\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 53}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=53}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0053}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6913, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.429,8.262) -- (7.259,8.072) -- (7.094,7.878) -- (6.933,7.68) -- (6.777,7.478) -- (6.626,7.273) -- (6.479,7.064) -- (6.337,6.852) -- (6.201,6.636) -- (6.069,6.417) -- (5.943,6.196) -- (5.822,5.971) -- (5.707,5.744) -- (5.596,5.514);
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.901,8.256) -- (8.194,8.057) -- (8.482,7.851) -- (8.765,7.638) -- (9.043,7.419) -- (9.316,7.193) -- (9.584,6.961) -- (9.846,6.722) -- (10.102,6.478) -- (10.353,6.227) -- (10.597,5.971) -- (10.835,5.709) -- (11.068,5.442) -- (11.293,5.169);
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.582,8.188) -- (7.567,7.928) -- (7.558,7.668) -- (7.555,7.407) -- (7.558,7.146) -- (7.567,6.886) -- (7.582,6.626) -- (7.604,6.366) -- (7.631,6.106) -- (7.665,5.848) -- (7.705,5.59) -- (7.751,5.334) -- (7.802,5.078) -- (7.86,4.824);
\draw[line width=0.5pt] (1.293,8.049) -- (1.626,7.917) -- (1.955,7.776) -- (2.281,7.628) -- (2.604,7.472) -- (2.923,7.309) -- (3.238,7.138) -- (3.549,6.959) -- (3.856,6.774) -- (4.158,6.581) -- (4.456,6.381) -- (4.749,6.174) -- (5.037,5.961) -- (5.319,5.741) -- (5.596,5.514);
\draw[line width=0.5pt] (1.293,8.049) -- (1.319,7.796) -- (1.351,7.544) -- (1.389,7.292) -- (1.432,7.041) -- (1.482,6.792) -- (1.537,6.543) -- (1.599,6.296) -- (1.666,6.05) -- (1.739,5.806) -- (1.817,5.564) -- (1.902,5.324) -- (1.991,5.086) -- (2.087,4.85) -- (2.188,4.616) -- (2.203,4.397) -- (2.213,4.177) -- (2.218,3.957) -- (2.217,3.737) -- (2.212,3.517) -- (2.201,3.297) -- (2.185,3.077) -- (2.164,2.858) -- (2.138,2.64) -- (2.107,2.422) -- (2.07,2.205) -- (2.029,1.988) -- (1.982,1.773) -- (1.931,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (5.596,5.514) -- (5.764,5.49) -- (5.932,5.462) -- (6.098,5.43) -- (6.264,5.394) -- (6.43,5.354) -- (6.594,5.31) -- (6.757,5.263) -- (6.919,5.211) -- (7.079,5.156) -- (7.239,5.097) -- (7.396,5.034) -- (7.553,4.968) -- (7.707,4.898) -- (7.86,4.824);
\draw[line width=0.5pt] (5.596,5.514) -- (5.676,5.215) -- (5.762,4.918) -- (5.855,4.622) -- (5.955,4.329) -- (6.062,4.039) -- (6.176,3.751) -- (6.297,3.465) -- (6.424,3.183) -- (6.558,2.904) -- (6.699,2.628) -- (6.846,2.355) -- (6.999,2.086) -- (7.158,1.82) -- (7.324,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,5.169) -- (11.296,4.977) -- (11.294,4.786) -- (11.287,4.594) -- (11.276,4.402) -- (11.261,4.211) -- (11.241,4.02) -- (11.216,3.83) -- (11.187,3.64) -- (11.154,3.451) -- (11.116,3.262) -- (11.074,3.075) -- (11.027,2.889) -- (10.976,2.704) -- (10.921,2.52);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,5.169) -- (10.972,4.957) -- (10.657,4.737) -- (10.346,4.509) -- (10.041,4.275) -- (9.741,4.033) -- (9.448,3.784) -- (9.16,3.528) -- (8.878,3.265) -- (8.602,2.996) -- (8.333,2.721) -- (8.07,2.44) -- (7.815,2.152) -- (7.566,1.858) -- (7.324,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (10.921,2.52) -- (10.677,2.413) -- (10.43,2.311) -- (10.18,2.215) -- (9.929,2.126) -- (9.675,2.042) -- (9.42,1.963) -- (9.162,1.891) -- (8.903,1.825) -- (8.643,1.766) -- (8.381,1.712) -- (8.118,1.664) -- (7.854,1.623) -- (7.589,1.588) -- (7.324,1.559);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.764,8.448) -- (7.742,8.528) -- (7.684,8.587) -- (7.604,8.608) -- (7.524,8.587) -- (7.465,8.528) -- (7.444,8.448) -- (7.465,8.368) -- (7.524,8.309) -- (7.604,8.288) -- (7.684,8.309) -- (7.742,8.368) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,8.049) -- (1.432,8.129) -- (1.373,8.188) -- (1.293,8.209) -- (1.213,8.188) -- (1.154,8.129) -- (1.133,8.049) -- (1.154,7.969) -- (1.213,7.911) -- (1.293,7.889) -- (1.373,7.911) -- (1.432,7.969) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.756,5.514) -- (5.735,5.594) -- (5.676,5.653) -- (5.596,5.674) -- (5.516,5.653) -- (5.458,5.594) -- (5.436,5.514) -- (5.458,5.434) -- (5.516,5.376) -- (5.596,5.354) -- (5.676,5.376) -- (5.735,5.434) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,5.169) -- (11.432,5.249) -- (11.373,5.308) -- (11.293,5.329) -- (11.213,5.308) -- (11.154,5.249) -- (11.133,5.169) -- (11.154,5.089) -- (11.213,5.031) -- (11.293,5.009) -- (11.373,5.031) -- (11.432,5.089) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.02,4.824) -- (7.999,4.904) -- (7.94,4.963) -- (7.86,4.984) -- (7.78,4.963) -- (7.722,4.904) -- (7.7,4.824) -- (7.722,4.744) -- (7.78,4.686) -- (7.86,4.664) -- (7.94,4.686) -- (7.999,4.744) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.081,2.52) -- (11.06,2.6) -- (11.001,2.659) -- (10.921,2.68) -- (10.841,2.659) -- (10.782,2.6) -- (10.761,2.52) -- (10.782,2.44) -- (10.841,2.382) -- (10.921,2.36) -- (11.001,2.382) -- (11.06,2.44) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.091,1.56) -- (2.069,1.64) -- (2.011,1.698) -- (1.931,1.72) -- (1.851,1.698) -- (1.792,1.64) -- (1.771,1.56) -- (1.792,1.48) -- (1.851,1.421) -- (1.931,1.4) -- (2.011,1.421) -- (2.069,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.484,1.559) -- (7.463,1.639) -- (7.404,1.698) -- (7.324,1.719) -- (7.244,1.698) -- (7.186,1.639) -- (7.164,1.559) -- (7.186,1.479) -- (7.244,1.421) -- (7.324,1.399) -- (7.404,1.421) -- (7.463,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.083,6.883) -- (7.038,7.053) -- (6.913,7.178) -- (6.743,7.223) -- (6.573,7.178) -- (6.449,7.053) -- (6.403,6.883) -- (6.449,6.713) -- (6.573,6.589) -- (6.743,6.543) -- (6.913,6.589) -- (7.038,6.713) -- cycle;
\node at (6.743,6.883) {\scalebox{1.447}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.136,7.2) -- (10.091,7.37) -- (9.966,7.494) -- (9.796,7.54) -- (9.626,7.494) -- (9.502,7.37) -- (9.456,7.2) -- (9.502,7.03) -- (9.626,6.906) -- (9.796,6.86) -- (9.966,6.906) -- (10.091,7.03) -- cycle;
\node at (9.796,7.2) {\scalebox{1.447}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.242,6.648) -- (8.196,6.818) -- (8.072,6.943) -- (7.902,6.988) -- (7.732,6.943) -- (7.607,6.818) -- (7.562,6.648) -- (7.607,6.478) -- (7.732,6.354) -- (7.902,6.308) -- (8.072,6.354) -- (8.196,6.478) -- cycle;
\node at (7.902,6.648) {\scalebox{1.447}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.052,7.235) -- (4.006,7.405) -- (3.882,7.529) -- (3.712,7.575) -- (3.542,7.529) -- (3.417,7.405) -- (3.372,7.235) -- (3.417,7.065) -- (3.542,6.94) -- (3.712,6.895) -- (3.882,6.94) -- (4.006,7.065) -- cycle;
\node at (3.712,7.235) {\scalebox{1.447}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.838,4.696) -- (2.792,4.866) -- (2.668,4.99) -- (2.498,5.036) -- (2.328,4.99) -- (2.203,4.866) -- (2.158,4.696) -- (2.203,4.526) -- (2.328,4.402) -- (2.498,4.356) -- (2.668,4.402) -- (2.792,4.526) -- cycle;
\node at (2.498,4.696) {\scalebox{1.447}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.19,5.569) -- (7.144,5.739) -- (7.02,5.863) -- (6.85,5.909) -- (6.68,5.863) -- (6.556,5.739) -- (6.51,5.569) -- (6.556,5.399) -- (6.68,5.274) -- (6.85,5.229) -- (7.02,5.274) -- (7.144,5.399) -- cycle;
\node at (6.85,5.569) {\scalebox{1.447}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,3.593) -- (6.885,3.763) -- (6.76,3.888) -- (6.59,3.933) -- (6.42,3.888) -- (6.296,3.763) -- (6.25,3.593) -- (6.296,3.423) -- (6.42,3.299) -- (6.59,3.253) -- (6.76,3.299) -- (6.885,3.423) -- cycle;
\node at (6.59,3.593) {\scalebox{1.447}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.873,3.785) -- (11.828,3.955) -- (11.703,4.079) -- (11.533,4.125) -- (11.363,4.079) -- (11.239,3.955) -- (11.193,3.785) -- (11.239,3.615) -- (11.363,3.491) -- (11.533,3.445) -- (11.703,3.491) -- (11.828,3.615) -- cycle;
\node at (11.533,3.785) {\scalebox{1.447}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.715,3.291) -- (9.669,3.461) -- (9.545,3.586) -- (9.375,3.631) -- (9.205,3.586) -- (9.081,3.461) -- (9.035,3.291) -- (9.081,3.121) -- (9.205,2.997) -- (9.375,2.951) -- (9.545,2.997) -- (9.669,3.121) -- cycle;
\node at (9.375,3.291) {\scalebox{1.447}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.585,1.582) -- (9.539,1.752) -- (9.415,1.877) -- (9.245,1.922) -- (9.075,1.877) -- (8.95,1.752) -- (8.905,1.582) -- (8.95,1.412) -- (9.075,1.288) -- (9.245,1.242) -- (9.415,1.288) -- (9.539,1.412) -- cycle;
\node at (9.245,1.582) {\scalebox{1.447}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.296,5.214) -- (5.896,5.214) -- (5.896,5.814) -- (5.296,5.814) -- cycle;
\node at (5.596,5.514) {\scalebox{1.447}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.496,7.773) -- (11.096,7.773) -- (11.096,8.373) -- (10.496,8.373) -- cycle;
\node at (10.796,8.073) {\scalebox{1.447}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.187,2.28) -- (10.787,2.28) -- (10.787,2.88) -- (10.187,2.88) -- cycle;
\node at (10.487,2.58) {\scalebox{1.447}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.542,3.248) -- (13.142,3.248) -- (13.142,3.848) -- (12.542,3.848) -- cycle;
\node at (12.842,3.548) {\scalebox{1.447}{\small d}};
\node at (7.745,9.052) {\scalebox{1.447}{\small A}};
\node at (0.765,8.374) {\scalebox{1.447}{\small B}};
\node at (5.092,5.875) {\scalebox{1.447}{\small C}};
\node at (11.91,5.232) {\scalebox{1.447}{\small D}};
\node at (8.477,4.889) {\scalebox{1.447}{\small E}};
\node at (11.471,2.234) {\scalebox{1.447}{\small F}};
\node at (1.412,1.22) {\scalebox{1.447}{\small G}};
\node at (7.44,0.95) {\scalebox{1.447}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,7.498) -- (12.593,8.598);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.213) -- (12.593,8.598) -- (12.824,8.213);
\draw[line width=0.5pt] (12.291,8.048) -- (12.896,8.048);
\node at (12.593,8.983) {\scalebox{1.447}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑥ rue du Stade & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Pasteur & ⑦ chemin Creux & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑧ rue de la Mairie & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ avenue de la Gare & ⑨ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ impasse du Vieux-Four & ⑩ rue Haute & Ⓔ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6186, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.429,8.262) -- (7.259,8.072) -- (7.094,7.878) -- (6.933,7.68) -- (6.777,7.478) -- (6.626,7.273) -- (6.479,7.064) -- (6.337,6.852) -- (6.201,6.636) -- (6.069,6.417) -- (5.943,6.196) -- (5.822,5.971) -- (5.707,5.744) -- (5.596,5.514);
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.901,8.256) -- (8.194,8.057) -- (8.482,7.851) -- (8.765,7.638) -- (9.043,7.419) -- (9.316,7.193) -- (9.584,6.961) -- (9.846,6.722) -- (10.102,6.478) -- (10.353,6.227) -- (10.597,5.971) -- (10.835,5.709) -- (11.068,5.442) -- (11.293,5.169);
\draw[line width=0.5pt] (7.604,8.448) -- (7.582,8.188) -- (7.567,7.928) -- (7.558,7.668) -- (7.555,7.407) -- (7.558,7.146) -- (7.567,6.886) -- (7.582,6.626) -- (7.604,6.366) -- (7.631,6.106) -- (7.665,5.848) -- (7.705,5.59) -- (7.751,5.334) -- (7.802,5.078) -- (7.86,4.824);
\draw[line width=0.5pt] (1.293,8.049) -- (1.626,7.917) -- (1.955,7.776) -- (2.281,7.628) -- (2.604,7.472) -- (2.923,7.309) -- (3.238,7.138) -- (3.549,6.959) -- (3.856,6.774) -- (4.158,6.581) -- (4.456,6.381) -- (4.749,6.174) -- (5.037,5.961) -- (5.319,5.741) -- (5.596,5.514);
\draw[line width=0.5pt] (1.293,8.049) -- (1.319,7.796) -- (1.351,7.544) -- (1.389,7.292) -- (1.432,7.041) -- (1.482,6.792) -- (1.537,6.543) -- (1.599,6.296) -- (1.666,6.05) -- (1.739,5.806) -- (1.817,5.564) -- (1.902,5.324) -- (1.991,5.086) -- (2.087,4.85) -- (2.188,4.616) -- (2.203,4.397) -- (2.213,4.177) -- (2.218,3.957) -- (2.217,3.737) -- (2.212,3.517) -- (2.201,3.297) -- (2.185,3.077) -- (2.164,2.858) -- (2.138,2.64) -- (2.107,2.422) -- (2.07,2.205) -- (2.029,1.988) -- (1.982,1.773) -- (1.931,1.56);
\draw[line width=0.5pt] (5.596,5.514) -- (5.764,5.49) -- (5.932,5.462) -- (6.098,5.43) -- (6.264,5.394) -- (6.43,5.354) -- (6.594,5.31) -- (6.757,5.263) -- (6.919,5.211) -- (7.079,5.156) -- (7.239,5.097) -- (7.396,5.034) -- (7.553,4.968) -- (7.707,4.898) -- (7.86,4.824);
\draw[line width=0.5pt] (5.596,5.514) -- (5.676,5.215) -- (5.762,4.918) -- (5.855,4.622) -- (5.955,4.329) -- (6.062,4.039) -- (6.176,3.751) -- (6.297,3.465) -- (6.424,3.183) -- (6.558,2.904) -- (6.699,2.628) -- (6.846,2.355) -- (6.999,2.086) -- (7.158,1.82) -- (7.324,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,5.169) -- (11.296,4.977) -- (11.294,4.786) -- (11.287,4.594) -- (11.276,4.402) -- (11.261,4.211) -- (11.241,4.02) -- (11.216,3.83) -- (11.187,3.64) -- (11.154,3.451) -- (11.116,3.262) -- (11.074,3.075) -- (11.027,2.889) -- (10.976,2.704) -- (10.921,2.52);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,5.169) -- (10.972,4.957) -- (10.657,4.737) -- (10.346,4.509) -- (10.041,4.275) -- (9.741,4.033) -- (9.448,3.784) -- (9.16,3.528) -- (8.878,3.265) -- (8.602,2.996) -- (8.333,2.721) -- (8.07,2.44) -- (7.815,2.152) -- (7.566,1.858) -- (7.324,1.559);
\draw[line width=0.5pt] (10.921,2.52) -- (10.677,2.413) -- (10.43,2.311) -- (10.18,2.215) -- (9.929,2.126) -- (9.675,2.042) -- (9.42,1.963) -- (9.162,1.891) -- (8.903,1.825) -- (8.643,1.766) -- (8.381,1.712) -- (8.118,1.664) -- (7.854,1.623) -- (7.589,1.588) -- (7.324,1.559);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.764,8.448) -- (7.742,8.528) -- (7.684,8.587) -- (7.604,8.608) -- (7.524,8.587) -- (7.465,8.528) -- (7.444,8.448) -- (7.465,8.368) -- (7.524,8.309) -- (7.604,8.288) -- (7.684,8.309) -- (7.742,8.368) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,8.049) -- (1.432,8.129) -- (1.373,8.188) -- (1.293,8.209) -- (1.213,8.188) -- (1.154,8.129) -- (1.133,8.049) -- (1.154,7.969) -- (1.213,7.911) -- (1.293,7.889) -- (1.373,7.911) -- (1.432,7.969) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.756,5.514) -- (5.735,5.594) -- (5.676,5.653) -- (5.596,5.674) -- (5.516,5.653) -- (5.458,5.594) -- (5.436,5.514) -- (5.458,5.434) -- (5.516,5.376) -- (5.596,5.354) -- (5.676,5.376) -- (5.735,5.434) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,5.169) -- (11.432,5.249) -- (11.373,5.308) -- (11.293,5.329) -- (11.213,5.308) -- (11.154,5.249) -- (11.133,5.169) -- (11.154,5.089) -- (11.213,5.031) -- (11.293,5.009) -- (11.373,5.031) -- (11.432,5.089) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.02,4.824) -- (7.999,4.904) -- (7.94,4.963) -- (7.86,4.984) -- (7.78,4.963) -- (7.722,4.904) -- (7.7,4.824) -- (7.722,4.744) -- (7.78,4.686) -- (7.86,4.664) -- (7.94,4.686) -- (7.999,4.744) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.081,2.52) -- (11.06,2.6) -- (11.001,2.659) -- (10.921,2.68) -- (10.841,2.659) -- (10.782,2.6) -- (10.761,2.52) -- (10.782,2.44) -- (10.841,2.382) -- (10.921,2.36) -- (11.001,2.382) -- (11.06,2.44) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.091,1.56) -- (2.069,1.64) -- (2.011,1.698) -- (1.931,1.72) -- (1.851,1.698) -- (1.792,1.64) -- (1.771,1.56) -- (1.792,1.48) -- (1.851,1.421) -- (1.931,1.4) -- (2.011,1.421) -- (2.069,1.48) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.484,1.559) -- (7.463,1.639) -- (7.404,1.698) -- (7.324,1.719) -- (7.244,1.698) -- (7.186,1.639) -- (7.164,1.559) -- (7.186,1.479) -- (7.244,1.421) -- (7.324,1.399) -- (7.404,1.421) -- (7.463,1.479) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.083,6.883) -- (7.038,7.053) -- (6.913,7.178) -- (6.743,7.223) -- (6.573,7.178) -- (6.449,7.053) -- (6.403,6.883) -- (6.449,6.713) -- (6.573,6.589) -- (6.743,6.543) -- (6.913,6.589) -- (7.038,6.713) -- cycle;
\node at (6.743,6.883) {\scalebox{1.617}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.136,7.2) -- (10.091,7.37) -- (9.966,7.494) -- (9.796,7.54) -- (9.626,7.494) -- (9.502,7.37) -- (9.456,7.2) -- (9.502,7.03) -- (9.626,6.906) -- (9.796,6.86) -- (9.966,6.906) -- (10.091,7.03) -- cycle;
\node at (9.796,7.2) {\scalebox{1.617}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.242,6.648) -- (8.196,6.818) -- (8.072,6.943) -- (7.902,6.988) -- (7.732,6.943) -- (7.607,6.818) -- (7.562,6.648) -- (7.607,6.478) -- (7.732,6.354) -- (7.902,6.308) -- (8.072,6.354) -- (8.196,6.478) -- cycle;
\node at (7.902,6.648) {\scalebox{1.617}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.052,7.235) -- (4.006,7.405) -- (3.882,7.529) -- (3.712,7.575) -- (3.542,7.529) -- (3.417,7.405) -- (3.372,7.235) -- (3.417,7.065) -- (3.542,6.94) -- (3.712,6.895) -- (3.882,6.94) -- (4.006,7.065) -- cycle;
\node at (3.712,7.235) {\scalebox{1.617}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.838,4.696) -- (2.792,4.866) -- (2.668,4.99) -- (2.498,5.036) -- (2.328,4.99) -- (2.203,4.866) -- (2.158,4.696) -- (2.203,4.526) -- (2.328,4.402) -- (2.498,4.356) -- (2.668,4.402) -- (2.792,4.526) -- cycle;
\node at (2.498,4.696) {\scalebox{1.617}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.19,5.569) -- (7.144,5.739) -- (7.02,5.863) -- (6.85,5.909) -- (6.68,5.863) -- (6.556,5.739) -- (6.51,5.569) -- (6.556,5.399) -- (6.68,5.274) -- (6.85,5.229) -- (7.02,5.274) -- (7.144,5.399) -- cycle;
\node at (6.85,5.569) {\scalebox{1.617}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,3.593) -- (6.885,3.763) -- (6.76,3.888) -- (6.59,3.933) -- (6.42,3.888) -- (6.296,3.763) -- (6.25,3.593) -- (6.296,3.423) -- (6.42,3.299) -- (6.59,3.253) -- (6.76,3.299) -- (6.885,3.423) -- cycle;
\node at (6.59,3.593) {\scalebox{1.617}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.873,3.785) -- (11.828,3.955) -- (11.703,4.079) -- (11.533,4.125) -- (11.363,4.079) -- (11.239,3.955) -- (11.193,3.785) -- (11.239,3.615) -- (11.363,3.491) -- (11.533,3.445) -- (11.703,3.491) -- (11.828,3.615) -- cycle;
\node at (11.533,3.785) {\scalebox{1.617}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.715,3.291) -- (9.669,3.461) -- (9.545,3.586) -- (9.375,3.631) -- (9.205,3.586) -- (9.081,3.461) -- (9.035,3.291) -- (9.081,3.121) -- (9.205,2.997) -- (9.375,2.951) -- (9.545,2.997) -- (9.669,3.121) -- cycle;
\node at (9.375,3.291) {\scalebox{1.617}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.585,1.582) -- (9.539,1.752) -- (9.415,1.877) -- (9.245,1.922) -- (9.075,1.877) -- (8.95,1.752) -- (8.905,1.582) -- (8.95,1.412) -- (9.075,1.288) -- (9.245,1.242) -- (9.415,1.288) -- (9.539,1.412) -- cycle;
\node at (9.245,1.582) {\scalebox{1.617}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.296,5.214) -- (5.896,5.214) -- (5.896,5.814) -- (5.296,5.814) -- cycle;
\node at (5.596,5.514) {\scalebox{1.617}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.496,7.773) -- (11.096,7.773) -- (11.096,8.373) -- (10.496,8.373) -- cycle;
\node at (10.796,8.073) {\scalebox{1.617}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.187,2.28) -- (10.787,2.28) -- (10.787,2.88) -- (10.187,2.88) -- cycle;
\node at (10.487,2.58) {\scalebox{1.617}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.542,3.248) -- (13.142,3.248) -- (13.142,3.848) -- (12.542,3.848) -- cycle;
\node at (12.842,3.548) {\scalebox{1.617}{\small d}};
\node at (7.745,9.052) {\scalebox{1.617}{\small A}};
\node at (0.765,8.374) {\scalebox{1.617}{\small B}};
\node at (5.092,5.875) {\scalebox{1.617}{\small C}};
\node at (11.91,5.232) {\scalebox{1.617}{\small D}};
\node at (8.477,4.889) {\scalebox{1.617}{\small E}};
\node at (11.471,2.234) {\scalebox{1.617}{\small F}};
\node at (1.412,1.22) {\scalebox{1.617}{\small G}};
\node at (7.44,0.95) {\scalebox{1.617}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,7.498) -- (12.593,8.598);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,8.213) -- (12.593,8.598) -- (12.824,8.213);
\draw[line width=0.5pt] (12.291,8.048) -- (12.896,8.048);
\node at (12.593,8.983) {\scalebox{1.617}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 2 & 1 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D}, \textbf{G}, \textbf{H} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, D, G, H).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
