\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 5}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=5}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0005}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.693, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.339,8.36) -- (1.552,8.071) -- (1.773,7.788) -- (2.0,7.509) -- (2.234,7.236) -- (2.474,6.969) -- (2.72,6.707) -- (2.973,6.451) -- (3.231,6.201) -- (3.495,5.957) -- (3.765,5.72) -- (4.04,5.489) -- (4.321,5.264) -- (4.606,5.047) -- (4.897,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (1.339,8.36) -- (1.384,8.092) -- (1.422,7.822) -- (1.454,7.551) -- (1.48,7.28) -- (1.499,7.008) -- (1.512,6.736) -- (1.518,6.463) -- (1.519,6.19) -- (1.512,5.918) -- (1.499,5.645) -- (1.48,5.374) -- (1.455,5.102) -- (1.423,4.832) -- (1.385,4.562);
\draw[line width=0.5pt] (6.865,7.993) -- (7.149,7.737) -- (7.44,7.488) -- (7.736,7.245) -- (8.038,7.01) -- (8.345,6.782) -- (8.658,6.561) -- (8.976,6.347) -- (9.299,6.141) -- (9.626,5.943) -- (9.958,5.752) -- (10.295,5.569) -- (10.635,5.395) -- (10.98,5.228) -- (11.328,5.07);
\draw[line width=0.5pt] (6.865,7.993) -- (6.76,7.747) -- (6.649,7.505) -- (6.533,7.265) -- (6.411,7.027) -- (6.283,6.793) -- (6.15,6.561) -- (6.011,6.333) -- (5.867,6.108) -- (5.718,5.887) -- (5.564,5.669) -- (5.405,5.455) -- (5.24,5.244) -- (5.071,5.038) -- (4.897,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.023,5.06) -- (10.718,5.044) -- (10.413,5.02) -- (10.109,4.989) -- (9.806,4.951) -- (9.504,4.905) -- (9.203,4.853) -- (8.903,4.793) -- (8.605,4.727) -- (8.308,4.653) -- (8.013,4.573) -- (7.72,4.486) -- (7.43,4.392) -- (7.142,4.29);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.049,4.77) -- (10.763,4.478) -- (10.47,4.192) -- (10.17,3.913) -- (9.863,3.641) -- (9.551,3.376) -- (9.232,3.118) -- (8.907,2.869) -- (8.577,2.626) -- (8.24,2.392) -- (7.899,2.166) -- (7.552,1.948) -- (7.201,1.738) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.288,4.808) -- (11.255,4.546) -- (11.228,4.282) -- (11.207,4.018) -- (11.192,3.754) -- (11.184,3.489) -- (11.181,3.224) -- (11.185,2.959) -- (11.195,2.694) -- (11.211,2.43) -- (11.234,2.166) -- (11.263,1.903) -- (11.298,1.641) -- (11.339,1.379);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,4.836) -- (4.651,4.778) -- (4.404,4.726) -- (4.155,4.68) -- (3.906,4.64) -- (3.655,4.605) -- (3.404,4.577) -- (3.152,4.554) -- (2.9,4.537) -- (2.647,4.527) -- (2.394,4.522) -- (2.142,4.523) -- (1.889,4.53) -- (1.637,4.543) -- (1.385,4.562);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,4.836) -- (4.632,4.649) -- (4.371,4.455) -- (4.114,4.256) -- (3.862,4.05) -- (3.616,3.838) -- (3.374,3.621) -- (3.137,3.398) -- (2.905,3.17) -- (2.679,2.936) -- (2.459,2.697) -- (2.244,2.453) -- (2.036,2.204) -- (1.833,1.95) -- (1.636,1.692);
\draw[line width=0.5pt] (7.142,4.29) -- (7.151,4.092) -- (7.155,3.894) -- (7.155,3.695) -- (7.15,3.496) -- (7.14,3.298) -- (7.126,3.099) -- (7.107,2.901) -- (7.083,2.704) -- (7.055,2.507) -- (7.022,2.311) -- (6.984,2.116) -- (6.942,1.922) -- (6.896,1.729) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (1.636,1.692) -- (1.865,1.645) -- (2.096,1.604) -- (2.328,1.568) -- (2.56,1.538) -- (2.793,1.513) -- (3.026,1.494) -- (3.26,1.48) -- (3.495,1.472) -- (3.729,1.469) -- (3.963,1.472) -- (4.198,1.48) -- (4.431,1.494) -- (4.665,1.513) -- (4.898,1.538) -- (5.036,1.559) -- (5.174,1.577) -- (5.313,1.592) -- (5.452,1.603) -- (5.592,1.611) -- (5.731,1.616) -- (5.871,1.618) -- (6.011,1.616) -- (6.15,1.611) -- (6.29,1.603) -- (6.429,1.591) -- (6.568,1.576) -- (6.706,1.558) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (6.844,1.537) -- (7.165,1.575) -- (7.486,1.605) -- (7.807,1.628) -- (8.13,1.643) -- (8.453,1.651) -- (8.775,1.651) -- (9.098,1.643) -- (9.421,1.628) -- (9.743,1.606) -- (10.064,1.575) -- (10.384,1.538) -- (10.704,1.492) -- (11.022,1.44) -- (11.339,1.379);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.499,8.36) -- (1.477,8.44) -- (1.419,8.499) -- (1.339,8.52) -- (1.259,8.499) -- (1.2,8.44) -- (1.179,8.36) -- (1.2,8.28) -- (1.259,8.222) -- (1.339,8.2) -- (1.419,8.222) -- (1.477,8.28) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.025,7.993) -- (7.004,8.073) -- (6.945,8.131) -- (6.865,8.153) -- (6.785,8.131) -- (6.727,8.073) -- (6.705,7.993) -- (6.727,7.913) -- (6.785,7.854) -- (6.865,7.833) -- (6.945,7.854) -- (7.004,7.913) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,5.07) -- (11.467,5.15) -- (11.408,5.208) -- (11.328,5.23) -- (11.248,5.208) -- (11.189,5.15) -- (11.168,5.07) -- (11.189,4.99) -- (11.248,4.931) -- (11.328,4.91) -- (11.408,4.931) -- (11.467,4.99) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.057,4.836) -- (5.036,4.916) -- (4.977,4.974) -- (4.897,4.996) -- (4.817,4.974) -- (4.759,4.916) -- (4.737,4.836) -- (4.759,4.756) -- (4.817,4.697) -- (4.897,4.676) -- (4.977,4.697) -- (5.036,4.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.562) -- (1.523,4.642) -- (1.465,4.701) -- (1.385,4.722) -- (1.305,4.701) -- (1.246,4.642) -- (1.225,4.562) -- (1.246,4.482) -- (1.305,4.424) -- (1.385,4.402) -- (1.465,4.424) -- (1.523,4.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.302,4.29) -- (7.28,4.37) -- (7.222,4.429) -- (7.142,4.45) -- (7.062,4.429) -- (7.003,4.37) -- (6.982,4.29) -- (7.003,4.21) -- (7.062,4.152) -- (7.142,4.13) -- (7.222,4.152) -- (7.28,4.21) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.796,1.692) -- (1.775,1.772) -- (1.716,1.83) -- (1.636,1.852) -- (1.556,1.83) -- (1.497,1.772) -- (1.476,1.692) -- (1.497,1.612) -- (1.556,1.553) -- (1.636,1.532) -- (1.716,1.553) -- (1.775,1.612) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.004,1.537) -- (6.983,1.617) -- (6.924,1.675) -- (6.844,1.697) -- (6.764,1.675) -- (6.706,1.617) -- (6.684,1.537) -- (6.706,1.457) -- (6.764,1.398) -- (6.844,1.377) -- (6.924,1.398) -- (6.983,1.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.499,1.379) -- (11.477,1.459) -- (11.419,1.518) -- (11.339,1.539) -- (11.259,1.518) -- (11.2,1.459) -- (11.179,1.379) -- (11.2,1.299) -- (11.259,1.241) -- (11.339,1.219) -- (11.419,1.241) -- (11.477,1.299) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.538,6.679) -- (3.492,6.849) -- (3.368,6.973) -- (3.198,7.019) -- (3.028,6.973) -- (2.903,6.849) -- (2.858,6.679) -- (2.903,6.509) -- (3.028,6.384) -- (3.198,6.339) -- (3.368,6.384) -- (3.492,6.509) -- cycle;
\node at (3.198,6.679) {\scalebox{1.443}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.178,6.467) -- (2.133,6.637) -- (2.008,6.761) -- (1.838,6.807) -- (1.668,6.761) -- (1.544,6.637) -- (1.498,6.467) -- (1.544,6.297) -- (1.668,6.172) -- (1.838,6.127) -- (2.008,6.172) -- (2.133,6.297) -- cycle;
\node at (1.838,6.467) {\scalebox{1.443}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.491,6.615) -- (9.446,6.785) -- (9.321,6.909) -- (9.151,6.955) -- (8.981,6.909) -- (8.857,6.785) -- (8.811,6.615) -- (8.857,6.445) -- (8.981,6.32) -- (9.151,6.275) -- (9.321,6.32) -- (9.446,6.445) -- cycle;
\node at (9.151,6.615) {\scalebox{1.443}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,6.164) -- (6.577,6.334) -- (6.453,6.458) -- (6.283,6.504) -- (6.113,6.458) -- (5.988,6.334) -- (5.943,6.164) -- (5.988,5.994) -- (6.113,5.869) -- (6.283,5.824) -- (6.453,5.869) -- (6.577,5.994) -- cycle;
\node at (6.283,6.164) {\scalebox{1.443}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.601,4.538) -- (9.556,4.708) -- (9.431,4.833) -- (9.261,4.878) -- (9.091,4.833) -- (8.967,4.708) -- (8.921,4.538) -- (8.967,4.368) -- (9.091,4.244) -- (9.261,4.198) -- (9.431,4.244) -- (9.556,4.368) -- cycle;
\node at (9.261,4.538) {\scalebox{1.443}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.77,2.867) -- (9.724,3.037) -- (9.6,3.161) -- (9.43,3.207) -- (9.26,3.161) -- (9.136,3.037) -- (9.09,2.867) -- (9.136,2.697) -- (9.26,2.573) -- (9.43,2.527) -- (9.6,2.573) -- (9.724,2.697) -- cycle;
\node at (9.43,2.867) {\scalebox{1.443}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.841,3.225) -- (11.796,3.395) -- (11.671,3.519) -- (11.501,3.565) -- (11.331,3.519) -- (11.207,3.395) -- (11.161,3.225) -- (11.207,3.055) -- (11.331,2.931) -- (11.501,2.885) -- (11.671,2.931) -- (11.796,3.055) -- cycle;
\node at (11.501,3.225) {\scalebox{1.443}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.517,4.235) -- (3.472,4.405) -- (3.347,4.529) -- (3.177,4.575) -- (3.007,4.529) -- (2.883,4.405) -- (2.837,4.235) -- (2.883,4.065) -- (3.007,3.941) -- (3.177,3.895) -- (3.347,3.941) -- (3.472,4.065) -- cycle;
\node at (3.177,4.235) {\scalebox{1.443}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.699,3.168) -- (3.653,3.338) -- (3.529,3.462) -- (3.359,3.508) -- (3.189,3.462) -- (3.065,3.338) -- (3.019,3.168) -- (3.065,2.998) -- (3.189,2.873) -- (3.359,2.828) -- (3.529,2.873) -- (3.653,2.998) -- cycle;
\node at (3.359,3.168) {\scalebox{1.443}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.765,2.867) -- (7.719,3.037) -- (7.595,3.162) -- (7.425,3.207) -- (7.255,3.162) -- (7.13,3.037) -- (7.085,2.867) -- (7.13,2.697) -- (7.255,2.573) -- (7.425,2.527) -- (7.595,2.573) -- (7.719,2.697) -- cycle;
\node at (7.425,2.867) {\scalebox{1.443}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.198,1.855) -- (5.153,2.025) -- (5.028,2.15) -- (4.858,2.195) -- (4.688,2.15) -- (4.564,2.025) -- (4.518,1.855) -- (4.564,1.685) -- (4.688,1.561) -- (4.858,1.515) -- (5.028,1.561) -- (5.153,1.685) -- cycle;
\node at (4.858,1.855) {\scalebox{1.443}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.449,1.963) -- (9.404,2.133) -- (9.279,2.258) -- (9.109,2.303) -- (8.939,2.258) -- (8.815,2.133) -- (8.769,1.963) -- (8.815,1.793) -- (8.939,1.669) -- (9.109,1.623) -- (9.279,1.669) -- (9.404,1.793) -- cycle;
\node at (9.109,1.963) {\scalebox{1.443}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.544,1.237) -- (7.144,1.237) -- (7.144,1.837) -- (6.544,1.837) -- cycle;
\node at (6.844,1.537) {\scalebox{1.443}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.103,3.98) -- (10.703,3.98) -- (10.703,4.58) -- (10.103,4.58) -- cycle;
\node at (10.403,4.28) {\scalebox{1.443}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.509,2.707) -- (13.109,2.707) -- (13.109,3.307) -- (12.509,3.307) -- cycle;
\node at (12.809,3.007) {\scalebox{1.443}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.27,7.308) -- (2.87,7.308) -- (2.87,7.908) -- (2.27,7.908) -- cycle;
\node at (2.57,7.608) {\scalebox{1.443}{\small d}};
\node at (0.872,8.768) {\scalebox{1.443}{\small A}};
\node at (7.032,8.59) {\scalebox{1.443}{\small B}};
\node at (11.944,5.144) {\scalebox{1.443}{\small C}};
\node at (4.329,5.084) {\scalebox{1.443}{\small D}};
\node at (0.765,4.583) {\scalebox{1.443}{\small E}};
\node at (7.759,4.231) {\scalebox{1.443}{\small F}};
\node at (1.115,1.356) {\scalebox{1.443}{\small G}};
\node at (7.044,0.95) {\scalebox{1.443}{\small H}};
\node at (11.881,1.079) {\scalebox{1.443}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.639,7.41) -- (12.639,8.51);
\draw[line width=0.5pt] (12.408,8.125) -- (12.639,8.51) -- (12.87,8.125);
\draw[line width=0.5pt] (12.336,7.96) -- (12.941,7.96);
\node at (12.639,8.895) {\scalebox{1.443}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Jardins & ⑦ chemin du Lavoir & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑧ rue du Moulin & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue du Puits & ⑨ rue Neuve & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ chemin de Ronde & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue des Écoles & ⑪ chemin Creux & Ⓔ Place de l'Église &  \\ \hline
⑥ rue de la Poste & ⑫ boulevard du Parc & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.62, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.339,8.36) -- (1.552,8.071) -- (1.773,7.788) -- (2.0,7.509) -- (2.234,7.236) -- (2.474,6.969) -- (2.72,6.707) -- (2.973,6.451) -- (3.231,6.201) -- (3.495,5.957) -- (3.765,5.72) -- (4.04,5.489) -- (4.321,5.264) -- (4.606,5.047) -- (4.897,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (1.339,8.36) -- (1.384,8.092) -- (1.422,7.822) -- (1.454,7.551) -- (1.48,7.28) -- (1.499,7.008) -- (1.512,6.736) -- (1.518,6.463) -- (1.519,6.19) -- (1.512,5.918) -- (1.499,5.645) -- (1.48,5.374) -- (1.455,5.102) -- (1.423,4.832) -- (1.385,4.562);
\draw[line width=0.5pt] (6.865,7.993) -- (7.149,7.737) -- (7.44,7.488) -- (7.736,7.245) -- (8.038,7.01) -- (8.345,6.782) -- (8.658,6.561) -- (8.976,6.347) -- (9.299,6.141) -- (9.626,5.943) -- (9.958,5.752) -- (10.295,5.569) -- (10.635,5.395) -- (10.98,5.228) -- (11.328,5.07);
\draw[line width=0.5pt] (6.865,7.993) -- (6.76,7.747) -- (6.649,7.505) -- (6.533,7.265) -- (6.411,7.027) -- (6.283,6.793) -- (6.15,6.561) -- (6.011,6.333) -- (5.867,6.108) -- (5.718,5.887) -- (5.564,5.669) -- (5.405,5.455) -- (5.24,5.244) -- (5.071,5.038) -- (4.897,4.836);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.023,5.06) -- (10.718,5.044) -- (10.413,5.02) -- (10.109,4.989) -- (9.806,4.951) -- (9.504,4.905) -- (9.203,4.853) -- (8.903,4.793) -- (8.605,4.727) -- (8.308,4.653) -- (8.013,4.573) -- (7.72,4.486) -- (7.43,4.392) -- (7.142,4.29);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.049,4.77) -- (10.763,4.478) -- (10.47,4.192) -- (10.17,3.913) -- (9.863,3.641) -- (9.551,3.376) -- (9.232,3.118) -- (8.907,2.869) -- (8.577,2.626) -- (8.24,2.392) -- (7.899,2.166) -- (7.552,1.948) -- (7.201,1.738) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (11.328,5.07) -- (11.288,4.808) -- (11.255,4.546) -- (11.228,4.282) -- (11.207,4.018) -- (11.192,3.754) -- (11.184,3.489) -- (11.181,3.224) -- (11.185,2.959) -- (11.195,2.694) -- (11.211,2.43) -- (11.234,2.166) -- (11.263,1.903) -- (11.298,1.641) -- (11.339,1.379);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,4.836) -- (4.651,4.778) -- (4.404,4.726) -- (4.155,4.68) -- (3.906,4.64) -- (3.655,4.605) -- (3.404,4.577) -- (3.152,4.554) -- (2.9,4.537) -- (2.647,4.527) -- (2.394,4.522) -- (2.142,4.523) -- (1.889,4.53) -- (1.637,4.543) -- (1.385,4.562);
\draw[line width=0.5pt] (4.897,4.836) -- (4.632,4.649) -- (4.371,4.455) -- (4.114,4.256) -- (3.862,4.05) -- (3.616,3.838) -- (3.374,3.621) -- (3.137,3.398) -- (2.905,3.17) -- (2.679,2.936) -- (2.459,2.697) -- (2.244,2.453) -- (2.036,2.204) -- (1.833,1.95) -- (1.636,1.692);
\draw[line width=0.5pt] (7.142,4.29) -- (7.151,4.092) -- (7.155,3.894) -- (7.155,3.695) -- (7.15,3.496) -- (7.14,3.298) -- (7.126,3.099) -- (7.107,2.901) -- (7.083,2.704) -- (7.055,2.507) -- (7.022,2.311) -- (6.984,2.116) -- (6.942,1.922) -- (6.896,1.729) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (1.636,1.692) -- (1.865,1.645) -- (2.096,1.604) -- (2.328,1.568) -- (2.56,1.538) -- (2.793,1.513) -- (3.026,1.494) -- (3.26,1.48) -- (3.495,1.472) -- (3.729,1.469) -- (3.963,1.472) -- (4.198,1.48) -- (4.431,1.494) -- (4.665,1.513) -- (4.898,1.538) -- (5.036,1.559) -- (5.174,1.577) -- (5.313,1.592) -- (5.452,1.603) -- (5.592,1.611) -- (5.731,1.616) -- (5.871,1.618) -- (6.011,1.616) -- (6.15,1.611) -- (6.29,1.603) -- (6.429,1.591) -- (6.568,1.576) -- (6.706,1.558) -- (6.844,1.537);
\draw[line width=0.5pt] (6.844,1.537) -- (7.165,1.575) -- (7.486,1.605) -- (7.807,1.628) -- (8.13,1.643) -- (8.453,1.651) -- (8.775,1.651) -- (9.098,1.643) -- (9.421,1.628) -- (9.743,1.606) -- (10.064,1.575) -- (10.384,1.538) -- (10.704,1.492) -- (11.022,1.44) -- (11.339,1.379);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.499,8.36) -- (1.477,8.44) -- (1.419,8.499) -- (1.339,8.52) -- (1.259,8.499) -- (1.2,8.44) -- (1.179,8.36) -- (1.2,8.28) -- (1.259,8.222) -- (1.339,8.2) -- (1.419,8.222) -- (1.477,8.28) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.025,7.993) -- (7.004,8.073) -- (6.945,8.131) -- (6.865,8.153) -- (6.785,8.131) -- (6.727,8.073) -- (6.705,7.993) -- (6.727,7.913) -- (6.785,7.854) -- (6.865,7.833) -- (6.945,7.854) -- (7.004,7.913) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,5.07) -- (11.467,5.15) -- (11.408,5.208) -- (11.328,5.23) -- (11.248,5.208) -- (11.189,5.15) -- (11.168,5.07) -- (11.189,4.99) -- (11.248,4.931) -- (11.328,4.91) -- (11.408,4.931) -- (11.467,4.99) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.057,4.836) -- (5.036,4.916) -- (4.977,4.974) -- (4.897,4.996) -- (4.817,4.974) -- (4.759,4.916) -- (4.737,4.836) -- (4.759,4.756) -- (4.817,4.697) -- (4.897,4.676) -- (4.977,4.697) -- (5.036,4.756) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,4.562) -- (1.523,4.642) -- (1.465,4.701) -- (1.385,4.722) -- (1.305,4.701) -- (1.246,4.642) -- (1.225,4.562) -- (1.246,4.482) -- (1.305,4.424) -- (1.385,4.402) -- (1.465,4.424) -- (1.523,4.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.302,4.29) -- (7.28,4.37) -- (7.222,4.429) -- (7.142,4.45) -- (7.062,4.429) -- (7.003,4.37) -- (6.982,4.29) -- (7.003,4.21) -- (7.062,4.152) -- (7.142,4.13) -- (7.222,4.152) -- (7.28,4.21) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.796,1.692) -- (1.775,1.772) -- (1.716,1.83) -- (1.636,1.852) -- (1.556,1.83) -- (1.497,1.772) -- (1.476,1.692) -- (1.497,1.612) -- (1.556,1.553) -- (1.636,1.532) -- (1.716,1.553) -- (1.775,1.612) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.004,1.537) -- (6.983,1.617) -- (6.924,1.675) -- (6.844,1.697) -- (6.764,1.675) -- (6.706,1.617) -- (6.684,1.537) -- (6.706,1.457) -- (6.764,1.398) -- (6.844,1.377) -- (6.924,1.398) -- (6.983,1.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.499,1.379) -- (11.477,1.459) -- (11.419,1.518) -- (11.339,1.539) -- (11.259,1.518) -- (11.2,1.459) -- (11.179,1.379) -- (11.2,1.299) -- (11.259,1.241) -- (11.339,1.219) -- (11.419,1.241) -- (11.477,1.299) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.538,6.679) -- (3.492,6.849) -- (3.368,6.973) -- (3.198,7.019) -- (3.028,6.973) -- (2.903,6.849) -- (2.858,6.679) -- (2.903,6.509) -- (3.028,6.384) -- (3.198,6.339) -- (3.368,6.384) -- (3.492,6.509) -- cycle;
\node at (3.198,6.679) {\scalebox{1.613}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.178,6.467) -- (2.133,6.637) -- (2.008,6.761) -- (1.838,6.807) -- (1.668,6.761) -- (1.544,6.637) -- (1.498,6.467) -- (1.544,6.297) -- (1.668,6.172) -- (1.838,6.127) -- (2.008,6.172) -- (2.133,6.297) -- cycle;
\node at (1.838,6.467) {\scalebox{1.613}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.491,6.615) -- (9.446,6.785) -- (9.321,6.909) -- (9.151,6.955) -- (8.981,6.909) -- (8.857,6.785) -- (8.811,6.615) -- (8.857,6.445) -- (8.981,6.32) -- (9.151,6.275) -- (9.321,6.32) -- (9.446,6.445) -- cycle;
\node at (9.151,6.615) {\scalebox{1.613}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.623,6.164) -- (6.577,6.334) -- (6.453,6.458) -- (6.283,6.504) -- (6.113,6.458) -- (5.988,6.334) -- (5.943,6.164) -- (5.988,5.994) -- (6.113,5.869) -- (6.283,5.824) -- (6.453,5.869) -- (6.577,5.994) -- cycle;
\node at (6.283,6.164) {\scalebox{1.613}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.601,4.538) -- (9.556,4.708) -- (9.431,4.833) -- (9.261,4.878) -- (9.091,4.833) -- (8.967,4.708) -- (8.921,4.538) -- (8.967,4.368) -- (9.091,4.244) -- (9.261,4.198) -- (9.431,4.244) -- (9.556,4.368) -- cycle;
\node at (9.261,4.538) {\scalebox{1.613}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.77,2.867) -- (9.724,3.037) -- (9.6,3.161) -- (9.43,3.207) -- (9.26,3.161) -- (9.136,3.037) -- (9.09,2.867) -- (9.136,2.697) -- (9.26,2.573) -- (9.43,2.527) -- (9.6,2.573) -- (9.724,2.697) -- cycle;
\node at (9.43,2.867) {\scalebox{1.613}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.841,3.225) -- (11.796,3.395) -- (11.671,3.519) -- (11.501,3.565) -- (11.331,3.519) -- (11.207,3.395) -- (11.161,3.225) -- (11.207,3.055) -- (11.331,2.931) -- (11.501,2.885) -- (11.671,2.931) -- (11.796,3.055) -- cycle;
\node at (11.501,3.225) {\scalebox{1.613}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.517,4.235) -- (3.472,4.405) -- (3.347,4.529) -- (3.177,4.575) -- (3.007,4.529) -- (2.883,4.405) -- (2.837,4.235) -- (2.883,4.065) -- (3.007,3.941) -- (3.177,3.895) -- (3.347,3.941) -- (3.472,4.065) -- cycle;
\node at (3.177,4.235) {\scalebox{1.613}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.699,3.168) -- (3.653,3.338) -- (3.529,3.462) -- (3.359,3.508) -- (3.189,3.462) -- (3.065,3.338) -- (3.019,3.168) -- (3.065,2.998) -- (3.189,2.873) -- (3.359,2.828) -- (3.529,2.873) -- (3.653,2.998) -- cycle;
\node at (3.359,3.168) {\scalebox{1.613}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.765,2.867) -- (7.719,3.037) -- (7.595,3.162) -- (7.425,3.207) -- (7.255,3.162) -- (7.13,3.037) -- (7.085,2.867) -- (7.13,2.697) -- (7.255,2.573) -- (7.425,2.527) -- (7.595,2.573) -- (7.719,2.697) -- cycle;
\node at (7.425,2.867) {\scalebox{1.613}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.198,1.855) -- (5.153,2.025) -- (5.028,2.15) -- (4.858,2.195) -- (4.688,2.15) -- (4.564,2.025) -- (4.518,1.855) -- (4.564,1.685) -- (4.688,1.561) -- (4.858,1.515) -- (5.028,1.561) -- (5.153,1.685) -- cycle;
\node at (4.858,1.855) {\scalebox{1.613}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.449,1.963) -- (9.404,2.133) -- (9.279,2.258) -- (9.109,2.303) -- (8.939,2.258) -- (8.815,2.133) -- (8.769,1.963) -- (8.815,1.793) -- (8.939,1.669) -- (9.109,1.623) -- (9.279,1.669) -- (9.404,1.793) -- cycle;
\node at (9.109,1.963) {\scalebox{1.613}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.544,1.237) -- (7.144,1.237) -- (7.144,1.837) -- (6.544,1.837) -- cycle;
\node at (6.844,1.537) {\scalebox{1.613}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.103,3.98) -- (10.703,3.98) -- (10.703,4.58) -- (10.103,4.58) -- cycle;
\node at (10.403,4.28) {\scalebox{1.613}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.509,2.707) -- (13.109,2.707) -- (13.109,3.307) -- (12.509,3.307) -- cycle;
\node at (12.809,3.007) {\scalebox{1.613}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.27,7.308) -- (2.87,7.308) -- (2.87,7.908) -- (2.27,7.908) -- cycle;
\node at (2.57,7.608) {\scalebox{1.613}{\small d}};
\node at (0.872,8.768) {\scalebox{1.613}{\small A}};
\node at (7.032,8.59) {\scalebox{1.613}{\small B}};
\node at (11.944,5.144) {\scalebox{1.613}{\small C}};
\node at (4.329,5.084) {\scalebox{1.613}{\small D}};
\node at (0.765,4.583) {\scalebox{1.613}{\small E}};
\node at (7.759,4.231) {\scalebox{1.613}{\small F}};
\node at (1.115,1.356) {\scalebox{1.613}{\small G}};
\node at (7.044,0.95) {\scalebox{1.613}{\small H}};
\node at (11.881,1.079) {\scalebox{1.613}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.639,7.41) -- (12.639,8.51);
\draw[line width=0.5pt] (12.408,8.125) -- (12.639,8.51) -- (12.87,8.125);
\draw[line width=0.5pt] (12.336,7.96) -- (12.941,7.96);
\node at (12.639,8.895) {\scalebox{1.613}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{H}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(H)}, prend la \textbf{rue de la Poste ⑥} vers le nord-est et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas ②}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Neuve ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ⑪}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑤}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(H)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
