\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 52}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=52}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0052}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7049, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.225,8.911) -- (2.176,8.671) -- (2.132,8.43) -- (2.094,8.189) -- (2.062,7.946) -- (2.036,7.703) -- (2.015,7.459) -- (2.0,7.215) -- (1.991,6.97) -- (1.987,6.726) -- (1.989,6.481) -- (1.997,6.236) -- (2.011,5.992) -- (2.03,5.748) -- (2.056,5.505);
\draw[line width=0.5pt] (2.225,8.911) -- (2.486,8.698) -- (2.742,8.479) -- (2.993,8.255) -- (3.238,8.024) -- (3.478,7.787) -- (3.713,7.545) -- (3.941,7.298) -- (4.164,7.045) -- (4.381,6.787) -- (4.591,6.524) -- (4.796,6.257) -- (4.994,5.984) -- (5.185,5.707) -- (5.37,5.426);
\draw[line width=0.5pt] (7.439,8.698) -- (7.663,8.616) -- (7.889,8.538) -- (8.117,8.466) -- (8.346,8.399) -- (8.577,8.338) -- (8.809,8.282) -- (9.043,8.231) -- (9.278,8.186) -- (9.514,8.147) -- (9.75,8.113) -- (9.987,8.085) -- (10.225,8.062) -- (10.463,8.045) -- (10.702,8.033);
\draw[line width=0.5pt] (7.439,8.698) -- (7.754,8.461) -- (8.063,8.216) -- (8.367,7.963) -- (8.664,7.704) -- (8.956,7.437) -- (9.241,7.164) -- (9.52,6.884) -- (9.792,6.597) -- (10.057,6.304) -- (10.315,6.006) -- (10.566,5.701) -- (10.81,5.39) -- (11.046,5.074) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (10.702,8.033) -- (10.707,7.795) -- (10.717,7.556) -- (10.733,7.317) -- (10.755,7.079) -- (10.782,6.842) -- (10.815,6.605) -- (10.853,6.369) -- (10.897,6.134) -- (10.946,5.9) -- (11.001,5.668) -- (11.061,5.436) -- (11.127,5.207) -- (11.198,4.979) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,5.505) -- (2.291,5.536) -- (2.528,5.561) -- (2.765,5.58) -- (3.002,5.594) -- (3.24,5.603) -- (3.478,5.605) -- (3.716,5.602) -- (3.954,5.594) -- (4.191,5.58) -- (4.428,5.56) -- (4.665,5.535) -- (4.901,5.504) -- (5.136,5.468) -- (5.37,5.426);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,5.505) -- (1.961,5.258) -- (1.872,5.009) -- (1.789,4.757) -- (1.712,4.504) -- (1.641,4.248) -- (1.575,3.992) -- (1.516,3.733) -- (1.463,3.474) -- (1.416,3.213) -- (1.376,2.951) -- (1.341,2.688) -- (1.313,2.425) -- (1.291,2.161) -- (1.275,1.897);
\draw[line width=0.5pt] (5.37,5.426) -- (5.538,5.435) -- (5.706,5.441) -- (5.874,5.442) -- (6.042,5.44) -- (6.21,5.433) -- (6.378,5.423) -- (6.545,5.408) -- (6.712,5.39) -- (6.879,5.368) -- (7.045,5.342) -- (7.211,5.312) -- (7.375,5.278) -- (7.539,5.24) -- (7.702,5.198) -- (7.95,5.128) -- (8.2,5.063) -- (8.452,5.004) -- (8.705,4.951) -- (8.959,4.904) -- (9.214,4.863) -- (9.47,4.828) -- (9.727,4.799) -- (9.984,4.776) -- (10.242,4.759) -- (10.5,4.748) -- (10.759,4.744) -- (11.017,4.745) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (5.37,5.426) -- (5.041,5.221) -- (4.717,5.008) -- (4.398,4.787) -- (4.085,4.559) -- (3.776,4.323) -- (3.474,4.08) -- (3.177,3.83) -- (2.886,3.574) -- (2.601,3.31) -- (2.322,3.04) -- (2.05,2.763) -- (1.785,2.481) -- (1.526,2.192) -- (1.275,1.897);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.752) -- (11.119,4.49) -- (10.957,4.231) -- (10.79,3.976) -- (10.616,3.724) -- (10.436,3.477) -- (10.25,3.235) -- (10.059,2.996) -- (9.862,2.762) -- (9.66,2.533) -- (9.452,2.309) -- (9.24,2.09) -- (9.022,1.876) -- (8.799,1.667) -- (8.571,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (5.455,2.068) -- (5.67,1.991) -- (5.886,1.919) -- (6.103,1.853) -- (6.323,1.791) -- (6.543,1.735) -- (6.765,1.683) -- (6.989,1.637) -- (7.213,1.596) -- (7.438,1.561) -- (7.664,1.531) -- (7.89,1.506) -- (8.117,1.486) -- (8.344,1.472) -- (8.571,1.463);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.385,8.911) -- (2.364,8.991) -- (2.305,9.049) -- (2.225,9.071) -- (2.145,9.049) -- (2.087,8.991) -- (2.065,8.911) -- (2.087,8.831) -- (2.145,8.772) -- (2.225,8.751) -- (2.305,8.772) -- (2.364,8.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.599,8.698) -- (7.578,8.778) -- (7.519,8.837) -- (7.439,8.858) -- (7.359,8.837) -- (7.3,8.778) -- (7.279,8.698) -- (7.3,8.618) -- (7.359,8.56) -- (7.439,8.538) -- (7.519,8.56) -- (7.578,8.618) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.862,8.033) -- (10.841,8.113) -- (10.782,8.172) -- (10.702,8.193) -- (10.622,8.172) -- (10.563,8.113) -- (10.542,8.033) -- (10.563,7.953) -- (10.622,7.895) -- (10.702,7.873) -- (10.782,7.895) -- (10.841,7.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.216,5.505) -- (2.194,5.585) -- (2.136,5.644) -- (2.056,5.665) -- (1.976,5.644) -- (1.917,5.585) -- (1.896,5.505) -- (1.917,5.425) -- (1.976,5.367) -- (2.056,5.345) -- (2.136,5.367) -- (2.194,5.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.53,5.426) -- (5.508,5.506) -- (5.45,5.565) -- (5.37,5.586) -- (5.29,5.565) -- (5.231,5.506) -- (5.21,5.426) -- (5.231,5.346) -- (5.29,5.287) -- (5.37,5.266) -- (5.45,5.287) -- (5.508,5.346) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,4.752) -- (11.413,4.832) -- (11.355,4.891) -- (11.275,4.912) -- (11.195,4.891) -- (11.136,4.832) -- (11.115,4.752) -- (11.136,4.672) -- (11.195,4.614) -- (11.275,4.592) -- (11.355,4.614) -- (11.413,4.672) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.615,2.068) -- (5.594,2.148) -- (5.535,2.207) -- (5.455,2.228) -- (5.375,2.207) -- (5.317,2.148) -- (5.295,2.068) -- (5.317,1.988) -- (5.375,1.93) -- (5.455,1.908) -- (5.535,1.93) -- (5.594,1.988) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.897) -- (1.413,1.977) -- (1.355,2.035) -- (1.275,2.057) -- (1.195,2.035) -- (1.136,1.977) -- (1.115,1.897) -- (1.136,1.817) -- (1.195,1.758) -- (1.275,1.737) -- (1.355,1.758) -- (1.413,1.817) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.731,1.463) -- (8.71,1.543) -- (8.651,1.602) -- (8.571,1.623) -- (8.491,1.602) -- (8.433,1.543) -- (8.411,1.463) -- (8.433,1.383) -- (8.491,1.325) -- (8.571,1.303) -- (8.651,1.325) -- (8.71,1.383) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.66,7.199) -- (2.614,7.369) -- (2.49,7.493) -- (2.32,7.539) -- (2.15,7.493) -- (2.025,7.369) -- (1.98,7.199) -- (2.025,7.029) -- (2.15,6.905) -- (2.32,6.859) -- (2.49,6.905) -- (2.614,7.029) -- cycle;
\node at (2.32,7.199) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.519,7.512) -- (4.473,7.682) -- (4.349,7.807) -- (4.179,7.852) -- (4.009,7.807) -- (3.884,7.682) -- (3.839,7.512) -- (3.884,7.342) -- (4.009,7.218) -- (4.179,7.172) -- (4.349,7.218) -- (4.473,7.342) -- cycle;
\node at (4.179,7.512) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.447,8.545) -- (9.401,8.715) -- (9.277,8.839) -- (9.107,8.885) -- (8.937,8.839) -- (8.813,8.715) -- (8.767,8.545) -- (8.813,8.375) -- (8.937,8.25) -- (9.107,8.205) -- (9.277,8.25) -- (9.401,8.375) -- cycle;
\node at (9.107,8.545) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,7.107) -- (10.044,7.277) -- (9.919,7.401) -- (9.749,7.447) -- (9.579,7.401) -- (9.455,7.277) -- (9.409,7.107) -- (9.455,6.937) -- (9.579,6.812) -- (9.749,6.767) -- (9.919,6.812) -- (10.044,6.937) -- cycle;
\node at (9.749,7.107) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.508,6.424) -- (11.463,6.594) -- (11.338,6.719) -- (11.168,6.764) -- (10.998,6.719) -- (10.874,6.594) -- (10.828,6.424) -- (10.874,6.254) -- (10.998,6.13) -- (11.168,6.084) -- (11.338,6.13) -- (11.463,6.254) -- cycle;
\node at (11.168,6.424) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.064,5.922) -- (4.018,6.092) -- (3.894,6.217) -- (3.724,6.262) -- (3.554,6.217) -- (3.429,6.092) -- (3.384,5.922) -- (3.429,5.752) -- (3.554,5.628) -- (3.724,5.582) -- (3.894,5.628) -- (4.018,5.752) -- cycle;
\node at (3.724,5.922) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.169,3.666) -- (2.124,3.836) -- (1.999,3.96) -- (1.829,4.006) -- (1.659,3.96) -- (1.535,3.836) -- (1.489,3.666) -- (1.535,3.496) -- (1.659,3.371) -- (1.829,3.326) -- (1.999,3.371) -- (2.124,3.496) -- cycle;
\node at (1.829,3.666) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.126,5.507) -- (8.081,5.677) -- (7.956,5.802) -- (7.786,5.847) -- (7.616,5.802) -- (7.492,5.677) -- (7.446,5.507) -- (7.492,5.337) -- (7.616,5.213) -- (7.786,5.167) -- (7.956,5.213) -- (8.081,5.337) -- cycle;
\node at (7.786,5.507) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.726,3.588) -- (3.68,3.758) -- (3.556,3.882) -- (3.386,3.928) -- (3.216,3.882) -- (3.091,3.758) -- (3.046,3.588) -- (3.091,3.418) -- (3.216,3.293) -- (3.386,3.248) -- (3.556,3.293) -- (3.68,3.418) -- cycle;
\node at (3.386,3.588) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.646,2.793) -- (10.601,2.963) -- (10.476,3.088) -- (10.306,3.133) -- (10.136,3.088) -- (10.012,2.963) -- (9.966,2.793) -- (10.012,2.623) -- (10.136,2.499) -- (10.306,2.453) -- (10.476,2.499) -- (10.601,2.623) -- cycle;
\node at (10.306,2.793) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,1.951) -- (7.344,2.121) -- (7.22,2.246) -- (7.05,2.291) -- (6.88,2.246) -- (6.755,2.121) -- (6.71,1.951) -- (6.755,1.781) -- (6.88,1.657) -- (7.05,1.611) -- (7.22,1.657) -- (7.344,1.781) -- cycle;
\node at (7.05,1.951) {\scalebox{1.419}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.975,4.452) -- (11.575,4.452) -- (11.575,5.052) -- (10.975,5.052) -- cycle;
\node at (11.275,4.752) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.575,9.3) -- (10.175,9.3) -- (10.175,9.9) -- (9.575,9.9) -- cycle;
\node at (9.875,9.6) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.428,8.274) -- (4.028,8.274) -- (4.028,8.874) -- (3.428,8.874) -- cycle;
\node at (3.728,8.574) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.429,5.852) -- (4.029,5.852) -- (4.029,6.452) -- (3.429,6.452) -- cycle;
\node at (3.729,6.152) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\node at (1.781,9.343) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (7.669,9.274) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (11.231,8.356) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (1.438,5.553) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (4.784,5.628) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (11.893,4.7) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (5.341,1.459) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (0.765,1.544) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\node at (8.919,0.95) {\scalebox{1.419}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,7.961) -- (12.575,9.061);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,8.676) -- (12.575,9.061) -- (12.806,8.676);
\draw[line width=0.5pt] (12.272,8.511) -- (12.877,8.511);
\node at (12.575,9.446) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑦ venelle du Chat & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin des Vignes & ⑧ rue des Jardins & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue du Four & ⑨ rue Haute & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑪ impasse du Vieux-Four & Ⓔ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑥ rue Basse &  & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6307, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.225,8.911) -- (2.176,8.671) -- (2.132,8.43) -- (2.094,8.189) -- (2.062,7.946) -- (2.036,7.703) -- (2.015,7.459) -- (2.0,7.215) -- (1.991,6.97) -- (1.987,6.726) -- (1.989,6.481) -- (1.997,6.236) -- (2.011,5.992) -- (2.03,5.748) -- (2.056,5.505);
\draw[line width=0.5pt] (2.225,8.911) -- (2.486,8.698) -- (2.742,8.479) -- (2.993,8.255) -- (3.238,8.024) -- (3.478,7.787) -- (3.713,7.545) -- (3.941,7.298) -- (4.164,7.045) -- (4.381,6.787) -- (4.591,6.524) -- (4.796,6.257) -- (4.994,5.984) -- (5.185,5.707) -- (5.37,5.426);
\draw[line width=0.5pt] (7.439,8.698) -- (7.663,8.616) -- (7.889,8.538) -- (8.117,8.466) -- (8.346,8.399) -- (8.577,8.338) -- (8.809,8.282) -- (9.043,8.231) -- (9.278,8.186) -- (9.514,8.147) -- (9.75,8.113) -- (9.987,8.085) -- (10.225,8.062) -- (10.463,8.045) -- (10.702,8.033);
\draw[line width=0.5pt] (7.439,8.698) -- (7.754,8.461) -- (8.063,8.216) -- (8.367,7.963) -- (8.664,7.704) -- (8.956,7.437) -- (9.241,7.164) -- (9.52,6.884) -- (9.792,6.597) -- (10.057,6.304) -- (10.315,6.006) -- (10.566,5.701) -- (10.81,5.39) -- (11.046,5.074) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (10.702,8.033) -- (10.707,7.795) -- (10.717,7.556) -- (10.733,7.317) -- (10.755,7.079) -- (10.782,6.842) -- (10.815,6.605) -- (10.853,6.369) -- (10.897,6.134) -- (10.946,5.9) -- (11.001,5.668) -- (11.061,5.436) -- (11.127,5.207) -- (11.198,4.979) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,5.505) -- (2.291,5.536) -- (2.528,5.561) -- (2.765,5.58) -- (3.002,5.594) -- (3.24,5.603) -- (3.478,5.605) -- (3.716,5.602) -- (3.954,5.594) -- (4.191,5.58) -- (4.428,5.56) -- (4.665,5.535) -- (4.901,5.504) -- (5.136,5.468) -- (5.37,5.426);
\draw[line width=0.5pt] (2.056,5.505) -- (1.961,5.258) -- (1.872,5.009) -- (1.789,4.757) -- (1.712,4.504) -- (1.641,4.248) -- (1.575,3.992) -- (1.516,3.733) -- (1.463,3.474) -- (1.416,3.213) -- (1.376,2.951) -- (1.341,2.688) -- (1.313,2.425) -- (1.291,2.161) -- (1.275,1.897);
\draw[line width=0.5pt] (5.37,5.426) -- (5.538,5.435) -- (5.706,5.441) -- (5.874,5.442) -- (6.042,5.44) -- (6.21,5.433) -- (6.378,5.423) -- (6.545,5.408) -- (6.712,5.39) -- (6.879,5.368) -- (7.045,5.342) -- (7.211,5.312) -- (7.375,5.278) -- (7.539,5.24) -- (7.702,5.198) -- (7.95,5.128) -- (8.2,5.063) -- (8.452,5.004) -- (8.705,4.951) -- (8.959,4.904) -- (9.214,4.863) -- (9.47,4.828) -- (9.727,4.799) -- (9.984,4.776) -- (10.242,4.759) -- (10.5,4.748) -- (10.759,4.744) -- (11.017,4.745) -- (11.275,4.752);
\draw[line width=0.5pt] (5.37,5.426) -- (5.041,5.221) -- (4.717,5.008) -- (4.398,4.787) -- (4.085,4.559) -- (3.776,4.323) -- (3.474,4.08) -- (3.177,3.83) -- (2.886,3.574) -- (2.601,3.31) -- (2.322,3.04) -- (2.05,2.763) -- (1.785,2.481) -- (1.526,2.192) -- (1.275,1.897);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.752) -- (11.119,4.49) -- (10.957,4.231) -- (10.79,3.976) -- (10.616,3.724) -- (10.436,3.477) -- (10.25,3.235) -- (10.059,2.996) -- (9.862,2.762) -- (9.66,2.533) -- (9.452,2.309) -- (9.24,2.09) -- (9.022,1.876) -- (8.799,1.667) -- (8.571,1.463);
\draw[line width=0.5pt] (5.455,2.068) -- (5.67,1.991) -- (5.886,1.919) -- (6.103,1.853) -- (6.323,1.791) -- (6.543,1.735) -- (6.765,1.683) -- (6.989,1.637) -- (7.213,1.596) -- (7.438,1.561) -- (7.664,1.531) -- (7.89,1.506) -- (8.117,1.486) -- (8.344,1.472) -- (8.571,1.463);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.385,8.911) -- (2.364,8.991) -- (2.305,9.049) -- (2.225,9.071) -- (2.145,9.049) -- (2.087,8.991) -- (2.065,8.911) -- (2.087,8.831) -- (2.145,8.772) -- (2.225,8.751) -- (2.305,8.772) -- (2.364,8.831) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.599,8.698) -- (7.578,8.778) -- (7.519,8.837) -- (7.439,8.858) -- (7.359,8.837) -- (7.3,8.778) -- (7.279,8.698) -- (7.3,8.618) -- (7.359,8.56) -- (7.439,8.538) -- (7.519,8.56) -- (7.578,8.618) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.862,8.033) -- (10.841,8.113) -- (10.782,8.172) -- (10.702,8.193) -- (10.622,8.172) -- (10.563,8.113) -- (10.542,8.033) -- (10.563,7.953) -- (10.622,7.895) -- (10.702,7.873) -- (10.782,7.895) -- (10.841,7.953) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.216,5.505) -- (2.194,5.585) -- (2.136,5.644) -- (2.056,5.665) -- (1.976,5.644) -- (1.917,5.585) -- (1.896,5.505) -- (1.917,5.425) -- (1.976,5.367) -- (2.056,5.345) -- (2.136,5.367) -- (2.194,5.425) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.53,5.426) -- (5.508,5.506) -- (5.45,5.565) -- (5.37,5.586) -- (5.29,5.565) -- (5.231,5.506) -- (5.21,5.426) -- (5.231,5.346) -- (5.29,5.287) -- (5.37,5.266) -- (5.45,5.287) -- (5.508,5.346) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,4.752) -- (11.413,4.832) -- (11.355,4.891) -- (11.275,4.912) -- (11.195,4.891) -- (11.136,4.832) -- (11.115,4.752) -- (11.136,4.672) -- (11.195,4.614) -- (11.275,4.592) -- (11.355,4.614) -- (11.413,4.672) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.615,2.068) -- (5.594,2.148) -- (5.535,2.207) -- (5.455,2.228) -- (5.375,2.207) -- (5.317,2.148) -- (5.295,2.068) -- (5.317,1.988) -- (5.375,1.93) -- (5.455,1.908) -- (5.535,1.93) -- (5.594,1.988) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.897) -- (1.413,1.977) -- (1.355,2.035) -- (1.275,2.057) -- (1.195,2.035) -- (1.136,1.977) -- (1.115,1.897) -- (1.136,1.817) -- (1.195,1.758) -- (1.275,1.737) -- (1.355,1.758) -- (1.413,1.817) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.731,1.463) -- (8.71,1.543) -- (8.651,1.602) -- (8.571,1.623) -- (8.491,1.602) -- (8.433,1.543) -- (8.411,1.463) -- (8.433,1.383) -- (8.491,1.325) -- (8.571,1.303) -- (8.651,1.325) -- (8.71,1.383) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.66,7.199) -- (2.614,7.369) -- (2.49,7.493) -- (2.32,7.539) -- (2.15,7.493) -- (2.025,7.369) -- (1.98,7.199) -- (2.025,7.029) -- (2.15,6.905) -- (2.32,6.859) -- (2.49,6.905) -- (2.614,7.029) -- cycle;
\node at (2.32,7.199) {\scalebox{1.586}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.519,7.512) -- (4.473,7.682) -- (4.349,7.807) -- (4.179,7.852) -- (4.009,7.807) -- (3.884,7.682) -- (3.839,7.512) -- (3.884,7.342) -- (4.009,7.218) -- (4.179,7.172) -- (4.349,7.218) -- (4.473,7.342) -- cycle;
\node at (4.179,7.512) {\scalebox{1.586}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.447,8.545) -- (9.401,8.715) -- (9.277,8.839) -- (9.107,8.885) -- (8.937,8.839) -- (8.813,8.715) -- (8.767,8.545) -- (8.813,8.375) -- (8.937,8.25) -- (9.107,8.205) -- (9.277,8.25) -- (9.401,8.375) -- cycle;
\node at (9.107,8.545) {\scalebox{1.586}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.089,7.107) -- (10.044,7.277) -- (9.919,7.401) -- (9.749,7.447) -- (9.579,7.401) -- (9.455,7.277) -- (9.409,7.107) -- (9.455,6.937) -- (9.579,6.812) -- (9.749,6.767) -- (9.919,6.812) -- (10.044,6.937) -- cycle;
\node at (9.749,7.107) {\scalebox{1.586}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.508,6.424) -- (11.463,6.594) -- (11.338,6.719) -- (11.168,6.764) -- (10.998,6.719) -- (10.874,6.594) -- (10.828,6.424) -- (10.874,6.254) -- (10.998,6.13) -- (11.168,6.084) -- (11.338,6.13) -- (11.463,6.254) -- cycle;
\node at (11.168,6.424) {\scalebox{1.586}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.064,5.922) -- (4.018,6.092) -- (3.894,6.217) -- (3.724,6.262) -- (3.554,6.217) -- (3.429,6.092) -- (3.384,5.922) -- (3.429,5.752) -- (3.554,5.628) -- (3.724,5.582) -- (3.894,5.628) -- (4.018,5.752) -- cycle;
\node at (3.724,5.922) {\scalebox{1.586}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.169,3.666) -- (2.124,3.836) -- (1.999,3.96) -- (1.829,4.006) -- (1.659,3.96) -- (1.535,3.836) -- (1.489,3.666) -- (1.535,3.496) -- (1.659,3.371) -- (1.829,3.326) -- (1.999,3.371) -- (2.124,3.496) -- cycle;
\node at (1.829,3.666) {\scalebox{1.586}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.126,5.507) -- (8.081,5.677) -- (7.956,5.802) -- (7.786,5.847) -- (7.616,5.802) -- (7.492,5.677) -- (7.446,5.507) -- (7.492,5.337) -- (7.616,5.213) -- (7.786,5.167) -- (7.956,5.213) -- (8.081,5.337) -- cycle;
\node at (7.786,5.507) {\scalebox{1.586}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.726,3.588) -- (3.68,3.758) -- (3.556,3.882) -- (3.386,3.928) -- (3.216,3.882) -- (3.091,3.758) -- (3.046,3.588) -- (3.091,3.418) -- (3.216,3.293) -- (3.386,3.248) -- (3.556,3.293) -- (3.68,3.418) -- cycle;
\node at (3.386,3.588) {\scalebox{1.586}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.646,2.793) -- (10.601,2.963) -- (10.476,3.088) -- (10.306,3.133) -- (10.136,3.088) -- (10.012,2.963) -- (9.966,2.793) -- (10.012,2.623) -- (10.136,2.499) -- (10.306,2.453) -- (10.476,2.499) -- (10.601,2.623) -- cycle;
\node at (10.306,2.793) {\scalebox{1.586}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,1.951) -- (7.344,2.121) -- (7.22,2.246) -- (7.05,2.291) -- (6.88,2.246) -- (6.755,2.121) -- (6.71,1.951) -- (6.755,1.781) -- (6.88,1.657) -- (7.05,1.611) -- (7.22,1.657) -- (7.344,1.781) -- cycle;
\node at (7.05,1.951) {\scalebox{1.586}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.975,4.452) -- (11.575,4.452) -- (11.575,5.052) -- (10.975,5.052) -- cycle;
\node at (11.275,4.752) {\scalebox{1.586}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.575,9.3) -- (10.175,9.3) -- (10.175,9.9) -- (9.575,9.9) -- cycle;
\node at (9.875,9.6) {\scalebox{1.586}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.428,8.274) -- (4.028,8.274) -- (4.028,8.874) -- (3.428,8.874) -- cycle;
\node at (3.728,8.574) {\scalebox{1.586}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.429,5.852) -- (4.029,5.852) -- (4.029,6.452) -- (3.429,6.452) -- cycle;
\node at (3.729,6.152) {\scalebox{1.586}{\small d}};
\node at (1.781,9.343) {\scalebox{1.586}{\small A}};
\node at (7.669,9.274) {\scalebox{1.586}{\small B}};
\node at (11.231,8.356) {\scalebox{1.586}{\small C}};
\node at (1.438,5.553) {\scalebox{1.586}{\small D}};
\node at (4.784,5.628) {\scalebox{1.586}{\small E}};
\node at (11.893,4.7) {\scalebox{1.586}{\small F}};
\node at (5.341,1.459) {\scalebox{1.586}{\small G}};
\node at (0.765,1.544) {\scalebox{1.586}{\small H}};
\node at (8.919,0.95) {\scalebox{1.586}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,7.961) -- (12.575,9.061);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,8.676) -- (12.575,9.061) -- (12.806,8.676);
\draw[line width=0.5pt] (12.272,8.511) -- (12.877,8.511);
\node at (12.575,9.446) {\scalebox{1.586}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & 1 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{F}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin de Ronde ①} vers le nord et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ②}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Jardins ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Four ③}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
