\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 51}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=51}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0051}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.842,9.256) -- (10.603,9.275) -- (10.363,9.288) -- (10.124,9.295) -- (9.884,9.296) -- (9.644,9.292) -- (9.404,9.283) -- (9.165,9.267) -- (8.926,9.247) -- (8.687,9.22) -- (8.45,9.188) -- (8.213,9.15) -- (7.977,9.107) -- (7.742,9.058) -- (7.509,9.004);
\draw[line width=0.5pt] (10.842,9.256) -- (10.874,8.963) -- (10.9,8.669) -- (10.918,8.375) -- (10.93,8.08) -- (10.935,7.785) -- (10.933,7.49) -- (10.924,7.195) -- (10.908,6.901) -- (10.885,6.607) -- (10.855,6.313) -- (10.818,6.02) -- (10.774,5.729) -- (10.724,5.438) -- (10.667,5.149);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.285,8.797) -- (7.066,8.586) -- (6.852,8.368) -- (6.644,8.146) -- (6.44,7.919) -- (6.242,7.688) -- (6.05,7.451) -- (5.862,7.211) -- (5.681,6.966) -- (5.506,6.716) -- (5.336,6.463) -- (5.173,6.206) -- (5.015,5.945) -- (4.864,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.585,8.741) -- (7.654,8.477) -- (7.718,8.21) -- (7.775,7.943) -- (7.826,7.674) -- (7.87,7.403) -- (7.908,7.132) -- (7.94,6.86) -- (7.965,6.588) -- (7.984,6.315) -- (7.997,6.041) -- (8.003,5.768) -- (8.003,5.494) -- (7.996,5.22);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.69,8.696) -- (7.879,8.393) -- (8.075,8.094) -- (8.279,7.8) -- (8.489,7.51) -- (8.705,7.226) -- (8.929,6.946) -- (9.159,6.672) -- (9.395,6.404) -- (9.637,6.141) -- (9.886,5.884) -- (10.14,5.633) -- (10.401,5.388) -- (10.667,5.149);
\draw[line width=0.5pt] (1.726,8.421) -- (1.979,8.261) -- (2.227,8.095) -- (2.472,7.923) -- (2.712,7.746) -- (2.949,7.563) -- (3.181,7.374) -- (3.408,7.18) -- (3.631,6.981) -- (3.85,6.776) -- (4.063,6.567) -- (4.271,6.352) -- (4.474,6.133) -- (4.672,5.909) -- (4.864,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (1.726,8.421) -- (1.669,8.209) -- (1.616,7.995) -- (1.569,7.78) -- (1.526,7.565) -- (1.489,7.348) -- (1.457,7.13) -- (1.429,6.912) -- (1.407,6.693) -- (1.39,6.474) -- (1.379,6.254) -- (1.372,6.034) -- (1.371,5.814) -- (1.374,5.594) -- (1.384,5.375);
\draw[line width=0.5pt] (4.864,5.681) -- (5.091,5.682) -- (5.318,5.679) -- (5.545,5.669) -- (5.772,5.655) -- (5.998,5.635) -- (6.224,5.61) -- (6.449,5.58) -- (6.673,5.544) -- (6.897,5.503) -- (7.119,5.457) -- (7.34,5.406) -- (7.56,5.349) -- (7.779,5.287) -- (7.996,5.22);
\draw[line width=0.5pt] (4.864,5.681) -- (4.783,5.401) -- (4.709,5.12) -- (4.641,4.837) -- (4.579,4.553) -- (4.525,4.267) -- (4.477,3.98) -- (4.436,3.692) -- (4.402,3.403) -- (4.374,3.113) -- (4.354,2.822) -- (4.34,2.532) -- (4.333,2.241) -- (4.333,1.95) -- (4.339,1.659);
\draw[line width=0.5pt] (10.667,5.149) -- (10.752,4.931) -- (10.833,4.71) -- (10.908,4.487) -- (10.978,4.262) -- (11.043,4.036) -- (11.103,3.809) -- (11.157,3.58) -- (11.206,3.35) -- (11.249,3.118) -- (11.287,2.886) -- (11.319,2.653) -- (11.346,2.42) -- (11.368,2.186) -- (11.384,1.951);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,1.951) -- (11.16,1.936) -- (10.937,1.915) -- (10.715,1.889) -- (10.493,1.858) -- (10.272,1.821) -- (10.052,1.78) -- (9.833,1.733) -- (9.615,1.681) -- (9.398,1.624) -- (9.183,1.562) -- (8.969,1.495) -- (8.757,1.423) -- (8.547,1.346) -- (8.339,1.264) -- (8.051,1.248) -- (7.763,1.239) -- (7.475,1.237) -- (7.186,1.242) -- (6.898,1.253) -- (6.61,1.272) -- (6.323,1.297) -- (6.036,1.328) -- (5.75,1.367) -- (5.465,1.412) -- (5.182,1.464) -- (4.899,1.522) -- (4.619,1.588) -- (4.339,1.659);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.002,9.256) -- (10.98,9.336) -- (10.922,9.395) -- (10.842,9.416) -- (10.762,9.395) -- (10.703,9.336) -- (10.682,9.256) -- (10.703,9.176) -- (10.762,9.117) -- (10.842,9.096) -- (10.922,9.117) -- (10.98,9.176) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.669,9.004) -- (7.647,9.084) -- (7.589,9.142) -- (7.509,9.164) -- (7.429,9.142) -- (7.37,9.084) -- (7.349,9.004) -- (7.37,8.924) -- (7.429,8.865) -- (7.509,8.844) -- (7.589,8.865) -- (7.647,8.924) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.886,8.421) -- (1.865,8.501) -- (1.806,8.559) -- (1.726,8.581) -- (1.646,8.559) -- (1.588,8.501) -- (1.566,8.421) -- (1.588,8.341) -- (1.646,8.282) -- (1.726,8.261) -- (1.806,8.282) -- (1.865,8.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.024,5.681) -- (5.003,5.761) -- (4.944,5.819) -- (4.864,5.841) -- (4.784,5.819) -- (4.726,5.761) -- (4.704,5.681) -- (4.726,5.601) -- (4.784,5.542) -- (4.864,5.521) -- (4.944,5.542) -- (5.003,5.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.375) -- (1.522,5.455) -- (1.464,5.513) -- (1.384,5.535) -- (1.304,5.513) -- (1.245,5.455) -- (1.224,5.375) -- (1.245,5.295) -- (1.304,5.236) -- (1.384,5.215) -- (1.464,5.236) -- (1.522,5.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.156,5.22) -- (8.134,5.3) -- (8.076,5.359) -- (7.996,5.38) -- (7.916,5.359) -- (7.857,5.3) -- (7.836,5.22) -- (7.857,5.14) -- (7.916,5.082) -- (7.996,5.06) -- (8.076,5.082) -- (8.134,5.14) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.827,5.149) -- (10.805,5.229) -- (10.747,5.288) -- (10.667,5.309) -- (10.587,5.288) -- (10.528,5.229) -- (10.507,5.149) -- (10.528,5.069) -- (10.587,5.011) -- (10.667,4.989) -- (10.747,5.011) -- (10.805,5.069) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,1.951) -- (11.522,2.031) -- (11.464,2.09) -- (11.384,2.111) -- (11.304,2.09) -- (11.245,2.031) -- (11.224,1.951) -- (11.245,1.871) -- (11.304,1.813) -- (11.384,1.791) -- (11.464,1.813) -- (11.522,1.871) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.499,1.659) -- (4.478,1.739) -- (4.419,1.798) -- (4.339,1.819) -- (4.259,1.798) -- (4.201,1.739) -- (4.179,1.659) -- (4.201,1.579) -- (4.259,1.521) -- (4.339,1.499) -- (4.419,1.521) -- (4.478,1.579) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.529,8.948) -- (9.483,9.118) -- (9.359,9.243) -- (9.189,9.288) -- (9.019,9.243) -- (8.895,9.118) -- (8.849,8.948) -- (8.895,8.778) -- (9.019,8.654) -- (9.189,8.608) -- (9.359,8.654) -- (9.483,8.778) -- cycle;
\node at (9.189,8.948) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.583,7.182) -- (11.538,7.352) -- (11.413,7.476) -- (11.243,7.522) -- (11.073,7.476) -- (10.949,7.352) -- (10.903,7.182) -- (10.949,7.012) -- (11.073,6.887) -- (11.243,6.842) -- (11.413,6.887) -- (11.538,7.012) -- cycle;
\node at (11.243,7.182) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.64,7.252) -- (6.594,7.422) -- (6.47,7.547) -- (6.3,7.592) -- (6.13,7.547) -- (6.005,7.422) -- (5.96,7.252) -- (6.005,7.082) -- (6.13,6.958) -- (6.3,6.912) -- (6.47,6.958) -- (6.594,7.082) -- cycle;
\node at (6.3,7.252) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.566,7.173) -- (8.52,7.343) -- (8.396,7.468) -- (8.226,7.513) -- (8.056,7.468) -- (7.931,7.343) -- (7.886,7.173) -- (7.931,7.003) -- (8.056,6.879) -- (8.226,6.833) -- (8.396,6.879) -- (8.52,7.003) -- cycle;
\node at (8.226,7.173) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.516,7.149) -- (9.471,7.319) -- (9.346,7.444) -- (9.176,7.489) -- (9.006,7.444) -- (8.882,7.319) -- (8.836,7.149) -- (8.882,6.979) -- (9.006,6.855) -- (9.176,6.809) -- (9.346,6.855) -- (9.471,6.979) -- cycle;
\node at (9.176,7.149) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.959,7.421) -- (3.913,7.591) -- (3.789,7.716) -- (3.619,7.761) -- (3.449,7.716) -- (3.324,7.591) -- (3.279,7.421) -- (3.324,7.251) -- (3.449,7.127) -- (3.619,7.081) -- (3.789,7.127) -- (3.913,7.251) -- cycle;
\node at (3.619,7.421) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.087,6.876) -- (2.042,7.046) -- (1.917,7.17) -- (1.747,7.216) -- (1.577,7.17) -- (1.453,7.046) -- (1.407,6.876) -- (1.453,6.706) -- (1.577,6.582) -- (1.747,6.536) -- (1.917,6.582) -- (2.042,6.706) -- cycle;
\node at (1.747,6.876) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.836,5.896) -- (6.79,6.066) -- (6.666,6.191) -- (6.496,6.236) -- (6.326,6.191) -- (6.201,6.066) -- (6.156,5.896) -- (6.201,5.726) -- (6.326,5.602) -- (6.496,5.556) -- (6.666,5.602) -- (6.79,5.726) -- cycle;
\node at (6.496,5.896) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.093,3.65) -- (5.048,3.82) -- (4.923,3.945) -- (4.753,3.99) -- (4.583,3.945) -- (4.459,3.82) -- (4.413,3.65) -- (4.459,3.48) -- (4.583,3.356) -- (4.753,3.31) -- (4.923,3.356) -- (5.048,3.48) -- cycle;
\node at (4.753,3.65) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.809,3.65) -- (11.764,3.82) -- (11.639,3.944) -- (11.469,3.99) -- (11.299,3.944) -- (11.175,3.82) -- (11.129,3.65) -- (11.175,3.48) -- (11.299,3.355) -- (11.469,3.31) -- (11.639,3.355) -- (11.764,3.48) -- cycle;
\node at (11.469,3.65) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.741,0.95) -- (8.695,1.12) -- (8.571,1.244) -- (8.401,1.29) -- (8.231,1.244) -- (8.106,1.12) -- (8.061,0.95) -- (8.106,0.78) -- (8.231,0.656) -- (8.401,0.61) -- (8.571,0.656) -- (8.695,0.78) -- cycle;
\node at (8.401,0.95) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.209,8.704) -- (7.809,8.704) -- (7.809,9.304) -- (7.209,9.304) -- cycle;
\node at (7.509,9.004) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.608,9.266) -- (10.208,9.266) -- (10.208,9.866) -- (9.608,9.866) -- cycle;
\node at (9.908,9.566) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.979,2.474) -- (4.579,2.474) -- (4.579,3.074) -- (3.979,3.074) -- cycle;
\node at (4.279,2.774) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.536,7.875) -- (3.136,7.875) -- (3.136,8.475) -- (2.536,8.475) -- cycle;
\node at (2.836,8.175) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (11.313,9.659) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (7.65,9.608) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (1.179,8.712) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (4.245,5.659) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (0.765,5.332) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (8.567,4.98) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (11.28,5.056) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (11.863,1.558) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (4.025,1.125) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,8.306) -- (12.684,9.406);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,9.021) -- (12.684,9.406) -- (12.915,9.021);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.856) -- (12.986,8.856);
\node at (12.684,9.791) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① venelle du Chat & ⑦ impasse Verte & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑧ chemin des Vignes & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue du Stade & ⑨ rue du Pont & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue du Puits & ⑩ rue des Lilas & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ rue Basse & ⑪ rue Verte & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
⑥ chemin Creux &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.842,9.256) -- (10.603,9.275) -- (10.363,9.288) -- (10.124,9.295) -- (9.884,9.296) -- (9.644,9.292) -- (9.404,9.283) -- (9.165,9.267) -- (8.926,9.247) -- (8.687,9.22) -- (8.45,9.188) -- (8.213,9.15) -- (7.977,9.107) -- (7.742,9.058) -- (7.509,9.004);
\draw[line width=0.5pt] (10.842,9.256) -- (10.874,8.963) -- (10.9,8.669) -- (10.918,8.375) -- (10.93,8.08) -- (10.935,7.785) -- (10.933,7.49) -- (10.924,7.195) -- (10.908,6.901) -- (10.885,6.607) -- (10.855,6.313) -- (10.818,6.02) -- (10.774,5.729) -- (10.724,5.438) -- (10.667,5.149);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.285,8.797) -- (7.066,8.586) -- (6.852,8.368) -- (6.644,8.146) -- (6.44,7.919) -- (6.242,7.688) -- (6.05,7.451) -- (5.862,7.211) -- (5.681,6.966) -- (5.506,6.716) -- (5.336,6.463) -- (5.173,6.206) -- (5.015,5.945) -- (4.864,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.585,8.741) -- (7.654,8.477) -- (7.718,8.21) -- (7.775,7.943) -- (7.826,7.674) -- (7.87,7.403) -- (7.908,7.132) -- (7.94,6.86) -- (7.965,6.588) -- (7.984,6.315) -- (7.997,6.041) -- (8.003,5.768) -- (8.003,5.494) -- (7.996,5.22);
\draw[line width=0.5pt] (7.509,9.004) -- (7.69,8.696) -- (7.879,8.393) -- (8.075,8.094) -- (8.279,7.8) -- (8.489,7.51) -- (8.705,7.226) -- (8.929,6.946) -- (9.159,6.672) -- (9.395,6.404) -- (9.637,6.141) -- (9.886,5.884) -- (10.14,5.633) -- (10.401,5.388) -- (10.667,5.149);
\draw[line width=0.5pt] (1.726,8.421) -- (1.979,8.261) -- (2.227,8.095) -- (2.472,7.923) -- (2.712,7.746) -- (2.949,7.563) -- (3.181,7.374) -- (3.408,7.18) -- (3.631,6.981) -- (3.85,6.776) -- (4.063,6.567) -- (4.271,6.352) -- (4.474,6.133) -- (4.672,5.909) -- (4.864,5.681);
\draw[line width=0.5pt] (1.726,8.421) -- (1.669,8.209) -- (1.616,7.995) -- (1.569,7.78) -- (1.526,7.565) -- (1.489,7.348) -- (1.457,7.13) -- (1.429,6.912) -- (1.407,6.693) -- (1.39,6.474) -- (1.379,6.254) -- (1.372,6.034) -- (1.371,5.814) -- (1.374,5.594) -- (1.384,5.375);
\draw[line width=0.5pt] (4.864,5.681) -- (5.091,5.682) -- (5.318,5.679) -- (5.545,5.669) -- (5.772,5.655) -- (5.998,5.635) -- (6.224,5.61) -- (6.449,5.58) -- (6.673,5.544) -- (6.897,5.503) -- (7.119,5.457) -- (7.34,5.406) -- (7.56,5.349) -- (7.779,5.287) -- (7.996,5.22);
\draw[line width=0.5pt] (4.864,5.681) -- (4.783,5.401) -- (4.709,5.12) -- (4.641,4.837) -- (4.579,4.553) -- (4.525,4.267) -- (4.477,3.98) -- (4.436,3.692) -- (4.402,3.403) -- (4.374,3.113) -- (4.354,2.822) -- (4.34,2.532) -- (4.333,2.241) -- (4.333,1.95) -- (4.339,1.659);
\draw[line width=0.5pt] (10.667,5.149) -- (10.752,4.931) -- (10.833,4.71) -- (10.908,4.487) -- (10.978,4.262) -- (11.043,4.036) -- (11.103,3.809) -- (11.157,3.58) -- (11.206,3.35) -- (11.249,3.118) -- (11.287,2.886) -- (11.319,2.653) -- (11.346,2.42) -- (11.368,2.186) -- (11.384,1.951);
\draw[line width=0.5pt] (11.384,1.951) -- (11.16,1.936) -- (10.937,1.915) -- (10.715,1.889) -- (10.493,1.858) -- (10.272,1.821) -- (10.052,1.78) -- (9.833,1.733) -- (9.615,1.681) -- (9.398,1.624) -- (9.183,1.562) -- (8.969,1.495) -- (8.757,1.423) -- (8.547,1.346) -- (8.339,1.264) -- (8.051,1.248) -- (7.763,1.239) -- (7.475,1.237) -- (7.186,1.242) -- (6.898,1.253) -- (6.61,1.272) -- (6.323,1.297) -- (6.036,1.328) -- (5.75,1.367) -- (5.465,1.412) -- (5.182,1.464) -- (4.899,1.522) -- (4.619,1.588) -- (4.339,1.659);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.002,9.256) -- (10.98,9.336) -- (10.922,9.395) -- (10.842,9.416) -- (10.762,9.395) -- (10.703,9.336) -- (10.682,9.256) -- (10.703,9.176) -- (10.762,9.117) -- (10.842,9.096) -- (10.922,9.117) -- (10.98,9.176) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.669,9.004) -- (7.647,9.084) -- (7.589,9.142) -- (7.509,9.164) -- (7.429,9.142) -- (7.37,9.084) -- (7.349,9.004) -- (7.37,8.924) -- (7.429,8.865) -- (7.509,8.844) -- (7.589,8.865) -- (7.647,8.924) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.886,8.421) -- (1.865,8.501) -- (1.806,8.559) -- (1.726,8.581) -- (1.646,8.559) -- (1.588,8.501) -- (1.566,8.421) -- (1.588,8.341) -- (1.646,8.282) -- (1.726,8.261) -- (1.806,8.282) -- (1.865,8.341) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.024,5.681) -- (5.003,5.761) -- (4.944,5.819) -- (4.864,5.841) -- (4.784,5.819) -- (4.726,5.761) -- (4.704,5.681) -- (4.726,5.601) -- (4.784,5.542) -- (4.864,5.521) -- (4.944,5.542) -- (5.003,5.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.375) -- (1.522,5.455) -- (1.464,5.513) -- (1.384,5.535) -- (1.304,5.513) -- (1.245,5.455) -- (1.224,5.375) -- (1.245,5.295) -- (1.304,5.236) -- (1.384,5.215) -- (1.464,5.236) -- (1.522,5.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.156,5.22) -- (8.134,5.3) -- (8.076,5.359) -- (7.996,5.38) -- (7.916,5.359) -- (7.857,5.3) -- (7.836,5.22) -- (7.857,5.14) -- (7.916,5.082) -- (7.996,5.06) -- (8.076,5.082) -- (8.134,5.14) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.827,5.149) -- (10.805,5.229) -- (10.747,5.288) -- (10.667,5.309) -- (10.587,5.288) -- (10.528,5.229) -- (10.507,5.149) -- (10.528,5.069) -- (10.587,5.011) -- (10.667,4.989) -- (10.747,5.011) -- (10.805,5.069) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,1.951) -- (11.522,2.031) -- (11.464,2.09) -- (11.384,2.111) -- (11.304,2.09) -- (11.245,2.031) -- (11.224,1.951) -- (11.245,1.871) -- (11.304,1.813) -- (11.384,1.791) -- (11.464,1.813) -- (11.522,1.871) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.499,1.659) -- (4.478,1.739) -- (4.419,1.798) -- (4.339,1.819) -- (4.259,1.798) -- (4.201,1.739) -- (4.179,1.659) -- (4.201,1.579) -- (4.259,1.521) -- (4.339,1.499) -- (4.419,1.521) -- (4.478,1.579) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.529,8.948) -- (9.483,9.118) -- (9.359,9.243) -- (9.189,9.288) -- (9.019,9.243) -- (8.895,9.118) -- (8.849,8.948) -- (8.895,8.778) -- (9.019,8.654) -- (9.189,8.608) -- (9.359,8.654) -- (9.483,8.778) -- cycle;
\node at (9.189,8.948) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.583,7.182) -- (11.538,7.352) -- (11.413,7.476) -- (11.243,7.522) -- (11.073,7.476) -- (10.949,7.352) -- (10.903,7.182) -- (10.949,7.012) -- (11.073,6.887) -- (11.243,6.842) -- (11.413,6.887) -- (11.538,7.012) -- cycle;
\node at (11.243,7.182) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.64,7.252) -- (6.594,7.422) -- (6.47,7.547) -- (6.3,7.592) -- (6.13,7.547) -- (6.005,7.422) -- (5.96,7.252) -- (6.005,7.082) -- (6.13,6.958) -- (6.3,6.912) -- (6.47,6.958) -- (6.594,7.082) -- cycle;
\node at (6.3,7.252) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.566,7.173) -- (8.52,7.343) -- (8.396,7.468) -- (8.226,7.513) -- (8.056,7.468) -- (7.931,7.343) -- (7.886,7.173) -- (7.931,7.003) -- (8.056,6.879) -- (8.226,6.833) -- (8.396,6.879) -- (8.52,7.003) -- cycle;
\node at (8.226,7.173) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.516,7.149) -- (9.471,7.319) -- (9.346,7.444) -- (9.176,7.489) -- (9.006,7.444) -- (8.882,7.319) -- (8.836,7.149) -- (8.882,6.979) -- (9.006,6.855) -- (9.176,6.809) -- (9.346,6.855) -- (9.471,6.979) -- cycle;
\node at (9.176,7.149) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.959,7.421) -- (3.913,7.591) -- (3.789,7.716) -- (3.619,7.761) -- (3.449,7.716) -- (3.324,7.591) -- (3.279,7.421) -- (3.324,7.251) -- (3.449,7.127) -- (3.619,7.081) -- (3.789,7.127) -- (3.913,7.251) -- cycle;
\node at (3.619,7.421) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.087,6.876) -- (2.042,7.046) -- (1.917,7.17) -- (1.747,7.216) -- (1.577,7.17) -- (1.453,7.046) -- (1.407,6.876) -- (1.453,6.706) -- (1.577,6.582) -- (1.747,6.536) -- (1.917,6.582) -- (2.042,6.706) -- cycle;
\node at (1.747,6.876) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.836,5.896) -- (6.79,6.066) -- (6.666,6.191) -- (6.496,6.236) -- (6.326,6.191) -- (6.201,6.066) -- (6.156,5.896) -- (6.201,5.726) -- (6.326,5.602) -- (6.496,5.556) -- (6.666,5.602) -- (6.79,5.726) -- cycle;
\node at (6.496,5.896) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.093,3.65) -- (5.048,3.82) -- (4.923,3.945) -- (4.753,3.99) -- (4.583,3.945) -- (4.459,3.82) -- (4.413,3.65) -- (4.459,3.48) -- (4.583,3.356) -- (4.753,3.31) -- (4.923,3.356) -- (5.048,3.48) -- cycle;
\node at (4.753,3.65) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.809,3.65) -- (11.764,3.82) -- (11.639,3.944) -- (11.469,3.99) -- (11.299,3.944) -- (11.175,3.82) -- (11.129,3.65) -- (11.175,3.48) -- (11.299,3.355) -- (11.469,3.31) -- (11.639,3.355) -- (11.764,3.48) -- cycle;
\node at (11.469,3.65) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.741,0.95) -- (8.695,1.12) -- (8.571,1.244) -- (8.401,1.29) -- (8.231,1.244) -- (8.106,1.12) -- (8.061,0.95) -- (8.106,0.78) -- (8.231,0.656) -- (8.401,0.61) -- (8.571,0.656) -- (8.695,0.78) -- cycle;
\node at (8.401,0.95) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.209,8.704) -- (7.809,8.704) -- (7.809,9.304) -- (7.209,9.304) -- cycle;
\node at (7.509,9.004) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.608,9.266) -- (10.208,9.266) -- (10.208,9.866) -- (9.608,9.866) -- cycle;
\node at (9.908,9.566) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.979,2.474) -- (4.579,2.474) -- (4.579,3.074) -- (3.979,3.074) -- cycle;
\node at (4.279,2.774) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.536,7.875) -- (3.136,7.875) -- (3.136,8.475) -- (2.536,8.475) -- cycle;
\node at (2.836,8.175) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (11.313,9.659) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (7.65,9.608) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (1.179,8.712) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (4.245,5.659) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (0.765,5.332) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (8.567,4.98) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (11.28,5.056) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (11.863,1.558) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (4.025,1.125) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,8.306) -- (12.684,9.406);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,9.021) -- (12.684,9.406) -- (12.915,9.021);
\draw[line width=0.5pt] (12.381,8.856) -- (12.986,8.856);
\node at (12.684,9.791) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 4 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{E}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{E} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{B}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{E} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de E :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place aux Herbes \textbf{(E)}, prend l'\textbf{impasse Verte ⑦} vers le nord et atteint Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ③}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ①}, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ②}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑪}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑩}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
