) -- (7.162,3.155) -- (7.116,2.985) -- (7.162,2.815) -- (7.286,2.69) -- (7.456,2.645) -- (7.626,2.69) -- (7.75,2.815) -- cycle;
\node at (7.456,2.985) {\scalebox{1.434}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.647,2.505) -- (5.601,2.675) -- (5.477,2.799) -- (5.307,2.845) -- (5.137,2.799) -- (5.012,2.675) -- (4.967,2.505) -- (5.012,2.335) -- (5.137,2.21) -- (5.307,2.165) -- (5.477,2.21) -- (5.601,2.335) -- cycle;
\node at (5.307,2.505) {\scalebox{1.434}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.428,1.405) -- (9.382,1.575) -- (9.258,1.699) -- (9.088,1.745) -- (8.918,1.699) -- (8.793,1.575) -- (8.748,1.405) -- (8.793,1.235) -- (8.918,1.11) -- (9.088,1.065) -- (9.258,1.11) -- (9.382,1.235) -- cycle;
\node at (9.088,1.405) {\scalebox{1.434}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.942,4.891) -- (5.542,4.891) -- (5.542,5.491) -- (4.942,5.491) -- cycle;
\node at (5.242,5.191) {\scalebox{1.434}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.424,2.482) -- (13.024,2.482) -- (13.024,3.082) -- (12.424,3.082) -- cycle;
\node at (12.724,2.782) {\scalebox{1.434}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.048,4.89) -- (6.648,4.89) -- (6.648,5.49) -- (6.048,5.49) -- cycle;
\node at (6.348,5.19) {\scalebox{1.434}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,7.588) -- (4.859,7.588) -- (4.859,8.188) -- (4.259,8.188) -- cycle;
\node at (4.559,7.888) {\scalebox{1.434}{\small d}};
\node at (3.661,8.994) {\scalebox{1.434}{\small A}};
\node at (11.7,8.84) {\scalebox{1.434}{\small B}};
\node at (8.535,8.13) {\scalebox{1.434}{\small C}};
\node at (4.627,5.274) {\scalebox{1.434}{\small D}};
\node at (11.939,5.025) {\scalebox{1.434}{\small E}};
\node at (6.72,3.823) {\scalebox{1.434}{\small F}};
\node at (0.765,1.555) {\scalebox{1.434}{\small G}};
\node at (11.161,1.172) {\scalebox{1.434}{\small H}};
\node at (7.454,0.95) {\scalebox{1.434}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,7.587) -- (12.619,8.687);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.302) -- (12.619,8.687) -- (12.85,8.302);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.137) -- (12.922,8.137);
\node at (12.619,9.072) {\scalebox{1.434}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑧ rue du Moulin & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② avenue de la Gare & ⑨ rue Haute & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑩ rue Neuve & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑪ rue du Stade & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ passage du Marché & ⑫ rue de la Mairie & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
⑥ rue du Puits & ⑬ rue Verte & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑦ rue de l'Église &  & Ⓖ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6239, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.08,8.537) -- (4.371,8.42) -- (4.664,8.31) -- (4.96,8.207) -- (5.258,8.111) -- (5.559,8.022) -- (5.861,7.94) -- (6.166,7.865) -- (6.472,7.798) -- (6.779,7.737) -- (7.088,7.684) -- (7.398,7.638) -- (7.709,7.599) -- (8.021,7.568) -- (8.333,7.544);
\draw[line width=0.5pt] (4.08,8.537) -- (4.199,8.313) -- (4.313,8.086) -- (4.421,7.856) -- (4.524,7.623) -- (4.621,7.388) -- (4.713,7.151) -- (4.799,6.912) -- (4.88,6.671) -- (4.954,6.428) -- (5.024,6.183) -- (5.087,5.937) -- (5.144,5.69) -- (5.196,5.441) -- (5.242,5.191);
\draw[line width=0.5pt] (11.244,8.42) -- (11.028,8.389) -- (10.813,8.354) -- (10.599,8.314) -- (10.385,8.268) -- (10.173,8.218) -- (9.962,8.162) -- (9.752,8.102) -- (9.544,8.037) -- (9.337,7.966) -- (9.133,7.891) -- (8.93,7.812) -- (8.729,7.727) -- (8.53,7.638) -- (8.333,7.544);
\draw[line width=0.5pt] (11.244,8.42) -- (11.287,8.179) -- (11.323,7.937) -- (11.355,7.694) -- (11.38,7.45) -- (11.4,7.206) -- (11.414,6.961) -- (11.422,6.717) -- (11.425,6.472) -- (11.422,6.227) -- (11.413,5.982) -- (11.398,5.737) -- (11.377,5.493) -- (11.351,5.25) -- (11.319,5.008);
\draw[line width=0.5pt] (8.333,7.544) -- (8.517,7.332) -- (8.706,7.124) -- (8.899,6.92) -- (9.098,6.721) -- (9.301,6.527) -- (9.509,6.337) -- (9.721,6.153) -- (9.938,5.973) -- (10.158,5.799) -- (10.383,5.629) -- (10.612,5.466) -- (10.844,5.307) -- (11.08,5.155) -- (11.319,5.008);
\draw[line width=0.5pt] (8.333,7.544) -- (8.278,7.303) -- (8.217,7.064) -- (8.15,6.826) -- (8.078,6.589) -- (8.0,6.354) -- (7.916,6.121) -- (7.828,5.891) -- (7.733,5.662) -- (7.634,5.435) -- (7.529,5.211) -- (7.419,4.99) -- (7.304,4.771) -- (7.184,4.555) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (5.242,5.191) -- (5.361,5.111) -- (5.482,5.034) -- (5.606,4.959) -- (5.731,4.888) -- (5.857,4.82) -- (5.985,4.754) -- (6.115,4.692) -- (6.246,4.632) -- (6.378,4.576) -- (6.512,4.523) -- (6.647,4.473) -- (6.783,4.426) -- (6.92,4.382) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (5.242,5.191) -- (5.0,4.91) -- (4.753,4.635) -- (4.498,4.366) -- (4.237,4.102) -- (3.971,3.845) -- (3.698,3.594) -- (3.419,3.35) -- (3.135,3.112) -- (2.845,2.881) -- (2.549,2.657) -- (2.249,2.44) -- (1.944,2.23) -- (1.634,2.028) -- (1.319,1.833);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.008) -- (11.01,5.007) -- (10.701,4.999) -- (10.392,4.984) -- (10.083,4.962) -- (9.775,4.932) -- (9.468,4.895) -- (9.161,4.851) -- (8.856,4.799) -- (8.552,4.741) -- (8.249,4.675) -- (7.949,4.603) -- (7.65,4.523) -- (7.353,4.436) -- (7.058,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.008) -- (11.314,4.76) -- (11.303,4.513) -- (11.286,4.266) -- (11.263,4.02) -- (11.235,3.774) -- (11.201,3.528) -- (11.161,3.284) -- (11.115,3.041) -- (11.063,2.798) -- (11.006,2.557) -- (10.944,2.318) -- (10.875,2.08) -- (10.801,1.844) -- (10.722,1.61);
\draw[line width=0.5pt] (7.058,4.342) -- (7.056,4.142) -- (7.058,3.941) -- (7.065,3.74) -- (7.076,3.539) -- (7.092,3.339) -- (7.113,3.139) -- (7.139,2.94) -- (7.17,2.741) -- (7.205,2.543) -- (7.244,2.346) -- (7.288,2.151) -- (7.337,1.956) -- (7.391,1.762) -- (7.449,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,1.833) -- (1.593,1.901) -- (1.869,1.963) -- (2.146,2.018) -- (2.425,2.067) -- (2.705,2.109) -- (2.985,2.145) -- (3.267,2.174) -- (3.549,2.196) -- (3.831,2.212) -- (4.114,2.221) -- (4.397,2.224) -- (4.68,2.219) -- (4.962,2.208) -- (5.244,2.191) -- (5.394,2.123) -- (5.545,2.058) -- (5.697,1.997) -- (5.851,1.94) -- (6.007,1.886) -- (6.163,1.836) -- (6.321,1.79) -- (6.48,1.747) -- (6.639,1.708) -- (6.8,1.673) -- (6.961,1.641) -- (7.123,1.614) -- (7.286,1.59) -- (7.449,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (10.722,1.61) -- (10.489,1.643) -- (10.256,1.67) -- (10.023,1.692) -- (9.788,1.709) -- (9.554,1.719) -- (9.319,1.725) -- (9.084,1.725) -- (8.849,1.719) -- (8.614,1.708) -- (8.38,1.691) -- (8.146,1.669) -- (7.913,1.642) -- (7.68,1.609) -- (7.449,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,8.537) -- (4.219,8.617) -- (4.16,8.676) -- (4.08,8.697) -- (4.0,8.676) -- (3.942,8.617) -- (3.92,8.537) -- (3.942,8.457) -- (4.0,8.399) -- (4.08,8.377) -- (4.16,8.399) -- (4.219,8.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.404,8.42) -- (11.382,8.5) -- (11.324,8.558) -- (11.244,8.58) -- (11.164,8.558) -- (11.105,8.5) -- (11.084,8.42) -- (11.105,8.34) -- (11.164,8.281) -- (11.244,8.26) -- (11.324,8.281) -- (11.382,8.34) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.493,7.544) -- (8.471,7.624) -- (8.413,7.683) -- (8.333,7.704) -- (8.253,7.683) -- (8.194,7.624) -- (8.173,7.544) -- (8.194,7.464) -- (8.253,7.405) -- (8.333,7.384) -- (8.413,7.405) -- (8.471,7.464) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.402,5.191) -- (5.38,5.271) -- (5.322,5.329) -- (5.242,5.351) -- (5.162,5.329) -- (5.103,5.271) -- (5.082,5.191) -- (5.103,5.111) -- (5.162,5.052) -- (5.242,5.031) -- (5.322,5.052) -- (5.38,5.111) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,5.008) -- (11.458,5.088) -- (11.399,5.146) -- (11.319,5.168) -- (11.239,5.146) -- (11.181,5.088) -- (11.159,5.008) -- (11.181,4.928) -- (11.239,4.869) -- (11.319,4.848) -- (11.399,4.869) -- (11.458,4.928) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.218,4.342) -- (7.197,4.422) -- (7.138,4.481) -- (7.058,4.502) -- (6.978,4.481) -- (6.92,4.422) -- (6.898,4.342) -- (6.92,4.262) -- (6.978,4.204) -- (7.058,4.182) -- (7.138,4.204) -- (7.197,4.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,1.833) -- (1.458,1.913) -- (1.399,1.971) -- (1.319,1.993) -- (1.239,1.971) -- (1.181,1.913) -- (1.159,1.833) -- (1.181,1.753) -- (1.239,1.694) -- (1.319,1.673) -- (1.399,1.694) -- (1.458,1.753) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.882,1.61) -- (10.86,1.69) -- (10.802,1.748) -- (10.722,1.77) -- (10.642,1.748) -- (10.583,1.69) -- (10.562,1.61) -- (10.583,1.53) -- (10.642,1.471) -- (10.722,1.45) -- (10.802,1.471) -- (10.86,1.53) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.609,1.57) -- (7.587,1.65) -- (7.529,1.709) -- (7.449,1.73) -- (7.369,1.709) -- (7.31,1.65) -- (7.289,1.57) -- (7.31,1.49) -- (7.369,1.431) -- (7.449,1.41) -- (7.529,1.431) -- (7.587,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.578,8.177) -- (6.533,8.347) -- (6.408,8.471) -- (6.238,8.517) -- (6.068,8.471) -- (5.944,8.347) -- (5.898,8.177) -- (5.944,8.007) -- (6.068,7.882) -- (6.238,7.837) -- (6.408,7.882) -- (6.533,8.007) -- cycle;
\node at (6.238,8.177) {\scalebox{1.603}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.441,7.017) -- (5.396,7.187) -- (5.271,7.311) -- (5.101,7.357) -- (4.931,7.311) -- (4.807,7.187) -- (4.761,7.017) -- (4.807,6.847) -- (4.931,6.722) -- (5.101,6.677) -- (5.271,6.722) -- (5.396,6.847) -- cycle;
\node at (5.101,7.017) {\scalebox{1.603}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.184,7.795) -- (10.139,7.965) -- (10.014,8.09) -- (9.844,8.135) -- (9.674,8.09) -- (9.55,7.965) -- (9.504,7.795) -- (9.55,7.625) -- (9.674,7.501) -- (9.844,7.455) -- (10.014,7.501) -- (10.139,7.625) -- cycle;
\node at (9.844,7.795) {\scalebox{1.603}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.082,6.724) -- (12.037,6.894) -- (11.912,7.018) -- (11.742,7.064) -- (11.572,7.018) -- (11.448,6.894) -- (11.402,6.724) -- (11.448,6.554) -- (11.572,6.429) -- (11.742,6.384) -- (11.912,6.429) -- (12.037,6.554) -- cycle;
\node at (11.742,6.724) {\scalebox{1.603}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.269,6.396) -- (10.223,6.566) -- (10.099,6.691) -- (9.929,6.736) -- (9.759,6.691) -- (9.634,6.566) -- (9.589,6.396) -- (9.634,6.226) -- (9.759,6.102) -- (9.929,6.056) -- (10.099,6.102) -- (10.223,6.226) -- cycle;
\node at (9.929,6.396) {\scalebox{1.603}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.465,5.772) -- (8.419,5.942) -- (8.295,6.067) -- (8.125,6.112) -- (7.955,6.067) -- (7.83,5.942) -- (7.785,5.772) -- (7.83,5.602) -- (7.955,5.478) -- (8.125,5.432) -- (8.295,5.478) -- (8.419,5.602) -- cycle;
\node at (8.125,5.772) {\scalebox{1.603}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.59,4.982) -- (6.545,5.152) -- (6.42,5.276) -- (6.25,5.322) -- (6.08,5.276) -- (5.956,5.152) -- (5.91,4.982) -- (5.956,4.812) -- (6.08,4.687) -- (6.25,4.642) -- (6.42,4.687) -- (6.545,4.812) -- cycle;
\node at (6.25,4.982) {\scalebox{1.603}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.967,3.107) -- (3.921,3.277) -- (3.797,3.401) -- (3.627,3.447) -- (3.457,3.401) -- (3.333,3.277) -- (3.287,3.107) -- (3.333,2.937) -- (3.457,2.812) -- (3.627,2.767) -- (3.797,2.812) -- (3.921,2.937) -- cycle;
\node at (3.627,3.107) {\scalebox{1.603}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.551,4.534) -- (9.505,4.704) -- (9.381,4.829) -- (9.211,4.874) -- (9.041,4.829) -- (8.916,4.704) -- (8.871,4.534) -- (8.916,4.364) -- (9.041,4.24) -- (9.211,4.194) -- (9.381,4.24) -- (9.505,4.364) -- cycle;
\node at (9.211,4.534) {\scalebox{1.603}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.816,3.229) -- (11.77,3.399) -- (11.646,3.523) -- (11.476,3.569) -- (11.306,3.523) -- (11.181,3.399) -- (11.136,3.229) -- (11.181,3.059) -- (11.306,2.934) -- (11.476,2.889) -- (11.646,2.934) -- (11.77,3.059) -- cycle;
\node at (11.476,3.229) {\scalebox{1.603}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.796,2.985) -- (7.75,3.155) -- (7.626,3.279) -- (7.456,3.325) -- (7.286,3.279) -- (7.162,3.155) -- (7.116,2.985) -- (7.162,2.815) -- (7.286,2.69) -- (7.456,2.645) -- (7.626,2.69) -- (7.75,2.815) -- cycle;
\node at (7.456,2.985) {\scalebox{1.603}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.647,2.505) -- (5.601,2.675) -- (5.477,2.799) -- (5.307,2.845) -- (5.137,2.799) -- (5.012,2.675) -- (4.967,2.505) -- (5.012,2.335) -- (5.137,2.21) -- (5.307,2.165) -- (5.477,2.21) -- (5.601,2.335) -- cycle;
\node at (5.307,2.505) {\scalebox{1.603}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.428,1.405) -- (9.382,1.575) -- (9.258,1.699) -- (9.088,1.745) -- (8.918,1.699) -- (8.793,1.575) -- (8.748,1.405) -- (8.793,1.235) -- (8.918,1.11) -- (9.088,1.065) -- (9.258,1.11) -- (9.382,1.235) -- cycle;
\node at (9.088,1.405) {\scalebox{1.603}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.942,4.891) -- (5.542,4.891) -- (5.542,5.491) -- (4.942,5.491) -- cycle;
\node at (5.242,5.191) {\scalebox{1.603}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.424,2.482) -- (13.024,2.482) -- (13.024,3.082) -- (12.424,3.082) -- cycle;
\node at (12.724,2.782) {\scalebox{1.603}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (6.048,4.89) -- (6.648,4.89) -- (6.648,5.49) -- (6.048,5.49) -- cycle;
\node at (6.348,5.19) {\scalebox{1.603}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,7.588) -- (4.859,7.588) -- (4.859,8.188) -- (4.259,8.188) -- cycle;
\node at (4.559,7.888) {\scalebox{1.603}{\small d}};
\node at (3.661,8.994) {\scalebox{1.603}{\small A}};
\node at (11.7,8.84) {\scalebox{1.603}{\small B}};
\node at (8.535,8.13) {\scalebox{1.603}{\small C}};
\node at (4.627,5.274) {\scalebox{1.603}{\small D}};
\node at (11.939,5.025) {\scalebox{1.603}{\small E}};
\node at (6.72,3.823) {\scalebox{1.603}{\small F}};
\node at (0.765,1.555) {\scalebox{1.603}{\small G}};
\node at (11.161,1.172) {\scalebox{1.603}{\small H}};
\node at (7.454,0.95) {\scalebox{1.603}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,7.587) -- (12.619,8.687);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.302) -- (12.619,8.687) -- (12.85,8.302);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.137) -- (12.922,8.137);
\node at (12.619,9.072) {\scalebox{1.603}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 3 & 4 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{I} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{I}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en I}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(D)}, prend l'\textbf{avenue de la Gare ②} vers le nord et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ①}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Mairie ⑫}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑪}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑬}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(I)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{I} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
