\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 50}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=50}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0050}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7045, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.658,9.421) -- (4.864,9.36) -- (5.071,9.303) -- (5.28,9.251) -- (5.491,9.204) -- (5.702,9.162) -- (5.914,9.125) -- (6.127,9.093) -- (6.341,9.066) -- (6.555,9.044) -- (6.77,9.027) -- (6.985,9.015) -- (7.2,9.008) -- (7.415,9.007) -- (7.63,9.01);
\draw[line width=0.5pt] (4.658,9.421) -- (4.687,9.176) -- (4.711,8.93) -- (4.73,8.683) -- (4.742,8.436) -- (4.749,8.189) -- (4.749,7.941) -- (4.744,7.694) -- (4.733,7.447) -- (4.717,7.2) -- (4.694,6.953) -- (4.666,6.708) -- (4.632,6.463) -- (4.592,6.219) -- (4.547,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.379,8.829) -- (7.131,8.641) -- (6.888,8.448) -- (6.65,8.249) -- (6.416,8.045) -- (6.187,7.835) -- (5.963,7.62) -- (5.745,7.4) -- (5.531,7.174) -- (5.323,6.944) -- (5.12,6.709) -- (4.923,6.469) -- (4.732,6.224) -- (4.547,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.914,8.752) -- (8.192,8.487) -- (8.463,8.215) -- (8.727,7.937) -- (8.986,7.653) -- (9.237,7.363) -- (9.482,7.067) -- (9.719,6.765) -- (9.95,6.458) -- (10.173,6.146) -- (10.388,5.828) -- (10.597,5.506) -- (10.797,5.178) -- (10.989,4.847);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.6,8.717) -- (7.576,8.423) -- (7.56,8.129) -- (7.55,7.834) -- (7.547,7.539) -- (7.551,7.244) -- (7.563,6.949) -- (7.581,6.655) -- (7.605,6.361) -- (7.637,6.068) -- (7.676,5.776) -- (7.722,5.484) -- (7.774,5.194) -- (7.833,4.906) -- (7.895,4.71) -- (7.952,4.513) -- (8.005,4.314) -- (8.053,4.115) -- (8.096,3.914) -- (8.135,3.712) -- (8.168,3.509) -- (8.197,3.306) -- (8.221,3.102) -- (8.241,2.898) -- (8.255,2.693) -- (8.265,2.488) -- (8.27,2.282) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (4.547,5.976) -- (4.853,5.74) -- (5.154,5.497) -- (5.449,5.247) -- (5.738,4.991) -- (6.022,4.727) -- (6.299,4.457) -- (6.569,4.18) -- (6.833,3.897) -- (7.09,3.608) -- (7.341,3.313) -- (7.584,3.012) -- (7.82,2.706) -- (8.049,2.394) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (4.547,5.976) -- (4.264,5.679) -- (3.989,5.376) -- (3.72,5.067) -- (3.459,4.751) -- (3.206,4.429) -- (2.96,4.101) -- (2.721,3.768) -- (2.491,3.429) -- (2.269,3.085) -- (2.055,2.735) -- (1.849,2.381) -- (1.652,2.022) -- (1.463,1.659) -- (1.283,1.291);
\draw[line width=0.5pt] (10.989,4.847) -- (11.035,4.686) -- (11.078,4.524) -- (11.116,4.361) -- (11.151,4.197) -- (11.182,4.033) -- (11.209,3.867) -- (11.232,3.701) -- (11.251,3.535) -- (11.266,3.368) -- (11.277,3.201) -- (11.285,3.034) -- (11.288,2.867) -- (11.287,2.699) -- (11.283,2.532);
\draw[line width=0.5pt] (11.283,2.532) -- (11.064,2.533) -- (10.846,2.528) -- (10.628,2.519) -- (10.409,2.504) -- (10.192,2.484) -- (9.974,2.459) -- (9.758,2.429) -- (9.542,2.394) -- (9.327,2.354) -- (9.113,2.308) -- (8.9,2.258) -- (8.689,2.203) -- (8.478,2.142) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (8.27,2.077) -- (8.0,2.049) -- (7.729,2.027) -- (7.458,2.012) -- (7.186,2.002) -- (6.914,2.0) -- (6.642,2.003) -- (6.371,2.014) -- (6.099,2.03) -- (5.828,2.053) -- (5.558,2.082) -- (5.289,2.117) -- (5.02,2.159) -- (4.753,2.208) -- (4.487,2.262) -- (4.249,2.228) -- (4.012,2.189) -- (3.776,2.144) -- (3.541,2.093) -- (3.308,2.037) -- (3.076,1.976) -- (2.845,1.909) -- (2.616,1.836) -- (2.388,1.758) -- (2.163,1.675) -- (1.939,1.587) -- (1.718,1.493) -- (1.499,1.395) -- (1.283,1.291);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.818,9.421) -- (4.796,9.501) -- (4.738,9.56) -- (4.658,9.581) -- (4.578,9.56) -- (4.519,9.501) -- (4.498,9.421) -- (4.519,9.341) -- (4.578,9.283) -- (4.658,9.261) -- (4.738,9.283) -- (4.796,9.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.79,9.01) -- (7.769,9.09) -- (7.71,9.148) -- (7.63,9.17) -- (7.55,9.148) -- (7.492,9.09) -- (7.47,9.01) -- (7.492,8.93) -- (7.55,8.871) -- (7.63,8.85) -- (7.71,8.871) -- (7.769,8.93) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.707,5.976) -- (4.685,6.056) -- (4.627,6.114) -- (4.547,6.136) -- (4.467,6.114) -- (4.408,6.056) -- (4.387,5.976) -- (4.408,5.896) -- (4.467,5.837) -- (4.547,5.816) -- (4.627,5.837) -- (4.685,5.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.149,4.847) -- (11.128,4.927) -- (11.069,4.985) -- (10.989,5.007) -- (10.909,4.985) -- (10.851,4.927) -- (10.829,4.847) -- (10.851,4.767) -- (10.909,4.708) -- (10.989,4.687) -- (11.069,4.708) -- (11.128,4.767) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.443,2.532) -- (11.421,2.612) -- (11.363,2.671) -- (11.283,2.692) -- (11.203,2.671) -- (11.144,2.612) -- (11.123,2.532) -- (11.144,2.452) -- (11.203,2.394) -- (11.283,2.372) -- (11.363,2.394) -- (11.421,2.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.43,2.077) -- (8.408,2.157) -- (8.35,2.216) -- (8.27,2.237) -- (8.19,2.216) -- (8.131,2.157) -- (8.11,2.077) -- (8.131,1.997) -- (8.19,1.939) -- (8.27,1.917) -- (8.35,1.939) -- (8.408,1.997) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.443,1.291) -- (1.421,1.371) -- (1.363,1.429) -- (1.283,1.451) -- (1.203,1.429) -- (1.144,1.371) -- (1.123,1.291) -- (1.144,1.211) -- (1.203,1.152) -- (1.283,1.131) -- (1.363,1.152) -- (1.421,1.211) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.511,9.41) -- (6.465,9.58) -- (6.341,9.704) -- (6.171,9.75) -- (6.001,9.704) -- (5.876,9.58) -- (5.831,9.41) -- (5.876,9.24) -- (6.001,9.116) -- (6.171,9.07) -- (6.341,9.116) -- (6.465,9.24) -- cycle;
\node at (6.171,9.41) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.404,7.684) -- (5.359,7.854) -- (5.234,7.978) -- (5.064,8.024) -- (4.894,7.978) -- (4.77,7.854) -- (4.724,7.684) -- (4.77,7.514) -- (4.894,7.389) -- (5.064,7.344) -- (5.234,7.389) -- (5.359,7.514) -- cycle;
\node at (5.064,7.684) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.528,7.392) -- (6.482,7.562) -- (6.358,7.686) -- (6.188,7.732) -- (6.018,7.686) -- (5.893,7.562) -- (5.848,7.392) -- (5.893,7.222) -- (6.018,7.097) -- (6.188,7.052) -- (6.358,7.097) -- (6.482,7.222) -- cycle;
\node at (6.188,7.392) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.071,7.268) -- (10.025,7.438) -- (9.901,7.562) -- (9.731,7.608) -- (9.561,7.562) -- (9.436,7.438) -- (9.391,7.268) -- (9.436,7.098) -- (9.561,6.973) -- (9.731,6.928) -- (9.901,6.973) -- (10.025,7.098) -- cycle;
\node at (9.731,7.268) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.484,4.983) -- (8.438,5.153) -- (8.314,5.278) -- (8.144,5.323) -- (7.974,5.278) -- (7.849,5.153) -- (7.804,4.983) -- (7.849,4.813) -- (7.974,4.689) -- (8.144,4.643) -- (8.314,4.689) -- (8.438,4.813) -- cycle;
\node at (8.144,4.983) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.14,4.401) -- (7.095,4.571) -- (6.97,4.696) -- (6.8,4.741) -- (6.63,4.696) -- (6.506,4.571) -- (6.46,4.401) -- (6.506,4.231) -- (6.63,4.107) -- (6.8,4.061) -- (6.97,4.107) -- (7.095,4.231) -- cycle;
\node at (6.8,4.401) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.324,3.585) -- (3.279,3.755) -- (3.154,3.879) -- (2.984,3.925) -- (2.814,3.879) -- (2.69,3.755) -- (2.644,3.585) -- (2.69,3.415) -- (2.814,3.291) -- (2.984,3.245) -- (3.154,3.291) -- (3.279,3.415) -- cycle;
\node at (2.984,3.585) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.889,3.742) -- (11.844,3.912) -- (11.719,4.036) -- (11.549,4.082) -- (11.379,4.036) -- (11.255,3.912) -- (11.209,3.742) -- (11.255,3.572) -- (11.379,3.447) -- (11.549,3.402) -- (11.719,3.447) -- (11.844,3.572) -- cycle;
\node at (11.549,3.742) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.145,2.113) -- (10.1,2.283) -- (9.975,2.407) -- (9.805,2.453) -- (9.635,2.407) -- (9.511,2.283) -- (9.465,2.113) -- (9.511,1.943) -- (9.635,1.818) -- (9.805,1.773) -- (9.975,1.818) -- (10.1,1.943) -- cycle;
\node at (9.805,2.113) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.814,1.942) -- (4.768,2.112) -- (4.644,2.237) -- (4.474,2.282) -- (4.304,2.237) -- (4.179,2.112) -- (4.134,1.942) -- (4.179,1.772) -- (4.304,1.648) -- (4.474,1.602) -- (4.644,1.648) -- (4.768,1.772) -- cycle;
\node at (4.474,1.942) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.97,1.777) -- (8.57,1.777) -- (8.57,2.377) -- (7.97,2.377) -- cycle;
\node at (8.27,2.077) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.857,2.732) -- (2.457,2.732) -- (2.457,3.332) -- (1.857,3.332) -- cycle;
\node at (2.157,3.032) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,3.161) -- (7.303,3.161) -- (7.303,3.761) -- (6.703,3.761) -- cycle;
\node at (7.003,3.461) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\node at (4.371,9.971) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (7.735,9.621) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (3.97,6.204) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (11.609,4.82) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (11.82,2.223) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (8.523,1.511) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.583,8.471) -- (12.583,9.571);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,9.186) -- (12.583,9.571) -- (12.814,9.186);
\draw[line width=0.5pt] (12.28,9.021) -- (12.885,9.021);
\node at (12.583,9.956) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Lilas & ⑥ rue Neuve & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓑ Rond-point de la Gare & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑧ avenue de la Gare & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ chemin des Vignes & ⑨ allée des Peupliers & Ⓓ Place de l'Église &  \\ \hline
⑤ boulevard du Parc & ⑩ rue du Puits & Ⓔ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6303, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.658,9.421) -- (4.864,9.36) -- (5.071,9.303) -- (5.28,9.251) -- (5.491,9.204) -- (5.702,9.162) -- (5.914,9.125) -- (6.127,9.093) -- (6.341,9.066) -- (6.555,9.044) -- (6.77,9.027) -- (6.985,9.015) -- (7.2,9.008) -- (7.415,9.007) -- (7.63,9.01);
\draw[line width=0.5pt] (4.658,9.421) -- (4.687,9.176) -- (4.711,8.93) -- (4.73,8.683) -- (4.742,8.436) -- (4.749,8.189) -- (4.749,7.941) -- (4.744,7.694) -- (4.733,7.447) -- (4.717,7.2) -- (4.694,6.953) -- (4.666,6.708) -- (4.632,6.463) -- (4.592,6.219) -- (4.547,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.379,8.829) -- (7.131,8.641) -- (6.888,8.448) -- (6.65,8.249) -- (6.416,8.045) -- (6.187,7.835) -- (5.963,7.62) -- (5.745,7.4) -- (5.531,7.174) -- (5.323,6.944) -- (5.12,6.709) -- (4.923,6.469) -- (4.732,6.224) -- (4.547,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.914,8.752) -- (8.192,8.487) -- (8.463,8.215) -- (8.727,7.937) -- (8.986,7.653) -- (9.237,7.363) -- (9.482,7.067) -- (9.719,6.765) -- (9.95,6.458) -- (10.173,6.146) -- (10.388,5.828) -- (10.597,5.506) -- (10.797,5.178) -- (10.989,4.847);
\draw[line width=0.5pt] (7.63,9.01) -- (7.6,8.717) -- (7.576,8.423) -- (7.56,8.129) -- (7.55,7.834) -- (7.547,7.539) -- (7.551,7.244) -- (7.563,6.949) -- (7.581,6.655) -- (7.605,6.361) -- (7.637,6.068) -- (7.676,5.776) -- (7.722,5.484) -- (7.774,5.194) -- (7.833,4.906) -- (7.895,4.71) -- (7.952,4.513) -- (8.005,4.314) -- (8.053,4.115) -- (8.096,3.914) -- (8.135,3.712) -- (8.168,3.509) -- (8.197,3.306) -- (8.221,3.102) -- (8.241,2.898) -- (8.255,2.693) -- (8.265,2.488) -- (8.27,2.282) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (4.547,5.976) -- (4.853,5.74) -- (5.154,5.497) -- (5.449,5.247) -- (5.738,4.991) -- (6.022,4.727) -- (6.299,4.457) -- (6.569,4.18) -- (6.833,3.897) -- (7.09,3.608) -- (7.341,3.313) -- (7.584,3.012) -- (7.82,2.706) -- (8.049,2.394) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (4.547,5.976) -- (4.264,5.679) -- (3.989,5.376) -- (3.72,5.067) -- (3.459,4.751) -- (3.206,4.429) -- (2.96,4.101) -- (2.721,3.768) -- (2.491,3.429) -- (2.269,3.085) -- (2.055,2.735) -- (1.849,2.381) -- (1.652,2.022) -- (1.463,1.659) -- (1.283,1.291);
\draw[line width=0.5pt] (10.989,4.847) -- (11.035,4.686) -- (11.078,4.524) -- (11.116,4.361) -- (11.151,4.197) -- (11.182,4.033) -- (11.209,3.867) -- (11.232,3.701) -- (11.251,3.535) -- (11.266,3.368) -- (11.277,3.201) -- (11.285,3.034) -- (11.288,2.867) -- (11.287,2.699) -- (11.283,2.532);
\draw[line width=0.5pt] (11.283,2.532) -- (11.064,2.533) -- (10.846,2.528) -- (10.628,2.519) -- (10.409,2.504) -- (10.192,2.484) -- (9.974,2.459) -- (9.758,2.429) -- (9.542,2.394) -- (9.327,2.354) -- (9.113,2.308) -- (8.9,2.258) -- (8.689,2.203) -- (8.478,2.142) -- (8.27,2.077);
\draw[line width=0.5pt] (8.27,2.077) -- (8.0,2.049) -- (7.729,2.027) -- (7.458,2.012) -- (7.186,2.002) -- (6.914,2.0) -- (6.642,2.003) -- (6.371,2.014) -- (6.099,2.03) -- (5.828,2.053) -- (5.558,2.082) -- (5.289,2.117) -- (5.02,2.159) -- (4.753,2.208) -- (4.487,2.262) -- (4.249,2.228) -- (4.012,2.189) -- (3.776,2.144) -- (3.541,2.093) -- (3.308,2.037) -- (3.076,1.976) -- (2.845,1.909) -- (2.616,1.836) -- (2.388,1.758) -- (2.163,1.675) -- (1.939,1.587) -- (1.718,1.493) -- (1.499,1.395) -- (1.283,1.291);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.818,9.421) -- (4.796,9.501) -- (4.738,9.56) -- (4.658,9.581) -- (4.578,9.56) -- (4.519,9.501) -- (4.498,9.421) -- (4.519,9.341) -- (4.578,9.283) -- (4.658,9.261) -- (4.738,9.283) -- (4.796,9.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.79,9.01) -- (7.769,9.09) -- (7.71,9.148) -- (7.63,9.17) -- (7.55,9.148) -- (7.492,9.09) -- (7.47,9.01) -- (7.492,8.93) -- (7.55,8.871) -- (7.63,8.85) -- (7.71,8.871) -- (7.769,8.93) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.707,5.976) -- (4.685,6.056) -- (4.627,6.114) -- (4.547,6.136) -- (4.467,6.114) -- (4.408,6.056) -- (4.387,5.976) -- (4.408,5.896) -- (4.467,5.837) -- (4.547,5.816) -- (4.627,5.837) -- (4.685,5.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.149,4.847) -- (11.128,4.927) -- (11.069,4.985) -- (10.989,5.007) -- (10.909,4.985) -- (10.851,4.927) -- (10.829,4.847) -- (10.851,4.767) -- (10.909,4.708) -- (10.989,4.687) -- (11.069,4.708) -- (11.128,4.767) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.443,2.532) -- (11.421,2.612) -- (11.363,2.671) -- (11.283,2.692) -- (11.203,2.671) -- (11.144,2.612) -- (11.123,2.532) -- (11.144,2.452) -- (11.203,2.394) -- (11.283,2.372) -- (11.363,2.394) -- (11.421,2.452) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.43,2.077) -- (8.408,2.157) -- (8.35,2.216) -- (8.27,2.237) -- (8.19,2.216) -- (8.131,2.157) -- (8.11,2.077) -- (8.131,1.997) -- (8.19,1.939) -- (8.27,1.917) -- (8.35,1.939) -- (8.408,1.997) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.443,1.291) -- (1.421,1.371) -- (1.363,1.429) -- (1.283,1.451) -- (1.203,1.429) -- (1.144,1.371) -- (1.123,1.291) -- (1.144,1.211) -- (1.203,1.152) -- (1.283,1.131) -- (1.363,1.152) -- (1.421,1.211) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.511,9.41) -- (6.465,9.58) -- (6.341,9.704) -- (6.171,9.75) -- (6.001,9.704) -- (5.876,9.58) -- (5.831,9.41) -- (5.876,9.24) -- (6.001,9.116) -- (6.171,9.07) -- (6.341,9.116) -- (6.465,9.24) -- cycle;
\node at (6.171,9.41) {\scalebox{1.587}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.404,7.684) -- (5.359,7.854) -- (5.234,7.978) -- (5.064,8.024) -- (4.894,7.978) -- (4.77,7.854) -- (4.724,7.684) -- (4.77,7.514) -- (4.894,7.389) -- (5.064,7.344) -- (5.234,7.389) -- (5.359,7.514) -- cycle;
\node at (5.064,7.684) {\scalebox{1.587}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.528,7.392) -- (6.482,7.562) -- (6.358,7.686) -- (6.188,7.732) -- (6.018,7.686) -- (5.893,7.562) -- (5.848,7.392) -- (5.893,7.222) -- (6.018,7.097) -- (6.188,7.052) -- (6.358,7.097) -- (6.482,7.222) -- cycle;
\node at (6.188,7.392) {\scalebox{1.587}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.071,7.268) -- (10.025,7.438) -- (9.901,7.562) -- (9.731,7.608) -- (9.561,7.562) -- (9.436,7.438) -- (9.391,7.268) -- (9.436,7.098) -- (9.561,6.973) -- (9.731,6.928) -- (9.901,6.973) -- (10.025,7.098) -- cycle;
\node at (9.731,7.268) {\scalebox{1.587}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.484,4.983) -- (8.438,5.153) -- (8.314,5.278) -- (8.144,5.323) -- (7.974,5.278) -- (7.849,5.153) -- (7.804,4.983) -- (7.849,4.813) -- (7.974,4.689) -- (8.144,4.643) -- (8.314,4.689) -- (8.438,4.813) -- cycle;
\node at (8.144,4.983) {\scalebox{1.587}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.14,4.401) -- (7.095,4.571) -- (6.97,4.696) -- (6.8,4.741) -- (6.63,4.696) -- (6.506,4.571) -- (6.46,4.401) -- (6.506,4.231) -- (6.63,4.107) -- (6.8,4.061) -- (6.97,4.107) -- (7.095,4.231) -- cycle;
\node at (6.8,4.401) {\scalebox{1.587}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.324,3.585) -- (3.279,3.755) -- (3.154,3.879) -- (2.984,3.925) -- (2.814,3.879) -- (2.69,3.755) -- (2.644,3.585) -- (2.69,3.415) -- (2.814,3.291) -- (2.984,3.245) -- (3.154,3.291) -- (3.279,3.415) -- cycle;
\node at (2.984,3.585) {\scalebox{1.587}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.889,3.742) -- (11.844,3.912) -- (11.719,4.036) -- (11.549,4.082) -- (11.379,4.036) -- (11.255,3.912) -- (11.209,3.742) -- (11.255,3.572) -- (11.379,3.447) -- (11.549,3.402) -- (11.719,3.447) -- (11.844,3.572) -- cycle;
\node at (11.549,3.742) {\scalebox{1.587}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.145,2.113) -- (10.1,2.283) -- (9.975,2.407) -- (9.805,2.453) -- (9.635,2.407) -- (9.511,2.283) -- (9.465,2.113) -- (9.511,1.943) -- (9.635,1.818) -- (9.805,1.773) -- (9.975,1.818) -- (10.1,1.943) -- cycle;
\node at (9.805,2.113) {\scalebox{1.587}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.814,1.942) -- (4.768,2.112) -- (4.644,2.237) -- (4.474,2.282) -- (4.304,2.237) -- (4.179,2.112) -- (4.134,1.942) -- (4.179,1.772) -- (4.304,1.648) -- (4.474,1.602) -- (4.644,1.648) -- (4.768,1.772) -- cycle;
\node at (4.474,1.942) {\scalebox{1.587}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.97,1.777) -- (8.57,1.777) -- (8.57,2.377) -- (7.97,2.377) -- cycle;
\node at (8.27,2.077) {\scalebox{1.587}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.857,2.732) -- (2.457,2.732) -- (2.457,3.332) -- (1.857,3.332) -- cycle;
\node at (2.157,3.032) {\scalebox{1.587}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,3.161) -- (7.303,3.161) -- (7.303,3.761) -- (6.703,3.761) -- cycle;
\node at (7.003,3.461) {\scalebox{1.587}{\small c}};
\node at (4.371,9.971) {\scalebox{1.587}{\small A}};
\node at (7.735,9.621) {\scalebox{1.587}{\small B}};
\node at (3.97,6.204) {\scalebox{1.587}{\small C}};
\node at (11.609,4.82) {\scalebox{1.587}{\small D}};
\node at (11.82,2.223) {\scalebox{1.587}{\small E}};
\node at (8.523,1.511) {\scalebox{1.587}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.587}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.583,8.471) -- (12.583,9.571);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,9.186) -- (12.583,9.571) -- (12.814,9.186);
\draw[line width=0.5pt] (12.28,9.021) -- (12.885,9.021);
\node at (12.583,9.956) {\scalebox{1.587}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}, prend le \textbf{boulevard du Parc ⑤} vers le nord et atteint Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ①}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ④}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
